111 年 國立成功大學資源工程學系碩士班甲組《土壤力學》

本題主要在考驗土壤力學中幾個基本名詞的定義與其在工程上的應用。

1. 預壓密壓力 (Preconsolidation Pressure, $P_c$ 或 $\sigma'_{c}$)

   • 定義: 指一土壤試樣在過去所承受過的最大垂直有效應力。
   • 工程應用:
     • 沉陷分析: 預估土層在承受額外荷重後可能發生的沉陷量。如果額外荷重超過預壓密壓力，則沉陷會顯著增加（屬於超固結土）。
     • 地盤改良: 了解土體的固結程度，以評估地盤改良的成效與所需時間。
     • 邊坡穩定: 影響土體的強度，對於邊坡穩定分析有重要意義。

2. 優良級配 (Well-graded)

   • 定義: 指一土壤的粒徑分佈範圍廣，各種粒徑的土粒（從粗粒到細粒）都含有相當的比例，沒有明顯的粒徑空隙。優良級配的土壤通常具有較高的密實度、較好的強度和較低的透水性（相較於級配不良但平均粒徑相同的土壤）。
   • 工程應用:
     • 築堤填土: 進行填方工程時，使用級配良好的土壤可以獲得較高的密度和強度，減少沉陷。
     • 路基與基層: 在道路工程中，級配良好的土壤（如級配料）是良好的路基和基層材料，能提供穩固的承載力。
     • 混凝土骨材: 良好的級配有助於減少混凝土中的空隙，提高強度與耐久性。

3. 管湧 (Piping)

   • 定義: 在滲流作用下，水流從滲流出口（如堤岸的底部或背填土的開口處）將土壤顆粒沖蝕、帶走，形成類似「管子」的通道，導致土體結構破壞的現象。
   • 工程應用:
     • 水工結構安全: 是水壩、堤岸、護岸等水工結構常見的破壞機制之一。管湧會掏空堤岸底部，最終導致結構潰決。
     • 滲流控制: 工程設計時必須考慮管湧的潛在風險，採取適當的滲流控制措施，如設置濾層、反濾層，加長滲流路徑等。

Casagrande 塑性圖 (Plasticity Chart) 是土壤力學中用於根據土壤的液性限度 (Liquid Limit, $LL$) 和塑性指數 (Plasticity Index, $PI$) 來分類塑性土壤（尤其是黏土）的重要工具。

塑性圖的構成與說明：

1. 座標軸:

   • 橫軸：液性限度 ($LL$)，表示土壤由塑性狀態轉變為流動性狀態時的含水量。
   • 縱軸：塑性指數 ($PI = LL - PL$)，其中 $PL$ 為塑性限度 (Plastic Limit)，表示土壤由塑性狀態轉變為半固體狀態時的含水量。塑性指數代表土壤的塑性範圍。

2. 分類線 (Classification Lines):

   • A 線 (A-line): 由 Casagrande 本人提出的經驗線，其方程式為 $PI = 0.73 (LL - 20)$。這條線將高塑性黏土 (CH) 與低塑性黏土 (CL) 及粉土 (ML) 分開。
     • 位於 A 線上方的點代表黏土 (Clay)。
     • 位於 A 線下方的點代表粉土 (Silt) 或有機質土 (Organic Silt)。
   • B 線 (B-line): 由 U.S. Bureau of Reclamation 提出，用來區分低塑性黏土 (CL) 和粉土 (ML)。其方程式為 $PI = 0.9 (LL - 8)$。
     • 位於 A 線與 B 線之間的點，且 $LL > 30$，通常被歸類為低塑性黏土 (CL)。
     • 位於 B 線下方的點，且 $LL < 50$，通常被歸類為粉土 (ML)。
   • C 線 (C-line): 用來區分高塑性黏土 (CH) 和極高塑性黏土 (CH)。其方程式為 $PI = 0.81 (LL - 28)$。
     • 位於 C 線上方的點代表極高塑性黏土 (CH)。

3. 區域劃分: 塑性圖上根據 A 線、B 線、C 線以及不同的液性限度值（如 30、50）劃分出不同的土壤區域，包括：

核心觀念

本題利用 Newmark 影響圖，求矩形筏式基礎均布荷載在基礎中心下方指定深度所造成的垂直應力增量。

Newmark 影響圖中，每一個小區塊的影響值為

$$I_0=0.005$$

應力增量公式為

$$\Delta \sigma_z=qNI_0$$

其中：

• $q$：基礎底面均布壓力
• $N$：基礎投影在影響圖上所涵蓋的小區塊數
• $I_0$：單一小區塊影響值

解題方法

基礎面積為

$$A=11\times 6.3=69.3\ \text{m}^2$$

因此基礎底面平均荷載為

$$q=\frac{10000}{69.3} =144.3\ \text{kN/m}^2 =144.3\ \text{kPa}$$

觀測點位於基礎中心正下方 $z=4.9\ \text{m}$ 處，因此將基礎尺寸依深度換算為影響圖上的尺寸：

$$\frac{11}{4.9}=2.245$$ $$\frac{6.3}{4.9}=1.286$$

核心觀念

本題考查標準 Proctor 夯實試驗與現場砂錐試驗的應用。

現場砂錐試驗可利用已知乾密度的 Ottawa 砂，求出現場挖孔體積：

$$V_h=\frac{W_s}{\rho_{d,\mathrm{Ottawa}}}$$

其中：

• $V_h$：現場試坑體積
• $W_s$：填入試坑中的 Ottawa 砂重量
• $\rho_{d,\mathrm{Ottawa}}$：Ottawa 砂乾密度

