108 年 國立成功大學資源工程學系碩士班甲組《土壤力學》

本題主要在測試考生對於土壤力學基本名詞的理解與定義。以下分別解釋：

1. Porosity (孔隙比)：
   孔隙比 $e$ 是土壤中孔隙體積 $V_v$ 與固體體積 $V_s$ 之比。
   $e = \frac{V_v}{V_s}$
   它反映了土壤的疏鬆程度。孔隙比越大，土壤越疏鬆，含水量越高。

2. OMC (Optimum Moisture Content,最適含水量)：
   最適含水量是指在特定之夯實能量下，土壤可達到的最大乾密度時所對應之含水量。通常藉由標準或改良夯實試驗來求得。

3. Shrinkage Limit (縮限)：
   縮限是指土壤由塑性狀態轉變為乾涸狀態時，體積不再隨含水量減少而縮減的最小含水量。在此含水量以下，土壤的體積變化僅由含水量的減少引起；在此含水量以上，體積變化則同時受到含水量減少及孔隙水表面張力引起的毛細管力影響。

4. Quick Condition (快速條件)：
   在土壤力學中，「快速條件」通常是指在應力施加後，孔隙水壓力有足夠的時間消散，使得土壤中的總應力變化幾乎完全由有效應力變化來承受的狀態。

本題考驗土壤含水量 ($w$) 的計算，利用比重瓶法測量土壤的比重與體積關係。

核心觀念：
含水量定義為土壤中水分重量與固體顆粒重量的比值。比重瓶法可用來測量土壤的比重，進而推算出土壤的體積，再結合重量關係計算含水量。

解題步驟：

1. 定義與已知條件：

   • 濕土壤重量 $W_{soil} = 200$ g
   • 比重瓶加滿蒸餾水重量 $W_{water\_in\_bottle} = 724.3$ g
   • 比重瓶加滿蒸餾水及濕土壤並排除空氣後之總重量 $W_{total} = 838.8$ g
   • 土粒比重 $G_s = 2.66$

2. 計算比重瓶的體積：
   我們知道蒸餾水的密度 $\rho_w \approx 1$ g/cm³ (在一般常溫下)。
   比重瓶中蒸餾水的重量即為蒸餾水的體積 (以 cm³ 為單位) 乘以其密度。
   比重瓶的體積 $V_{bottle}$ 等於蒸餾水在該溫度下的重量除以蒸餾水的密度。
   $V_{bottle} = \frac{W_{water\_in\_bottle}}{\rho_w} = \frac{724.3 \text{ g}}{1 \text{ g/cm}^3} = 724.3 \text{ cm}^3$

3. 計算濕土壤的體積：
   當濕土壤加入比重瓶並加滿蒸餾水排除空氣後，總重量為 $W_{total} = 838.8$ g。
   此總重量包含濕土壤的重量 ($W_{soil}$) 和填充至比重瓶剩餘空間的蒸餾水的重量。
   濕土壤的體積 $V_{soil}$ 可以透過以下方式計算：
   濕土壤的重量 $W_{soil} = 200$ g。
   濕土壤的體積 $V_{soil}$ 包含固體體積 $V_s$ 和孔隙體積 $V_v$。
   我們知道，比重瓶的總體積 $V_{bottle}$ 等於濕土壤的體積 $V_{soil}$ 加上所加入的蒸餾水的體積。
   加入的蒸餾水的重量為：
   $W_{water\_added} = W_{total} - W_{soil} = 838.8 \text{ g} - 200 \text{ g} = 638.8 \text{ g}$
   這些蒸餾水的體積為：
   $V_{water\_added} = \frac{W_{water\_added}}{\rho_w} = \frac{638.8 \text{ g}}{1 \text{ g/cm}^3} = 638.8 \text{ cm}^3$
   因此，濕土壤的體積為：
   $V_{soil} = V_{bottle} - V_{water\_added} = 724.3 \text{ cm}^3 - 638.8 \text{ cm}^3 = 85.5 \text{ cm}^3$

