115 年 國立成功大學化學工程學系碩士班甲組《化工熱力學》

核心觀念

本題考查理想氣體在任意可逆多方路徑（Polytropic Process）下的狀態參數計算與熱力學第一定律應用：

1. 理想氣體狀態方程式（Ideal Gas Equation of State）： $$PV = nRT$$ 描述理想氣體的狀態量（$P$、$V$、$T$）之關係。
2. 多方路徑（Polytropic Process）：
   路徑方程式為 $V = aP$（或寫成 $P V^{-1} = a^{-1} = \text{const}$，即多方指數 $n = -1$ 的可逆過程）。
3. 熱力學第一定律（First Law of Thermodynamics）：
   封閉系統可逆過程微量形式為： $$dQ = dU + dW = nC_V dT + P dV$$ 或利用焓變形式： $$dQ = dH - V dP = nC_P dT - V dP$$
4. 雙原子理想氣體熱容性質： $$C_P - C_V = R$$ 常溫下剛性雙原子分子理想氣體： $$C_V = \frac{5}{2}R, \quad C_P = \frac{7}{2}R$$

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解題方法

(1) 計算末態體積 $V_1$ 與溫度 $T_1$

• 初態參數（State 0）： $$n = 1\text{ mol}, \quad T_0 = 273\text{ K}, \quad P_0 = 1\text{ atm}, \quad V_0 = 22,400\text{ cm}^3 = 22.4\text{ L}$$
• 末態參數（State 1）：
  已知 $P_1 = 0.5\text{ atm}$，且遵循路徑方程式 $V = aP$（其中 $a = 22,400\text{ cm}^3/\text{atm} = 22.4\text{ L/atm}$）： $$V_1 = aP_1 = 22,400 \times 0.5 = 11,200\text{ cm}^3 = 11.2\text{ L}$$ 由理想氣體方程式 $P_1 V_1 = n R T_1$： $$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_0 V_0}{T_0}$$ $$T_1 = T_0 \left(\frac{P_1}{P_0}\right)\left(\frac{V_1}{V_0}\right) = 273\text{ K} \times \left(\frac{0.5}{1}\right) \times \left(\frac{11,200}{22,400}\right) = 273 \times 0.25 = 68.25\text{ K}$$

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(2) 推導熱量 $Q$ 表示為 $C_P, C_V, P, V$ 之函數

對於 $1\text{ mol}$ 理想氣體的可逆微量變化：

$$dQ = dU + P dV = C_V dT + P dV$$

對理想氣體方程式 $PV = RT$ 全微分：

$$R dT = P dV + V dP \implies dT = \frac{P dV + V dP}{R}$$

代入邁耶爾關係式 $R = C_P - C_V$：

$$dT = \frac{P dV + V dP}{C_P - C_V}$$

將 $dT$ 代入熱力學第一定律：

$$dQ = C_V \left(\frac{P dV + V dP}{C_P - C_V}\right) + P dV$$

通分整理：

$$dQ = \frac{C_V (P dV + V dP) + (C_P - C_V) P dV}{C_P - C_V} = \frac{C_V V dP + C_P P dV}{C_P - C_V}$$

本題路徑為 $V = aP$，即 $dV = a dP$ 或 $dP = \frac{dV}{a}$，且 $P dV = \left(\frac{V}{a}\right) dV$，$V dP = V \left(\frac{dV}{a}\right) = P dV$。
將 $V dP = P dV$ 代入微量熱量表示式：

$$dQ = \frac{C_V (P dV) + C_P (P dV)}{C_P - C_V} = \left(\frac{C_P + C_V}{C_P - C_V}\right) P dV$$

又因為 $P dV = \frac{1}{2} d(PV)$（因 $d(PV) = P dV + V dP = 2P dV$），兩邊積分得總熱量 $Q$：

$$Q = \int_{V_0}^{V_1} \frac{C_P + C_V}{C_P - C_V} P dV = \frac{C_P + C_V}{2(C_P - C_V)} \int_{(P_0,V_0)}^{(P_1,V_1)} d(PV)$$ $$Q = \frac{C_P + C_V}{2(C_P - C_V)} (P_1 V_1 - P_0 V_0)$$

