109 年 國立成功大學資源工程學系碩士班乙組《材料科學導論》

本題主要考驗對相圖的判讀能力，以及相律與熱力學在材料科學中的應用。

核心觀念： 相圖（Phase Diagram）、相律（Phase Rule）、熱力學（Thermodynamics）、固態相變（Solid-state transformation）。

(a) 各溫度下的相：
根據圖 1（KAISi$_3$O$_8$-NaAlSi$_3$O$_8$ 相圖），給定的組成是 Ab$_{38}$Or$_{62}$，這代表 NaAlSi$_3$O$_8$（Albite, Ab）的比例為 38 mol% 而 KAlSi$_3$O$_8$（Orthoclase, Or）的比例為 62 mol%。我們在相圖的水平軸上找到此組成，然後觀察在不同溫度下，此組成所對應的相。

• 1200°C： 在 1200°C 時，此組成落在「liquid」區域。因此，此時存在的相是液相（liquid）。
• 800°C： 在 800°C 時，此組成落在「single feldspar」區域。因此，此時存在的相是單一長石相（single feldspar）。
• 450°C： 在 450°C 時，此組成落在「two feldspars」區域。因此，此時存在的相是兩種長石相（two feldspars）。

【答案】1200°C：液相 (liquid)；800°C：單一長石相 (single feldspar)；450°C：兩種長石相 (two feldspars)。

