112 年 國立成功大學資源工程學系碩士班甲組《土壤力學》

此題為土壤力學基本名詞解釋與應用題，旨在測驗考生對土壤基本性質及工程行為的理解。

1. 有效粒徑 (Effective Particle Size)：

   • 意義：有效粒徑通常指 $D_{10}$，即土壤顆粒直徑分佈曲線中，有 10% 的顆粒直徑小於此值。它代表了土壤中較細顆粒的代表性尺寸。
   • 應用：有效粒徑是計算土壤滲透性（如達西定律）和土壤壓密沈陷的重要參數。在設計濾層、排水設施以及評估土壤的抗液化潛能時，有效粒徑也是一個關鍵考量因素。例如，在設計反濾層時，需要確保濾層顆粒的有效粒徑足夠小，以阻止被保護土層的細顆粒滲出，同時又足夠大，以保證足夠的滲透性。

2. 臨界水力梯度 (Critical Hydraulic Gradient)：

   • 意義：當水在土壤中流動時，會對土壤顆粒產生向上的滲流力（浮力與滲流力之和）。當這個滲流力足以克服土壤顆粒的自重時，土壤顆粒就會產生向上運動，導致土壤顆粒之間失去接觸，土壤結構崩潰，呈現類似液體般的流動狀態，此時的水力梯度即為臨界水力梯度。數學上，臨界水力梯度 $i_c$ 通常表示為：
     $i_c = \frac{G_s - 1}{1 + e}$
     其中 $G_s$ 為土粒比重，$e$ 為土壤孔隙比。
   • 應用：臨界水力梯度是判斷土壤是否會發生管湧（Boiling）或流砂（Quick Sand）現象的指標。當實際水力梯度超過臨界水力梯度時，就可能發生管湧現象，這在水利工程（如水壩、堤防、攔河堰的基礎滲流）和基坑開挖（地下水位較高時）中是極為危險的狀況，可能導致結構破壞或邊坡失穩。

3. 相對夯實度 (Relative Compaction)：

   • 意義：相對夯實度是指現場土壤壓實後的乾密度與標準最大乾密度（通常由 Proctor 試驗確定）之比。
     $RC = \frac{\gamma_{d,field}}{\gamma_{d,max}} \times 100\%$

此題主要考查考生對土體壓密行為的理解，特別是正常壓密與過壓密土的區別、e-logP曲線的特徵，以及壓密沈陷量的計算公式。

一、正常壓密粘土與過壓密粘土的定義

• 正常壓密粘土 (Normally Consolidated Clay, NC)：

  • 意義：指該粘土層在整個地質歷史時期內，其所承受的豎向有效應力從未超過現時所承受的豎向有效應力。換言之，現時的豎向有效應力即為該土層歷史上所承受的最高豎向有效應力。
  • 特性：當施加額外的荷載時，正常壓密土會發生一次壓密沉陷，其孔隙比會隨著應力的增加而線性減少（在 e-logP 圖上）。

• 過壓密粘土 (Overconsolidated Clay, OC)：

  • 意義：指該粘土層在地質歷史時期內，曾經承受過比現時所承受的豎向有效應力更高的豎向有效應力。現時所承受的豎向有效應力小於歷史上所承受的最高豎向有效應力，這個歷史最高豎向有效應力稱為預壓密壓力 ($p_c$ 或 $\sigma'_{pc}$)。
  • 特性：當施加的額外荷載引起的總應力增量 $\Delta\sigma'$ 小於 $p_c - \sigma'_v$ 時（其中 $\sigma'_v$ 為現時豎向有效應力），土體處於過壓密狀態，孔隙比隨應力增加而減少的斜率較小。當施加的額外荷載使總應力超過預壓密壓力 ($p_c$) 時，土體進入正常壓密狀態，孔隙比隨應力增加而減少的斜率變大。

二、e-logP圖的繪製與壓密沈陷量公式

• e-logP圖的繪製：

  • 橫軸：豎向有效應力 P (通常取對數尺度，log P)。

  • 縱軸：孔隙比 e。

  • 正常壓密土 (NC)：在 e-logP 圖上，正常壓密土的曲線是一條近似直線，斜率為 $-\lambda$，其中 $\lambda$ 為壓縮指數 (Compression Index)。

  • 過壓密土 (OC)：在 e-logP 圖上，過壓密土的曲線在達到預壓密壓力 ($p_c$) 之前，斜率較小，稱為回彈指數 (Rebound Index)，記為 $-\kappa$。當應力超過 $p_c$ 後，曲線斜率變大，變為 $-\lambda$，與正常壓密土的曲線斜率相同。

