112 年 國立成功大學環境工程學系碩士班丙組《微積分》

本題考查基本微分規則，包含三角函數、複合函數、定積分的微分以及反三角函數的微分。

(1) 對 $y = \sin x + \sqrt{\sin x}$ 求導。
我們需要使用連鎖律來微分 $\sqrt{\sin x}$。
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}((\sin x)^{1/2})$
$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$
$\frac{d}{dx}((\sin x)^{1/2}) = \frac{1}{2}(\sin x)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = \frac{1}{2\sqrt{\sin x}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$
所以，$\frac{dy}{dx} = \cos x + \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$。

(2) 對 $F(x) = \int_{0}^{x} \ln(t+1) dt$ 求導。

本題考查微分的計算。給定一個函數 $y=f(x)$，其微分 $dy$ 定義為 $dy = f'(x)dx$。

給定 $y = x\sqrt{1-x^2}$。
我們需要先計算 $y$ 對 $x$ 的導數 $\frac{dy}{dx}$。這裡需要使用乘法定律和連鎖律。
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x\sqrt{1-x^2})$
令 $u = x$，$v = \sqrt{1-x^2} = (1-x^2)^{1/2}$。
則 $\frac{du}{dx} = 1$。
對 $v$ 使用連鎖律：
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(1-x^2) = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$。

本題考查隱函數微分，用於求解曲線在特定點的斜率。

給定曲線方程為 $(x^2 + y^2)^2 = 4x^2y$。我們需要找到點 $(1, 1)$ 的斜率，即 $\frac{dy}{dx}$ 在 $(1, 1)$ 的值。
首先，我們將方程兩邊對 $x$ 進行微分，其中 $y$ 被視為 $x$ 的函數。
左邊的微分：
$\frac{d}{dx}((x^2 + y^2)^2) = 2(x^2 + y^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + y^2)$
$= 2(x^2 + y^2) \cdot (2x + 2y\frac{dy}{dx})$

右邊的微分，使用乘法定律：
$\frac{d}{dx}(4x^2y) = 4 \left( \frac{d}{dx}(x^2) \cdot y + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(y) \right)$
$= 4 \left( 2x \cdot y + x^2 \cdot \frac{dy}{dx} \right) = 8xy + 4x^2\frac{dy}{dx}$

將兩邊微分結果相等：
$2(x^2 + y^2) (2x + 2y\frac{dy}{dx}) = 8xy + 4x^2\frac{dy}{dx}$

展開左邊：
$4x(x^2 + y^2) + 4y(x^2 + y^2)\frac{dy}{dx} = 8xy + 4x^2\frac{dy}{dx}$

本題考查利用微積分求解距離最小值問題。我們需要最小化曲線 $y=\sqrt{x-8}$ 上的點到點 $(12, 0)$ 的距離。

設曲線 $y=\sqrt{x-8}$ 上的任意一點為 $P(x, y)$。該點到點 $Q(12, 0)$ 的距離 $d$ 為：
$d = \sqrt{(x-12)^2 + (y-0)^2}$
將 $y = \sqrt{x-8}$ 代入距離公式：
$d = \sqrt{(x-12)^2 + (\sqrt{x-8})^2}$
$d = \sqrt{(x-12)^2 + (x-8)}$

為了方便計算，我們最小化距離的平方 $d^2$。設 $D = d^2$。
$D(x) = (x-12)^2 + (x-8)$
$D(x) = x^2 - 24x + 144 + x - 8$
$D(x) = x^2 - 23x + 136$

曲線 $y=\sqrt{x-8}$ 的定義域是 $x-8 \ge 0$，即 $x \ge 8$。
我們需要找到函數 $D(x)$ 在區間 $[8, \infty)$ 上的最小值。
首先，我們計算 $D(x)$ 的導數：
$D'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 23x + 136) = 2x - 23$

