108 年 國立成功大學資源工程學系碩士班丙組《統計學》

核心觀念

分層隨機抽樣（stratified random sampling）是先將「母體」依照某項重要特徵劃分為數個互不重疊的子群體，稱為分層（strata），再從每一層中分別以隨機方式抽取樣本。

其基本流程為：

若母體為 $N$ 個個體，劃分為 $L$ 層，各層母體數分別為 $N_1,N_2,\ldots,N_L$，則

再從第 $h$ 層抽取 $n_h$ 個樣本，總樣本數為

分層的目的通常是確保母體中各個重要子群體都被納入樣本，並提升估計結果的代表性與精確度。

解題方法

判斷本題的關鍵，在於確認分層的對象是「母體」還是「樣本」。

分層隨機抽樣的正式定義是：

先將母體劃分為若干分層，再從每一個分層中抽取隨機樣本。

因此正確的敘述必須同時包含兩個步驟：

1. 先劃分母體；
2. 再從各分層內進行隨機抽樣。

符合此定義的選項為 c。

選項分析

選項 a

the sample is first divided into strata, and then random samples are taken from each stratum

錯誤。

分層是在抽樣前對母體進行劃分，不是先取得樣本後再將樣本劃分為分層。若先抽出樣本，再將樣本分類，這只是對既有樣本進行分類，並不屬於分層隨機抽樣的抽樣程序。

選項 b

此題考驗對「簡單隨機抽樣 (Simple Random Sampling)」中組合數計算的理解。當我們從一個大小為 $N$ 的母體中，抽取一個大小為 $n$ 的樣本，且樣本中的項目順序不重要時，所能形成的樣本組合數即為組合數 $C(N, n)$，其公式為：
$C(N, n) = \binom{N}{n} = \frac{N!}{n!(N-n)!}$

核心觀念

本題考查「母體參數」與「樣本統計量」的區別。

• 母體參數（parameter）：描述整個母體特徵的固定數值，例如母體平均數 $\mu$、母體標準差 $\sigma$。
• 樣本統計量（statistic）：由樣本資料計算而得，例如樣本平均數 $\bar X$、樣本標準差 $s$。
• 樣本平均數的標準誤為

題目明確指出 $0.22$ 是「母體內容量的標準差」，因此它代表母體標準差 $\sigma$。

解題方法

題目給定：

• 隨機樣本數 $n=121$
• 樣本平均內容量 $\bar X=4$ ounces
• 母體標準差 $\sigma=0.22$ ounces

關鍵在於辨認 $0.22$ 的來源。題目已說明它是母體的標準差，因此：

它是描述整個香水瓶母體內容量變異程度的數值，屬於母體參數。

若要計算樣本平均數的標準誤，才需使用：

因此 $0.22$ 本身不是標準誤；標準誤應為 $0.02$ ounces。

選項分析

(a) a parameter

正確。$0.22$ 是母體標準差 $\sigma$，用來描述整個母體的特徵，因此屬於母體參數。

核心觀念

顯著水準（level of significance）記為 $\alpha$，其定義為：

也就是在虛無假設 $H_0$ 其實為真的情況下，卻錯誤拒絕 $H_0$ 的機率，稱為第一類錯誤（Type I error）的機率。

因此，顯著水準是研究者在進行假設檢定前，事先設定的第一類錯誤最大容許機率。常見的顯著水準有 $0.01$、$0.05$ 與 $0.10$。

解題方法

直接根據顯著水準的定義判斷：

• 第一類錯誤：$H_0$ 為真，卻拒絕 $H_0$。
• 第二類錯誤：$H_0$ 為假，卻未拒絕 $H_0$。
• 顯著水準 $\alpha$：第一類錯誤的最大容許機率。
• 信賴係數：通常為 $1-\alpha$。
• $p$ 值：根據樣本資料計算出的機率，不是事先設定的顯著水準。

所以正確敘述為「顯著水準是第一類錯誤的最大容許機率」。

選項分析

a. maximum allowable probability of Type II error

錯誤。

Type II error 是第二類錯誤，記為 $\beta$，定義為：

顯著水準 $\alpha$ 對應的是第一類錯誤，而不是第二類錯誤。第二類錯誤的補數 $1-\beta$ 稱為檢定力（power）。

b. maximum allowable probability of Type I error

正確。

此題考驗如何從 t 分配表中查詢臨界值 (critical value)。

題目要求的是一個「單尾檢定 (one-tailed test)」，且是「右尾檢定 (upper tail)」。
樣本大小 $n = 18$。
信賴水準為 95%。

在進行假設檢定時，我們通常使用信賴水準來確定檢定統計量 (test statistic) 的臨界值。然而，題目問的是「at 95% confidence」下的 t 值，這通常是指建構 95% 信賴區間時，或是進行顯著水準為 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ 的檢定時的臨界值。

