108 年 國立政治大學企業管理研究所（MBA學位學程）甲組《統計學》

核心觀念

本題同時考查兩個母體比例的推論：

1. 兩母體比例差的信賴區間

$p_M-p_W$

其中 $p_M$ 為男性中想購買 Android 手機的比例，$p_W$ 為女性中的比例。

2. 二維列聯表與卡方獨立性檢定
   用性別與購買態度建立列聯表，檢定性別與購買態度是否彼此獨立。

信賴區間使用兩組樣本比例各自估計變異；獨立性檢定則在虛無假設成立下使用合併比例（pooled proportion）。

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解題方法與資料整理

已知：

$\hat p_M=0.33,\qquad n_M=265$

$\hat p_W=0.23,\qquad n_W=240$

男性與女性樣本比例差為：

$\hat p_M-\hat p_W=0.33-0.23=0.10$

由於題目提供的比例乘以樣本數後不是整數，因此以下列聯表採用「依比例換算」的有效樣本數表示。

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（1）男性與女性比例差的 95% 信賴區間

使用公式

兩獨立母體比例差的 95% 信賴區間為：

$$(\hat p_M-\hat p_W) \pm z_{0.025} \sqrt{ \frac{\hat p_M(1-\hat p_M)}{n_M} + \frac{\hat p_W(1-\hat p_W)}{n_W} }$$

其中：

$z_{0.025}=1.96$

計算標準誤

$$SE= \sqrt{ \frac{0.33(0.67)}{265} + \frac{0.23(0.77)}{240} }$$ $$SE= \sqrt{ \frac{0.2211}{265} + \frac{0.1771}{240} }$$ $$SE\approx \sqrt{0.0015723} \approx 0.03965$$

因此誤差界限為：

$1.96(0.03965)\approx 0.07772$

求信賴區間

$0.10\pm 0.07772$

所以：

$\boxed{(0.0223,\ 0.1777)}$

換成百分比：

$\boxed{(2.23\%,\ 17.77\%)}$

解釋

在 95% 信心水準下，男性想購買 Android 手機的母體比例，比女性高約：

$\boxed{2.23\%\text{ 至 }17.77\%}$

由於整個信賴區間皆為正值，資料顯示男性的購買意願高於女性。

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（2）建立性別與購買態度的列聯表

計算各格人數

男性：

$\text{想購買}=265(0.33)=87.45$

$\text{不想購買}=265(0.67)=177.55$

女性：

$\text{想購買}=240(0.23)=55.20$

$\text{不想購買}=240(0.77)=184.80$

因此列聯表為：

性別	想購買	不想購買	合計
男性	87.45	177.55	265
女性	55.20	184.80	240
合計	142.65	362.35	505

若以實際問卷中的整數人數呈現，原始資料應提供實際人數；本題依給定百分比計算時，使用上述小數形式即可。

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（3）在 0.05 顯著水準下檢定性別與態度是否獨立

第一步：提出假設

令性別為 $G$，購買態度為 $A$。

• 虛無假設：

$H_0：\text{性別與購買態度彼此獨立}$

• 對立假設：

$H_1：\text{性別與購買態度不獨立}$

顯著水準：

$\alpha=0.05$

第二步：計算期望次數

若性別與態度獨立，期望次數公式為：

$E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{\text{總和}}$

男性且想購買：

$$E_{M,B} =\frac{265(142.65)}{505} \approx 74.86$$

男性且不想購買：

$$E_{M,N} =\frac{265(362.35)}{505} \approx 190.14$$

女性且想購買：

$$E_{W,B} =\frac{240(142.65)}{505} \approx 67.79$$

女性且不想購買：

$$E_{W,N} =\frac{240(362.35)}{505} \approx 172.21$$

本題主要考驗樣本數的決定、盒狀圖 (Boxplot) 的繪製以及離群值的判斷。

首先，整理題目提供的數據：
$X = \{8.7, 22.4, 9.5, 13.3, 12.9, 22.0, 14.4, 35.7, 19.0, 24.9, 5.7, 15.7, 8.9, 22.5, 15.9, 17.5, 3.2, 52.6, 18.8\}$
樣本數 $n=19$。