求得試坑體積後，再由挖出土樣的濕重與含水量，求現場土壤乾密度：

$$\rho_d=\frac{\rho}{1+w}$$

相對夯實度定義為：

$$R_c=\frac{\gamma_{d,\mathrm{field}}}{\gamma_{d,\max}}\times 100\%$$

其中 $\gamma_{d,\max}$ 為標準 Proctor 試驗所得的最大乾土單位重。

---

解題方法

一、求填入試坑的 Ottawa 砂重量

砂錐試驗使用前後的總重量差為：

$$W_{\mathrm{總砂}} =7.52-3.46 =4.06\ \mathrm{kg}$$

其中包含：

1. 填入試坑的 Ottawa 砂
2. 填充砂錐所需的 Ottawa 砂

已知填充砂錐的砂重為 $0.55\ \mathrm{kg}$，因此真正填入試坑的 Ottawa 砂重量為：

$$W_s=4.06-0.55 =3.51\ \mathrm{kg}$$

---

二、求現場試坑體積

Ottawa 砂的乾密度為：

$$\rho_{d,\mathrm{Ottawa}}=1600\ \mathrm{kg/m^3}$$

因此試坑體積為：

$$V_h=\frac{W_s}{\rho_{d,\mathrm{Ottawa}}} =\frac{3.51}{1600} =0.00219375\ \mathrm{m^3}$$

---

三、求現場土壤濕密度

挖出土壤的濕重為：

$$W_{\mathrm{wet}}=4.32\ \mathrm{kg}$$

故現場土壤濕密度為：

$$\rho_{\mathrm{wet}} =\frac{W_{\mathrm{wet}}}{V_h} =\frac{4.32}{0.00219375} =1969.23\ \mathrm{kg/m^3}$$

---

四、求現場土壤乾密度與乾土單位重

土壤含水量為：

$$w=11.8\%=0.118$$

濕密度與乾密度的關係為：

$$\rho_{\mathrm{wet}}=\rho_d(1+w)$$

因此：

$$\rho_{d,\mathrm{field}} =\frac{\rho_{\mathrm{wet}}}{1+w} =\frac{1969.23}{1.118} =1761.39\ \mathrm{kg/m^3}$$

換算為乾土單位重：

$$\gamma_{d,\mathrm{field}} =\rho_{d,\mathrm{field}}g$$

取 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$：

核心觀念

本題考查一維壓密理論，重點包括：

1. 平均壓密度 $U$ 與沉陷量的關係：
   $U=\frac{S_t}{S_\infty}$

2. 時間因子 $T_v$：
   $T_v=\frac{C_vt}{H_d^2}$

   其中：

   • $C_v=0.003\ \text{cm}^2/\text{s}$：壓密係數
   • $t$：壓密所需時間
   • $H_d$：最大排水距離

3. 最大排水距離取決於排水條件：

   • 單向排水：$H_d=H$
   • 雙向排水：$H_d=H/2$

題目中的 $C$ 具有壓密係數的單位，因此以下以 $C_v$ 表示。

---

已知資料

粘土層厚度：

$H=8\ \text{m}=800\ \text{cm}$

最終主要壓密沉陷量：

$S_\infty=50\ \text{cm}$

壓密係數：

$C_v=0.003\ \text{cm}^2/\text{s}$

---

（1）上方為 3 m 飽和砂層，下方為不透水岩層，沉陷量為 25 cm

解題方法

上方砂層可排水，下方岩層不透水，因此粘土層只能向上單向排水。

故最大排水距離為：

$H_d=H=800\ \text{cm}$

求平均壓密度

$$U=\frac{S_t}{S_\infty} =\frac{25}{50}=0.5$$

因此：

$U=50\%$

由一維壓密理論或標準 $T_v-U$ 關係表，當 $U=50\%$ 時：

$T_v\approx 0.197$

亦可由低壓密度近似式：

$T_v=\frac{\pi}{4}U^2$

得到：

$$T_v=\frac{\pi}{4}(0.5)^2 =0.196\approx 0.197$$

求壓密時間

由：

$T_v=\frac{C_vt}{H_d^2}$

整理得：

$t=\frac{T_vH_d^2}{C_v}$

代入：

$t=\frac{(0.197)(800)^2}{0.003}$

$t=42,026,667\ \text{s}$

換算為天：

$$t=\frac{42,026,667}{86,400} \approx486.4\ \text{天}$$

因此：