109 年 國立成功大學環境工程學系碩士班丙組《微積分》

核心觀念

本題考查：

1. 臨界數（critical numbers）：若函數 $g$ 在定義域內的點 $c$ 滿足

   $g'(c)=0$

   或 $g'(c)$ 不存在，則 $c$ 為臨界數。

2. 第一導數判別法（First Derivative Test）：

   • $g'$ 由正變負：$g$ 在該點有相對極大值。
   • $g'$ 由負變正：$g$ 在該點有相對極小值。

本題函數為

$$g(x)=\sin\left(\frac{3\pi x}{2}-1\right),\qquad x\in[0,4].$$

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解題方法

一、求導數

利用鏈鎖律：

$$g'(x)=\cos\left(\frac{3\pi x}{2}-1\right)\cdot\frac{3\pi}{2}.$$

因此

$$g'(x)=\frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{3\pi x}{2}-1\right).$$

因為三角函數對所有實數皆有定義，所以 $g'(x)$ 在整個 $[0,4]$ 上都存在。臨界數只需解 $g'(x)=0$。

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二、求臨界數

令

$$\frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{3\pi x}{2}-1\right)=0.$$

由於 $\frac{3\pi}{2}\neq 0$，所以

$$\cos\left(\frac{3\pi x}{2}-1\right)=0.$$

當 $\cos\theta=0$ 時，

$$\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

因此

$$\frac{3\pi x}{2}-1=\frac{\pi}{2}+k\pi.$$

解得

$$\frac{3\pi x}{2}=1+\frac{\pi}{2}+k\pi,$$ $$x=\frac{2}{3\pi}+\frac{1}{3}+\frac{2k}{3}.$$

也就是

$$x=\frac{1}{3}+\frac{2}{3\pi}+\frac{2k}{3}.$$

再限制 $x\in[0,4]$。符合條件的整數為

$$k=0,1,2,3,4,5.$$

所以臨界數為

$$\boxed{ \frac{1}{3}+\frac{2}{3\pi},\ 1+\frac{2}{3\pi},\ \frac{5}{3}+\frac{2}{3\pi},\ \frac{7}{3}+\frac{2}{3\pi},\ 3+\frac{2}{3\pi},\ \frac{11}{3}+\frac{2}{3\pi} }.$$

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三、使用第一導數判別法

由

$$g'(x)=\frac{3\pi}{2}\cos\left(\frac{3\pi x}{2}-1\right),$$

且 $\frac{3\pi}{2}>0$，所以 $g'(x)$ 的正負完全由餘弦函數決定。

在 $x=0$ 時，

$$\frac{3\pi(0)}{2}-1=-1,$$

而 $\cos(-1)>0$，故在第一個臨界數之前，$g'(x)>0$。

由於每個相鄰臨界數會使餘弦函數的符號交替變化，因此符號如下：

臨界數	$g'$ 符號變化	判定
$\displaystyle \frac13+\frac{2}{3\pi}$	$+\to-$	相對極大值
$\displaystyle 1+\frac{2}{3\pi}$	$-\to+$	相對極小值

核心觀念

本題利用圓的對稱性，以右側水平臂的兩個頂點 $P,Q$ 進行分析。由圖可知：

• $OP=OQ=r$；
• $\angle POQ=\theta$，因此 $OR$ 平分此角；
• 水平臂的長度為 $2x$、寬度為 $h$；
• 由直角三角形可得
  $x=r\cos\frac{\theta}{2},\qquad h=2r\sin\frac{\theta}{2}.$

十字形面積可視為兩個矩形面積減去中央重複計算的正方形面積。

解題方法

水平矩形與垂直矩形各自面積為 $2xh$，中央重疊區域面積為 $h^2$，所以

$$A=2xh+2xh-h^2=4xh-h^2.$$

代入 $x=r\cos\frac{\theta}{2}$ 與 $h=2r\sin\frac{\theta}{2}$：

$$\begin{aligned} A(\theta) &=4\left(r\cos\frac{\theta}{2}\right) \left(2r\sin\frac{\theta}{2}\right) -\left(2r\sin\frac{\theta}{2}\right)^2\\ &=8r^2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} -4r^2\sin^2\frac{\theta}{2}. \end{aligned}$$

