113 年 國立成功大學資源工程學系碩士班丙組《統計學》

點估計量（point estimator）是使用樣本統計量來估計母體參數。選項 (a) $\sigma$ 是母體標準差，選項 (b) $\mu$ 是母體平均數，它們是母體參數。

這題考的是如何計算母體平均數的信賴區間。由於樣本數 $n=16$ 較小，且母體標準差未知，我們需要使用 t 分配來計算信賴區間。

已知資訊：
樣本數 $n = 16$
樣本平均數 $\bar{x} = 76.2$
樣本變異數 $s^2 = 144$
樣本標準差 $s = \sqrt{144} = 12$
信賴水準為 99%，所以 $\alpha = 0.01$，雙尾檢定下，每尾的機率為 $\alpha/2 = 0.005$。
自由度 $df = n - 1 = 16 - 1 = 15$。

查詢 t 分配表，在自由度為 15，且右尾機率為 0.005 時，對應的 t 值為 $t_{0.005, 15} \approx 2.947$。

區間估計（interval estimate）是一種統計方法，用來估計母體參數（population parameter）的可能範圍。它提供了一個區間，而不是一個單一點的值。

選項 (a) 母體分佈的形狀（shape of the population's distribution）通常透過繪製直方圖或運用分佈檢定來判斷，而不是區間估計。

此題為假設檢定，要求計算標準化檢定統計量（standardized test statistic）。
根據 Exhibit AA 提供的資訊：
樣本數 $n = 16$
樣本平均數 $\bar{x} = 75.76$
樣本標準差 $s = 8.246$
虛無假設 $H_0: \mu \ge 80$
對立假設 $H_a: \mu < 80$

這題要求計算 P 值。P 值是指在虛無假設為真的情況下，觀察到樣本統計量（或比樣本統計量更極端的值）的機率。

根據 Exhibit AA 的資訊：
樣本數 $n = 16$
樣本平均數 $\bar{x} = 75.76$
樣本標準差 $s = 8.246$
虛無假設 $H_0: \mu \ge 80$
對立假設 $H_a: \mu < 80$
在上一題中，我們計算出的標準化檢定統計量為 $t \approx -2.0567$。

核心觀念

信賴水準與顯著水準互補：

因此，95% 信賴水準對應 $\alpha=0.05$；90% 信賴水準對應 $\alpha=0.10$。在相同資料、相同檢定方法下，顯著水準提高會使拒絕域擴大。

解題方法

若假設在 95% 信賴水準下被拒絕，表示檢定結果落在 $\alpha=0.05$ 的拒絕域內。檢定的 $p$ 值因而小於或等於 $0.05$，必定也小於或等於 $0.10$，所以在 90% 信賴水準下仍會被拒絕。

選項分析

• a. will always be accepted at 90% confidence：錯。90% 信賴水準的顯著水準較高，拒絕域較大；在 95% 下已被拒絕的假設，不會因此改為接受。
• b. will always be rejected at 90% confidence：正確。

此題要求計算兩個母體平均數差異的點估計量。
根據 Exhibit BB 的資訊：
今日學生的樣本平均數 $\bar{x}_1 = 82$
五年前學生的樣本平均數 $\bar{x}_2 = 88$

此題要求計算兩個母體平均數差異的標準差的點估計量。
根據 Exhibit BB 的資訊：
今日學生的樣本平均數 $\bar{x}_1 = 82$，樣本變異數 $s_1^2 = 112.5$，樣本數 $n_1 = 45$
五年前學生的樣本平均數 $\bar{x}_2 = 88$，樣本變異數 $s_2^2 = 54$，樣本數 $n_2 = 36$

兩個母體平均數差異的標準差為 $\sqrt{Var(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \sqrt{Var(\bar{x}_1) + Var(\bar{x}_2)}$。
由於 $\bar{x}_1$ 和 $\bar{x}_2$ 是來自獨立樣本的平均數，它們的變異數為：
$Var(\bar{x}_1) = \frac{s_1^2}{n_1}$

此題考驗對變異數的假設檢定，需要計算卡方檢定統計量。

已知資訊：
樣本數 $n = 41$
樣本標準差 $s = 5$
樣本變異數 $s^2 = 5^2 = 25$
虛無假設 $H_0: \sigma^2 = 20$

進行變異數的假設檢定時，我們使用卡方 ($\chi^2$) 分配。檢定統計量的計算公式為：
$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$

此題考驗對獨立性檢定（test for independence）的計算。獨立性檢定用於判斷兩個類別變數之間是否存在關聯。我們使用卡方 ($\chi^2$) 統計量來進行檢定。

首先，我們需要計算期望次數 (Expected Frequency, $E_{ij}$) 在虛無假設（年齡與飲料偏好獨立）下。
期望次數的計算公式為：
$E_{ij} = \frac{(\text{Row Total}_i) \times (\text{Column Total}_j)}{\text{Grand Total}}$

接著，我們計算卡方檢定統計量，公式為：
$\chi^2 = \sum_{i} \sum_{j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
其中 $O_{ij}$ 是觀察到的次數，$E_{ij}$ 是期望的次數。