核心觀念

本題探討單原子理想氣體在封閉系統中歷經三個機械可逆（mechanically reversible）過程所構成的循環。
分析基礎與熱力學性質定義如下（以 $1\text{ mol}$ 氣體為基準）：

1. 單原子理想氣體之熱容： $$C_V = \frac{3}{2}R, \quad C_P = C_V + R = \frac{5}{2}R, \quad \gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{5}{3}$$
2. 第一定律（封閉系統）： $$\Delta U = Q + W \quad (\text{以系統吸熱 } Q>0 \text{、環境對系統作功 } W>0 \text{ 為慣用符號；化工熱力學教科書 Smith-Van Ness 慣用 } \Delta U = Q + W \text{ 或 } dW = -P\,dV)$$ 此處採化工標準定義： $$W = -\int P\,dV, \quad \Delta U = Q + W$$
3. 理想氣體之狀態函數變化：
   • 內能與焓只取決於溫度： $$\Delta U = C_V \Delta T, \quad \Delta H = C_P \Delta T$$
   • 熵變化： $$\Delta S = C_P \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R \ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = C_V \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + R \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$
   • 吉布斯自由能變化（由基本熱力學方程式 $dG = V\,dP - S\,dT$ 積分）：
     • 恆溫過程（$dT=0$）：$\Delta G = \int V\,dP = RT \ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right)$
     • 一般過程：$\Delta G = \Delta H - \Delta(TS) = \Delta H - (T_2 S_2 - T_1 S_1)$

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解題方法

1. 循環狀態點分析

設初始狀態為 $(T_0, P_0)$：

• 過程 1（可逆絕熱壓縮，狀態 $0 \to A$）：
  • 壓力由 $P_0$ 變為 $P_A$。
  • 對於可逆絕熱過程，滿足 $T P^{(1-\gamma)/\gamma} = \text{常數}$： $$\frac{T_A}{T_0} = \left(\frac{P_A}{P_0}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = \left(\frac{P_A}{P_0}\right)^{\frac{5/3-1}{5/3}} = \left(\frac{P_A}{P_0}\right)^{2/5}$$ 故： $$T_A = T_0 \left(\frac{P_A}{P_0}\right)^{2/5}$$
• 過程 2（恆壓冷卻，狀態 $A \to B$）：
  • 恆壓過程：$P_B = P_A$。
  • 溫度降至 $T_B$。
• 過程 3（恆溫膨脹回初始狀態，狀態 $B \to 0$）：
  • 由題目「isothermally to its original state $(T_0, P_0)$」可知： $$T_B = T_0$$
  • 因此狀態 $B$ 之條件為 $(T_0, P_A)$，最終回到 $(T_0, P_0)$。

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2. 各過程之各項熱力學函數計算（以 $1\text{ mol}$ 氣體為基準）

