115 年 國立成功大學資源工程學系碩士班甲組《土壤力學》

本題主要考驗土壤基本物理性質之間的轉換關係，包含孔隙比、飽和度、含水量、單位重等。

已知條件：
土壤體積 $V_t = 27 \text{ cm}^3$
土壤密度 $\rho_t = 1.91 \text{ g/cm}^3$
含水量 $w = 9.5\% = 0.095$
土壤顆粒比重 $G_s = 2.70$

計算步驟：
首先，計算土壤的質量 $m_t$：
$m_t = \rho_t \times V_t = 1.91 \text{ g/cm}^3 \times 27 \text{ cm}^3 = 51.57 \text{ g}$

接著，計算土壤顆粒的質量 $m_s$：
$m_s = \frac{m_t}{1+w} = \frac{51.57 \text{ g}}{1+0.095} = \frac{51.57}{1.095} \approx 47.096 \text{ g}$

計算土壤顆粒的體積 $V_s$：
$V_s = \frac{m_s}{G_s \times \rho_w}$，其中 $\rho_w$ 為水的密度，通常取 $1 \text{ g/cm}^3$。
$V_s = \frac{47.096 \text{ g}}{2.70 \times 1 \text{ g/cm}^3} \approx 17.443 \text{ cm}^3$

計算土壤的體積 $V_v$：
$V_v = V_t - V_s = 27 \text{ cm}^3 - 17.443 \text{ cm}^3 = 9.557 \text{ cm}^3$

計算土壤水的質量 $m_w$：
$m_w = m_t - m_s = 51.57 \text{ g} - 47.096 \text{ g} = 4.474 \text{ g}$

(1) 土壤的孔隙比 (e)：
孔隙比定義為孔隙體積與土壤顆粒體積之比。
$e = \frac{V_v}{V_s} = \frac{9.557 \text{ cm}^3}{17.443 \text{ cm}^3} \approx 0.548$

(2) 土壤的飽和度 (S)：
飽和度定義為孔隙中水的體積佔孔隙體積的百分比。首先計算孔隙中水的體積 $V_w$。
$V_w = \frac{m_w}{\rho_w} = \frac{4.474 \text{ g}}{1 \text{ g/cm}^3} = 4.474 \text{ cm}^3$
$S = \frac{V_w}{V_v} \times 100\% = \frac{4.474 \text{ cm}^3}{9.557 \text{ cm}^3} \times 100\% \approx 46.81\%$

本題涵蓋土壤的物理性質、分類系統以及試驗意義。

(1) 土壤液性限度 (Liquid Limit, LL) 與塑性限度 (Plastic Limit, PL) 之物理意義：

• 液性限度 (Liquid Limit, LL)：土壤從塑性狀態轉變為液態（流動）狀態時的最低含水量。在試驗中，通常是指土壤試樣在標準的液性限度儀中，其試樣槽的底部受到敲擊，使試樣在 25 次敲擊後，試樣邊緣的裂縫閉合，此時的含水量即為液性限度。LL 反映了土壤在較高含水量下的流動性或可塑性程度，LL 值越高，表示土壤在相同含水量下越容易流動。
• 塑性限度 (Plastic Limit, PL)：土壤從收縮性狀態轉變為塑性狀態時的最高含水量。在試驗中，是指將土壤捏成直徑約 3 mm 的細長條狀，當其開始呈現龜裂而無法再捏成細條時，此時的含水量即為塑性限度。PL 反映了土壤維持塑性狀態的最低含水量，PL 值越高，表示土壤需要較高的含水量才能維持塑性。

(2) 土壤液性指數 (Liquidity index, LI) 之物理意義及計算：

• 物理意義：液性指數 (LI) 是用來描述土壤在現地含水量與其液性限度、塑性限度之間的相對位置。它表示土壤在當前含水量下，相較於塑性狀態，有多接近液態狀態。LI 值越高，表示土壤越接近液態，流動性越好；LI 值越低，表示土壤越接近塑性狀態。

• 計算：
  已知：
  液性限度 $LL = 28.2\%$
  塑性限度 $PL = 12.5\%$
  現地含水量 $w = 33\%$

  液性指數的計算公式為：
  $LI = \frac{w - PL}{LL - PL} \times 100\%$

  將已知數值代入：
  $LI = \frac{33\% - 12.5\%}{28.2\% - 12.5\%} \times 100\%$
  $LI = \frac{20.5\%}{15.7\%} \times 100\% \approx 1.306 \times 100\% = 130.6\%$

