113 年 國立成功大學資源工程學系碩士班甲組《土壤力學》

本題主要在測試考生對土壤力學基本名詞的理解程度。

1. 有效應力 (Effective Stress)：
   有效應力是指土壤顆粒間接觸點所承受的應力，它支配著土壤的抗剪強度和壓縮性。根據 Terzaghi 的有效應力原理，總應力（$\sigma$）等於孔隙水壓力（$u$）和有效應力（$\sigma'$）之和，即 $\sigma = \sigma' + u$。在土體中，有效應力是決定土體行為的關鍵因素。

2. 塑性圖表 (Plasticity Chart)：
   塑性圖表，也稱為 Casagrande 塑性圖，是用來根據土壤的液限（$LL$）和塑性指數（$PI$）來區分粘性土種類的圖。圖中包含一條 A-線（$PI = 0.73(LL-40)$）和一條 U-線（由實驗數據繪製）。A-線以上為粘土（Clay），A-線以下為粉土（Silt）。U-線以上為高塑性土，U-線以下為低塑性土。此圖表能幫助工程師快速分類土壤，並預估其工程性質。

3. 優良級配 (Well Graded)：
   優良級配是指土壤顆粒尺寸分佈較為均勻，各種粒徑的土粒在土壤中都有相當的比例存在。這樣的土壤具有較高的密實度、較好的抗滲性和較佳的承載力。

本題主要測試考生對土壤顆粒級配試驗的理解，包括篩分析和比重計分析的過程、目的、結果呈現及應用。

一、篩分析 (Sieve Analysis) 與比重計分析 (Hydrometer Analysis) 之施作過程：

1. 篩分析 (Sieve Analysis)：

   • 目的：測定粒徑大於 0.075 mm (No. 200 篩網孔徑) 的粗粒土壤（砂和礫石）的顆粒大小分佈。
   • 過程：
     a. 取一定量的乾燥土樣，稱重。
     b. 將土樣通過一系列不同孔徑的標準篩網（由大至小排列），並仔細篩分，確保所有小於篩網孔徑的土粒都通過。
     c. 將各篩網上保留的土粒分別稱重。
     d. 將最下面篩網（通常是 No. 200 篩網，即 0.075 mm）下方通過的細粒土（粘土和粉土）收集起來，用於比重計分析。
     e. 計算各粒徑範圍內土粒的重量百分比。

2. 比重計分析 (Hydrometer Analysis)：

   • 目的：測定粒徑小於 0.075 mm (No. 200 篩網孔徑) 的細粒土壤（粉土和粘土）的顆粒大小分佈。
   • 過程：
     a. 將篩分析中通過 No. 200 篩網的細粒土樣，加入分散劑（如六偏磷酸鈉）和蒸餾水，充分混合分散，防止土粒結團。
     b. 將分散好的土粒懸浮液倒入量筒中，加水至規定體積（通常為 1000 ml）。
     c. 在懸浮液中加入分散劑，並在特定時間點（例如 2 分鐘、5 分鐘、15 分鐘、30 分鐘、1 小時、2 小時、4 小時、8 小時、24 小時等）使用比重計（hydrometer）量測懸浮液在特定深度處的密度。
     d. 同時記錄懸浮液的溫度。

本題在測試考生對三軸壓縮試驗 (CD Test) 結果的判讀能力，以及如何利用試驗數據計算土壤的內摩擦角和破壞面傾角。

核心觀念：

• Mohr-Coulomb 破壞準則：$\tau_f = c' + \sigma' \tan \phi'$
• 有效應力原理：$\sigma' = \sigma - u$
• CD Test 的應力狀態：在試驗結束破壞時，總應力狀態已知，需推導出有效應力狀態。

解題步驟：

首先，我們需要了解 CD Test 的試驗參數。

• 圍壓 (Confining pressure)，$\sigma_3 = 140 \text{ KN/m}^2$。
• 軸差應力 (Deviator stress)，$\Delta\sigma_d = 104 \text{ KN/m}^2$。
• 此為 CD Test (Consolidated Drained Test)，表示在加壓過程中和排水情況下進行，因此試驗結束時，孔隙水壓力 $u = 0$。

根據有效應力原理，在試驗結束破壞時，主應力與圍壓之間的關係為：
主應力 $\sigma_1 = \sigma_3 + \Delta\sigma_d = 140 + 104 = 244 \text{ KN/m}^2$。
由於是 CD Test，孔隙水壓力 $u=0$，所以：
有效圍壓 $\sigma_3' = \sigma_3 - u = 140 - 0 = 140 \text{ KN/m}^2$。
有效主應力 $\sigma_1' = \sigma_1 - u = 244 - 0 = 244 \text{ KN/m}^2$。

1. 此粘土之不排水摩擦角 ($\phi'$):

對於 CD Test，由於排水完全，試驗結果可以用有效應力參數來分析，即 $\phi'$。
根據 Mohr-Coulomb 破壞準則，在破壞時，最大主應力有效值 ($\sigma_1'$) 和最小主應力有效值 ($\sigma_3'$) 之間的關係為：
$\sigma_1' = \sigma_3' \tan^2(45^\circ + \frac{\phi'}{2}) + 2c' \tan(45^\circ + \frac{\phi'}{2})$
又，在 CD Test 中，對於正常壓密粘土，通常假設其黏聚力 $c' = 0$（除非題目另外給定）。題目中並未提及黏聚力，且通常在 CD Test 中會假定 $c'=0$ 來求 $\phi'$。
因此，公式簡化為：

