112 年 國立成功大學資源工程學系碩士班丙組《統計學》

此題考驗對「分層隨機抽樣 (Stratified Random Sampling)」定義的理解。

分層隨機抽樣是一種抽樣方法，其核心步驟是將母體 (population) 劃分為若干個互斥且具有共同特徵的子群體（稱為「層」，strata），然後從每一個層中獨立地、隨機地抽取樣本。

此題考驗對「簡單隨機抽樣 (Simple Random Sampling)」組合數的計算。

題目要求從一個包含 8 個項目的母體中，選取一個 3 個項目的簡單隨機樣本。由於是「樣本」，不考慮順序，且一旦選取就不能重複，因此這是一個組合 (combination) 的問題。

母體大小 $N = 8$
樣本大小 $n = 3$

樣本的數量計算公式為組合數 $C(N, n)$：
$C(N, n) = \binom{N}{n} = \frac{N!}{n!(N-n)!}$

將數值代入：
$C(8, 3) = \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!}$

此題考驗對「互斥事件 (Mutually Exclusive Events)」機率公式的理解。

互斥事件是指兩個事件不能同時發生。如果 A 和 B 是互斥事件，則它們的交集為空集合，即 $P(A \cap B) = 0$。

機率的基本加法法則為：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

此題考驗對「條件機率 (Conditional Probability)」與「機率加法法則」的應用。

首先，我們需要找出事件 A 和 B 的交集機率 $P(A \cap B)$。
根據機率的加法法則：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

將已知數值代入：
$0.78 = 0.80 + 0.65 - P(A \cap B)$
$0.78 = 1.45 - P(A \cap B)$

解出 $P(A \cap B)$:
$P(A \cap B) = 1.45 - 0.78 = 0.67$

此題考驗對「t 分配臨界值 (t-distribution critical value)」的查找，以及其與信賴區間和檢定的關係。

題目要求的是一個「單尾檢定 (one-tailed test)」，且是「右尾檢定 (upper tail)」，同時給定「95% 信賴水準 (95% confidence)」，以及「樣本數 $n=18$」。

在進行假設檢定時，如果母體標準差未知，且母體近似常態分佈，我們使用 t 分配。
單尾檢定（右尾）的意義是我們關心的是顯著大於某個值的可能性。
95% 信賴水準通常對應於雙尾檢定時每尾 2.5% 的機率，但對於單尾檢定，95% 的機率是指我們希望在右尾的累積機率為 0.95，或者說，右尾的顯著水準 $\alpha$ 為 $1 - 0.95 = 0.05$。

t 分配的臨界值查找需要兩個參數：自由度 (degrees of freedom, df) 和右尾機率（或累積機率）。
自由度 $df = n - 1 = 18 - 1 = 17$。

此題考驗在不同情況下，進行區間估計時應使用的機率分配。

題目描述的條件是：

1. 母體標準差 ($\sigma$) 未知 (population standard deviation is unknown)。
2. 母體服從常態或近似常態分佈 (population has a normal or near-normal distribution)。

在這些條件下，當我們需要建構母體平均數的信賴區間 (confidence interval for the population mean) 時，我們應該使用 t 分配 (t distribution)。

原因如下：

• 當母體標準差 $\sigma$ 已知時，我們使用 Z 分配（標準常態分配）。
• 當母體標準差 $\sigma$ 未知，但樣本數 $n$ 非常大（通常 $n \ge 30$）時，根據中央極限定理 (Central Limit Theorem)，樣本平均數的抽