利用倍角公式：

此題考查函數的冪級數展開及其收斂區間。通常將複雜的有理函數分解為部分分式，再利用幾何級數的公式展開。

核心觀念：

1. 冪級數 (Power Series)：形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$ 的級數，其中 $c$ 是中心點。
2. 幾何級數 (Geometric Series)：$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}$，當 $|r|<1$ 時收斂。
3. 部分分式分解 (Partial Fraction Decomposition)：將一個有理函數分解為幾個較簡單有理函數的和。
4. 收斂區間 (Interval of Convergence)：冪級數收斂的 $x$ 值範圍。

解題步驟：

1. 分解分母：
   首先，我們需要分解函數 $g(x)$ 的分母 $3x^2+5x-2$。
   尋找滿足 $3x^2+5x-2 = 0$ 的根。
   使用二次公式：$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25+24}}{6} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{-5 \pm 7}{6}$。
   兩個根是 $x_1 = \frac{-5+7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 和 $x_2 = \frac{-5-7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$。
   所以，分母可以因式分解為 $3(x - 1/3)(x - (-2)) = (3x-1)(x+2)$。

2. 進行部分分式分解：
   令 $g(x) = \frac{3x-8}{(3x-1)(x+2)} = \frac{A}{3x-1} + \frac{B}{x+2}$。
   將右式通分：$\frac{A(x+2) + B(3x-1)}{(3x-1)(x+2)}$。
   比較分子：$3x-8 = A(x+2) + B(3x-1)$。
   令 $x = 1/3$：$3(1/3)-8 = A(1/3+2) + B(0) \implies 1-8 = A(7/3) \implies -7 = \frac{7}{3}A \implies A = -3$。
   令 $x = -2$：$3(-2)-8 = A(0) + B(3(-2)-1) \implies -6-8 = B(-6-1) \implies -14 = -7B \implies B = 2$。
   所以，$g(x) = \frac{-3}{3x-1} + \frac{2}{x+2}$。

3. 將各項轉換為幾何級數形式：
   我們需要將 $g(x)$ 的每一項轉換成 $\frac{a}{1-r}$ 的形式，以便使用幾何級數公式 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$。中心點是 $c=0$，所以我們尋找 $x$ 的冪級數。

   第一項：$\frac{-3}{3x-1} = \frac{-3}{-(1-3x)} = \frac{3}{1-3x}$。
   這符合 $\frac{a}{1-r}$ 的形式，其中 $a=3$ 且 $r=3x$。
   所以，$\frac{3}{1-3x} = 3 \sum_{n=0}^{\infty} (3x)^n = 3 \sum_{n=0}^{\infty} 3^n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} 3^{n+1} x^n$。
   此級數收斂當 $|3x| < 1$，即 $|x| < 1/3$。

   第二項：$\frac{2}{x+2} = \frac{2}{2+x} = \frac{2}{2(1+x/2)} = \frac{1}{1+x/2} = \frac{1}{1-(-x/2)}$。

此題考查曲線的弧長計算。需要利用弧長公式，並進行積分。

核心觀念：

1. 弧長公式 (Arc Length Formula)：
   對於函數 $y=f(x)$ 在區間 $[a, b]$ 上的弧長 $L$ 為：
   $L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$

解題步驟：

1. 求導函數 $\frac{dy}{dx}$：
   給定函數 $y = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2x}$。
   首先將 $y$ 寫成方便微分的形式：$y = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^{-1}$。
   對 $y$ 關於 $x$ 求導：
   $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^{-1}\right)$
   $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{6}(3x^2) + \frac{1}{2}(-1x^{-2})$
   $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^{-2}$
   $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2x^2}$

2. 計算 $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$：
   $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2x^2}\right)^2$
   展開這個平方：
   $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{x^2}{2}\right)^2 - 2 \left(\frac{x^2}{2}\right) \left(\frac{1}{2x^2}\right) + \left(\frac{1}{2x^2}\right)^2$
   $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{x^4}{4} - 2 \left(\frac{x^2}{4x^2}\right) + \frac{1}{4x^4}$
   $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^4}$

3. 計算 $1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$：
   $1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 + \left(\frac{x^4}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^4}\right)$
   $1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{x^4}{4} + \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{4x^4}$
   $1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{x^4}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^4}$