4. 計算土壤固體顆粒的重量：
   我們知道土粒比重 $G_s = 2.66$。土粒比重定義為土粒在特定溫度下密度與同溫度下水的密度之比。
   $G_s = \frac{\rho_s}{\rho_w}$
   其中 $\rho_s$ 為土粒密度。

本題考驗土壤粒徑分布曲線的判讀與分析，包括求取有效粒徑、均勻係數、曲率係數，並依此判斷土壤的級配優劣。

核心觀念：
粒徑分布曲線描述了土壤中不同粒徑顆粒的含量比例。

• 有效粒徑 ($D_{10}$)：通過百分比為 10% 時對應的粒徑。
• 均勻係數 ($C_u$)：通過百分比為 60% 時對應的粒徑 ($D_{60}$) 與通過百分比為 10% 時對應的粒徑 ($D_{10}$) 的比值。
• 曲率係數 ($C_c$)：通過百分比為 30% 時對應的粒徑 ($D_{30}$) 的平方與通過百分比為 60% 和 10% 時對應粒徑乘積的比值。
• 級配優劣判斷：基於 $C_u$ 和 $C_c$ 的值來判斷土壤的級配是連續的還是不連續的，以及顆粒大小的分布是否均勻。

解題步驟：

從圖中讀取粒徑分布曲線上的數據點，並繪製或插值獲得所需的粒徑值：

1. 讀取圖表數據：

   • 通過百分比 10% 時，粒徑 $D_{10}$ 大約為 0.12 mm。
   • 通過百分比 30% 時，粒徑 $D_{30}$ 大約為 0.3 mm。
   • 通過百分比 60% 時，粒徑 $D_{60}$ 大約為 0.7 mm。

2. 計算有效粒徑 ($D_{10}$)：
   由圖表讀得，通過百分比為 10% 時，粒徑 $D_{10} \approx 0.12$ mm。

3. 計算均勻係數 ($C_u$)：
   $C_u = \frac{D_{60}}{D_{10}}$
   $C_u = \frac{0.7 \text{ mm}}{0.12 \text{ mm}} \approx 5.83$

4. 計算曲率係數 ($C_c$)：
   $C_c = \frac{D_{30}^2}{D_{10} \times D_{60}}$

核心觀念

本題考查三軸試驗中的莫爾－庫倫破壞準則，以及總應力與有效應力之間的關係。

正常壓密黏土在有效應力分析下通常取有效黏聚力

$$c'=0$$

因此破壞時：

$$\tau_f=\sigma_n'\tan\phi'$$

三軸壓縮試驗中，破壞面與水平面的夾角為

$$\alpha=45^\circ+\frac{\phi'}{2}$$

其中 $\phi'$ 為有效應力摩擦角，也就是排水摩擦角。

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A. 壓密排水試驗（CD Test）

已知：

$$\sigma_3=200\ \text{kN/m}^2$$

由於為 CD 試驗，剪切破壞過程中孔隙水壓可視為零，因此總應力等於有效應力：

$$\sigma_3'=\sigma_3=200\ \text{kN/m}^2$$

破壞面與水平面的夾角：

$$\alpha=57^\circ$$

（1）摩擦角 $\phi'$

利用破壞面角度公式：

$$57^\circ=45^\circ+\frac{\phi'}{2}$$

因此：

$$\frac{\phi'}{2}=12^\circ$$ $$\boxed{\phi'=24^\circ}$$

（2）破壞時之軸差應力 $\Delta d$

三軸壓縮試驗破壞時，對於 $c'=0$ 的土壤：

$$\sigma_1' = \sigma_3' \tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi'}{2}\right)$$

因為：

$$45^\circ+\frac{\phi'}{2}=57^\circ$$

所以：

$$\sigma_1' = 200\tan^2 57^\circ$$ $$\tan57^\circ\approx1.5399$$ $$\sigma_1' \approx200(1.5399)^2 \approx474.2\ \text{kN/m}^2$$