(b) 各溫度下的相相對量：
我們利用槓桿定律（Lever Rule）來計算各溫度下的相相對量。給定的組成是 Ab$_{38}$Or$_{62}$。

• 1200°C (液相)： 在 1200°C，整個系統都是液相，所以液相的比例是 100%。
• 800°C (單一長石相)： 在 800°C，系統是一個均勻的單一長石固溶體。因此，單一長石相的比例是 100%。
• 450°C (兩種長石相)： 在 450°C，系統處於「two feldspars」區域。此時，系統會發生固態相變，形成兩種長石。我們需要找到在 450°C 時，與 Ab$_{38}$Or$_{62}$ 組成相平衡的兩個長石相的組成。從圖中可以看出，在 450°C 左右，"two feldspars" 區域的兩側邊界大致落在 Or rich 和 Ab rich 的區域。更精確地說，在這個溫度下，存在一個 Eutectic 或 Eutectoid 點（雖然圖中未明確標示，但 "two feldspars" 區域的下限通常是類似的）。假設在此溫度下，與 Ab$_{38}$Or$_{62}$ 相平衡的兩種長石分別為組成 X（富 Or）和組成 Y（富 Ab）。根據槓桿定律，若以 Ab 的比例計算，則：
  $\text{Amount of Y} = \frac{\text{Composition of sample} - \text{Composition of X}}{\text{Composition of Y} - \text{Composition of X}}$
  $\text{Amount of X} = \frac{\text{Composition of Y} - \text{Composition of sample}}{\text{Composition of Y} - \text{Composition of X}}$
  觀察相圖，"two feldspars" 區域的範圍大致從 Or 端延伸到 Ab 端。在 450°C 時，Ab$_{38}$Or$_{62}$ 這個組成會與兩相長石平衡。由於圖中沒有明確標示 450°C 時兩相長石的精確組成，但我們可以從圖的趨勢推斷。在 "two feldspars" 區域，這兩種長石分別是富 K 的長石（K-feldspar, Or-rich）和富 Na 的長石（Na-feldspar, Ab-rich）。
  讓我們假設在 450°C 時，兩相長石的組成約為 Or$_{x_1}$Ab$_{1-x_1}$ 和 Or$_{x_2}$Ab$_{1-x_2}$，其中 $x_1$ 較大（富 Or）且 $x_2$ 較小（富 Ab）。
  但更簡單的判讀方式是，觀察 450°C 時，Ab$_{38}$Or$_{62}$ 的位置。它會與兩條曲線（或一個區域的邊界）相交，這兩條曲線代表兩相平衡的組成。由於圖中沒有精確標示，我們只能大致判斷。
  注意： 在此溫度下，"two feldspars" 區域的邊界代表固溶體分解的溫度。在 450°C，此組成會與兩種長石相平衡。若我們將組成 Ab$_{38}$Or$_{62}$ 的位置畫在圖上，它會落在 "two feldspars" 區域內。此時，我們需要利用槓桿定律，找出與該點相平衡的兩相組成。
  從圖中可以看出，"two feldspars" 區域的下限（或稱 Eutectoid line）大致在 450°C 附近。當組成是 Ab$_{38}$Or$_{62}$ 時，它會與兩種長石相平衡。我們需要利用槓桿臂來計算比例。
  假設在 450°C 時，相圖的邊界（代表兩相平衡）分別對應到 Or$_{x_a}$Ab$_{1-x_a}$ 和 Or$_{x_b}$Ab$_{1-x_b}$，且 $x_a$ > 0.62 > $x_b$ (或以 Ab 比例計算，則 Ab$_{c_a}$Or$_{1-c_a}$ 和 Ab$_{c_b}$Or$_{1-c_b}$，其中 $c_b$ > 0.38 > $c_a$）。
  更正與精確判讀： 此題的相圖顯示的是一個固溶體（single feldspar）在低溫下分解成兩種獨立長石相（two feldspars）的過程。這個分解溫度（Eutectoid temperature）在此圖中大約在 450°C 左右。當溫度低於此分解溫度時，原本的單一長石會分解。
  對於組成 Ab$_{38}$Or$_{62}$，在 450°C 時，它會落在 "two feldspars" 區域。這個區域代表兩種長石的共存。我們需要找到在這個溫度下，與 Ab$_{38}$Or$_{62}$ 相平衡的兩種長石的組成。
  從圖中 "two feldspars" 區域的形狀，我們可以推斷，它大致是一個區間。在這個區間內，兩個端點的組成會與中間的組成形成平衡。
  假設圖中的 450°C 是一個 Eutectoid 溫度，那麼在這個溫度下，單一長石分解成兩種長石。
  但更常見的長石相圖顯示，K-feldspar 和 Na-feldspar 之間存在一個固溶度極限，在高溫下形成連續固溶體，而在低溫下則會分離。
  仔細觀察圖 1，800°C 時是 single feldspar，450°C 時是 two feldspars。這表示存在一個分解溫度（eutectoid point）在 800°C 和 450°C 之間。
  在 450°C 時，Ab$_{38}$Or$_{62}$ 落在 "two feldspars" 區域，代表它已經分解。
  利用槓桿定律： 我們需要在 450°C 時，找出與 Ab$_{38}$Or$_{62}$ 相平衡的兩相長石的組成。
  從圖中，"two feldspars" 區域的左邊界（富 Or 端）和右邊界（富 Ab 端）的組成。
  假設在 450°C 時，左邊界組成約為 Or$_{~80}$Ab$_{~20}$，右邊界組成約為 Or$_{~10}$Ab$_{~90}$。
  則以 Ab 比例計算：
  樣本組成：Ab$_{38}$Or$_{62}$
  左邊界組成 (富 Or)：Ab$_{20}$Or$_{80}$
  右邊界組成 (富 Ab)：Ab$_{90}$Or$_{10}$
  相平衡組成：
  富 Or 相 (X) 的組成大約是 Ab$_{20}$Or$_{80}$。
  富 Ab 相 (Y) 的組成大約是 Ab$_{90}$Or$_{10}$。
  槓桿定律：

核心觀念

Fe$_3$O$_4$ 的氧離子採面心立方（FCC）堆積。以一個 FCC 慣用晶胞計算：

• 氧離子位於立方體八個角落與六個面心。
• 四面體間隙（tetrahedral interstice）位於晶胞內的八個 $\left(\frac14,\frac14,\frac14\right)$ 型位置。
• 八面體間隙（octahedral interstice）位於體心與各邊中點。