令 $D'(x) = 0$ 來找到臨界點：
$2x - 23 = 0$
$2x = 23$
$x = \frac{23}{2} = 11.5$

本題考查函數的相對極值和反曲點的求解。這需要我們計算函數的一階和二階導數。

首先，我們需要確定函數的定義域。由於有 $\ln\frac{x}{4}$，所以 $\frac{x}{4} > 0$，即 $x > 0$。
函數為 $y = x^2 \ln\left(\frac{x}{4}\right)$。
為了方便計算，我們可以將其寫為 $y = x^2 (\ln x - \ln 4) = x^2 \ln x - x^2 \ln 4$。

計算一階導數 $\frac{dy}{dx}$：
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 \ln x - x^2 \ln 4)$
使用乘法定律對 $x^2 \ln x$ 求導：
$\frac{d}{dx}(x^2 \ln x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$
$\frac{d}{dx}(x^2 \ln 4) = 2x \ln 4$
所以，$\frac{dy}{dx} = 2x \ln x + x - 2x \ln 4 = 2x(\ln x - \ln 4) + x = 2x \ln\left(\frac{x}{4}\right) + x$。

尋找相對極值，令 $\frac{dy}{dx} = 0$：
$2x \ln\left(\frac{x}{4}\right) + x = 0$
由於定義域是 $x>0$，我們可以將方程兩邊同除以 $x$:
$2 \ln\left(\frac{x}{4}\right) + 1 = 0$
$2 \ln\left(\frac{x}{4}\right) = -1$
$\ln\left(\frac{x}{4}\right) = -\frac{1}{2}$
$\frac{x}{4} = e^{-1/2}$
$x = 4e^{-1/2} = \frac{4}{\sqrt{e}}$。

現在我們需要用二階導數檢驗來判斷這是極大值還是極小值。
計算二階導數 $\frac{d^2y}{dx^2}$：
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(2x \ln\left(\frac{x}{4}\right) + x\right)$
$= \frac{d}{dx}\left(2x (\ln x - \ln 4) + x\right)$
$= \frac{d}{dx}(2x \ln x - 2x \ln 4 + x)$
$= (2 \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x}) - 2 \ln 4 + 1$
$= 2 \ln x + 2 - 2 \ln 4 + 1$
$= 2 \ln x + 3 - 2 \ln 4$
$= 2 (\ln x - \ln 4) + 3$
$= 2 \ln\left(\frac{x}{4}\right) + 3$。

在臨界點 $x = \frac{4}{\sqrt{e}}$ 處計算二階導數：
$\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{x=\frac{4}{\sqrt{e}}} = 2 \ln\left(\frac{4/\sqrt{e}}{4}\right) + 3$
$= 2 \ln\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) + 3$
$= 2 \ln(e^{-1/2}) + 3$
$= 2 \left(-\frac{1}{2}\right) + 3$
$= -1 + 3 = 2$。

由於二階導數為正 ($2 > 0$)，所以 $x = \frac{4}{\sqrt{e}}$ 處有一個相對極小值。
此時的 $y$ 值為：

本題考查利用圓盤法 (disk method) 或圓環法 (washer method) 計算旋轉體體積。由於曲線 $y=e^{x/4}$ 在 $x \in [0, 6]$ 區間內恆大於或等於 $y=0$ (x-軸)，且沒有空隙，我們可以使用圓盤法。

旋轉體體積 $V$ 的計算公式為：
$V = \int_{a}^{b} \pi [R(x)]^2 dx$
其中 $R(x)$ 是旋轉軸到曲線的徑向距離。在本題中，旋轉軸是 x-軸 ($y=0$)，所以 $R(x) = y = e^{x/4}$。
積分區間為 $a=0$ 到 $b=6$。

將這些值代入公式：
$V = \int_{0}^{6} \pi (e^{x/4})^2 dx$
$V = \int_{0}^{6} \pi e^{2(x/4)} dx$

本題考查曲線弧長 (arc length) 的計算。弧長公式為 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$。

首先，我們需要計算函數 $y=31-10(e^{x/20}+e^{-x/20})$ 的導數 $\frac{dy}{dx}$。
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(31) - 10 \frac{d}{dx}(e^{x/20}+e^{-x/20})$
$\frac{dy}{dx} = 0 - 10 \left( \frac{1}{20}e^{x/20} + (-\frac{1}{20})e^{-x/20} \right)$
$\frac{dy}{dx} = -10 \cdot \frac{1}{20} (e^{x/20} - e^{-x/20})$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} (e^{x/20} - e^{-x/20})$。