軸差應力為：

$$\Delta d=\sigma_1-\sigma_3$$

CD 試驗中總應力等於有效應力，因此：

$$\Delta d = 474.2-200 = 274.2\ \text{kN/m}^2$$

故：

$$\boxed{\Delta d\approx274.2\ \text{kN/m}^2}$$

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B. 壓密不排水試驗（CU Test）

已知：

$$\sigma_3=200\ \text{kN/m}^2$$ $$u_f=105\ \text{kN/m}^2$$

CU 試驗剪切階段不排水，但試體已先完成壓密，因此破壞時應以有效應力破壞準則分析。

有效圍壓為：

$$\sigma_3'=\sigma_3-u_f$$ $$\sigma_3'=200-105=95\ \text{kN/m}^2$$

由 A 部分求得：

$$\phi'=24^\circ,\qquad c'=0$$

（1）破壞時之軸差應力 $\Delta_{od}$

破壞時有效主應力：

$$\sigma_1' = \sigma_3' \tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi'}{2}\right)$$

代入數值：

$$\sigma_1' = 95\tan^2 57^\circ$$

核心觀念

本題考查飽和黏土受瞬間均佈載重後的：

1. 不排水瞬間超額孔隙水壓
2. 孔隙水壓與水頭的關係
3. 壓密度與超額孔隙水壓的關係

飽和黏土瞬間加載且尚未排水時，外加應力全部由孔隙水承擔，因此：

$$\Delta u_0=\Delta \sigma=120\ \text{kN/m}^2$$

水壓計上升高度 $h$ 所代表的超額孔隙水壓為：

$$\Delta u=\gamma_w h$$

其中取 $\gamma_w \approx 10\ \text{kN/m}^3$。

壓密度定義為：

$$U=\frac{\text{已消散的超額孔隙水壓}}{\text{初始超額孔隙水壓}} =1-\frac{\Delta u}{\Delta u_0}$$

由於 $\Delta u=\gamma_w h$，所以也可寫成：

$$U=1-\frac{h}{h_0}$$

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解題方法

（1）瞬間施加載重時，水壓計上升高度 $h$

瞬間加載、黏土尚未排水時：

$$\Delta u_0=\Delta \sigma=120\ \text{kN/m}^2$$

因此：

$$h_0=\frac{\Delta u_0}{\gamma_w} =\frac{120}{10} =12.0\ \text{m}$$

若採用 $\gamma_w=9.81\ \text{kN/m}^3$，則：

$$h_0=\frac{120}{9.81}=12.23\ \text{m}$$

考試通常取 $\gamma_w=10\ \text{kN/m}^3$，故：

本題考驗考生對固結沉陷計算的掌握，特別是利用「1:2應力傳遞法」估算黏土層的應力增加量，並進一步計算最終沉陷量。

核心觀念：

• 固結沉陷 (Consolidation Settlement)：由於外部載荷導致土體孔隙水壓力消散，土體體積收縮而產生的垂直沉降。
• 1:2 應力傳遞法：一種估算基礎下方土體應力增加的方法。該方法假設應力從基礎邊緣開始，在垂直方向上以 1:2 的坡度（水平距離：垂直距離）擴散。
• 正常壓密黏土 (Normally Consolidated Clay)：指該黏土層經歷的最大歷史應力等於其目前的上覆應力。其固結沉陷計算公式為 $s_f = \frac{C_c}{1+e_0} H \log_{10}\left(\frac{\sigma'_0 + \Delta \sigma}{\sigma'_0}\right)$。
• 土體參數計算：需要從給定的參數（$w, G_s, LL$）計算出初始孔隙比 $e_0$ 和初始有效上覆應力 $\sigma'_0$。