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解題方法

（a）四面體與八面體間隙的位置

令晶胞邊長為 $a$，以分數座標表示位置。

四面體間隙

四面體間隙位於：

$$\left(\frac14,\frac14,\frac14\right)$$

及其對稱等價位置，共 8 個：

$$\begin{aligned} &\left(\frac14,\frac14,\frac14\right),\ \left(\frac14,\frac14,\frac34\right),\ \left(\frac14,\frac34,\frac14\right),\ \left(\frac34,\frac14,\frac14\right),\\ &\left(\frac14,\frac34,\frac34\right),\ \left(\frac34,\frac14,\frac34\right),\ \left(\frac34,\frac34,\frac14\right),\ \left(\frac34,\frac34,\frac34\right) \end{aligned}$$

這些位置可視為晶胞內部八個小立方區域的中心。

八面體間隙

八面體間隙包括：

1. 晶胞體心：

$$\left(\frac12,\frac12,\frac12\right)$$

2. 十二條邊的中點，例如：

$$\left(\frac12,0,0\right),\quad \left(0,\frac12,0\right),\quad \left(0,0,\frac12\right)$$

以及其餘對稱等價位置。

因此，圖示時可將：

• 四面體間隙畫在 $\frac14$ 或 $\frac34$ 分數座標的晶胞內部；
• 八面體間隙畫在體心及十二條邊的中點。

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（b）晶胞中的數目計算

氧離子數目

FCC 晶胞中的氧離子數為：

$$N_{\mathrm O} =8\left(\frac18\right)+6\left(\frac12\right) =1+3=4$$

核心觀念

本題考查液相凝固時的均勻成核（homogeneous nucleation）。新生固相晶核同時產生：

1. 固液界面，增加界面自由能；
2. 液相轉變為固相，降低體積自由能。

晶核半徑太小時，界面能占優勢而不穩定；半徑達到臨界值後，體積自由能降低效果占優勢，晶核即可自發長大。

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解題方法與自由能推導

假設形成半徑為 $r$ 的球形固相晶核，固液界面能為 $\gamma_{sl}$，單位體積凝固自由能變化為 $\Delta G_v$。在凝固溫度低於熔點時：

$$\Delta G_v=G_s-G_l<0$$

球形晶核的總自由能變化為

$$\Delta G(r) = 4\pi r^2\gamma_{sl} + \frac{4}{3}\pi r^3\Delta G_v$$

其中：

• $4\pi r^2\gamma_{sl}$：形成固液界面所增加的界面自由能；
• $\frac{4}{3}\pi r^3\Delta G_v$：液相轉變為固相所造成的體積自由能變化。

