109 年 國立成功大學資源工程學系碩士班丙組《統計學》

這題考驗標準化檢定統計量（z 檢定統計量）的計算。

根據 Exhibit AA 的資訊，我們有一個樣本，樣本數 $n=36$，樣本平均數 $\bar{x}=24.6$，樣本標準差 $S=12$。我們要檢定關於母體平均數 $\mu$ 的假設。

由於樣本數 $n=36$ 大於 30，我們可以將母體標準差 $\sigma$ 用樣本標準差 $S$ 來近似，並使用 z 檢定。

這題考驗 p-value 在假設檢定中的應用，以及如何根據顯著水準做出決策。

題目給定了一個單尾檢定（右尾），計算出的 p-value 為 0.034。
同時，檢定是以 95% 的信心水準進行。信心水準 95% 對應的顯著水準（alpha, $\alpha$）為 $1 - 0.95 = 0.05$。

在假設檢定中，我們比較 p-value 和顯著水準 $\alpha$ 來決定是否拒絕虛無假設 $H_0$：

1. 如果 p-value $\le \alpha$，則我們拒絕虛無假設 $H_0$。
2. 如果 p-value $>\alpha$，則我們無法拒絕虛無假設 $H_0$。

在這個題目中：
p-value = 0.034
$\alpha$ = 0.05

比較 p-value 和 $\alpha$：
0.034 $\le$ 0.05

因為 p-value 小於或等於顯著水準 $\alpha$，所以我們應該拒絕虛無假設 $H_0$。

核心觀念

本題考查「兩個常態母體平均數差的區間估計」，且已知兩母體具有相同但未知的變異數。

設兩母體平均數分別為 $\mu_1,\mu_2$，樣本平均數為 $\bar X_1,\bar X_2$，樣本數為 $n_1,n_2$。在兩母體獨立、常態分布且變異數相等的條件下，需使用合併變異數估計量：

$$S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2} {n_1+n_2-2}$$

其中 $S_1^2,S_2^2$ 分別為兩組樣本變異數。

兩母體平均數差的信賴區間為：

$$(\bar X_1-\bar X_2) \pm t_{\alpha/2,\;n_1+n_2-2} S_p \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$$

因此，所使用的 $t$ 分布自由度為：

$$\nu=n_1+n_2-2$$

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解題方法

因為題目明確指出：

1. 兩個母體皆為常態分布；
2. 兩母體變異數相等；
3. 估計的是兩母體平均數之差；
4. 母體共同變異數通常視為未知。

所以應採用「兩獨立樣本、等變異數的 pooled two-sample $t$ 方法」。

合併變異數的分母為兩組樣本的總自由度：

$$(n_1-1)+(n_2-1) = n_1+n_2-2$$

因此，平均數差的區間估計使用自由度 $n_1+n_2-2$ 的 $t$ 分布。

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選項分析

這題考驗配對樣本 t 檢定（paired t-test）的檢定統計量計算。

Exhibit BB 提供了配對樣本的數據，顯示了 7 位工人在接受訓練計畫前後的每日生產率。這種情況通常使用配對樣本 t 檢定來比較前後的差異。

虛無假設 $H_0: \mu_d = 0$ 表示訓練計畫對生產率沒有顯著影響，即前後生產率的平均差異為零。
檢定統計量是計算根據樣本數據得到的 t 值。

首先，我們需要計算樣本的差異值 $d_i = \text{After}_i - \text{Before}_i$。
對於 Exhibit BB 中的 7 位工人：
Worker 1: $d_1 = 22 - 20 = 2$
Worker 2: $d_2 = 23 - 25 = -2$
Worker 3: $d_3 = 27 - 27 = 0$
Worker 4: $d_4 = 20 - 23 = -3$
Worker 5: $d_5 = 25 - 22 = 3$
Worker 6: $d_6 = 19 - 20 = -1$
Worker 7: $d_7 = 18 - 17 = 1$