解題步驟：

已知條件：

• 基礎寬度 $B = 1.5$ m
• 基礎長度 $L = 2.5$ m
• 基礎荷重 $Q = 120$ kN
• 砂層1厚度 $H_1 = 1.5$ m, 單位重 $\gamma_1 = 15$ kN/m³
• 砂層2厚度 $H_2 = 1.5$ m, 單位重 $\gamma_2 = 18$ kN/m³
• 黏土層厚度 $H_c = 2.5$ m
• 黏土層為正常壓密，含水量 $w = 35\%$，土粒比重 $G_s = 2.7$，液性限度 $LL = 38\%$。
• 地下水位在砂層2頂部。

1. 計算初始有效上覆應力 ($\sigma'_0$) 在黏土層頂部

首先需要計算黏土層頂部（即砂層2底部）的初始有效上覆應力。

• 砂層1的水壓力（由於地下水位在砂層2頂部，砂層1是飽和的）：
  $\sigma_{1} = \gamma_{sat1} H_1$。
  需要計算 $\gamma_{sat1}$。
  $\gamma_{sat} = \frac{G_s+e}{1+e} \gamma_w$。
  首先計算黏土層的 $e_0$。
  假設地下水位線表示該水位以下的土都為飽和。
  砂層1的單位重 $\gamma_1 = 15$ kN/m³。由於未說明是否為飽和，一般假設為乾重或總重。但通常給定的 $\gamma$ 是總重。若地下水位在砂層2頂部，則砂層1是飽和的。
  若 $\gamma_1 = 15$ kN/m³ 是總單位重，則 $\gamma_{sat1} = 15$ kN/m³。
  若 $\gamma_1 = 15$ kN/m³ 是乾單位重，則 $\gamma_{sat1} = \gamma_d + \gamma_w \frac{e}{1+e} = 15 + 9.81 \frac{e}{1+e}$。
  假設：題目給的 $\gamma$ 值是總單位重，且地下水位線表示該水位以下的土是飽和的。
  所以，砂層1的總應力 $\sigma_{1} = \gamma_{sat1} H_1 = 15 \text{ kN/m}^3 \times 1.5 \text{ m} = 22.5$ kN。
  由於地下水位線在砂層2頂部，砂層1是飽和的，其總應力為 $\sigma_{1,total} = 15 \times 1.5 = 22.5$ kN/m²。
  砂層2的總應力 $\sigma_{2,total} = \gamma_2 H_2 = 18 \text{ kN/m}^3 \times 1.5 \text{ m} = 27$ kN/m²。
  黏土層頂部的初始總上覆應力 $\sigma_0 = \sigma_{1,total} + \sigma_{2,total} = 22.5 + 27 = 49.5$ kN/m²。

  現在需要計算黏土層的初始孔隙比 $e_0$ 和初始有效上覆應力 $\sigma'_0$。
  對於黏土層：$w = 35\% = 0.35$, $G_s = 2.7$。
  假設黏土層是飽和的 (通常黏土層在地下水位下方是飽和的)。
  水的密度 $\rho_w = 1000$ kg/m³，$\gamma_w = 9.81$ kN/m³。
  由 $w = \frac{W_w}{W_s}$ 和 $W_w = V_w \gamma_w$, $W_s = V_s \gamma_s = V_s G_s \gamma_w$。
  $w = \frac{V_w \gamma_w}{V_s G_s \gamma_w} = \frac{V_w}{V_s G_s}$。
  令 $V_s = 1$ m³，則 $V_w = e \times V_s = e$ m³。
  $w = \frac{e}{G_s}$。
  $e_0 = w \times G_s = 0.35 \times 2.7 = 0.945$。
  初始孔隙比 $e_0 = 0.945$。