因為 $\Delta G_v<0$，第二項會降低總自由能。

臨界晶核尺寸由自由能曲線的最大值決定，因此令

$$\frac{d\Delta G}{dr}=0$$

得到

$$8\pi r\gamma_{sl} + 4\pi r^2\Delta G_v =0$$

整理得臨界半徑：

$$r^* = -\frac{2\gamma_{sl}}{\Delta G_v} = \frac{2\gamma_{sl}}{|\Delta G_v|}$$

因此：

• $r<r^*$：晶核會溶解或重新回到液相；
• $r=r^*$：處於臨界狀態；
• $r>r^*$：晶核可持續長大形成固相。

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臨界晶核數目

若以單一原子或分子所占體積 $v_a$ 表示，臨界晶核中的原子數為

$$n^* = \frac{\frac{4}{3}\pi (r^*)^3}{v_a}$$

代入 $r^*=2\gamma_{sl}/|\Delta G_v|$：

$$n^* = \frac{32\pi\gamma_{sl}^3} {3v_a|\Delta G_v|^3}$$

若題目所稱的「critical nuclei size」以尺寸表示，答案為 $r^*$；若以原子數表示，則使用上述 $n^*$。

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成核活化能

將臨界半徑代回自由能變化式：

$$\Delta G^* = 4\pi (r^*)^2\gamma_{sl} + \frac{4}{3}\pi (r^*)^3\Delta G_v$$

可得均勻成核的活化自由能：

本題考驗對晶體學中空間群符號的理解，以及如何從符號中解析出晶體系統、布拉維晶格、對稱元素和方向。

核心觀念： 空間群 (Space Group)、晶體系統 (Crystal System)、布拉維晶格 (Bravais Lattice)、對稱元素 (Symmetry Elements)、對稱方向 (Symmetry Directions)、國際符號 (International Symbol)。

空間群符號 P2/b 2$_1$/c 2$_1$/m 是一個國際符號（International Symbol），用於描述晶體結構的完整對稱性。這個符號由幾部分組成，分別代表了不同軸向上的對稱操作。

符號解析：

1. P (Primitive): 位於符號的第一個字母，代表布拉維晶格類型。'P' 表示原始（Primitive）晶格，意味著只有在晶格點（vertices）上有晶格點，沒有體心、面心或底心。

2. 2/b 2$_1$/c 2$_1$/m: 這部分描述了在三個主要晶軸（通常分別對應 a, b, c 軸）上的對稱操作。

   • 第一個軸 (通常是 b 軸): '2/b'

     • '2': 表示在該軸（b 軸）上存在一個二維旋轉軸（2-fold rotation axis）。
     • '/b': 表示這個二維旋轉軸是垂直於 b 軸的某個方向（通常是過原點的平面，即 b 軸的法向），並且與一個滑移面（glide plane）組合。這裡的 'b' 指的是一個 b-glide plane，即沿著 b 軸方向的滑移。
     • 組合： 2/b 表示在 b 軸方向上，存在一個二維旋轉軸，並且該軸與一個沿 b 軸方向滑移的滑移面共線（或者說，滑移面垂直於 b 軸，且滑移方向是 b 軸）。
     • 對稱元素： 2-fold rotation axis, glide plane (b-glide).

   • 第二個軸 (通常是 c 軸): '2$_1$/c'

     • '2$_1$': 表示在該軸（c 軸）上存在一個二維旋轉軸，並且這個軸是通過晶格點的。'2$_1$' 是 '2' 軸的特殊形式，意味著旋轉 180° 後還伴隨著沿著該軸方向的半個晶胞長度的滑移。
     • '/c': 表示存在一個 c-glide plane，即沿著 c 軸方向的滑移。
     • 組合： 2$_1$/c 表示在 c 軸方向上，存在一個 2$_1$ 軸（180° 旋轉加半個晶胞長的滑移），並且與一個沿 c 軸方向滑移的滑移面共線（或滑移面垂直於 c 軸，滑移方向是 c 軸）。
     • 對稱元素： 2$_1$-fold rotation axis (screw axis), glide plane (c-glide).

   • 第三個軸 (通常是 a 軸): '2$_1$/m'

     • '2$_1$': 同上，表示在 a 軸方向上存在一個 2$_1$ 螺旋軸。
     • '/m': 表示存在一個鏡面（mirror plane），通常是垂直於該軸的鏡面。這裡的 'm' 指的是一個鏡面，在這個符號中，通常指的是一個垂直於 a 軸的鏡面。
     • 組合： 2$_1$/m 表示在 a 軸方向上，存在一個 2$_1$ 螺旋軸，並且與一個垂直於 a 軸的鏡面共線（或者說，鏡面垂直於 a 軸）。
     • 對稱元素： 2$_1$-fold rotation axis (screw axis), mirror plane (m).

