108 年 國立政治大學科技管理與智慧財產研究所智慧財產組《微積分》

本題考驗定積分在平均值計算的應用。

核心觀念：
函數 $f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 上的平均值定義為 $\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$。

解題過程：
題目要求計算推出後第30天到60天期間，每日的平均營業收入。這對應於函數 $r(t)$ 在區間 $[30, 60]$ 上的平均值。
根據平均值的定義，平均營業收入為：
$\text{平均營業收入} = \frac{1}{60-30} \int_{30}^{60} r(t) \, dt$
$= \frac{1}{30} \int_{30}^{60} (200t - 3t^2) \, dt$
首先計算定積分：

本題考驗聯合機率密度函數的積分計算，以求得特定事件發生的機率。

核心觀念：
對於一個聯合機率密度函數 $f(x,y)$，事件 $a \le X \le b$ 且 $c \le Y \le d$ 發生的機率為 $\int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx$。

解題過程：
題目給定的聯合機率密度函數為 $f(x,y) = 3e^{-x-3y}$。
我們要求的是硬碟壽命至少維持 3 年（即 $x \ge 3$）且螢幕壽命至少維持 4 年（即 $y \ge 4$）的機率。
由於壽命不能為負，所以 $x$ 的範圍是 $[3, \infty)$，而 $y$ 的範圍是 $[4, \infty)$。
所求的機率為：
$P(X \ge 3, Y \ge 4) = \int_3^\infty \int_4^\infty 3e^{-x-3y} \, dy \, dx$
這個積分可以分解為兩個獨立的積分：
$P(X \ge 3, Y \ge 4) = \int_3^\infty e^{-x} \, dx \int_4^\infty 3e^{-3y} \, dy$
首先計算第一個積分：
$\int_3^\infty e^{-x} \, dx = \left[ -e^{-x} \right]_3^\infty = \lim_{b \to \infty} (-e^{-b}) - (-e^{-3}) = 0 + e^{-3} = e^{-3}$
接著計算第二個積分：
$\int_4^\infty 3e^{-3y} \, dy$
令 $u = -3y$，則 $du = -3 \, dy$。當 $y=4$ 時，$u = -12$；當 $y \to \infty$ 時，$u \to -\infty$。

本題考驗連續複利的概念與應用，利用對數來求解時間。

核心觀念：
連續複利的終值公式為 $A = Pe^{rt}$，其中 $A$ 是終值，$P$ 是本金，$r$ 是年報酬率（以小數表示），$t$ 是時間（年）。

解題過程：
根據題意，我們有：
本金 $P = 500$ 萬元
終值 $A = 1000$ 萬元
年報酬率 $r = 20\% = 0.20$
時間 $t$ 是我們需要求解的。

將這些值代入連續複利的公式 $A = Pe^{rt}$：
$1000 = 500 e^{0.20t}$
首先，兩邊同時除以 500：
$\frac{1000}{500} = e^{0.20t}$
$2 = e^{0.20t}$
為了求解 $t$，我們對等式兩邊取自然對數（ln）：

本題考驗泰勒展開式的應用，特別是利用已知點的函數值和導數來估計鄰近點的函數值。

核心觀念：
函數 $f(x)$ 在點 $a$ 附近的泰勒展開式為：
$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$
若只取前幾項，則可作為 $f(x)$ 的近似值。

解題過程：
我們要估計 $\ln(2.01)$ 的值。
令 $f(x) = \ln(x)$。
我們知道 $\ln(2)$ 的值，所以選擇 $a=2$ 作為展開點。
我們要計算的點是 $x=2.01$。
因此，$x-a = 2.01 - 2 = 0.01$。

首先，計算函數 $f(x) = \ln(x)$ 及其各階導數在 $a=2$ 的值：
$f(x) = \ln(x) \implies f(2) = \ln(2) = 0.69315$
$f'(x) = \frac{1}{x} \implies f'(2) = \frac{1}{2} = 0.5$
$f''(x) = -\frac{1}{x^2} \implies f''(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4} = -0.25$
$f'''(x) = \frac{2}{x^3} \implies f'''(2) = \frac{2}{2^3} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0.25$
$f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4} \implies f^{(4)}(2) = -\frac{6}{2^4} = -\frac{6}{16} = -\frac{3}{8} = -0.375$