接著，計算樣本差異的平均數 $\bar{d}$：
$\bar{d} = \frac{\sum d_i}{n} = \frac{2 + (-2) + 0 + (-3) + 3 + (-1) + 1}{7} = \frac{0}{7} = 0$

這題考驗變異數分析 (ANOVA) 中「組內均方」 (Mean Square Within, MSW) 的定義。

在 ANOVA 中，我們將總變異分解為組間變異 (Between Treatments/Groups) 和組內變異 (Within Treatments/Groups)。

• 組間變異 (Between Treatments) 衡量不同組別之間的平均差異。
• 組內變異 (Within Treatments) 衡量各組內部數據的變異。

常用的 ANOVA 符號：

• $n_T$: 總樣本數 (Total sample size)。
• $K$: 組別數量 (Number of populations/groups)。
• SSE (Sum of Squared Errors): 組內平方和 (Sum of Squares Within, SSW)。
• SSTR (Sum of Squared Treatments): 組間平方和 (Sum of Squares Between, SSB)。

這題考驗變異數分析 (ANOVA) 中虛無假設 (null hypothesis) 的設定。

Exhibit CC 描述了一個實驗，有三種處理 (treatments) A, B, C，共 12 個觀測值隨機分配到這三種處理。這是一個典型的單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的情境。

ANOVA 的目的是檢定多個母體平均數之間是否存在顯著差異。
虛無假設 $H_0$ 通常設定為所有母體平均數都相等，表示處理之間沒有差異。
對立假設 $H_a$ 則設定為至少有一個母體平均數與其他不同，表示處理之間存在差異。

在這個問題中，有三個處理，我們假設它們對應的母體平均數分別是 $\mu_A, \mu_B, \mu_C$。
虛無假設 $H_0$ 應為：所有處理的母體平均數都相等。
對立假設 $H_a$ 應為：至少有一個母體平均數不相等。

這題考驗變異數分析 (ANOVA) 中「組間均方」 (Mean Square Between Treatments, MSTR) 的計算。

首先，我們需要根據 Exhibit CC 的數據計算 ANOVA 表所需的各項數值。
數據：
Treatment A: 20, 30, 25, 33
Treatment B: 22, 26, 20, 28
Treatment C: 40, 30, 28, 22

總觀測值數量 $n_T = 12$。
處理數量 $K = 3$。
每個處理的樣本數 $n = 12 / 3 = 4$。

1. 計算各組平均數 ($\bar{x}_i$) 和總平均數 ($\bar{x}_{T}$)

   • $\bar{x}_A = (20 + 30 + 25 + 33) / 4 = 108 / 4 = 27$
   • $\bar{x}_B = (22 + 26 + 20 + 28) / 4 = 96 / 4 = 24$
   • $\bar{x}_C = (40 + 30 + 28 + 22) / 4 = 120 / 4 = 30$
   • $\bar{x}_{T} = (108 + 96 + 120) / 12 = 324 / 12 = 27$
   • 或者 $\bar{x}_{T} = (\bar{x}_A + \bar{x}_B + \bar{x}_C) / 3 = (27 + 24 + 30) / 3 = 81 / 3 = 27$ (只有當各組樣本數相等時才適用此簡化法)

2. 計算組間平方和 (SSTR 或 SSB)
   SSTR = $\sum_{i=1}^{K} n_i (\bar{x}_i - \bar{x}_T)^2$
   SSTR = $4(27 - 27)^2 + 4(24 - 27)^2 + 4(30 - 27)^2$
   SSTR = $4(0)^2 + 4(-3)^2 + 4(3)^2$
   SSTR = $0 + 4(9) + 4(9)$
   SSTR = $0 + 36 + 36 = 72$

這題考驗在複迴歸 (Multiple Regression) 中，用來檢定模型整體顯著性的統計檢定方法。

在複迴歸模型中，我們有多個自變數 (independent variables) 來預測一個依變數 (dependent variable)。
模型通常表示為：
$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \dots + \beta_k X_k + \epsilon$

