115 年 國立成功大學資源工程學系碩士班丙組《統計學》

此題在考驗對機率分佈尾部特性的理解，特別是常態分佈與右偏分佈在極端值發生的機率上的差異。

右偏分佈（Right-skewed distribution）的特徵是其尾部向右（較大值方向）延伸，這表示極大值發生的機率比對稱分佈（如常態分佈）來得高。

此題旨在釐清統計上的顯著性 (Statistical Significance) 與效果大小 (Effect Size) 的區別，以及 p-value 的誤用。

p-value < 0.05 通常被視為統計上顯著的判準，表示在虛無假說 (Null Hypothesis) 為真的情況下，觀察到目前結果或更極端結果的機率很小。這僅能說明我們有足夠的證據拒絕虛無假說，但並未直接說明效果的大小或重要性。

「效果非常顯著且巨大」的說法，將統計顯著性（p-value < 0.05）與效果的大小（Effect Size）混為一談。p-value 的大小與樣本數有關，即使效果很小，只要樣本數夠大，也可能得到顯著的 p-value。

此題考驗對 Poisson 分佈的理解與應用。Poisson 分佈用於描述在固定時間或空間區間內，事件隨機發生的次數。

Poisson 分佈的機率質量函數 (Probability Mass Function, PMF) 為：
$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$
其中 $X$ 是事件發生的次數，$k$ 是事件發生的具體次數，$\lambda$ 是單位時間或空間內的平均發生率。

本題中，平均每10年發生2次故障，所以年平均故障率 $\lambda = \frac{2}{10} = 0.2$ 次/年。
我們要求的是未來5年內「至少發生1次」故障的機率。

此題是 Poisson 分佈的應用，但故障率 $\lambda$ 隨時間變化，需要使用時間變異的 Poisson 率來計算。

題目要求計算「未來5年內系統完全不發生故障」的機率。這表示在第1年不發生故障，且第2年不發生故障，...，直到第5年都不發生故障。

假設第 $t$ 年的故障率為 $\lambda_t = 0.2 \times (1.1)^{t-1}$。
對於第 $t$ 年，發生 0 次故障的機率為 $P(X_t=0) = \frac{e^{-\lambda_t} \lambda_t^0}{0!} = e^{-\lambda_t}$。

由於各年的故障事件是獨立的（儘管故障率不同），未來5年內系統完全不發生故障的總機率，是各年均不發生故障的機率之乘積：
$P(\text{未來5年不發生故障}) = P(X_1=0) \times P(X_2=0) \times P(X_3=0) \times P(X_4=0) \times P(X_5=0)$

其中：
$\lambda_1 = 0.2 \times (1.1)^{1-1} = 0.2$
$\lambda_2 = 0.2 \times (1.1)^{2-1} = 0.2 \times 1.1$
$\lambda_3 = 0.2 \times (1.1)^{3-1} = 0.2 \times (1.1)^2$
$\lambda_4 = 0.2 \times (1.1)^{4-1} = 0.2 \times (1.1)^3$

此題考驗對兩獨立樣本平均數差的信賴區間的計算，特別是當母體變異數相等時，需要使用合併變異數（Pooled Variance）。

當假設兩母體變異數相等 ($\sigma_A^2 = \sigma_B^2$) 時，我們使用合併樣本變異數 $S_p^2$ 來估計共同的母體變異數 $\sigma^2$。合併樣本變異數的公式為：
$S_p^2 = \frac{(n_A - 1)S_A^2 + (n_B - 1)S_B^2}{n_A + n_B - 2}$

其中，$n_A, n_B$ 是樣本大小，$S_A^2, S_B^2$ 是樣本變異數。
在本題中，$S_A = 3\%$，所以 $S_A^2 = 3^2 = 9$。$S_B = 4\%$，所以 $S_B^2 = 4^2 = 16$。
$n_A = 30$, $n_B = 30$。