讓我們計算各個儲存格的期望次數：

1. Coffee

   • Teens: $E_{11} = \frac{250 \times 400}{1000} = 100$
   • Adults: $E_{12} = \frac{250 \times 600}{1000} = 150$

2. Tea

   • Teens: $E_{21} = \frac{250 \times 400}{1000} = 100$
   • Adults: $E_{22} = \frac{250 \times 600}{1000} = 150$

3. Soft Drink

   • Teens: $E_{31} = \frac{400 \times 400}{1000} = 160$
   • Adults: $E_{32} = \frac{400 \times 600}{1000} = 240$

4. Other

   • Teens: $E_{41} = \frac{100 \times 400}{1000} = 40$

此題要求根據獨立性檢定的結果來判斷。在上一題中，我們計算出的卡方檢定統計量 $\chi^2 \approx 62.5$。
現在我們需要判斷這個結果是否顯著，以決定是否拒絕虛無假設（年齡與飲料偏好獨立）。

首先，計算自由度 (degrees of freedom, df)。對於獨立性檢定，自由度為：
$df = (\text{Number of Rows} - 1) \times (\text{Number of Columns} - 1)$
在這個表格中，有 4 個飲料類別 (列) 和 2 個年齡類別 (欄)。

此題考驗單因子變異數分析（One-Way ANOVA）的 F 檢定統計量計算。
根據 Exhibit DD 的資訊：
組間平方和 (Sum of Squares Treatment, SSTR) = 6,750
組內平方和 (Sum of Squares Error, SSE) = 8,000
樣本數 $n_r$ (這裡應是指總樣本數，若是指每組樣本數，則此題資訊不足。假設 $n_r$ 為總樣本數) = 20。
虛無假設 $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4$
對立假設 $H_a:$ 至少有一個平均數不同。

在 ANOVA 中，我們需要計算組間均方 (Mean Square Treatment, MST) 和組內均方 (Mean Square Error, MSE)。
首先，我們需要知道組的數量 (k)。

此題要求根據單因子變異數分析的結果，找出在 5% 顯著水準下的臨界值。

根據 Exhibit DD 的資訊：
組的數量 $k = 4$ (從 $H_0$ 推斷)
總樣本數 $n_r = 20$
顯著水準 $\alpha = 0.05$

組間自由度 $df_T = k - 1 = 4 - 1 = 3$
組內自由度 $df_E = n_r - k = 20 - 4 = 16$

此題考驗簡單線性迴歸中，截距項 $b_0$ 的最小平方估計值計算。
最小平方估計法的公式如下：
$b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}$
其中 $\bar{y}$ 是 y 的樣本平均數，$b_1$ 是斜率的估計值，$\bar{x}$ 是 x 的樣本平均數。

首先，計算 x 和 y 的樣本平均數：
$n = 4$ (樣本數)
$\sum y = 5 + 7 + 9 + 11 = 32$
$\bar{y} = \frac{32}{4} = 8$

$\sum x = 15 + 12 + 10 + 7 = 44$
$\bar{x} = \frac{44}{4} = 11$

接下來，計算斜率 $b_1$ 的估計值。公式為：
$b_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$

計算分子 $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$：
$x_i - \bar{x}$: $15-11=4$, $12-11=1$, $10-11=-1$, $7-11=-4$
$y_i - \bar{y}$: $5-8=-3$, $7-8=-1$, $9-8=1$, $11-8=3$

此題考驗計算決定係數（coefficient of determination），記為 $R^2$。決定係數衡量迴歸模型解釋了應變數變異的比例。

決定係數 $R^2$ 可以透過以下公式計算：
$R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$
其中 SSR 是迴歸平方和，SSE 是殘差平方和，SST 是總平方和。

另一種計算方法是，如果我們已經計算了相關係數 $r$，則 $R^2 = r^2$。
相關係數 $r$ 的計算公式為：
$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}$

從上一題的計算中，我們知道：
$\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = -26$
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 34$

核心觀念

本題考查相關係數、迴歸斜率與決定係數之間的關係。

在簡單線性迴歸模型

中：

• $b_0$：截距
• $b_1$：迴歸斜率
• $r$：$X$ 與 $Y$ 的相關係數
• $R^2$：決定係數

簡單線性迴歸的斜率為

其中 $s_x>0$、$s_y>0$，因此 $b_1$ 與 $r$ 必定具有相同符號。

決定係數則為

所以

決定係數不可能為負值。

解題方法

題目已知相關係數為正值，即

由斜率公式：

因為標準差 $s_x$ 與 $s_y$ 均為正數，因此

故迴歸線的斜率必定為正。

同時，決定係數為

且不會是負值。至於截距 $b_0$ 的正負，則取決於資料的平均數與斜率：

相關係數為正並不能決定截距的符號。

選項分析

a. the intercept must also be positive

錯誤。

截距為

即使 $r>0$ 且 $b_1>0$，$b_0$ 仍可能為正、為負或等於零，取決於 $\bar{x}$ 與 $\bar{y}$ 的相對大小。

因此，正相關係數無法推出截距必為正。

**b. the coefficient of determination can be either negative or positive, depending

此題考驗對多元迴歸分析中「一般線性模型」（general linear model）的理解。

一般線性模型指的是，應變數可以表示為自變數的線性組合，再加上一個誤差項。
$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \dots + \beta_k X_k + \epsilon$
這裡的「線性」指的是參數 $\beta_i$ 的線性，而不是自變數 $X_i$ 本身的線性。