我們關心的是「整個模型是否顯著」，也就是「至少有一個自變數的迴歸係數不為零」。
這個檢定是檢定：
$H_0: \beta_1 = \beta_2 = \dots = \beta_k = 0$
$H_a:$ 至少有一個 $\beta_i \neq 0$

這個檢定是使用 F 檢定 (F-test) 來進行。F 檢定比較由模型解釋的變異量 (SSR, Sum of Squares Regression) 與未被解釋的變異量 (SSE, S

這題考驗決定係數 ($r^2$) 的意義及其與總平方和 (SST)、迴歸平方和 (SSR) 和殘差平方和 (SSE) 的關係。

在迴歸分析中：

• SST (Total Sum of Squares): 依變數總變異量。
• SSR (Sum of Squares Regression): 由迴歸模型解釋的變異量。
• SSE (Sum of Squares Error): 未被迴歸模型解釋的變異量（殘差變異量）。

它們之間的關係是：
$SST = SSR + SSE$

決定係數 $r^2$ 定義為模型解釋的變異量佔總變異量的比例：
$r^2 = \frac{SSR}{SST}$

題目給定 $r^2 = 1$。這表示迴歸模型完美地解釋了依變數的所有變異量。
將 $r^2 = 1$ 代入公式：
$1 = \frac{SSR}{SST}$
這意味著 $SSR = SST$。

這題考驗統計製程管制中，關於接收檢驗（acceptance sampling）的圖表類型。

題目描述的圖表是「顯示接收貨批的機率」與「貨批中不良品的百分比」之間的關係。這種圖表在統計品質管制中用於評估抽樣檢驗計畫的特性。

• 接收檢驗 (Acceptance Sampling) 是一種品質管制方法，在生產過程中或接收一批產品時，透過抽樣檢查來決定是否接受或拒絕整批產品。
• 不良品百分比 (Percent defective) 是衡量批次品質的指標。
• 接收機率 (Probability of acceptance) 是抽樣檢驗計畫的一個重要性能指標。

這種顯示接收機率作為不良品百分比函數的圖表，被稱為 操作特性曲線 (Operating Characteristic Curve, OC Curve)。

核心觀念

本題考查「列聯表中的卡方獨立性檢定」。用以判斷汽車購買偏好與性別是否相互獨立。

卡方檢定統計量為：

$$\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$$

其中：

• $O$：觀察次數
• $E$：在 $H_0$ 成立下的期望次數

每一格的期望次數為：

$$E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{\text{總樣本數}}$$

解題方法

在虛無假設 $H_0$「汽車偏好與性別獨立」成立下，計算各格期望次數。

1. 計算期望次數

男性各欄：

$$E_{\text{男、造型}}=\frac{350(100)}{500}=70$$ $$E_{\text{男、工程}}=\frac{350(150)}{500}=105$$ $$E_{\text{男、省油}}=\frac{350(250)}{500}=175$$

女性各欄：

$$E_{\text{女、造型}}=\frac{150(100)}{500}=30$$ $$E_{\text{女、工程}}=\frac{150(150)}{500}=45$$ $$E_{\text{女、省油}}=\frac{150(250)}{500}=75$$

因此期望次數表為：

	Styling	Engineering	Fuel Economy
Male	70	105	175
Female	30	45	75

2. 代入卡方統計量公式

這題考驗如何根據卡方檢定統計量和自由度來做統計決策。

在前一題 (問題 11) 中，我們計算出卡方檢定統計量 $\chi^2 \approx 31.746$。
這個檢定是關於「購車主要原因」與「性別」是否獨立的檢定。
虛無假設 $H_0$: 購車主要原因與性別是獨立的。
對立假設 $H_a$: 購車主要原因與性別不是獨立的。

為了做出決策，我們還需要知道自由度 (df) 和顯著水準 ($\alpha$)。
自由度 (df) 計算如下：
$df = (\text{行數} - 1) \times (\text{列數} - 1)$
在這個 2x3 的列聯表中：
$df = (2 - 1) \times (3 - 1) = 1 \times 2 = 2$。