(1) 計算所需的樣本數，以使平均加侖汽油購買量的 99% 信賴區間的誤差邊界為 0.6 加侖。
樣本數的決定公式為：
$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E} \right)^2$
其中：
$E$ 是期望的誤差邊界 (margin of error)，在此為 0.6 加侖。
$z_{\alpha/2}$ 是對應於信賴水準的 z 值。對於 99% 的信賴水準，$\alpha = 0.01$，$\alpha/2 = 0.005$。查標準常態分佈表，得到 $z_{0.005} \approx 2.576$。
$\sigma$ 是母體標準差。由於母體標準差未知，我們需要使用樣本標準差 $s$ 作為估計。

首先，計算樣本均值 $\bar{x}$：
$\bar{x} = \frac{8.7 + 22.4 + 9.5 + 13.3 + 12.9 + 22.0 + 14.4 + 35.7 + 19.0 + 24.9 + 5.7 + 15.7 + 8.9 + 22.5 + 15.9 + 17.5 + 3.2 + 52.6 + 18.8}{19}$
$\bar{x} = \frac{320.0}{19} \approx 16.842$

接下來，計算樣本標準差 $s$。
首先計算樣本變異數 $s^2$：
$s^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

我們需要計算每個數據點與均值的差的平方和。
$(8.7-16.842)^2 \approx 66.29$
$(22.4-16.842)^2 \approx 30.90$
$(9.5-16.842)^2 \approx 53.89$
$(13.3-16.842)^2 \approx 12.55$
$(12.9-16.842)^2 \approx 15.54$
$(22.0-16.842)^2 \approx 26.61$
$(14.4-16.842)^2 \approx 5.96$
$(35.7-16.842)^2 \approx 355.66$
$(19.0-16.842)^2 \approx 4.66$
$(24.9-16.842)^2 \approx 64.93$
$(5.7-16.842)^2 \approx 124.18$
$(15.7-16.842)^2 \approx 1.30$
$(8.9-16.842)^2 \approx 63.11$
$(22.5-16.842)^2 \approx 31.90$
$(15.9-16.842)^2 \approx 0.89$
$(17.5-16.842)^2 \approx 0.43$
$(3.2-16.842)^2 \approx 186.18$
$(52.6-16.842)^2 \approx 1264.65$
$(18.8-16.842)^2 \approx 3.83$

$\sum(x_i - \bar{x})^2 \approx 66.29 + 30.90 + 53.89 + 12.55 + 15.54 + 26.61 + 5.96 + 355.66 + 4.66 + 64.93 + 124.18 + 1.30 + 63.11 + 31.90 + 0.89 + 0.43 + 186.18 + 1264.65 + 3.83 \approx 2303.55$

$s^2 = \frac{2303.55}{19-1} = \frac{2303.55}{18} \approx 127.975$
$s = \sqrt{127.975} \approx 11.313$

核心觀念

本題屬於**雙變數機率分佈之線性組合（Linear Combinations of Random Variables）**的經典計算題，涵蓋以下核心統計學原理與公式：

1. 離散型隨機變數之期望值與變異數：
   • 期望值： $$E[W] = \sum w \cdot P(W = w)$$
   • 變異數： $$Var(W) = E[W^2] - (E[W])^2$$
2. 隨機變數線性組合之期望值（線性性質）： $$E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$$ （無論 $X$ 與 $Y$ 是否獨立，此線性關係均成立）
3. 相關係數與共變異數之關係： $$Cov(X, Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y = \rho_{XY} \cdot \sqrt{Var(X)} \cdot \sqrt{Var(Y)}$$
4. 隨機變數線性組合之變異數： $$Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab\, Cov(X, Y)$$