  計算黏土層頂部（即砂層2底部）的初始有效上覆應力 $\sigma'_0$。
  砂層1：$\sigma_{1,total} = 22.5$ kN/m²。由於地下水位在砂層2頂部，砂層1是飽和的。
  $\gamma_{sat1} = \frac{G_{s1}+e_0}{1+e_0} \gamma_w$。
  需要砂層1的 $G_{s1}$ 和 $e_0$。題目未給。
  假設：題目給的 $\gamma_1=15$ kN/m³ 就是砂層1的飽和單位重 $\gamma_{sat1}$。
  則 $\sigma_{1,sat} = 15 \text{ kN/m}^3 \times 1.5 \text{ m} = 22.5$ kN/m²。
  砂層2的總單位重 $\gamma_2 = 18$ kN/m³。由於地下水位在其頂部，砂層2是飽和的。
  $\sigma_{2,sat} = 18 \text{ kN/m}^3 \times 1.5 \text{ m} = 27$ kN/m²。
  黏土層頂部的初始總上覆應力 $\sigma_0 = \sigma_{1,sat} + \sigma_{2,sat} = 22.5 + 27 = 49.5$ kN/m²。
  黏土層頂部的初始有效上覆應力 $\sigma'_0$：
  $\sigma'_0 = \sigma_0 - u_0$。
  地下水位在黏土層頂部，所以該處的水壓為 0。
  因此，$\sigma'_0 = \sigma_0 = 49.5$ kN/m²。

2. 計算基礎底面應力增加 ($\Delta \sigma$)

基礎底面面積 $A = B \times L = 1.5 \text{ m} \times 2.5 \text{ m} = 3.75 \text{ m}^2$。
基礎底面應力增加 $\Delta \sigma_{base} = \frac{Q}{A} = \frac{120 \text{ kN}}{3.75 \text{ m}^2} = 32$ kN/m²。

3. 計算黏土層內的應力增加 ($\Delta \sigma$) 在不同深度

採用 1:2 應力傳遞法。應力從基礎邊緣開始，在垂直方向上以 1:2 的坡度擴散。
我們需要計算黏土層底部的應力增加。黏土層厚度 $H_c = 2.5$ m。
考慮基礎中心點。
在黏土層頂部 (深度 $z=0$ 相對於黏土層頂部)：
應力擴散的寬度 $W = B + 2 \times (1:2 \text{ 坡度}) = 1.5 + 2 \times (2 \times 1.5) = 1.5 + 6 = 7.5$ m。
應力擴散的長度 $L' = L + 2 \times (2 \times 1.5) = 2.5 + 2 \times (3) = 2.5 + 6 = 8.5$ m。
在黏土層頂部，應力增加 $\Delta \sigma_{top}$ 是在一個擴散區域上的均佈應力。
這個應力增加是作用在基礎上的 $Q$ 經過擴散後，分散到更大的面積上。
根據 1:2 法，在深度 $z$ 處，應力增加的傳遞範圍寬度為 $B+z$ (若坡度為 1:1)，或 $B+2z$ (若坡度為 1:1，但這不是 1:2 法)。
1:2 法的意義是，在垂直距離 $z$ 處，應力擴散的寬度增加 $2z$ (每邊 $z$)。
所以，在深度 $z$ 處，擴散寬度為 $B+2z$，擴散長度為 $L+2z$。
在黏土層頂部 ($z=0$)，應力增加 $\Delta \sigma_{top}$ 作用在面積 $(B+0) \times (L+0) = B \times L$ 上。
但 1:2 法是將應力分散。
在深度 $z$ 處，應力增加的總面積 $A_z = (B+2z) \times (L+2z)$。
應力增加 $\Delta \sigma_z = \frac{Q}{A_z} = \frac{Q}{(B+2z)(L+2z)}$。
這裡的 $z$ 是從基礎底面開始的深度。
黏土層頂部在基礎底面下方 $z=0$ 處。
$\Delta \sigma_{top} = \frac{Q}{B \times L} = \frac{120 \text{ kN}}{1.5 \text{ m} \times 2.5 \text{ m}} = 32$ kN/m²。
這是在基礎底面處的應力。