綜合以上分析，我們可以推斷出：

• 布拉維晶格 (Bravais Lattice): P (Primitive)

• 晶體系統 (Crystal System):
  從符號 '2/b', '2$_1$/c', '2$_1$/m' 可以看出，存在多個二維旋轉軸和滑移面。

  • '2/b' 暗示了 b 軸的某種對稱性。
  • '2$_1$/c' 暗示了 c 軸的某種對稱性。
  • '2$_1$/m' 暗示了 a 軸的某種對稱性。
  • 由於存在 2$_1$ 軸，且軸之間可能相互垂直，這暗示了較高的對稱性。
  • 最關鍵的是，當我們看到 P 符號，且有三個相互垂直的軸都有二維旋轉軸（即使是螺旋軸）時，這通常指向 正交晶系 (Orthorhombic)。
  • 在正交晶系中，a, b, c 軸是相互垂直的 ($\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$)，且晶胞參數 $a \neq b \neq c$。
  • 符號 P2/b 2$_1$/c 2$_1$/m 是屬於正交晶系的。

• 空間群 (Space Group): P2$_1$2$_1$2$_1$ 是正交晶系的一個空間群。

  • P2/b 2$_1$/c 2$_1$/m 這個符號可能代表了 P2$_1$2$_1$2$_1$ 空間群的另一種表示方式，或者表示一個更複雜的晶系。

  • 仔細檢查符號： P2/b 2$_1$/c 2$_1$/m.

    • P: Primitive lattice.
    • 2/b: b-axis has a 2-fold rotation axis and a b-glide plane. This means the b-axis is perpendicular to a glide plane that has b-direction translation. This implies the plane is (010) glide.
    • 2$_1$/c: c-axis has a 2$_1$-fold screw axis and a c-glide plane. This implies the c-axis is perpendicular to a glide plane that has c-direction translation. This implies the plane is (001) glide.
    • 2$_1$/m: a-axis has a 2$_1$-fold screw axis and a mirror plane. This implies the a-axis is perpendicular to a mirror plane. This implies the plane is (100) mirror.

  • 晶體系統判斷：

    • b 軸的對稱性：2-fold rotation + b-glide.
    • c 軸的對稱性：2$_1$-fold screw axis + c-glide.
    • a 軸的對稱性：2$_1$-fold screw axis + mirror plane.

  • 當三個軸都有二維旋轉（或螺旋）軸，且這些軸是相互垂直的，這就指向 正交晶系 (Orthorhombic)。

  • 在正交晶系中，a, b, c 軸相互垂直。

  • 'm' 通常表示鏡面。'b' 和 'c' 表示滑移方向。

  • P2/b 2$_1$/c 2$_1$/m 實際上描述了一個 正交晶系 的空間群。

  • '2/b' 意味著 b 軸上有一個 2-fold axis，且存在一個滑移面，這個滑移面垂直於 b 軸，且滑移方向是 b 方向。

本題考驗對晶體缺陷（特別是點缺陷）的理解，以及如何在離子晶體中建立缺陷反應平衡方程式。

核心觀念： 點缺陷 (Point Defects)、肖特基缺陷 (Schottky Defect)、弗倫克爾缺陷 (Frenkel Defect)、電子缺陷 (Electronic Defect)、離子晶體電荷平衡、質量作用定律。

ZnO 是一種離子化合物，可能存在各種點缺陷。

(a) ZnO 中的肖特基缺陷、弗倫克爾缺陷和電子缺陷：

1. 肖特基缺陷 (Schottky Defect):

   • 定義： 肖特基缺陷是指在離子晶體中，陽離子和陰離子以其化學計量比從晶格中缺失，從而導致晶體整體電荷平衡和化學計量比不變的缺陷。
   • 在 ZnO 中： ZnO 的化學式為 1:1 的離子化合物，由 Zn$^{2+}$ 和 O$^{2-}$ 組成。一個典型的肖特基缺陷是同時缺失一個 Zn$^{2+}$ 和一個 O$^{2-}$ 離子，以保持電荷平衡。
   • 反應方程式：
     $\text{Nil} \rightleftharpoons V_{Zn}^{2+} + V_{O}^{2-}$
     其中 $\text{Nil}$ 代表完美的晶格，$V_{Zn}^{2+}$ 代表鋅空位（帶 +2 電荷相對晶格），$V_{O}^{2-}$ 代表氧空位（帶 -2 電荷相對晶格）。
   • 影響： 肖特基缺陷的形成會降低材料的密度，並可能影響導電性（如果離子空位參與離子遷移）。