泰勒展開式的前幾項是：
$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$
將 $a=2$ 和 $x-a=0.01$ 的值代入：
$\ln(2.01) \approx f(2) + f'(2)(0.01) + \frac{f''(2)}{2}(0.01)^2 + \frac{f'''(2)}{6}(0.01)^3 + \frac{f^{(4)}(2)}{24}(0.01)^4$

核心觀念

本題考查「無異曲線上的邊際替代率」：

在效用程度不變時，消費者增加一單位咖啡 $x$，願意減少多少單位奶茶 $y$，可由效用函數的全微分求得。

效用函數為

$$U(x,y)=x^{\frac12}y^{\frac13}.$$

效用不變表示

$$dU=0.$$

因此，

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{U_x}{U_y},$$

其中 $-\frac{dy}{dx}$ 即為咖啡對奶茶的邊際替代率。

解題方法

先分別求效用函數對 $x$ 與 $y$ 的偏導數：

$$U_x=\frac{\partial U}{\partial x} =\frac12 x^{-\frac12}y^{\frac13},$$ $$U_y=\frac{\partial U}{\partial y} =\frac13 x^{\frac12}y^{-\frac23}.$$

因此，在效用不變下，

本題考驗生產理論中的成本最小化問題，結合了生產函數、成本函數和拉格朗日乘數法（或替代率方法）。

核心觀念：
廠商的目標是最小化總成本 $C = P_K K + P_L L$ (其中 $P_K$ 是資本價格， $P_L$ 是勞力價格)，同時要滿足生產函數的約束 $Y(K,L) = Y_0$ (其中 $Y_0$ 是目標產出量)。

解題過程：

1. 確定目標函數與約束條件：

   • 目標函數（總成本）：$C(K, L) = 6K + 24L$
   • 約束條件（目標產出）：$Y(K, L) = 4K^{\frac{1}{2}}L^{\frac{1}{2}} = 32$

2. 簡化約束條件：
   從 $4K^{\frac{1}{2}}L^{\frac{1}{2}} = 32$，我們可以得到 $K^{\frac{1}{2}}L^{\frac{1}{2}} = 8$。
   兩邊平方得 $KL = 64$。
   這表示資本 $K$ 和勞力 $L$ 必須滿足 $KL=64$。

3. 使用替代率方法（邊際技術替代率 MRS_TK 等於價格比）：
   邊際技術替代率 (Marginal Rate of Technical Substitution, MRTS) 是指在保持產出不變的情況下，用一種要素替代另一種要素的比率。
   $MRTS_{KL} = \frac{\partial Y/\partial L}{\partial Y/\partial K}$
   成本最小化條件是 $MRTS_{KL} = \frac{P_L}{P_K}$。

   計算偏導數：
   $\frac{\partial Y}{\partial K} = 4 \cdot \frac{1}{2} K^{-\frac{1}{2}} L^{\frac{1}{2}} = 2K^{-\frac{1}{2}}L^{\frac{1}{2}}$
   $\frac{\partial Y}{\partial L} = 4 \cdot \frac{1}{2} K^{\frac{1}{2}} L^{-\frac{1}{2}} = 2K^{\frac{1}{2}}L^{-\frac{1}{2}}$

   計算 $MRTS_{KL}$：
   $MRTS_{KL} = \frac{2K^{\frac{1}{2}}L^{-\frac{1}{2}}}{2K^{-\frac{1}{2}}L^{\frac{1}{2}}} = \frac{K^{\frac{1}{2}}}{K^{-\frac{1}{2}}} \cdot \frac{L^{-\frac{1}{2}}}{L^{\frac{1}{2}}} = K^{1} \cdot L^{-1} = \frac{K}{L}$

   價格比：
   $\frac{P_L}{P_K} = \frac{24}{6} = 4$

   設置成本最小化條件：
   $MRTS_{KL} = \frac{K}{L} = \frac{P_L}{P_K} = 4$
   所以，$K = 4L$。

4. 聯立約束條件求解 $K$ 和 $L$：
   我們有兩個方程：
   (1) $KL = 64$ (簡化後的生產約束)
   (2) $K = 4L$ (成本最小化條件)