核心觀念

本題考查「母體標準差已知時，母體平均數的信賴區間」。

當母體標準差 $\sigma$ 已知，且樣本數足夠大時，母體平均數 $\mu$ 的信賴區間為

$$\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

其中：

• $\bar{x}$：樣本平均數
• $\sigma$：母體標準差
• $n$：樣本數
• $z_{\alpha/2}$：標準常態分配的臨界值

題目給定信賴水準為 $95.44\%$。標準常態分配中，

$$P(-2<Z<2)\approx 0.9544$$

因此本題的臨界值為

$$z_{\alpha/2}=2$$

解題方法

已知：

$$n=144,\qquad \bar{x}=20,\qquad \sigma=4.8$$

先計算樣本平均數的標準誤：

$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4.8}{\sqrt{144}} = \frac{4.8}{12} = 0.4$$

信賴區間的誤差範圍為

$$z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2(0.4) = 0.8$$

因此，母體平均數的 $95.44\%$ 信賴區間為

$$\bar{x}\pm 0.8 = 20\pm 0.8$$

即

$$19.2<\mu<20.8$$

所以正確選項為 (B)。

題目提供的樣本中位數 $21$ 與眾數 $22$，對於母體平均數的信賴區間沒有作用；本題只需使用樣本平均數、樣本數及已知的母體標準差。

選項分析

此題考驗計算「標準化檢定統計量 (standardized test statistic)」，通常指 z 統計量或 t 統計量，用於假設檢定。

題目給定：
樣本大小 $n = 36$
樣本平均數 $\bar{x} = 24.6$
樣本標準差 $S = 12$
虛無假設 $H_0: \mu \le 20$
對立假設 $H_\alpha: \mu > 20$ (注意：題目寫作 $H_\alpha$ 應為 $H_a$ 或 $H_1$)

這是對母體平均數 $\mu$ 的單尾檢定（右尾檢定）。
由於母體標準差未知，且我們有樣本標準差 $S$，我們應該使用 t 統計量。

此題考驗 p-value 與信賴水準 (顯著水準) 的關係，以及如何據此判斷是否拒絕虛無假設。

題目給定：
檢定類型：單尾檢定（右尾）(one-tailed hypothesis test, upper tail)
p-value = 0.034
信賴水準 = 95% confidence

在假設檢定中，95% 的信賴水準對應於 5% 的顯著水準 ($\alpha$)。
也就是說，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。

p-value 的定義是：在虛無假設為真的前提下，觀察到當前樣本結果或更極端結果的機率。
判斷規則是：

• 如果 p-value $\le \alpha$，則拒絕虛無假設 $H_0$。

此題考驗建構兩個獨立母體平均數差的信賴區間時，所使用的 t 分配自由度。

題目描述的條件是：

1. 建構兩個母體平均數差的區間估計 (interval estimate for the difference between the means of two populations)。
2. 兩個母體均為常態分佈 (normally distributed)。
3. 兩個母體具有相等變異數 (have equal variances)。

當滿足上述條件時，我們使用「合併變異數 t 檢定 (pooled variance t-test)」或建構合併變異數 t 信賴區間。

在這種情況下，t 分配的自由度 (degrees of freedom, df) 是透過合併兩個樣本的自由度來計算的：
$df = (n_1 - 1) + (n_2 - 1) = n_1 + n_2 - 2$

此題考驗對「配對樣本 t 檢定 (Paired t-test)」的理解與計算。

題目指出資料來自「配對樣本 (matched samples)」，這表示我們應該對差異值進行分析，而不是直接比較兩個樣本的平均數。
我們需要計算每位員工的「差異值 (difference)」，通常定義為「後測值 - 前測值」($d = \text{After} - \text{Before}$)。

首先，計算差異值 $d$：

Worker	Before	After	$d = \text{After} - \text{Before}$
1	20	22	2
2	25	23	-2
3	27	27	0
4	23	20	-3
5	22	25	3
6	20	19	-1
7	17	18	1

接下來，計算差異值的樣本平均數 ($\bar{d}$) 和樣本標準差 ($s_d$)。
樣本數 $n = 7$。

計算 $\bar{d}$:
$\bar{d} = \frac{2 + (-2) + 0 + (-3) + 3 + (-1) + 1}{7} = \frac{0}{7} = 0$