通常，假設檢定的顯著水準 $\alpha$ 為 0.05。題目沒有明確給出，但這是標準做法。

現在我們需要查卡方分配表 (Chi-Square Distribution Table) 或使用統計軟體，找出自由度為 2，顯著水準 $\alpha = 0.05$ 時的臨界值。

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸中，檢定斜率是否具有統計顯著性的 $t$ 檢定。

迴歸模型為

$$Y=\beta_0+\beta_1X+\varepsilon$$

檢定斜率通常設定為

$$H_0:\beta_1=0$$ $$H_1:\beta_1\neq 0$$

斜率的 $t$ 檢定統計量為

$$t=\frac{\hat{\beta}_1-0}{SE(\hat{\beta}_1)} =\frac{\hat{\beta}_1}{SE(\hat{\beta}_1)}$$

其中：

• $\hat{\beta}_1$：樣本迴歸線的斜率估計值
• $SE(\hat{\beta}_1)$：斜率估計值的標準誤

解題方法

由 Exhibit EE 的迴歸分析表，取出斜率 $\hat{\beta}_1$ 及其標準誤 $SE(\hat{\beta}_1)$，代入

$$t=\frac{\hat{\beta}_1}{SE(\hat{\beta}_1)}$$

依 Exhibit EE 的數值計算：

$$t=3.986$$

因此，檢定斜率顯著性的 $t$ 統計量為 $3.986$。

這題考驗在簡單線性迴歸中，如何計算 F 檢定的統計量。

Exhibit EE 提供了一個簡單線性迴歸的電腦輸出結果，其中包含迴歸係數、標準誤以及變異數分析表 (Analysis of Variance)。
F 檢定用於檢定迴歸模型的整體顯著性，即是否至少有一個自變數的迴歸係數不為零。在簡單線性迴歸中，這等同於檢定斜率 $\beta_1$ 是否顯著不為零。

F 統計量的計算公式為：
$F = \frac{MSR}{MSW}$
其中 MSR 是迴歸均方 (Mean Square Regression)，MSW 是誤差均方 (Mean Square Within/Error)。

從 Exhibit EE 的 ANOVA 表中，我們可以得到：

• SOURCE: Regression, SS = 196.893
• SOURCE: Error, SS = 94.822

這題考驗決定係數 ($r^2$) 的計算。

決定係數 ($r^2$) 是迴歸模型解釋的變異量佔總變異量的比例。
計算公式為：
$r^2 = \frac{SSR}{SST}$

從 Exhibit EE 的 ANOVA 表中，我們可以找到：

• $SSR$ (Sum of Squares Regression) = 196.893

這題考驗在單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 中，如何尋找 F 分配的臨界值。

題目要求在 95% 的信心水準下，檢定母體平均數是否相等。這是一個 F 檢定，通常用於 ANOVA。
95% 的信心水準對應的顯著水準 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
我們需要查 F 分配表，找到自由度為 (組間自由度, 組內自由度) 的臨界值。

首先，我們需要根據 Exhibit FF 的部分 ANOVA 表填寫完整資訊，以確定自由度。
已知：

• SST (Total Sum of Squares) = 100
• SSTr (Sum of Squares Between Treatments) = 64
• MSW (Mean Square Within Treatments) = 2
• F statistic = 8

我們知道：

1. $SST = SSTr + SSE$ (總平方和 = 組間平方和 + 組內平方和)
   $100 = 64 + SSE \implies SSE = 100 - 64 = 36$

2. $MSTR = \frac{SSTr}{df_{Between}}$ (組間均方 = 組間平方和 / 組間自由度)
   $F = \frac{MSTR}{MSW}$
   $8 = \frac{MSTR}{2} \implies MSTR = 8 \times 2 = 16$

3. $MSW = \frac{SSE}{df_{Within}}$ (組內均方 = 組內平方和 / 組內自由度)
   $2 = \frac{36}{df_{Within}} \implies df_{Within} = \frac{36}{2} = 18$

4. $df_{Between} = K - 1$ (其中 K 是組數)
   $MSTR = \frac{SSTr}{df_{Between}} \implies 16 = \frac{64}{df_{Between}} \implies df_{Between} = \frac{64}{16} = 4$