令無因次壓力比 $r = \frac{P_A}{P_0}$。

過程 1：可逆絕熱壓縮（$0 \to A$）

• 熱量 $Q_1$：
  絕熱過程，無熱量交換： $$Q_1 = 0$$
• 內能變化 $\Delta U_1$： $$\Delta U_1 = C_V (T_A - T_0) = \frac{3}{2}R T_0 \left[\left(\frac{P_A}{P_0}\right)^{2/5} - 1\right]$$
• 焓變化 $\Delta H_1$： $$\Delta H_1 = C_P (T_A - T_0) = \frac{5}{2}R T_0 \left[\left(\frac{P_A}{P_0}\right)^{2/5} - 1\right]$$
• 功 $W_1$：
  由第一定律 $W_1 = \Delta U_1 - Q_1 = \Delta U_1$： $$W_1 = \frac{3}{2}R T_0 \left[\left(\frac{P_A}{P_0}\right)^{2/5} - 1\right]$$
• 吉布斯自由能變化 $\Delta G_1$：
  因絕熱可逆過程 $\Delta S_1 = 0$（等熵，$S_A = S_0$）： $$\Delta G_1 = \Delta H_1 - \Delta(TS)_1 = \Delta H_1 - (T_A S_A - T_0 S_0) = \Delta H_1 - (T_A - T_0)S_0$$ 若以狀態性質積分表達（$dG = V\,dP - S\,dT$）： $$\Delta G_1 = \Delta H_1 - S_0(T_A - T_0)$$ 若未指定絕對熵基準常數 $S_0$，由微商定義亦可表示為： $$\Delta G_1 = \frac{5}{2}R T_0 \left[\left(\frac{P_A}{P_0}\right)^{2/5} - 1\right] - S_0 T_0 \left[\left(\frac{P_A}{P_0}\right)^{2/5} - 1\right]$$

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過程 2：恆壓冷卻（$A \to B$）

此過程壓力固定為 $P_A$，溫度由 $T_A = T_0 \left(\frac{P_A}{P_0}\right)^{2/5}$ 降至 $T_B = T_0$。

• 熱量 $Q_2$：
  在恆壓機械可逆過程中，$Q = \Delta H$： $$Q_2 = C_P (T_B - T_A) = C_P (T_0 - T_A) = -\frac{5}{2}R T_0 \left[\left(\frac{P_A}{P_0}\right)^{2/5} - 1\right]$$
• 焓變化 $\Delta H_2$： $$\Delta H_2 = C_P (T_0 - T_A) = -\frac{5}{2}R T_0 \left[\left(\frac{P_A}{P_0}\right)^{2/5} - 1\right]$$
• 內能變化 $\Delta U_2$： $$\Delta U_2 = C_V (T_0 - T_A) = -\frac{3}{2}R T_0 \left[\left(\frac{P_A}{P_0}\right)^{2/5} - 1\right]$$
• 功 $W_2$：

核心觀念

本題評量熱力學基本性質關係（Fundamental Property Relations）的推導與固體狀態性質的數值計算：

1. 熱容之定義： $$C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P$$ $$C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V$$
2. 熱膨脹係數（Volume Expansivity, $\beta$）與等溫壓縮率（Isothermal Compressibility, $\kappa$）： $$\beta = \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$$ $$\kappa = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T$$
3. 馬克士威關係式（Maxwell Relations）與微積分鏈鎖律（Chain Rule/Triple Product Rule）。

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解題方法與完整推導

(1) 推導 $C_P - C_V$ 為 $T$、$V$、$\beta$、$\kappa$ 的函數

步驟一：以熵變表示熱容差
選定熵 $S$ 為狀態函數，寫出 $S(T, V)$ 的全微分：

$$\mathrm{d}S = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V \mathrm{d}T + \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T \mathrm{d}V$$

兩邊同乘以 $T$：

$$T\mathrm{d}S = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V \mathrm{d}T + T\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T \mathrm{d}V = C_V \mathrm{d}T + T\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T \mathrm{d}V$$

在恆壓條件（$\mathrm{d}P = 0$）下對溫度 $T$ 取偏微分：

$$T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P = C_V + T\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$$

由於 $C_P = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P$，移項可得：

$$C_P - C_V = T\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$$

步驟二：引入馬克士威關係式
由亥姆霍茲自由能（Helmholtz Energy）基本關係式 $\mathrm{d}A = -S\mathrm{d}T - P\mathrm{d}V$，利用二次偏微分對稱性得 Maxwell 關係式：

$$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V$$

代入前式：

$$C_P - C_V = T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$$

步驟三：利用循環關係式（Triple Product Rule）轉換偏微分項
針對變數 $P, V, T$ 的狀態方程式，循環乘積關係為：

$$\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T = -1$$

因此：

$$\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = -\frac{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T}$$

代入 $C_P - C_V$ 的表示式：

$$C_P - C_V = -T \frac{\left[\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P\right]^2}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T}$$