本題在測試考生對於多層土壤中等值滲透係數的計算能力，特別是水平和垂直方向的計算方法不同。

核心觀念：

• 串聯與並聯：在滲流分析中，垂直方向的滲流相當於各層土壤的串聯，而水平方向的滲流相當於各層土壤的並聯。
• 等值滲透係數：
  • 垂直方向 (串聯)：等值滲透係數的倒數是各層滲透係數倒數的加權平均（按厚度加權）。
  • 水平方向 (並聯)：等值滲透係數是各層滲透係數的加權平均（按厚度加權）。

解題步驟：

首先，將所有單位統一。題目給定的滲透係數單位是 cm/sec，厚度單位是 m。為了計算方便，我們將厚度統一為 cm。
$H_1 = 1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$
$H_2 = 1.5 \text{ m} = 150 \text{ cm}$
$H_3 = 2 \text{ m} = 200 \text{ cm}$
總厚度 $H_{total} = H_1 + H_2 + H_3 = 100 + 150 + 200 = 450 \text{ cm}$。

1. 計算垂直等值滲透係數 ($k_{V(eq)}$):

垂直滲流相當於各層土壤的串聯。根據達西定律，流量 $Q = kiA$。在串聯情況下，總水力坡降等於各層水力坡降之和，且流量和滲流面積相同。
令 $i_{total}$ 為總水力坡降， $i_1, i_2, i_3$ 為各層水力坡降。
$i_{total} = i_1 + i_2 + i_3$
$\frac{h_{total}}{H_{total}} = \frac{h_1}{H_1} + \frac{h_2}{H_2} + \frac{h_3}{H_3}$
其中 $h_{total}$ 是總水頭損失， $h_1, h_2, h_3$ 是各層水頭損失。
又 $h_j = i_j H_j = \frac{Q}{k_j A} H_j$。
總流量 $Q$ 在各層相同，滲流面積 $A$ 相同。
$i_{total} = \frac{Q}{k_{V(eq)} A}$
$\frac{Q}{k_{V(eq)} A} H_{total} = \frac{Q}{k_1 A} H_1 + \frac{Q}{k_2 A} H_2 + \frac{Q}{k_3 A} H_3$
將 $Q/A$ 消掉：
$\frac{H_{total}}{k_{V(eq)}} = \frac{H_1}{k_1} + \frac{H_2}{k_2} + \frac{H_3}{k_3}$
$k_{V(eq)} = \frac{H_{total}}{\frac{H_1}{k_1} + \frac{H_2}{k_2} + \frac{H_3}{k_3}}$
代入數值：
$k_{V(eq)} = \frac{450 \text{ cm}}{\frac{100 \text{ cm}}{10^{-4} \text{ cm/sec}} + \frac{150 \text{ cm}}{3.2 \times 10^{-2} \text{ cm/sec}} + \frac{200 \text{ cm}}{4.1 \times 10^{-5} \text{ cm/sec}}}$
$k_{V(eq)} = \frac{450 \text{ cm}}{1 \times 10^6 \text{ sec} + 4687.5 \text{ sec} + 4.878 \times 10^6 \text{ sec}}$

本題主要測試考生對統一土壤分類系統 (Unified Soil Classification System, USCS) 的熟悉程度，特別是符號的組成與意義。

統一土壤分類系統 (USCS) 的基本原則：
USCS 是一種基於土壤顆粒大小分佈和塑性特徵的分類方法。它將土壤分為粗粒土、細粒土和有機土三大類。

• 粗粒土 (Coarse-grained soils)：超過 50% 的土粒大於 0.075 mm (No. 200 篩網)。它們由礫石 (Gravel, G) 和砂 (Sand, S) 組成，並用第二個字母表示其級配和細粒土含量（如 GW, GP, GM, GC, SW, SP, SM, SC）。
• 細粒土 (Fine-grained soils)：超過 50% 的土粒小於 0.075 mm。它們由粉土 (Silt, M) 和粘土 (Clay, C) 組成，並用第二個字母表示其塑性（如 ML, CL, MH, CH）。
• 有機土 (Organic soils)：通常用符號 O 或 Pt 表示。

各符號的意義：

1. CH (高塑性粘土, High Plasticity Clay)：

   • C：表示主要成分為粘土 (Clay)。
   • H：表示高塑性 (High Plasticity)。根據 Casagrande 塑性圖，高塑性土通常位於 A 線的上方，且液限 (LL) 大於 50%。
   • 意義：CH 類土壤是細粒土，由高塑性的粘土組成，通常具有較低的滲透性、較高的壓縮性和較高的潛在膨脹性。在濕潤狀態下可能變得非常軟弱，但在乾燥狀態下可能變得堅硬。

2. SW (級配良好的砂, Well-graded Sand)：

   • S：表示主要成分為砂 (Sand)。