1:2 應力傳遞法的應用：
應力是從基礎底面開始，以 1:2 的坡度向外擴散。
在深度 $z$ 處，應力增加 $\Delta \sigma_z$ 是由基礎底面應力 $\Delta \sigma_{base}$ 擴散而來的。
擴散的面積為 $(B+2z)(L+2z)$。
所以 $\Delta \sigma_z = \frac{Q}{(B+2z)(L+2z)}$。

我們需要計算黏土層底部的應力增加。黏土層厚度 $H_c = 2.5$ m。
所以，在黏土層底部，深度 $z = H_c = 2.5$ m。
$\Delta \sigma_{bottom} = \frac{Q}{(B+2H_c)(L+2H_c)}$
$\Delta \sigma_{bottom} = \frac{120 \text{ kN}}{(1.5 \text{ m} + 2 \times 2.5 \text{ m})(2.5 \text{ m} + 2 \times 2.5 \text{ m})}$
$\Delta \sigma_{bottom} = \frac{120 \text{ kN}}{(1.5 + 5)(2.5 + 5)} = \frac{120 \text{ kN}}{(6.5 \text{ m})(7.5 \text{ m})}$
$\Delta \sigma_{bottom} = \frac{120 \text{ kN}}{48.75 \text{ m}^2} \approx 2.46 \text{ kN/m}^2$
這個 $\Delta \sigma_{bottom}$ 是在黏土層底部的平均應力增加。

4. 計算黏土層的最終沉陷量 ($s_f$)

黏土層是正常壓密，所以使用公式：
$s_f = \frac{C_c}{1+e_0} H_c \log_{10}\left(\frac{\sigma'_0 + \Delta \sigma}{\sigma'_0}\right)$
我們已計算出：

• $H_c = 2.5$ m
• $e_0 = 0.945$
• $\sigma'_0 = 49.5$ kN/m² (黏土層頂部有效應力)
• $\Delta \sigma = \Delta \sigma_{bottom} = 2.46$ kN/m² (黏土層底部的應力增加)

需要 $C_c$ 值。 題目未給 $C_c$ 值。
通常 $C_c$ 可以從液性限度 $LL$ 計算，例如 Terzaghi 的經驗公式：$C_c = 0.009 (LL - 10)$。
$LL = 38\%$。
$C_c = 0.009 (38 - 10) = 0.009 \times 28 = 0.252$。

現在代入公式計算 $s_f$：
$s_f = \frac{0.252}{1+0.945} \times 2.5 \text{ m} \times \log_{10}\left(\frac{49.5 \text{ kN/m}^2 + 2.46 \text{ kN/m}^2}{49.5 \text{ kN/m}^2}\right)$
$s_f = \frac{0.252}{1.945} \times 2.5 \text{ m} \times \log_{10}\left(\frac{51.96}{49.5}\right)$
$s_f \approx 0.12956 \times 2.5 \text{ m} \times \log_{10}(1.0497)$
$\log_{10}(1.0497) \approx 0.02105$
$s_f \approx 0.12956 \times 2.5 \times 0.02105 \text{ m}$
$s_f \approx 0.00683 \text{ m}$
$s_f \approx 6.83 \text{ mm}$

重要說明與假設驗證：

• 單位重：假設 $\gamma_1=15$ kN/m³ 和 $\gamma_2=18$ kN/m³ 為飽和總單位重。
• 初始有效應力 $\sigma'_0$：假設地下水位線表示該水位以下的土均飽和。砂層1頂部總應力為 22.5 kN/m²。砂層2頂部總應力為 27 kN/m²。黏土層頂部總應力為 49.5 kN/m²。由於地下水位在黏土層頂部，故 $\sigma'_0 = 49.5$ kN/m²。
• 孔隙比 $e_0$：由 $w=0.35, G_s=2.7$ 計算得 $e_0=0.945$。
• 應力增加 $\Delta \sigma$：採用 1:2 應力傳遞法，計算黏土層底部的應力增加。