此題考驗對「變異數分析 (Analysis of Variance, ANOVA)」中各項統計量的定義，特別是「組內均方 (Mean Square Within, MSW)」。

在 ANOVA 中，總變異被分解為組間變異 (Between-group variation) 和組內變異 (Within-group variation)。

• 組間變異 (Between-group variation)：衡量不同組別（處理、母體）的平均數之間的差異。

  • 組間平方和 (Sum of Squares Between, SSTR 或 SSB)
  • 組間自由度 (Degrees of Freedom Between, DFB) = $K - 1$，其中 $K$ 是組別（母體）的數量。
  • 組間均方 (Mean Square Between, MSB 或 MSB) = $SSTR / DFB = SSTR / (K - 1)$。

• 組內變異 (Within-group variation)：衡量各組內的數據點與該組平均數之間的差異，代表隨機誤差。

此題考驗對「指數分佈 (Exponential Distribution)」的平均數計算。

題目給定的機率密度函數 (Probability Density Function, PDF) 是：
$f(x) = (1/10) e^{-x/10}$ for $x \ge 0$

這是一個指數分佈。指數分佈的機率密度函數一般形式為：
$f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}$ for $x \ge 0$
其中 $\lambda$ 是率參數 (rate parameter)。

將題目給定的函數與標準形式比較：
$(1/10) e^{-x/10}$ vs $\lambda e^{-\lambda x}$

我們可以清楚地看到，$\lambda = 1/10 = 0.1$。
但是，標準形式是 $\lambda e^{-\lambda x}$。
題目給定的形式是 $(1/10) e^{-x/10}$。

此題考驗計算「指數分佈」的累積機率。

題目給定的機率密度函數 (PDF) 是 $f(x) = (1/10) e^{-x/10}$ for $x \ge 0$。
我們已經知道這是一個尺度參數 $\beta = 10$ 的指數分佈，或者率參數 $\lambda = 1/10$ 的指數分佈。

累積分佈函數 (Cumulative Distribution Function, CDF) 對於指數分佈是：
$F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$ for $x \ge 0$
或者使用尺度參數 $\beta$:
$F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-x/\beta}$ for $x \ge 0$

我們需要計算機率 $P(3 \le X \le 6)$。
這可以使用 CDF 來計算：
$P(3 \le X \le 6) = P(X \le 6) - P(X \le 3)$
$P(3 \le X \le 6) = F(6) - F(3)$

此題考驗對「多元迴歸 (Multiple Regression)」顯著性檢定的理解。

在多元迴歸模型中，我們感興趣的是整個自變數集合是否對應變數有顯著的預測能力。也就是說，我們要檢定的是：
$H_0:$ 所有自變數的迴歸係數均為零（即 $\beta_1 = \beta_2 = ... = \beta_k = 0$）。
$H_a:$ 至少有一個自變數的迴歸係數不為零。

這個檢定是關於所有自變數的共同顯著性，而不是單獨某一個自變數的顯著性。
用於檢定整個迴歸模型的顯著性（即判斷應變數與所有自變數集合之間是否存在線性關係）的統計檢定是 F 檢定 (F test)。

此題考驗對「簡單線性迴歸 (Simple Linear Regression)」基本性質的理解，找出哪個敘述是錯誤的。

簡單線性迴歸模型為 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$。

我們來逐一分析各選項：

(A) The F test and the t test yield the same results.
在簡單線性迴歸中，F 檢定用於檢定整個迴歸模型的顯著性，即 $H_0: \beta_1 = 0$。t 檢定也用於檢定單一自變數的迴歸係數顯著性，即 $H_0: \beta_1 = 0$。
對於簡單線性迴歸，這兩個檢定是等價的。F 統計量等於 t 統計量的平方 ($F = t^2$)，並且它們的 p-value 是相同的。因此，它們會得出相同的結論（拒絕或不拒絕虛無假設）。所以這個敘述是真的。