這題考驗根據 F 檢定結果做出統計決策。

在前一題 (問題 16) 中，我們確定了：

• F 檢定統計量 = 8 (已在 Exhibit FF 表中給出)
• 臨界 F 值 (自由度為 4, 18，$\alpha=0.05$) $\approx 3.16$

決策規則：

• 如果 F 統計量 $\ge$ 臨界值，則拒絕虛無假設 $H_0$。
• 如果 F 統計量 $<$ 臨界值，則不拒絕虛無假設 $H_0$。

在這個問題中：
F 統計量 = 8
臨界值 $\approx 3.16$

比較：
$8 \ge 3.16$

核心觀念

**點估計量（point estimator）**是利用樣本資料所計算出的統計量，用來估計母體未知參數。常見例子如下：

• 以樣本平均數 $\bar{X}$ 估計母體平均數 $\mu$
• 以樣本變異數 $s^2$ 估計母體變異數 $\sigma^2$
• 以樣本標準差 $s$ 估計母體標準差 $\sigma$

判斷重點是：

點估計量必須是由樣本觀察值計算而得的統計量；母體參數本身不是點估計量。

解題方法

逐一判斷各符號代表的是「母體參數」還是「樣本統計量」：

• 希臘字母通常表示母體參數，例如 $\mu$、$\sigma$、$\alpha$。
• 小寫英文字母 $s$ 通常表示由樣本計算出的樣本標準差。

其中，樣本標準差的公式為

$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}$$

因為 $s$ 是由樣本觀察值 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 計算而得，所以是統計量，也可作為母體標準差 $\sigma$ 的點估計量。

選項分析

a. $\sigma$

這題考驗決定係數 ($r^2$) 的計算。

決定係數 ($r^2$) 的計算公式為：
$r^2 = \frac{SSR}{SST}$

其中，

• $SSR$ 是迴歸平方和 (Sum of Squares Regression)。
• $SST$ 是總平方和 (Total Sum of Squares)。
• $SSE$ 是殘差平方和 (Sum of Squares Error)。

這題考驗誤差均方 (Mean Square Error, MSE) 的計算。

在迴歸分析中，MSE (Mean Square Error) 通常指的是組內均方 (Mean Square Within) 或殘差均方 (Mean Square Error)。
計算公式為：
$MSE = \frac{SSE}{df_{Error}}$

其中：

• $SSE$ 是殘差平方和 (Sum of Squares Error)。

核心觀念

分層隨機抽樣（stratified random sampling）是先將「母體」依照某項重要特徵劃分為數個互不重疊的子群體，稱為分層（strata），再從每一層中分別以隨機方式抽取樣本。

其基本流程為：

$$\text{母體} \longrightarrow \text{劃分為各分層} \longrightarrow \text{各層內隨機抽樣}$$

若母體為 $N$ 個個體，劃分為 $L$ 層，各層母體數分別為 $N_1,N_2,\ldots,N_L$，則

$$N=N_1+N_2+\cdots+N_L$$

再從第 $h$ 層抽取 $n_h$ 個樣本，總樣本數為

$$n=n_1+n_2+\cdots+n_L$$

分層的目的通常是確保母體中各個重要子群體都被納入樣本，並提升估計結果的代表性與精確度。

解題方法

判斷本題的關鍵，在於確認分層的對象是「母體」還是「樣本」。

分層隨機抽樣的正式定義是：

先將母體劃分為若干分層，再從每一個分層中抽取隨機樣本。

因此正確的敘述必須同時包含兩個步驟：

1. 先劃分母體；
2. 再從各分層內進行隨機抽樣。

符合此定義的選項為 c。

選項分析

選項 a

the sample is first divided into strata, and then random samples are taken from each stratum