步驟四：代入 $\beta$ 與 $\kappa$ 之定義
由定義：

核心觀念

本題探討雙成分汽液平衡（Vapor-Liquid Equilibrium, VLE）的相圖繪製與數學推導，涉及以下關鍵熱力學原理：

1. 拉午耳定律（Raoult's Law）：
   理想溶液且汽相符合理想氣體行為時，各成分之平衡分壓等於液相莫耳分率乘上該純成分在系統溫度下的飽和蒸氣壓： $$P_i = y_i P = x_i P_i^{\mathrm{sat}} \quad (i = 1, 2)$$
2. 飽和蒸氣壓與沸點的相對關係：
   在相同系統溫度 $T$ 下，純物質沸點（Boiling point, $T_{\mathrm{b}}$）愈低者，代表揮發性愈高，其飽和蒸氣壓愈大。題目給定 $T_{\mathrm{b}, 1} > T_{\mathrm{b}, 2}$，可知在恆溫 $T$ 下，成分 2 比成分 1 更具揮發性，即： $$P_2^{\mathrm{sat}} > P_1^{\mathrm{sat}}$$
3. 泡點線（Bubble-point Line）與露點線（Dew-point Line）方程式：
   • 泡點線描述系統總壓 $P$ 與液相組成 $x$ 的關係，為一條直線。
   • 露點線描述系統總壓 $P$ 與汽相組成 $y$ 的關係，為一條下凹的平滑曲線。

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解題方法與數學推導

本題要求繪製以「成分 2」之組成（$x_2$ 或 $y_2$）為橫軸的 $P\text{-}x_2$（恆溫相圖，即 $P\text{-}x_2\text{-}y_2$ 相圖），並推導對應的曲線方程式。

1. 泡點線（Bubble-point Curve / Liquid Line）方程式推導

泡點線為液體剛開始產生第一個氣泡時的狀態。
由道爾吞分壓定律（Dalton's Law）與拉午耳定律：

$$P = P_1 + P_2 = x_1 P_1^{\mathrm{sat}} + x_2 P_2^{\mathrm{sat}}$$

由於為雙成分系統，液相莫耳分率滿足 $x_1 + x_2 = 1$（即 $x_1 = 1 - x_2$），代入整理得：

$$P = (1 - x_2) P_1^{\mathrm{sat}} + x_2 P_2^{\mathrm{sat}}$$ $$P = P_1^{\mathrm{sat}} + (P_2^{\mathrm{sat}} - P_1^{\mathrm{sat}}) x_2$$

• 當 $x_2 = 0$（純成分 1）時，$P = P_1^{\mathrm{sat}}$。
• 當 $x_2 = 1$（純成分 2）時，$P = P_2^{\mathrm{sat}}$。
• 因 $P_2^{\mathrm{sat}} > P_1^{\mathrm{sat}}$，斜率 $(P_2^{\mathrm{sat}} - P_1^{\mathrm{sat}}) > 0$，此線為由左下往右上遞增的線性正斜率直線。

2. 露點線（Dew-point Curve / Vapor Line）方程式推導

露點線為蒸氣剛開始凝結出第一滴液體時的狀態。
由拉午耳定律表示液相組成：

$$x_1 = \frac{y_1 P}{P_1^{\mathrm{sat}}}, \quad x_2 = \frac{y_2 P}{P_2^{\mathrm{sat}}}$$

利用液相莫耳分率總和為 1 之性質（$x_1 + x_2 = 1$）：

$$\frac{y_1 P}{P_1^{\mathrm{sat}}} + \frac{y_2 P}{P_2^{\mathrm{sat}}} = 1$$

將汽相莫耳分率寫成 $y_1 = 1 - y_2$，並提出總壓 $P$：

$$P \left( \frac{1 - y_2}{P_1^{\mathrm{sat}}} + \frac{y_2}{P_2^{\mathrm{sat}}} \right) = 1$$