此題考驗進行「獨立性檢定 (Test of Independence)」時，如何找出臨界值。

獨立性檢定用於判斷兩個類別變數之間是否相關。在這裡，兩個類別變數是「性別 (Gender: Girl/Boy)」和「飲料偏好 (Beverage Preference)」。

檢定的步驟通常包括：

1. 建立虛無假設 ($H_0$) 和對立假設 ($H_a$)。
   • $H_0$: 性別和飲料偏好是獨立的。
   • $H_a$: 性別和飲料偏好是相關的（不獨立）。
2. 計算預期次數 (Expected Frequencies)。
3. 計算卡方檢定統計量 ($\chi^2$)。
4. 確定自由度 (degrees of freedom, df)。
5. 查找臨界值。

題目給定顯著水準 $\alpha = 0.05$。
我們需要計算自由度。對於獨立性檢定，自由度的計算公式為：
$df = (\text{行數} - 1) \times (\text{列數} - 1)$

此題考驗計算「獨立性檢定」中的「預期次數 (Expected Frequency)」。

獨立性檢定中的預期次數是指，如果兩個類別變數是獨立的，我們預期會觀察到的次數。
預期次數的計算公式為：
$E_{ij} = \frac{(\text{第 i 行總計}) \times (\text{第 j 列總計})}{\text{總計}}$
其中 $E_{ij}$ 是第 i 行、第 j 列的預期次數。

題目要求計算「預期男生偏好咖啡的人數」。
對應到表格中：
「行」是飲料偏好 (Coffee)。
「列」是性別 (Boys)。

我們需要的是「Coffee」這一列的總計，以及「Boys」這一列的總計。
從表格中讀取：

• Coffee 行的總計 = 250
• Boys 列的總計 = 600

核心觀念

檢定簡單線性迴歸模型中的斜率是否顯著，通常檢定：

$$H_0:\beta_1=0 \qquad\text{vs.}\qquad H_1:\beta_1\ne 0$$

斜率的 $t$ 統計量為：

$$t=\frac{\hat{\beta}_1}{SE(\hat{\beta}_1)}$$

在只有一個自變數的簡單線性迴歸中，斜率檢定也可由 ANOVA 表的 $F$ 統計量計算：

$$F=\frac{MSR}{MSE}$$

且具有下列關係：

$$F=t^2$$

因此可利用題目提供的迴歸平方和與誤差平方和求得 $t$ 值。

解題方法

樣本數為 $n=7$，且模型包含截距與一個自變數 $x$。

迴歸自由度：

$$df_R=1$$

誤差自由度：

$$df_E=n-2=7-2=5$$

先計算迴歸均方與誤差均方：

$$MSR=\frac{SSR}{df_R} =\frac{196.893}{1} =196.893$$ $$MSE=\frac{SSE}{df_E} =\frac{94.822}{5} =18.9644$$

因此：

$$F=\frac{MSR}{MSE} =\frac{196.893}{18.9644} \approx 10.382$$

由於簡單線性迴歸中 $F=t^2$，所以：

$$|t|=\sqrt{F} =\sqrt{10.382} \approx 3.222$$

題目中的斜率估計值為負，因此若保留方向，$t\approx -3.222$；選項列出的是統計量的絕對值，故選 $3.222$。

此題考驗從變異數分析 (ANOVA) 表中計算「F 檢定統計量」。

題目提供了迴歸模型的 ANOVA 表：

SOURCE	SS
Regression	196.893
Error	94.822

並且我們知道樣本大小 $n=7$。
由於這是一個簡單線性迴歸（一個自變數 x），
迴歸的自由度 (Degrees of Freedom for Regression, $df_{reg}$) = 自變數個數 = 1。
誤差的自由度 (Degrees of Freedom for Error, $df_{err}$) = 總樣本數 - 自變數個數 - 1 = $n - 1 - 1 = 7 - 1 - 1 = 5$。