此題考查微分方程的建立與求解。題目描述了變數 $y$ 相對於變數 $t$ 的變化率與一個特定表達式之間的關係。

核心觀念：

1. 變化率的數學表達：一個量隨另一個量變化的速率，通常用導數表示。
2. 比例關係：若一個量與另一個量成比例，表示它們之間存在一個常數的乘積關係。
3. 可分離變數的微分方程：形如 $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ 的微分方程，可以通過分離變數來求解。

解題步驟：

1. 建立微分方程：
   題目中提到「y 相對於 t 的變化率」。這表示為 $\frac{dy}{dt}$。
   「與 $50-t$ 成比例」表示 $\frac{dy}{dt}$ 等於一個常數乘以 $(50-t)$。
   設比例常數為 $k$。
   則微分方程為：$\frac{dy}{dt} = k(50-t)$。

2. 求解微分方程：
   這是一個可分離變數的微分方程（儘管在這裡變數 $y$ 並沒有直接出現在右側）。我們可以通過對兩邊積分來求解。
   將方程兩邊對 $t$ 積分：
   $\int \frac{dy}{dt} dt = \int k(50-t) dt$
   左邊積分得到 $y(t)$ (加上一個積分常數)。
   右邊積分：
   $\int k(50-t) dt = k \int (50-t) dt$
   $= k \left( 50t - \frac{t^2}{2} \right) + C$
   其中 $C$ 是積分常數。

   所以，函數 $y(t)$ 的通解為：
   $y(t) = 50kt - \frac{1}{2}kt^2 + C$

此題考查齊次微分方程的求解。齊次微分方程通常可以通過代換 $y=vx$ 或 $x=vy$ 來轉化為可分離變數的方程。

核心觀念：

1. 齊次微分方程 (Homogeneous Differential Equation)：形如 $\frac{dy}{dx} = F(y/x)$ 的方程。
2. 代換法：通過令 $y=vx$ (或 $x=vy$)，並利用 $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ 來轉化方程。

解題步驟：

1. 判斷方程是否為齊次方程：
   給定的方程是 $(2x+3y)dx - xdy = 0$。
   我們可以將其改寫為 $\frac{dy}{dx}$ 的形式：
   $xdy = (2x+3y)dx$
   $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+3y}{x}$
   $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x} + \frac{3y}{x}$
   $\frac{dy}{dx} = 2 + 3\left(\frac{y}{x}\right)$
   由於方程可以寫成 $\frac{dy}{dx} = F(y/x)$ 的形式，所以它是一個齊次微分方程。

2. 進行代換：
   令 $y = vx$，其中 $v$ 是 $x$ 的函數。
   對 $y$ 求導：$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(vx) = v \cdot 1 + x \cdot \frac{dv}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$。

3. 代入原方程：
   將 $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ 和 $y=vx$ 代入 $\frac{dy}{dx} = 2 + 3\left(\frac{y}{x}\right)$：
   $v + x\frac{dv}{dx} = 2 + 3\left(\frac{vx}{x}\right)$
   $v + x\frac{dv}{dx} = 2 + 3v$

4. 分離變數：
   將方程整理，分離 $v$ 和 $x$ 的變數：
   $x\frac{dv}{dx} = 2 + 3v - v$
   $x\frac{dv}{dx} = 2 + 2v$
   $x\frac{dv}{dx} = 2(1+v)$
   將含有 $v$ 的項移到一邊，含有 $x$ 的項移到另一邊：

核心觀念

本題考查：

• 代換積分法
• 部分分式分解
• 含根式函數的三角代換
• $\displaystyle \int \sec^n\theta\,d\theta$ 的降冪公式
• 二重積分、三重積分的逐次積分
• 非初等積分與特殊函數 $\operatorname{erfi}$

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(1) $\displaystyle \int \frac{\sin x}{7+\cos x}\,dx$

解題方法

分母為 $7+\cos x$，其微分為 $-\sin x$，適合令

$$u=7+\cos x,\qquad du=-\sin x\,dx.$$

因此

$$\int \frac{\sin x}{7+\cos x}\,dx =-\int \frac{1}{u}\,du =-\ln|u|+C.$$

代回 $u$：

$$\boxed{\int \frac{\sin x}{7+\cos x}\,dx=-\ln|7+\cos x|+C}$$

因為 $7+\cos x\geq 6>0$，也可寫成 $-\ln(7+\cos x)+C$。

解題技巧

看到「分子接近分母微分」時，優先嘗試代換分母。

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(2) $\displaystyle \int \frac{x^2}{9-x^3}\,dx$