整理得總壓 $P$ 與汽相組成 $y_2$ 的關係式：

$$P = \frac{1}{\dfrac{1 - y_2}{P_1^{\mathrm{sat}}} + \dfrac{y_2}{P_2^{\mathrm{sat}}}} = \frac{P_1^{\mathrm{sat}} P_2^{\mathrm{sat}}}{P_2^{\mathrm{sat}} - (P_2^{\mathrm{sat}} - P_1^{\mathrm{sat}}) y_2}$$

• 當 $y_2 = 0$ 時，$P = P_1^{\mathrm{sat}}$。
• 當 $y_2 = 1$ 時，$P = P_2^{\mathrm{sat}}$。
• 對 $y_2$ 求二階導數可驗證其曲率 $\dfrac{\mathrm{d}^2 P}{\mathrm{d} y_2^2} > 0$，此曲線為一條連接 $P_1^{\mathrm{sat}}$ 與 $P_2^{\mathrm{sat}}$ 且位於泡點線下方的下凹曲線。

3. 相區分佈判斷

• 在較高壓力下，分子間距緊縮，系統處於過冷液體（Subcooled Liquid）區（位於泡點線上方）。
• 在較低壓力下，分子容易逸散，系統處於過熱蒸氣（Superheated Vapor）區（位於露點線下方）。
• 兩曲線之間為汽液共存兩相區（Vapor-Liquid Two-Phase Region, L + V）。

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解題技巧與易錯陷阱

1. 坐標軸定義陷阱：
   • 題目指定為 $P\text{-}x_2$ plot，橫軸必須以成分 2 為基準（即左端 $x_2=0$，右端 $x_2=1$）。
   • 沸點較高者揮發性較低（$T_{\mathrm{b}, 1} > T_{\mathrm{b}, 2} \implies P_1^{\mathrm{sat}} < P_2^{\mathrm{sat}}$）。若畫錯為左高右低，整題全錯。
2. 圖形細節規範：
   • 泡點線（$P\text{-}x_2$）在理想溶液中嚴格為直線。
   • 露點線（$P\text{-}y_2$）則為非線性曲線（在 $P\text{-}x$ 圖上往下凹）。

核心觀念

本題屬於古典熱力學中「狀態方程式與偏微分關係式」的基礎必考題，主要考察以下核心定義與數學法則：

1. 體積膨脹率（Volume Expansivity, $\beta$）：
   $\beta \equiv \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$
   衡量系統在定壓下，溫度改變對體積變化的相對影響。
2. 等溫壓縮率（Isothermal Compressibility, $\kappa$）：
   $\kappa \equiv -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T$
   衡量系統在定溫下，壓力改變對體積變化的相對影響（負號確保 $\kappa$ 在物理上為正值）。
3. 循環法則（Triple Product Rule / Cyclic Chain Rule）：
   對於任意由三個單值純態熱力學變數構成的狀態方程式 $f(P, V, T) = 0$，其偏微分滿足：
   $\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T = -1$
4. 倒數法則（Reciprocal Rule）：
   $\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P = \frac{1}{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P}$

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解題方法

本題推導通常有兩種標準切入途徑，考試時任選一種皆能完整拿分。以下提供最嚴謹、直觀的兩種推導方式：

方法一：全微分法（法線切入，最不易失誤）

1. 選定體積 $V$ 為溫度 $T$ 與壓力 $P$ 的函數，即 $V = V(T, P)$。
2. 寫出 $V$ 的全微分式（Total Differential）：
   $dV = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P dT + \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T dP$
3. 將定義式 $\beta \equiv \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$ 與 $\kappa \equiv -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T$ 代入上式：
   $\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P = V\beta$
   $\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T = -V\kappa$
   因此：
   $dV = V\beta\,dT - V\kappa\,dP$
4. 考慮定容過程（Isochoric process），即 $V = \text{const}$，故 $dV = 0$：
   $0 = V\beta (dT)_V - V\kappa (dP)_V$
5. 兩邊同除以 $V$ 並移項整理：
   $\kappa (dP)_V = \beta (dT)_V$
   $\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = \frac{\beta}{\kappa}$