由於這是單尾檢定，且我們關注的是右尾，所以我們需要尋找 t 分配中，右尾機率為 $\alpha = 0.05$ 的臨界值。

此題考驗在何種情況下應使用 t 分配進行區間估計。

統計推論中，若母體標準差 $\sigma$ 已知，且母體符合常態分配或樣本數足夠大時，我們通常使用 z 分配 (標準常態分配)。
然而，當母體標準差 $\sigma$ 未知，且我們必須使用樣本標準差 $s$ 來估計時，即使母體符合常態分配或樣本數夠大，我們也應使用 t 分配 (t distribution)。

此題考驗如何計算母體平均數的信賴區間 (Confidence Interval for Population Mean)。

題目提供以下資訊：

• 樣本大小 $n = 144$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 20$
• 母體標準差 $\sigma = 4.8$ (已知)
• 信賴水準為 95.44%

由於母體標準差 $\sigma$ 已知，我們可以使用 z 分配來建構信賴區間。
信賴區間的公式為：
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中，$z_{\alpha/2}$ 是在給定的信賴水準下，標準常態分配的臨界值。

首先，我們需要找到對應 95.44% 信賴水準的 $z_{\alpha/2}$ 值。
信賴水準為 95.44% 表示 $\alpha = 1 - 0.9544 = 0.0456$。
因此，$\alpha/2 = 0.0456 / 2 = 0.0228$。
我們需要在標準常態分配表中尋找右尾機率為 0.0228 的 z 值，或者左尾機率為 $1 - 0.0228 = 0.9772$ 的 z 值。
查閱標準常態分配表，當左尾機率為 0.9772 時，對應的 z 值約為 2.00。

此題考驗如何計算標準化檢定統計量 (Standardized Test Statistic)，在此情況下是 z 檢定統計量。

Exhibit AA 提供了以下資訊：

• 樣本大小 $n = 36$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 24.6$
• 樣本標準差 $S = 12$
• 虛無假說 $H_0: \mu \le 20$
• 對立假說 $H_a: \mu > 20$

由於題目沒有明確說明母體標準差 $\sigma$ 是否已知，但給出了樣本標準差 $S=12$，並且樣本大小 $n=36$ 較大，我們可以近似使用 z 分配，並以樣本標準差 $S$ 來估計母體標準差 $\sigma$。

此題考驗 p-value 在假設檢定中的應用，以及其與信賴水準（或顯著水準）的關係。

題目提供以下資訊：

• 檢定類型：單尾檢定 (one-tailed test)，右尾 (upper tail)。
• p-value = 0.034。
• 信賴水準為 95% (confidence)。

通常，信賴水準 95% 對應的顯著水準 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。

在假設檢定中，我們比較 p-value 與顯著水準 $\alpha$ 來決定是否拒絕虛無假說 $H_0$。

• 如果 $p\text{-value} \le \alpha$，則拒絕 $H_0$。

此題考驗在進行兩個獨立樣本平均數差異的區間估計時，t 分配的自由度計算。

題目提到：

1. 兩個母體都服從常態分配 (normally distributed)。
2. 兩個母體的變異數相等 (equal variances)。

當我們進行兩個獨立樣本平均數差異的區間估計，且母體變異數相等時，我們需要合併樣本變異數 (pooled variance) 來估計共同的母體變異數。此時，所使用的 t 分配的自由度為：
$df = n_1 + n_2 - 2$

此題考驗對配對樣本 t 檢定 (Paired t-test) 的理解與計算。

Exhibit BB 提供了配對樣本數據，顯示了 7 位員工在接受訓練前後的每日生產率。
虛無假說 $H_0: \mu_d = 0$ 表示訓練前後的平均生產率差異為零。
這是一個配對樣本的檢定，因為我們比較的是同一位員工在不同時間點的生產率。

首先，我們需要計算每一對觀察值之間的差異 $d_i = \text{After}_i - \text{Before}_i$：

接下來，計算差異的樣本平均數 $\bar{d}$：
$\bar{d} = \frac{\sum d_i}{n} = \frac{2 + (-2) + 0 + (-3) + 3 + (-1) + 1}{7} = \frac{0}{7} = 0$

此題考驗變異數分析 (Analysis of Variance, ANOVA) 中「組內均方 (Mean Square Within Treatments)」，也稱為「誤差均方 (Mean Square Error, MSE)」的計算公式。

在單因子變異數分析中，總變異被分解為組間變異 (between-group variation) 和組內變異 (within-group variation)。

• 組間變異 (Between-group variation) 衡量不同組別平均數之間的差異，對應於 SSTR (Sum of Squares for Treatments)。
• 組內變異 (Within-group variation) 衡量同一組內部的變異，對應於 SSE (Sum of Squares for Error)。