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解題方法

步驟一：設定隨機變數與總成本函數

• 令隨機變數 $X$ 為單一零售門市全年的電力使用量（單位：$\text{KWH}$）。
• 令隨機變數 $Y$ 為單一零售門市全年的瓦斯使用量（單位：$\text{MCF}$）。
• 依題目費率，電力每 $\text{KWH}$ 成本為 US$100，瓦斯每 $\text{MCF}$ 成本為 US$10。
• 全年能源總營運成本 $C$ 可表示為線性組合： $$C = 100X + 10Y$$

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步驟二：計算電力使用量 $X$ 的期望值與變異數

根據題意之機率分配：

$X\text{ (KWH)}$	$P(X)$
$500,000$	$0.30$
$400,000$	$0.40$
$300,000$	$0.25$
$200,000$	$0.05$

1. 期望值 $E[X]$：

   $$\begin{aligned} E[X] &= 500{,}000(0.3) + 400{,}000(0.4) + 300{,}000(0.25) + 200{,}000(0.05) \\ &= 150{,}000 + 160{,}000 + 75{,}000 + 10{,}000 \\ &= 395{,}000\text{ (KWH)} \end{aligned}$$

2. 二階原點動差 $E[X^2]$ 與變異數 $Var(X)$：

   $$\begin{aligned} E[X^2] &= (500{,}000)^2(0.3) + (400{,}000)^2(0.4) + (300{,}000)^2(0.25) + (200{,}000)^2(0.05) \\ &= 7.5 \times 10^{10} + 6.4 \times 10^{10} + 2.25 \times 10^{10} + 0.2 \times 10^{10} \\ &= 16.35 \times 10^{10} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} Var(X) &= E[X^2] - (E[X])^2 \\ &= 16.35 \times 10^{10} - (395{,}000)^2 \\ &= 16.35 \times 10^{10} - 15.6025 \times 10^{10} \\ &= 0.7475 \times 10^{10} = 7{,}475{,}000{,}000\text{ (KWH)}^2 \end{aligned}$$

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步驟三：計算瓦斯使用量 $Y$ 的期望值與變異數

根據題意之機率分配：

$Y\text{ (MCF)}$	$P(Y)$
$1,200$	$0.30$
$1,000$	$0.40$
$800$	$0.25$
$600$	$0.05$

1. 期望值 $E[Y]$：

   $$\begin{aligned} E[Y] &= 1{,}200(0.3) + 1{,}000(0.4) + 800(0.25) + 600(0.05) \\ &= 360 + 400 + 200 + 30 \\ &= 990\text{ (MCF)} \end{aligned}$$

2. 二階原點動差 $E[Y^2]$ 與變異數 $Var(Y)$：

   $$\begin{aligned} E[Y^2] &= (1{,}200)^2(0.3) + (1{,}000)^2(0.4) + (800)^2(0.25) + (600)^2(0.05) \\ &= 432{,}000 + 400{,}000 + 160{,}000 + 18{,}000 \\ &= 1{,}010{,}000 \end{aligned}$$

本題主要考驗多元迴歸分析的相關概念，包括係數解釋、顯著性檢定、ANOVA 表建構、迴歸標準誤及調整 $R^2$ 的計算。

首先，整理多元迴歸的輸出結果：
樣本數 $n=150$。
因變數：Price (千美元)
自變數：SqFeet, Bathrooms, Size, Income, Fireplace (0/1 變數)

迴歸係數估計值 ($\hat{\beta}$):
$\hat{\beta}_0$ (Constant) = 81.66
$\hat{\beta}_1$ (SqFeet) = 33.75
$\hat{\beta}_2$ (Bathrooms) = 14.29
$\hat{\beta}_3$ (Size) = 6.21
$\hat{\beta}_4$ (Income) = 0.21
$\hat{\beta}_5$ (Fireplace) = -15.14