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方法二：循環法則（微積分連鎖律，推導最短）

1. 根據純物質單相系統的狀態方程式 $f(P, V, T) = 0$，應用微積分的循環法則（Cyclic Relation）：
   $\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T = -1$

核心觀念

在定溫、定壓的二元混合物中，令 $x_2=1-x_1$，並定義無因次莫耳超額吉布斯能

$$f(x_1)=\frac{G^E}{RT}.$$

活度係數與超額吉布斯能的關係為

$$f=x_1\ln\gamma_1+x_2\ln\gamma_2.$$

此外，定溫、定壓下的吉布斯–杜亥姆方程為

$$x_1\,d\ln\gamma_1+x_2\,d\ln\gamma_2=0.$$

（1）推導無限稀釋活度係數

由超額吉布斯能的偏莫耳性質，可得

$$\ln\gamma_1=f+x_2\frac{df}{dx_1}.$$

當 $x_1\to0$ 時，混合物趨近純物質 2，因此 $f(0)=0$、$x_2\to1$，且 $\ln\gamma_1\to\ln\gamma_1^\infty$。代入上式：

$$\left.\frac{df}{dx_1}\right|_{x_1=0}=\ln\gamma_1^\infty.$$

因此，對 $G^E/(x_1x_2RT)$ 取極限：

$$\lim_{x_1\to0}\frac{G^E}{x_1x_2RT} = \lim_{x_1\to0}\frac{f(x_1)}{x_1(1-x_1)} = \frac{f'(0)}{1} = \ln\gamma_1^\infty.$$

核心觀念

本題考查超額性質與偏莫耳性質的關係、二元氣液平衡的泡點／露點曲線、吉布斯–杜亥姆方程，以及節流、渦輪與管流的基本判斷。第（1）題的圖是 $M^E$ 對 $x_1$，但敘述要求判斷 $V^E$；兩者是不同的性質，須依題目原文作答。

解題方法與選項分析

（1）錯。 題目給的是 $M^E$ 對 $x_1$，卻問是否必有一點滿足 $V^E=\bar V_1^E=\bar V_2^E$。$M^E$ 的圖形不能決定 $V^E$，因此此結論不成立。

若原題本意是問 $M^E=\bar M_1^E=\bar M_2^E$，則由二元混合物的偏莫耳性質關係：

$$\bar M_1^E=M^E+(1-x_1)\frac{dM^E}{dx_1}, \qquad \bar M_2^E=M^E-x_1\frac{dM^E}{dx_1}$$

在 $M^E$ 曲線的內部極值點，$\frac{dM^E}{dx_1}=0$，兩個偏莫耳超額性質都等於 $M^E$。但這不能把 $M^E$ 直接換成 $V^E$。

（2）對。 在固定溫度的二元氣液平衡 $P$–組成圖中，泡點線以液相組成 $x_i$ 為橫軸，露點線以氣相組成 $y_i$ 為橫軸；兩條曲線界定氣液兩相區。以相同的組成數值比較，泡點壓力曲線位於露點壓力曲線上方，兩者在純物質端點相接。

（3）對。 二元混合物的超額吉布斯能滿足：

$$\frac{G^E}{RT} =x_1\ln\gamma_1+x_2\ln\gamma_2$$

圖中 $\ln\gamma_1$ 與 $\ln\gamma_2$ 曲線相交。交點處令兩者皆為 $a$，則其加權平均也是 $a$：

$$\ln\gamma_1=\ln\gamma_2=a \quad\Longrightarrow\quad \frac{G^E}{RT}=x_1a+x_2a=a$$

所以該點確實滿足題述等式。

（4）對。 這是廣義的吉布斯–杜亥姆方程。混合物的莫耳性質 $M$ 改變時，組成變化項在偏莫耳性質的加權微分和中消去，因此：