代入公式計算 $S_p^2$:
$S_p^2 = \frac{(30 - 1) \times 9 + (30 - 1) \times 16}{30 + 30 - 2} = \frac{29 \times 9 + 29 \times 16}{58} = \frac{29 \times (9 + 16)}{58} = \frac{29 \times 25}{58} = \frac{25}{2} = 12.5$

信賴區間的公式為：
$(\bar{X}_B - \bar{X}_A) \pm t_{\alpha/2, df} \times \sqrt{S_p^2 \left(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}\right)}$

其中，自由度 $df = n_A + n_B - 2 = 30 + 30 - 2 = 58$。
95% 的信賴區間表示 $\alpha = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。
我們需要尋找 $t_{0.025, 58}$ 的值。從 t 分佈表或軟體可以查到。

將已知數值代入信賴區間公式：
$\bar{X}_B - \bar{X}_A = 22\% - 20\% = 2\%$。

此題考驗對線性迴歸 ANOVA 表的理解與計算。ANOVA 表中的各項指標，包括平方和 (SS, Sum of Squares)、自由度 (df, Degrees of Freedom)、均方 (MS, Mean Square) 和 F 值，彼此之間存在固定的關係。

MS (Mean Square) 是 SS 除以其對應的 df。
$MS_{reg} = \frac{SS_{reg}}{df_{reg}}$
$MS_{error} = \frac{SS_{error}}{df_{error}}$

F 值是回歸均方與殘差均方的比值：
$F = \frac{MS_{reg}}{MS_{error}}$

根據題目提供的 ANOVA 表：
$SS_{reg} = 50$
$df_{reg} = 1$
$SS_{error} = 140$
$df_{error} = 28$

此題考驗對線性迴歸模型中迴歸係數 $\beta_1$ 的解釋。在簡單線性迴歸模型 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$ 中，$\beta_1$ 代表自變數 $X$ 每改變一個單位時，應變數 $Y$ 的預期變化量。

在此模型中，應變數是 Efficiency (轉換效率)，自變數是 Temperature (溫度)。
$\beta_1 = -0.5$ 的物理意義是：在控制了其他因素（在此模型中只有常數項 $\beta_0$）的情況下，當溫度 (Temperature) 每升高一個單位時，

此題考驗對迴歸模型顯著性檢定的理解，以及結果的解釋。

判斷模型是否顯著：
模型的顯著性檢定通常是檢定自變數是否對應變數有顯著的預測能力。在簡單線性迴歸中，這等同於檢定斜率係數 $\beta_1$ 是否顯著不為零。F 檢定是判斷模型顯著性的標準方法。

虛無假說 $H_0: \beta_1 = 0$ (模型不顯著，自變數對應變數沒有線性關係)。
對立假說 $H_1: \beta_1 \neq 0$ (模型顯著，自變數對應變數有線性關係)。

我們計算出的 F 值為 10 (從上一小題 b.i 得到)。
給定的臨界值為 $F_{0.05, 1, 28} \approx 4.2$。

比較計算出的 F 值與臨界值：$10 > 4.2$。
由於計算出的 F 值大於臨界值，我們拒絕虛無假說 $H_0$。
因此，該迴歸模型在 0.05 的顯著水準下是顯著的。這表示溫度對太陽能板的轉換效率有顯著的影響。

此題考驗對迴歸診斷中常見殘差圖形狀的辨識與命名。

殘差圖 (Residual Plot) 是用於評估迴歸模型假設是否滿足的重要工具。當殘差圖呈現「喇叭口狀發散」（V-shape 或 fan-shape）時，表示殘差的變異性隨著自變數（在此為 $X_1$ 溫度）的增加而增加。

此題考驗對異質變異數 (Heteroscedasticity) 對迴歸模型影響的理解。

當迴歸模型存在異質變異數時，儘管模型的係數估計值（$\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2$）仍然是無偏的 (unbiased)，但它們的變異數估計會是有偏的 (biased)，通常是低估了真實的變異數。