  • 繪製示意圖：

    • 繪製一個座標系，橫軸為 log P，縱軸為 e。
    • 對於過壓密土，先繪製一條斜率為 $-\kappa$ 的直線，代表應力小於 $p_c$ 的部分。
    • 在 $p_c$ 處，曲線斜率突然變大，繪製一條斜率為 $-\lambda$ 的直線，代表應力大於 $p_c$ 的部分。
    • 對於正常壓密土，整條曲線是一條斜率為 $-\lambda$ 的直線。
    • 在圖上標示出預壓密壓力 $p_c$、壓縮指數 $\lambda$ 和回彈指數 $\kappa$。

    e ↑
      |       / (斜率 -λ)
      |      /
      |     /
      |    /
      |   /
      |  /
      | /
      |/_______(斜率 -κ)________
      +-------------------------> log P
          p_c
    

    （註：此處為文字示意，實際繪製需在圖中標示清楚斜率與預壓密壓力點）

• 主要壓密沈陷量計算公式：

  • 對於正常壓密土 (NC)：
    當施加的額外應力 $\Delta\sigma'$ 導致總應力從 $\sigma'_{v0}$ 變為 $\sigma'_{vf} = \sigma'_{v0} + \Delta\sigma'$

核心觀念

本題考查土壤三相組成關係，主要使用下列定義：

• 含水量：
  $w=\frac{W_w}{W_s}$
• 土粒比重：
  $G_s=\frac{\rho_s}{\rho_w}$
• 孔隙比：
  $e=\frac{V_v}{V_s}$
• 飽和度：
  $S_r=\frac{V_w}{V_v}$
• 乾密度：
  $\rho_d=\frac{G_s\rho_w}{1+e}$
• 溼密度：
  $\rho=\rho_d(1+w)$

其中取水之密度為：

$\rho_w=1000\ \text{kg/m}^3$

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已知資料

現地溼土樣質量：

$M=465\ \text{g}$

烘乾後土粒質量：

$M_s=405.76\ \text{g}$

因此土中水分質量為：

$M_w=465-405.76=59.24\ \text{g}$

土粒比重與孔隙比：

$G_s=2.68,\qquad e=0.83$

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1. 野外土壤之濕密度

先求天然含水量

$$w=\frac{M_w}{M_s} =\frac{59.24}{405.76} =0.145998$$

因此：

$w\approx14.60\%$

求乾密度

由土壤三相關係：

$$\rho_d=\frac{G_s\rho_w}{1+e}$$

代入數值：

$$\rho_d =\frac{2.68(1000)}{1+0.83} =\frac{2680}{1.83} =1464.48\ \text{kg/m}^3$$

求濕密度

$$\rho=\rho_d(1+w)$$ $$\rho =1464.48(1+0.145998)$$ $$\boxed{\rho\approx1678.29\ \text{kg/m}^3}$$

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2. 野外土壤之飽和度

飽和度與含水量的關係為：

$$S_r=\frac{wG_s}{e}$$

代入：

$$S_r =\frac{(0.145998)(2.68)}{0.83} =0.47142$$

換算為百分比：

$$\boxed{S_r\approx47.14\%}$$

表示天然狀態下孔隙中約有 $47.14\%$ 的體積被水填滿，其餘為空氣。

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3. 土壤之乾密度

乾密度由孔隙比與土粒比重直接決定：

$$\rho_d=\frac{G_s\rho_w}{1+e}$$ $$\rho_d =\frac{2.68(1000)}{1.83} =1464.48\ \text{kg/m}^3$$

因此：

核心觀念

本題考查「壓力含水層造成黏土底部隆起（heave）」的臨界條件。

當開挖至最大深度時，開挖底部剩餘黏土層的有效應力恰好降為零：

$$\sigma'_v=\sigma_v-u=0$$

設開挖後剩餘黏土厚度為 $L$，則

$$L=6-H$$

其中 $H$ 為開挖深度。

解題方法

砂層頂部的承壓水位高出砂層頂部 $3.1\ \text{m}$，因此在黏土與砂層交界面所產生的孔隙水壓為

$$u=\gamma_w(3.1)$$

開挖底部至砂層頂部仍有厚度 $L$ 的飽和黏土，該處的總應力為

$$\sigma_v=\gamma_{\text{sat}}L$$

發生隆起的臨界條件為底部有效應力等於零：

$$\gamma_{\text{sat}}L-\gamma_w(3.1)=0$$

代入

$$\gamma_{\text{sat}}=19.4\ \text{kN/m}^3,\qquad \gamma_w=9.81\ \text{kN/m}^3$$

得

$$19.4L=9.81(3.1)$$