解題方法

分母 $9-x^3$ 的微分為 $-3x^2$，令

$$u=9-x^3,\qquad du=-3x^2\,dx.$$

所以

$$x^2\,dx=-\frac13\,du.$$

原積分化為

$$\int \frac{x^2}{9-x^3}\,dx =-\frac13\int \frac1u\,du =-\frac13\ln|u|+C.$$

代回得

$$\boxed{\int \frac{x^2}{9-x^3}\,dx =-\frac13\ln|9-x^3|+C}$$

快速驗算

$$\frac{d}{dx}\left[-\frac13\ln|9-x^3|\right] =-\frac13\cdot\frac{-3x^2}{9-x^3} =\frac{x^2}{9-x^3}.$$

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(3) $\displaystyle \int \frac{1}{9-x^2}\,dx$

核心觀念

這是標準型

$$\int\frac{dx}{a^2-x^2} =\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C.$$

此處 $a=3$。

解題方法：部分分式分解

先分解：

$$\frac{1}{9-x^2} =\frac{1}{(3-x)(3+x)} =\frac16\left(\frac1{3-x}+\frac1{3+x}\right).$$

因此

$$\begin{aligned} \int\frac{1}{9-x^2}\,dx &=\frac16\int\left(\frac1{3-x}+\frac1{3+x}\right)\,dx\\ &=\frac16\left[-\ln|3-x|+\ln|3+x|\right]+C. \end{aligned}$$

整理得

$$\boxed{ \int\frac{1}{9-x^2}\,dx =\frac16\ln\left|\frac{3+x}{3-x}\right|+C }$$

解題技巧

分母是 $a^2-x^2$ 時，直接套用對數公式最快；若不熟公式，使用部分分式分解即可。

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(4) $\displaystyle \int\sqrt{x^2-16}\,dx$

核心觀念

根式為 $\sqrt{x^2-a^2}$，使用三角代換

$$x=4\sec\theta.$$

則

$$dx=4\sec\theta\tan\theta\,d\theta,$$

且

$$\sqrt{x^2-16} =\sqrt{16\sec^2\theta-16} =4\tan\theta.$$

解題方法

代入原積分：

$$\begin{aligned} \int\sqrt{x^2-16}\,dx &=\int (4\tan\theta)(4\sec\theta\tan\theta)\,d\theta\\ &=16\int \sec\theta\tan^2\theta\,d\theta\\ &=16\int\sec\theta(\sec^2\theta-1)\,d\theta\\ &=16\int\sec^3\theta\,d\theta -16\int\sec\theta\,d\theta. \end{aligned}$$

使用公式

$$\int\sec^3\theta\,d\theta =\frac12\left(\sec\theta\tan\theta +\ln|\sec\theta+\tan\theta|\right),$$

以及

$$\int\sec\theta\,d\theta =\ln|\sec\theta+\tan\theta|.$$

可得

$$\int\sqrt{x^2-16}\,dx =8\sec\theta\tan\theta -8\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C.$$

由

$$\sec\theta=\frac{x}{4},\qquad \tan\theta=\frac{\sqrt{x^2-16}}{4},$$

所以

$$8\sec\theta\tan\theta =\frac{x}{2}\sqrt{x^2-16}.$$

又因

$$\sec\theta+\tan\theta =\frac{x+\sqrt{x^2-16}}{4},$$

常數因子 $4$ 可併入積分常數，故

$$\boxed{ \int\sqrt{x^2-16}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-16} -8\ln\left|x+\sqrt{x^2-16}\right|+C }$$

解題技巧

常見根式型態：

$$\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow x=a\sin\theta,$$ $$\sqrt{x^2+a^2}\Rightarrow x=a\tan\theta,$$ $$\sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow x=a\sec\theta.$$

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(5) $\displaystyle \int (u^2\pm a^2)^{3/2}\,du$

本小題須分別處理加號與減號兩種情形。

(5a) $\displaystyle \int (u^2+a^2)^{3/2}\,du$

令

$$u=a\tan\theta,$$

則

$$du=a\sec^2\theta\,d\theta, \qquad (u^2+a^2)^{3/2}=a^3\sec^3\theta.$$

因此

$$\int (u^2+a^2)^{3/2}\,du =a^4\int\sec^5\theta\,d\theta.$$

利用降冪公式：