這會導致以下幾個主要影響：

1. 標準誤 (Standard Errors) 偏誤： 由於變異數估計的偏差，迴歸係數的標準誤會不準確。通常情況下，異質變異數會導致標準誤被低估。
2. 假設檢定與信賴區間失效： 標準誤的不準確會直接影響 t 檢定和 F 檢定的結果，以及信賴區間的準確性。

此題考驗對處理異質變異數 (Heteroscedasticity) 的方法。當發現殘差圖呈現喇叭口狀發散時，表示存在異質變異數，需要對模型進行修正。

常見的修正方法有以下幾種：

1. 轉換應變數 (Transforming the Dependent Variable)：

   • 方法： 對應變數 Y 進行轉換，例如取對數 (log Y)、平方根 ($\sqrt{Y}$) 或倒數 ($1/Y$)。
   • 說明： 這種轉換有時可以穩定變異數，使其變得較為均勻。例如，如果變異數大致與 Y 成正比，取對數轉換 Y 可能會使變異數變得恆定。選擇哪種轉換取決於變異數與 Y 的關係，通常透過試驗和觀察轉換後的殘差圖來判斷。

2. 加權最小平方法 (Weighted Least Squares, WLS)：

   • 方法： 引入權重 $w_i$ 來估計迴歸係數，使得變異數較大的觀測點在迴歸計算中所佔的權重較小。
   • 說明： 如果我們能識別出殘差變異數與某個變數（如 $X_1$ 或 $Y$）之間的關係 $\sigma_i^2 = f(\sigma^2, X_{1i})$，我們可以設定權重 $w_i = 1 / \sigma_i^2$ 或 $w_i = 1 / \sigma_i$。然後使用加權最小平方法進行迴歸分析。例如，如果 $\sigma_i^2 \propto X_{1i}$，則權重可設為 $w_i = 1/X_{1i}$。WLS 可以得到最有效率的估計。

3. 使用穩健標準誤 (Robust Standard Errors)：

   • 方法： 在標準的 OLS 迴歸後，計算對異質變異數穩健的標準誤（例如 Huber-White standard errors）。
   • 說明： 這種方法不改變 OLS 係數的估計值，而是調整標準誤的計算方式，使其在存在異質變異數的情況下仍然是較準確的。

核心觀念

本題考查虛擬變數與交互作用項的應用。

• 虛擬變數 $D$ 用來表示工作日與週末的平均負載差異：
  • $D=1$：工作日
  • $D=0$：週末
• 若懷疑「氣溫 $X_1$ 對負載 $Y$ 的影響」會因工作日或週末而不同，必須加入交互作用項 $DX_1$。
• 因此，模型必須包含：
  1. 氣溫主效應 $X_1$
  2. 工業生產指數主效應 $X_2$
  3. 工作日虛擬變數 $D$
  4. 氣溫與工作日的交互作用項 $DX_1$

解題方法

原始模型為

$$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\epsilon$$

加入工作日與週末的平均差異，先加入虛擬變數 $D$：

$$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3D+\epsilon$$

題目進一步指出，氣溫效果在工作日與週末不同，因此加入交互作用項 $DX_1$：

$$\boxed{ Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3D+\beta_4(DX_1)+\epsilon }$$

其中，$DX_1$ 即為氣溫與工作日虛擬變數的交互作用項。

兩種情況的解釋

當為週末時，$D=0$：

$$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\epsilon$$

因此，週末氣溫對負載的邊際影響為

$$\frac{\partial Y}{\partial X_1}=\beta_1$$

當為工作日時，$D=1$：

此題是延續上一題，關於如何檢定「氣溫對負載的影響($X_1$)在週末時會比工作日來得小」的懷疑。

在上一題中，我們建立了包含虛擬變數 $D$ 和 $X_1$ 與 $D$ 互動項的模型：
$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_3 D + \beta_{1D} (X_1 \times D) + \beta_2 X_2 + \epsilon$