對應的標準誤 (Standard Error, SE):
$SE(\hat{\beta}_0) = 20.49$
$SE(\hat{\beta}_1) = 6.77$
$SE(\hat{\beta}_2) = 11.15$
$SE(\hat{\beta}_3) = 2.30$
$SE(\hat{\beta}_4) = 0.06$
$SE(\hat{\beta}_5) = 14.25$

總平方和 $SSTotal = 2,069,071$
決定係數 $R^2 = 0.593$

(1) 解釋迴歸模型中 Fireplace 係數的估計值。
迴歸模型為：
$\text{Price} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 \text{SqFeet} + \hat{\beta}_2 \text{Bathrooms} + \hat{\beta}_3 \text{Size} + \hat{\beta}_4 \text{Income} + \hat{\beta}_5 \text{Fireplace} + \epsilon$

Fireplace 是一個二元變數 (dummy variable)，假設：
Fireplace = 1 表示房屋有壁爐
Fireplace = 0 表示房屋沒有壁爐

$\hat{\beta}_5 = -15.14$ 是 Fireplace 係數的估計值。
其解釋為：在控制了 SqFeet, Bathrooms, Size, Income 等其他變數不變的情況下，有壁爐的房屋（Fireplace=1）比沒有壁爐的房屋（Fireplace=0）的預期價格（以千美元計）低 15.14 千美元，即低 $15,140 美元。

【答案】在控制其他變數不變的情況下，有壁爐的房屋比沒有壁爐的房屋，其預期價格平均低 15.14 千美元（或 15,140 美元）。

(2) 檢定哪些變數可以從迴歸模型中省略，使用 0.05 的顯著水準。
這需要對每個自變數的係數進行顯著性檢定。通常使用 t 檢定。
t 統計量的計算公式為：$t = \frac{\hat{\beta}_i}{SE(\hat{\beta}_i)}$。
我們需要將計算出的 t 值與對應於顯著水準 $\alpha=0.05$ 和自由度 $df = n - k - 1$ 的臨界值進行比較，其中 $k$ 是自變數的數量。
在此模型中，有 5 個自變數 (SqFeet, Bathrooms, Size, Income, Fireplace)，所以 $k=5$。
自由度 $df = 150 - 5 - 1 = 144$。
對於雙尾檢定，臨界值 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 144}$。查 t 分佈表，當 $df$ 很大時，t 分佈近似於標準常態分佈，所以臨界值約為 1.96。

我們逐一計算 t 統計量並進行檢定：

• SqFeet: $\hat{\beta}_1 = 33.75, SE(\hat{\beta}_1) = 6.77$
  $t_1 = \frac{33.75}{6.77} \approx 4.985$
  $|t_1| = 4.985 > 1.96$。SqFeet 係數在 0.05 顯著水準下是顯著的。

• Bathrooms: $\hat{\beta}_2 = 14.29, SE(\hat{\beta}_2) = 11.15$
  $t_2 = \frac{14.29}{11.15} \approx 1.282$
  $|t_2| = 1.282 < 1.96$。Bathrooms 係數在 0.05 顯著水準下不顯著。

• Size: $\hat{\beta}_3 = 6.21, SE(\hat{\beta}_3) = 2.30$
  $t_3 = \frac{6.21}{2.30} \approx 2.699$
  $|t_3| = 2.699 > 1.96$。Size 係數在 0.05 顯著水準下是顯著的。

• Income: $\hat{\beta}_4 = 0.21, SE(\hat{\beta}_4) = 0.06$
  $t_4 = \frac{0.21}{0.06} = 3.5$
  $|t_4| = 3.5 > 1.96$。Income 係數在 0.05 顯著水準下是顯著的。

• Fireplace: $\hat{\beta}_5 = -15.14, SE(\hat{\beta}_5) = 14.25