2. 弗倫克爾缺陷 (Frenkel Defect):

   • 定義： 弗倫克爾缺陷是指一個離子從其正常晶格位置遷移到一個間隙位置，從而產生一個空位和一個間隙離子的缺陷對。這種缺陷不會改變晶體的整體電荷平衡或化學計量比，因為離子只是移動了位置。
   • 在 ZnO 中： ZnO 結構中存在鋅空位 ($V_{Zn}^{2+}$) 和鋅間隙離子 ($Zn_i^{2+}$)，以及氧空位 ($V_{O}^{2-}$) 和氧間隙離子 ($O_i^{2-}$)。
     • 鋅弗倫克爾缺陷： 這是 ZnO 中更常見的弗倫克爾缺陷類型。一個 Zn$^{2+}$ 離子從其正常位置離開，進入一個間隙位置。
     • 反應方程式：
       $Zn_{Zn}^{2+} \rightleftharpoons V_{Zn}^{2+} + Zn_i^{2+}$
       其中 $Zn_{Zn}^{2+}$ 代表位於正常鋅位的鋅離子，$V_{Zn}^{2+}$ 代表鋅空位，而 $Zn_i^{2+}$ 代表位於間隙位置的鋅離子。
     • 氧弗倫克爾缺陷： 雖然理論上可能，但在 ZnO 中，氧離子較大，在間隙位置的穩定性較差，所以氧弗倫克爾缺陷相對較少見。
   • 影響： 弗倫克爾缺陷的存在會增加材料的離子導電性，因為離子可以在間隙位置之間移動。

3. 電子缺陷 (Electronic Defect):

   • 定義： 電子缺陷是指電子或電洞（空穴）的存在，它們是離子晶體中的電荷載流子。這些缺陷不涉及原子位置的缺失或移動，而是價帶和導帶中的電子濃度變化。
   • 在 ZnO 中： ZnO 在高溫下或氧氣分壓較低時，通常表現為 n 型半導體，這意味著存在過量的電子。這些過量的電子通常與氧空位有關。
     • 氧空位產生電子： 氧原子離開晶格形成氧空位時，會留下兩個電子。
     • 反應方程式：
       $O_O \rightleftharpoons V_O^{2-} + 2e^-$
       或者，如果氧空位是帶正電的（相對於離子晶格），那麼它會釋放出電子：
       $V_O \text{(perfect)} \rightarrow V_O^{2-} + 2e'$
       在 Kröger-Vink 符號中，$V_O^{2-}$ 代表氧空位，帶有 +2 的相對電荷。
       更常見的表示是，氧空位作為一個電子給體：
       $O_O \rightleftharpoons V_O^{\bullet\bullet} + 2e'$
       這裡 $V_O^{\bullet\bullet}$ 代表氧空位（帶兩個正相對電荷），$e'$ 代表電子（帶一個負相對電荷）。
       然而，在 ZnO 中，過量的金屬離子（如 Zn）更容易解釋其 n 型導電性。例如，鋅在間隙位置或氧空位可以提供電子。
       更標準的 n 型缺陷解釋：
       • 氧空位提供電子：
         $O_O \rightleftharpoons V_O^{\bullet\bullet} + 2e'$
       • 鋅間隙離子提供電子：
         $Zn_i \rightleftharpoons Zn_i^{\bullet\bullet} + 2e'$
         （這裡 $Zn_i$ 是中性鋅間隙原子）
   • 影響： 電子缺陷是造成 ZnO 半導體性質的主要原因，影響其導電性、光學性質和催化性質。