我們的懷疑是「氣溫對負載的影響($X_1$)在週末時會比工作日來得小」。
分析這個模型的係數：

• 當 $D=0$ (週末)，$X_1$ 的影響係數是 $\beta_1$。

此題考驗對條件機率和聯合機率的理解。題目給出了單一線路的故障機率以及條件機率，要求計算兩線路同時故障的機率。

「全黑」意味著線路 A 故障且線路 B 故障。我們要求的是 $P(A \cap B)$。
根據條件機率的定義，我們知道：
$P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A)$

此題是上一題的延伸，要求在特定條件下，計算某個參數需要達到的值。

已知系統設計要求「全黑」機率低於 0.05，即 $P(A \cap B) < 0.05$。
我們也知道 $P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A)$。
題目提到「在無法改善 B 的情況下」，這意味著 $P(B|A)$ 保持不變，即 $P(B|A) = 0.6$。

此題考驗對假設檢定中 Type I Error 和 Type II Error 的權衡，以及顯著水準 $\alpha$ 的選擇。

• Type I Error (第一類錯誤): 拒絕了真實的虛無假說 ($H_0$)。在這裡，誤判為「排放超標」，而實際上「排放符合標準」。
• Type II Error (第二類錯誤): 未能拒絕虛假的虛無假說 ($H_0$)。在這裡，未能檢出「排放超標」，而實際上「排放確實超標」。

題目指出，Type II Error 的後果（環境不可逆破壞）比 Type I Error 更嚴重。

顯著水準 $\alpha$ 代表 Type I Error 的機率，即 $P(\text{Reject } H_0 | H_0 \text{ is true}) = \alpha$。
$\beta$ 代表 Type II Error 的機率，即 $P(\text{Fail to reject } H_0 | H_1 \text{ is true}) = \beta$。

$\alpha$ 和 $\beta$ 之間存在權衡關係：在樣本大小固定的情況下，降低 $\alpha$ 會增加 $\beta$，反之亦然。

此題考驗對單一樣本 t 檢定的應用，包括建立檢定統計量和確定拒絕域。

檢定統計量 T 的建立：
我們需要檢定的是 PM2.5 濃度的母體平均值 $\mu$ 是否顯著高於法規標準 30。
虛無假說 $H_0: \mu \le 30$ (或更常見的寫法是 $H_0: \mu = 30$，因為檢定是在此假設下進行)。
對立假說 $H_1: \mu > 30$ (這代表排放超標，與題目中 Type II Error 的嚴重性相關聯)。

由於母體標準差 $\sigma$ 未知，且樣本數 $n=10$ 較小，我們使用 t 檢定。
檢定統計量 T 的公式為：
$T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$
其中：

• $\bar{X}$ 是樣本平均值 = 35
• $\mu_0$ 是虛無假說下的母體平均值 = 30
• $S$ 是樣本標準差 = 10
• $n$ 是樣本大小 = 10

此題考驗對 t 檢定假設的理解，特別是在母體分佈非常態時的適用性。

t-test 的適用性：
t-test 的一個重要前提假設是樣本來自的母體分佈近似於常態分佈。
題目明確指出，環境污染物數據（PM2.5 濃度）「通常呈現嚴重右偏 (Right-skewed) 分佈」。
此外，樣本數 $n=10$ 相當小。

當母體分佈嚴重偏離常態分佈，且樣本數又很小時，直接使用 t-test 可能是不恰當的。t-test 對於輕微的偏離或較大的樣本數（例如 $n>30$）是較為穩健的，但對於嚴重偏離和小的樣本數，其結果的準確性會受到影響。

對 Type I Error 的影響：
如果母體分佈是右偏的，而我們仍然使用 t-test（它假設常態分佈）來進行右尾檢定 ($H_1: \mu > 30$)：

• 在右偏分佈中，極大值（右尾）發生的機率比常態分佈高。
• t 檢定統計量 $T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$ 的分母 $S/\sqrt{n}$ （樣本標準誤）可能會受到右偏分佈中較大樣本標準差 $S$ 的影響。
• 更關鍵的是，當母體嚴重右偏且樣本數小時，樣本平均值 $\bar{X}$ 的分佈也會偏離常態分佈。