核心觀念

本題考查「總收益」與「邊際收益」的關係。

廠商總收益為

$$R(p)=p\cdot q=pF(p)$$

其中需求函數為

$$q=F(p)=600-50p$$

因此總收益可表示為價格 $p$ 的函數：

$$R(p)=p(600-50p)$$

判斷漲價後收入增加或減少，可利用邊際收益：

$$\frac{dR}{dp}>0$$

表示提高價格會使總收益增加；若

$$\frac{dR}{dp}<0$$

則提高價格會使總收益減少。

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解題方法

將需求函數代入總收益函數：

$$R(p)=p(600-50p)=600p-50p^2$$

對價格 $p$ 微分：

$$\frac{dR}{dp}=600-100p$$

目前價格為 $p=4$，代入得

$$\left.\frac{dR}{dp}\right|_{p=4} =600-100(4) =200>0$$

邊際收益為正，表示在目前價格附近，價格小幅上升會使總收益增加，因此廠商應該漲價。

目前依需求函數所對應的銷售量為

$$q=600-50(4)=400$$

目前總收益為

$$R(4)=4\cdot 400=1600$$

若價格提高至 $p=4+\Delta p$，其中 $\Delta p$ 為很小的正數，因為

$$\frac{dR}{dp}>0$$

所以總收益會上升。

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利用需求彈性判斷

需求價格彈性為

$$\varepsilon=\frac{dq}{dp}\cdot\frac{p}{q}$$

由需求函數可知

$$\frac{dq}{dp}=-50$$

核心觀念

本題考查「受限制的最佳化問題」：

• 設未知量並建立體積限制式。
• 將表面積表示成單一變數的函數。
• 利用微分求表面積的極小值。
• 檢查極值確實為最小值。

假設長方體為封閉容器，因此表面積包含底面、頂面及四個側面。

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解題方法

設正方形底面的邊長為 $x$ 公分，高度為 $h$ 公分。

1. 建立體積方程式

長方體體積為

$$x^2h=108000.$$

因此

$$h=\frac{108000}{x^2},\qquad x>0.$$

2. 建立表面積函數

表面積包含：

• 上、下兩個正方形：$2x^2$
• 四個側面：$4xh$

所以表面積為

$$S=2x^2+4xh.$$

代入 $h=\dfrac{108000}{x^2}$：

$$S(x)=2x^2+4x\left(\frac{108000}{x^2}\right)$$ $$S(x)=2x^2+\frac{432000}{x}.$$

3. 求臨界點

對 $S(x)$ 微分：

$$S'(x)=4x-\frac{432000}{x^2}.$$

令一階導數等於零：

$$4x-\frac{432000}{x^2}=0.$$

移項得

$$4x=\frac{432000}{x^2},$$

因此

$$4x^3=432000,$$ $$x^3=108000.$$

核心觀念

本題是一階線性微分方程，標準形式為

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x).$$

其積分因子為

$$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.$$

題目給定

$$\frac{dy}{dx}=xe^{2x}+\frac{y}{\sqrt{x+1}}, \qquad y(0)=3.$$

因為初始條件含有 $\sqrt{x+1}$，故解的定義域至少需滿足 $x>-1$。

解題方法

先將方程式整理成一階線性微分方程標準形式：

$$\frac{dy}{dx}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}y=xe^{2x}.$$

因此

$$P(x)=-\frac{1}{\sqrt{x+1}}.$$

積分因子為

$$\begin{aligned} \mu(x) &=e^{\int-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx} \\ &=e^{-2\sqrt{x+1}}. \end{aligned}$$

方程式兩邊同乘積分因子：

$$e^{-2\sqrt{x+1}}\frac{dy}{dx} -\frac{e^{-2\sqrt{x+1}}}{\sqrt{x+1}}y = xe^{2x-2\sqrt{x+1}}.$$

左側可合併為乘積微分：

$$\frac{d}{dx} \left(e^{-2\sqrt{x+1}}y\right) = xe^{2x-2\sqrt{x+1}}.$$

由 $0$ 積分到 $x$：

$$e^{-2\sqrt{x+1}}y(x) - e^{-2\sqrt{1}}y(0) = \int_0^x te^{2t-2\sqrt{t+1}}\,dt.$$

代入 $y(0)=3$：

本題考驗定積分在計算面積中的應用。

核心觀念：
函數 $f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 與 X 軸所圍區域的面積，如果函數在此區間恆為正，則面積為 $\int_a^b f(x) \, dx$；如果恆為負，則面積為 $-\int_a^b f(x) \, dx$；如果函數在區間內有正有負，則需要將區間分割，計算各段面積的絕對值後相加。

解題過程：
我們要計算函數 $y = \sin(x)$ 在區間 $[0, \pi]$ 與 X 軸所圍區域的面積。
首先，我們需要確定在區間 $[0, \pi]$ 上 $\sin(x)$ 的符號。
對於 $x \in (0, \pi)$，$\sin(x) > 0$。