變異數分析表通常包含以下幾個重要項目：

• SSTR (Sum of Squares for Treatments)：組間平方和
• SSE (Sum of Squares for Error)：組內平方和
• SST (Total Sum of Squares)：總平方和，SST = SSTR + SSE

此題考驗指數分配 (Exponential Distribution) 的平均值計算。

給定的機率密度函數 (Probability Density Function, PDF) 為：
$f(x) = \frac{1}{10} e^{-x/10}, \quad x \ge 0$
這是一個指數分配的 PDF。一般形式的指數分配 PDF 為：
$f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0$
其中，$\lambda$ 是參數。

此題考驗指數分配的累積機率計算。

給定的機率密度函數 (PDF) 為：
$f(x) = \frac{1}{10} e^{-x/10}, \quad x \ge 0$
從上一題我們知道，這是一個參數為 $\lambda = 1/10$ 的指數分配。

指數分配的累積分配函數 (Cumulative Distribution Function, CDF) 為：
$F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0$
將 $\lambda = 1/10$ 代入：
$F(x) = 1 - e^{-x/10}$

此題考驗多元迴歸 (Multiple Regression) 中，檢定整體模式顯著性的方法。

在多元迴歸模型中，我們有兩個主要的檢定：

1. t 檢定 (t-test)：用於檢定單一個自變數與依變數之間是否存在顯著的線性關係。也就是說，檢定個別迴歸係數是否顯著不為零。
2. F 檢定 (F-test)：用於檢定整個迴歸模型的顯著性。它檢定的是所有自變數的迴歸係數是否同時為零。換句話說，它檢定的是自變數的集合是否能顯著解釋依變數的變異。

此題考驗對簡單線性迴歸 (Simple Linear Regression) 特性的理解，並找出不正確的敘述。

簡單線性迴歸模型為 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$。

讓我們逐一分析選項：
a. The F test and the t test yield the same results.
在簡單線性迴歸中，F 檢定用於檢定整體模型的顯著性（即 $\beta_1 = 0$）。t 檢定用於檢定斜率係數 $\beta_1$ 是否顯著不為零。在簡單線性迴歸中，這兩個檢定是等價的。F 檢定的 p-value 和 t 檢定的 p-value 是相同的。因此，這句話是正確的。

b. The F test and the t test may or may not yield the same results.

此題考驗卡方檢定 (Chi-square test) 的臨界值查詢。

題目要求檢定「年齡（即男孩和女孩）」與「飲料偏好」之間的獨立性。這是一個適合使用卡方獨立性檢定 (Chi-square test of independence) 的問題。

卡方檢定統計量的公式為：
$\chi^2 = \sum_{i} \sum_{j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
其中，$O_{ij}$ 是實際觀察到的個數 (Observed counts)，$E_{ij}$ 是在虛無假說（即兩個變數獨立）下預期會觀察到的個數 (Expected counts)。

卡方檢定的臨界值取決於：

1. 顯著水準 $\alpha$。
2. 自由度 $df$。

根據題目，顯著水準 $\alpha = 0.05$。

此題考驗卡方獨立性檢定中，預期次數 (Expected Counts) 的計算。

預期次數 $E_{ij}$ 的計算公式為：
$E_{ij} = \frac{(\text{第 i 行總計}) \times (\text{第 j 列總計})}{\text{總計}}$
其中，$i$ 代表行（飲料偏好），$j$ 代表列（性別）。

我們需要計算「男孩 (Boys)」且「偏好咖啡 (Coffee)」的預期次數。
從 Exhibit DD 表格中，我們找到相關的總計：

• 咖啡 (Coffee) 的總計（行總計）：250
• 男孩 (Boys) 的總計（列總計）：600
• 總計 (Grand Total)：1000

核心觀念

在簡單線性迴歸中，檢定斜率是否顯著：

斜率的 $t$ 統計量為

且在只有一個自變數的簡單線性迴歸中，$t$ 統計量與變異數分析表中的 $F$ 統計量具有關係：

因此也可由 ANOVA 表計算：

其中：

• $MSR=SSR/df_R$
• $MSE=SSE/df_E$

解題方法

樣本數為 $n=7$，簡單線性迴歸包含一個自變數，因此：

由題目給定：

先計算迴歸均方與誤差均方：

因此：

由於簡單線性迴歸中 $F=t^2$，所以：

題目問的是檢定斜率顯著性的 $t$ 統計量，通常以其絕對值表示，因此：

此題考驗如何從迴歸分析輸出中計算 F 檢定統計量。

Exhibit EE 提供了迴歸分析的 ANOVA (Analysis of Variance) 表。
F 檢定統計量的計算公式為：
$F = \frac{\text{Mean Square for Regression (MSR)}}{\text{Mean Square for Error (MSE)}}$

從 Exhibit EE 的 ANOVA 表中，我們找到以下資訊：

• Regression SS (Sum of Squares for Regression) = 196.893
• Error SS (Sum of Squares for Error) = 94.822