(b) Co$_2$O$_3$ 摻雜 ZnO 的缺陷反應平衡方程式：
當 Co$_2$O$_3$ 摻雜到 ZnO 中時，Co 離子會取代 Zn 離子。
Co 的氧化態可以是 +2 或 +3。ZnO 的化學計量比是 Zn$^{2+}$:O$^{2-}$ = 1:1。
Co$_2$O$_3$ 的化學式表明，Co 的平均氧化態是 +3。
當 Co$^{3+}$ ([Co$_{\text{Zn}}$]$^{\bullet}$) 取代 Zn$^{2+}$ ([Zn$_{\text{Zn}}$]$^{\bullet\bullet}$) 時，由於 Co$^{3+}$ 的正電荷高於 Zn$^{2+}$，會產生電荷不平衡。為了維持整個晶體的電中性，需要引入負電荷載流子或減少正電荷載流子。

假設 Co$^{3+}$ 取代 Zn$^{2+}$：
Co$^{3+}$ 的電荷比 Zn$^{2+}$ 高 +1。
若掺雜物是 Co$_2$O$_3$，則在晶格中形成 Co$^{3+}$。
Co$^{3+}$ 取代 Zn$^{2+}$：
[Co$_{Zn}$]$^{\bullet}$ 代表 Co$^{3+}$ 離子取代了 Zn 位置，相對晶格帶 +1 的正電荷。

兩種主要的可能性來維持電中性：

1. 產生氧空位：
   Co$_2$O$_3$ 摻雜到 ZnO 中，Co$^{3+}$ 取代 Zn$^{2+}$。
   每兩個 Co$^{3+}$ 取代兩個 Zn$^{2+}$，總共多了 +2 的正電荷。
   為了平衡這 +2 的正電荷，可以形成一個氧空位 $V_O^{\bullet\bullet}$（帶 +2 的相對電荷）。
   反應方程式：
   $Co_2O_3 \xrightarrow{ZnO} 2[Co_{Zn}]^{\bullet} + V_O^{\bullet\bullet} + 3O_O$
   這裡 $O_O$ 代表氧離子在氧位置上。
   更精確寫法：
   $Co_2O_3 \rightarrow 2Co_{Zn}^{\bullet} + V_O^{\bullet\bullet} + 3O_O$
   （注意：這裡的 $O_O$ 代表氧離子的來源，而不是直接寫入反應平衡。更常見的寫法是只考慮缺陷的產生。）
   改寫為缺陷平衡方程式：
   $\frac{1}{2}Co_2O_3 \rightarrow Co_{Zn}^{\bullet} + \frac{1}{2}V_O^{\bullet\bullet} + \frac{3}{2}O_O$
   或者，如果我們考慮 Co$_2$O$_3$ 分解並融入 ZnO 結構：
   $Co_2O_3 \rightarrow 2Co_{Zn}^{\bullet} + V_O^{\bullet\bullet} + 3O_O$
   （這表示每形成兩個 Co$^{3+}$ 在 Zn 位置，就需要一個氧空位來平衡電荷，並且有 3 個氧離子被固定在氧位置上。）
   通常更簡潔的寫法是：
   $Co_2O_3 \rightleftharpoons 2Co_{Zn}^{\bullet} + V_O^{\bullet\bullet} + 2O_O + O_{lattice}$
   或者，更標準的寫法是：
   $\frac{1}{2}Co_2O_3 \rightarrow Co_{Zn}^{\bullet} + \frac{1}{2}V_O^{\bullet\bullet} + O_O$
   或者，如果我們從單位化學式來看：
   $Co_2O_3 \text{ in } ZnO \rightarrow 2Co_{Zn}^{\bullet} + V_O^{\bullet\bullet}$
   （此方程式假設所有 Co 離子都以 Co$^{3+}$ 形式取代 Zn$^{2+}$，並產生相應數量的氧空位來維持電中性。）
   更嚴謹的寫法：