我們可以在模型中加入自變數的轉換（如平方項、交叉項），來處理非線性關係。

選項分析：
a. can not be used to accommodate curvilinear relationships between dependent variables and independent variables (不能用來處理應變數與自變數之間的曲線關係)

• 這是錯誤的。我們可以透過加入自變數的轉換（例如 $X_i^2$ 或 $X_i X_j$）來模擬曲線關係。

此題考驗對品管圖表中特定圖形的認識。
「接受機率」（probability of accepting the lot）作為「不良率」（percent defective）的函數的圖形，通常稱為 操作特性曲線 (Operating Characteristic Curve, OC Curve)。OC 曲線是品質管制中用於評估抽樣計畫性能的工具。它顯示了在不同製程品質水準下，被檢查批次被接受的機率。

選項分析：
a. a power curve (功效曲線)

• 功效曲線（Power curve）通常與檢定功效（power of a test）有關，表示在不同參數值下，正確拒絕虛無假設的機率。

此題考驗對不同類型管制圖的應用。當生產過程的輸出是以「不良百分比」（percent defective）來衡量時，我們使用的是 P 圖（P chart）。

選項分析：
a. a P chart (P 圖)

• P 圖是用來監控不合格品比例（proportion defective）或不良品百分比（percent defective）的管制圖。這與題目所描述的「不良百分比」相符。

此題考驗計算指數分佈（exponential distribution）的平均值。
給定的機率密度函數（PDF）是 $f(x) = \frac{1}{10} e^{-x/10}$，其中 $x \ge 0$。
這是一個指數分佈，其標準形式為 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，其中 $\lambda$ 是速率參數（rate parameter）。

此題考驗計算指數分佈在給定區間內的機率。
給定的機率密度函數（PDF）是 $f(x) = \frac{1}{10} e^{-x/10}$，其中 $x \ge 0$。
這是一個速率參數 $\lambda = \frac{1}{10}$ 的指數分佈。

指數分佈的累積分佈函數（CDF）為：
$F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x} = 1 - e^{-x/10}$
其中 $x \ge 0$。

我們需要計算 $P(3 \le X \le 6)$。這可以透過 CDF 計算：
$P(3 \le X \le 6) = F(6) - F(3)$

此題考驗中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）的應用，計算樣本平均數落在特定區間的機率。

已知資訊：
母體平均數 $\mu = 300$
母體標準差 $\sigma = 18$
樣本數 $n = 144$

根據中央極限定理，當樣本數足夠大（通常 $n \ge 30$），樣本平均數 $\bar{x}$ 的抽樣分佈近似於常態分佈，其平均值為 $\mu_{\bar{x}} = \mu$，標準差為 $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

計算樣本平均數抽樣分佈的標準差（標準誤）：
$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{18}{\sqrt{144}} = \frac{18}{12} = 1.5$

我們要計算的機率是 $P(297 \le \bar{x} \le 303)$。
將 $\bar{x}$ 值轉換為標準常態分佈的 z 分數：
$z = \frac{\bar{x} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}$

此題考驗多元迴歸分析中，判斷迴歸係數顯著性的臨界 t 值。
進行迴歸係數顯著性檢定時，我們需要知道樣本數 $n$ 和自變數的數量 $k$。
迴歸直線為 $Y = 10 - 18X_1 + 3X_2 + 14X_3$，這表示有 3 個自變數 ($X_1, X_2, X_3$)。
因此，自變數的數量 $k = 3$。
樣本數 $n = 25$。

進行個別迴歸係數顯著性檢定時，t 檢定的自由度為 $df = n - k - 1$。
$df = 25 - 3 - 1 = 21$

此題考驗判斷迴歸係數 $X_2$ 的顯著性。
根據 Exhibit GG：
迴歸方程式：$Y = 10 - 18X_1 + 3X_2 + 14X_3$
$X_2$ 的迴歸係數估計值 $b_2 = 3$。
$X_2$ 的標準誤 $s_{b2} = 6$。
樣本數 $n = 25$，自變數數量 $k = 3$。
自由度 $df = n - k - 1 = 25 - 3 - 1 = 21$。

此題考驗計算多元決定係數（Multiple Coefficient of Determination），記為 $R^2$。
多元決定係數衡量迴歸模型解釋了應變數總變異的比例。
計算公式為：
$R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$

根據 Exhibit GG：
$SST = 4,800$ (總平方和)
$SSE = 1,296$ (殘差平方和)