接下來，我們計算 $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$：
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(-\frac{1}{2} (e^{x/20} - e^{-x/20})\right)^2$
$= \frac{1}{4} (e^{x/20} - e^{-x/20})^2$
$= \frac{1}{4} ((e^{x/20})^2 - 2 e^{x/20} e^{-x/20} + (e^{-x/20})^2)$
$= \frac{1}{4} (e^{2x/20} - 2 e^0 + e^{-2x/20})$
$= \frac{1}{4} (e^{x/10} - 2 + e^{-x/10})$。

現在，我們計算 $1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$：
$1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} (e^{x/10} - 2 + e^{-x/10})$
$= 1 + \frac{1}{4}e^{x/10} - \frac{2}{4} + \frac{1}{4}e^{-x/10}$
$= 1 + \frac{1}{4}e^{x/10} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}e^{-x/10}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{4}e^{x/10} + \frac{1}{4}e^{-x/10}$
$= \frac{1}{4} (2 + e^{x/10} + e^{-x/10})$
$= \frac{1}{4} (e^{x/10} + 2e^{x/10}e^{-x/10} + e^{-x/10})$
$= \frac{1}{4} (e^{x/20} + e^{-x/20})^2$。

注意：這裡的代數化簡利用了 $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ 的形式。
令 $a = e^{x/20}$ 且 $b = e^{-x/20}$。
則 $a^2 = e^{2x/20} = e^{x/10}$， $b^2 = e^{-2x/20} = e^{-x/10}$， $2ab = 2 e^{x/20} e^{-x/20} = 2e^0 = 2$。
所以 $e^{x/10} + 2 + e^{-x/10} = (e^{x/20} + e^{-x/20})^2$。

現在計算 $\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$：

本題考查各種積分技巧，包括分部積分法、三角代換、反三角函數積分、三角函數積化和差以及基本冪函數積分。

(1) $\int x^3 \ln x dx$
這是分部積分法的應用。令 $u = \ln x$，$dv = x^3 dx$。
則 $du = \frac{1}{x} dx$， $v = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4}$。
根據分部積分公式 $\int u dv = uv - \int v du$：
$\int x^3 \ln x dx = (\ln x) \left(\frac{x^4}{4}\right) - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} dx$
$= \frac{x^4}{4} \ln x - \int \frac{x^3}{4} dx$
$= \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{1}{4} \int x^3 dx$
$= \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{1}{4} \left(\frac{x^4}{4}\right) + C$
$= \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C$
$= \frac{x^4}{16} (4 \ln x - 1) + C$。

(2) $\int_{0}^{3/5} \frac{3}{\sqrt{9-25x^2}} dx$
這個積分可以通過三角代換或識別出反三角函數的形式來解決。
首先，將被積函數整理成 $\frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}}$ 的形式。
$\frac{3}{\sqrt{9-25x^2}} = \frac{3}{\sqrt{9(1 - \frac{25}{9}x^2)}} = \frac{3}{3\sqrt{1 - (\frac{5}{3}x)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{5}{3}x)^2}}$。
令 $u = \frac{5}{3}x$，則 $du = \frac{5}{3} dx$，所以 $dx = \frac{3}{5} du$。
當 $x=0$ 時，$u = \frac{5}{3}(0) = 0$。
當 $x=3/5$ 時，$u = \frac{5}{3}(\frac{3}{5}) = 1$。
積分變為：
$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \left(\frac{3}{5} du\right) = \frac{3}{5} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du$
我們知道 $\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du = \arcsin u$。
所以，$\frac{3}{5} [\arcsin u]_{0}^{1} = \frac{3}{5} (\arcsin 1 - \arcsin 0)$
$= \frac{3}{5} \left(\frac{\pi}{2} - 0\right) = \frac{3\pi}{10}$。

(3) $\int_{1}^{5} \frac{1}{\sqrt{2x-1}} dx$
這是一個基本積分。令 $u = 2x-1$，則 $du = 2 dx$，所以 $dx = \frac{1}{2} du$。