錯誤。

分層是在抽樣前對母體進行劃分，不是先取得樣本後再將樣本劃分為分層。若先抽出樣本，再將樣本分類，這只是對既有樣本進行分類，並不屬於分層隨機抽樣的抽樣程序。

選項 b

這題考驗組合 (combination) 的計算，用於計算從母體中抽取樣本的可能組合數。

題目提到：

• 母體大小 (population size) $N = 8$。
• 樣本大小 (sample size) $n = 3$。
• 抽樣方式是「簡單隨機抽樣」(simple random sampling)。

在簡單隨機抽樣中，通常假設抽樣是「不放回」(without replacement)，且樣本的順序不重要。這意味著我們需要使用組合 (combination) 的公式來計算。

組合的公式為：
$C(N, n) = \binom{N}{n} = \frac{N!}{n!(N-n)!}$

核心觀念

本題考查「母體參數」與「樣本統計量」的區別。

• 母體參數（parameter）：描述整個母體特徵的固定數值，例如母體平均數 $\mu$、母體標準差 $\sigma$。
• 樣本統計量（statistic）：由樣本資料計算而得，例如樣本平均數 $\bar X$、樣本標準差 $s$。
• 樣本平均數的標準誤為

$$\operatorname{SE}(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

題目明確指出 $0.22$ 是「母體內容量的標準差」，因此它代表母體標準差 $\sigma$。

解題方法

題目給定：

• 隨機樣本數 $n=121$
• 樣本平均內容量 $\bar X=4$ ounces
• 母體標準差 $\sigma=0.22$ ounces

關鍵在於辨認 $0.22$ 的來源。題目已說明它是母體的標準差，因此：

$$0.22=\sigma$$

它是描述整個香水瓶母體內容量變異程度的數值，屬於母體參數。

若要計算樣本平均數的標準誤，才需使用：

$$\operatorname{SE}(\bar X) =\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{0.22}{\sqrt{121}} =\frac{0.22}{11} =0.02\text{ ounces}$$

因此 $0.22$ 本身不是標準誤；標準誤應為 $0.02$ ounces。

選項分析

(a) a parameter

正確。$0.22$ 是母體標準差 $\sigma$，用來描述整個母體的特徵，因此屬於母體參數。

核心觀念

顯著水準（level of significance）記為 $\alpha$，其定義為：

$$\alpha=P(\text{拒絕 }H_0\mid H_0\text{ 為真})$$

也就是在虛無假設 $H_0$ 其實為真的情況下，卻錯誤拒絕 $H_0$ 的機率，稱為第一類錯誤（Type I error）的機率。

因此，顯著水準是研究者在進行假設檢定前，事先設定的第一類錯誤最大容許機率。常見的顯著水準有 $0.01$、$0.05$ 與 $0.10$。

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解題方法

直接根據顯著水準的定義判斷：

• 第一類錯誤：$H_0$ 為真，卻拒絕 $H_0$。
• 第二類錯誤：$H_0$ 為假，卻未拒絕 $H_0$。
• 顯著水準 $\alpha$：第一類錯誤的最大容許機率。
• 信賴係數：通常為 $1-\alpha$。
• $p$ 值：根據樣本資料計算出的機率，不是事先設定的顯著水準。

所以正確敘述為「顯著水準是第一類錯誤的最大容許機率」。

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選項分析

a. maximum allowable probability of Type II error

錯誤。

Type II error 是第二類錯誤，記為 $\beta$，定義為：

$$\beta=P(\text{不拒絕 }H_0\mid H_0\text{ 為假})$$

顯著水準 $\alpha$ 對應的是第一類錯誤，而不是第二類錯誤。第二類錯誤的補數 $1-\beta$ 稱為檢定力（power）。

b. maximum allowable probability of Type I error

正確。

這題考驗如何查找 t 分配的臨界值。

題目要求：

• 檢定類型：單尾檢定 (one-tailed test)，且是右尾 (upper tail)。
• 樣本大小 $n = 18$。
• 信心水準為 95%。

在假設檢定中，當我們進行單尾檢定時，信心水準 95% 對應的顯著水準 $\alpha$ 是 $1 - 0.95 = 0.05$。
我們需要查找 t 分配表，找出自由度為 $df = n - 1$ 的臨界值。