  說明：此計算結果 LI = 130.6% 表示該土壤在現地的含水量 (33%) 遠高於其液性限度 (28.2%)。通常，當 LI > 1 時，表示土壤處於液態或半液態，流動性極佳。

本題主要考驗土壤的沉陷計算，包括最終沉陷量和壓密固結時間的計算。

已知條件：
砂土層厚度 $H_{sand} = 10 \text{ m}$
黏土層厚度 $H_{clay} = 8 \text{ m}$
地下水位深度 $z_{gw} = 5 \text{ m}$ (在地表下)
砂土層孔隙比 $e_{sand} = 0.67$
砂土層比重 $G_{s,sand} = 2.68$
砂土層含水量 (地下水位以上) $w_{sand,above\_gw} = 20\% = 0.20$
黏土層含水量 $w_{clay} = 40\% = 0.40$
黏土層比重 $G_{s,clay} = 2.70$
黏土層液性限度 $LL_{clay} = 46$
填土高度 $H_{fill} = 2 \text{ m}$
填土單位重 $\gamma_{fill} = 17.5 \text{ kN/m}^3$
黏土層試樣厚度 (壓密試驗) $h_{lab} = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$
壓密 50% 的時間 $t_{50\%} = 4 \text{ min}$

(1) 計算黏土層的平均最終沉陷量 ($S_{f}$)：
最終沉陷量主要由黏土層的壓縮性決定。首先需要計算黏土層的初始有效應力 ($\sigma'_{v0}$) 和填土引起的應力增量 ($\Delta \sigma_v$)。

首先計算黏土層的初始單位重 ($\gamma_{clay}$) 和飽和單位重 ($\gamma_{sat,clay}$)，以便計算初始有效應力。
黏土層的含水量 $w_{clay} = 40\%$, 比重 $G_{s,clay} = 2.70$。
假設黏土層處於飽和狀態（通常黏土層地下水位以下是飽和的，且 40% 的含水量很高）。
水的密度 $\rho_w \approx 1 \text{ g/cm}^3$, $\gamma_w = 9.81 \text{ kN/m}^3$。

孔隙比 $e_{clay}$ 可以由 $w_{clay}$ 和 $G_{s,clay}$ 計算（假設飽和）：
$w_{clay} = \frac{G_{s,clay} \rho_w}{e_{clay}} \implies e_{clay} = \frac{G_{s,clay} \rho_w}{w_{clay}} = \frac{2.70 \times 1 \text{ g/cm}^3}{0.40} = 6.75$ (此處單位是 g/cm³，但比例上正確)
或者用公式 $w_{sat} = \frac{e}{G_s}$ 來反推 e，若 $w > w_{sat}$ 則為飽和。
若假設為飽和，則 $e_{clay} = G_{s,clay} \times w_{sat}$。
我們先計算飽和含水量：$w_{sat} = \frac{e_{clay}}{G_{s,clay}}$。
這裡給的是現地含水量 40%，比重 2.70，液性限度 46。
一般情況下，假設地下水位以下的土層是飽和的，若給定的含水量 $w$ 大於 $w_{sat}$，則土壤是飽和的。
如果我們沒有 $e_{clay}$，先計算砂土的單位重，因為地下水位在砂土層中。

砂土層：
地下水位在地表下 5m。
砂土層孔隙比 $e_{sand} = 0.67$, $G_{s,sand} = 2.68$, $w_{sand,above\_gw} = 0.20$。
砂土層單位重（地下水位以上，假設為濕重）：
$S = \frac{w G_s}{e} = \frac{0.20 \times 2.68}{0.67} = 0.797 < 1$，表示未飽和。
$\gamma_{d,sand} = \frac{G_s + S e}{1+e} \gamma_w = \frac{2.68 + 0.797 \times 0.67}{1+0.67} \times 9.81 = \frac{2.68 + 0.534}{1.67} \times 9.81 = \frac{3.214}{1.67} \times 9.81 \approx 1.925 \times 9.81 \approx 18.88 \text{ kN/m}^3$
$\gamma_{sand,above\_gw} = \gamma_{d,sand} (1+w_{sand,above\_gw}) = 18.88 \times (1+0.20) = 22.66 \text{ kN/m}^3$ (此計算較複雜，也可直接用另一公式)
$\gamma_{sand,above\_gw} = \frac{(G_s+w) \gamma_w}{1+e} = \frac{(2.68+0.20) \times 9.81}{1+0.67} = \frac{2.88 \times 9.81}{1.67} \approx 16.95 \text{ kN/m}^3$ (此公式適用於未飽和土，但需確認是否為總重)

更簡單的計算方法：
砂土層（地下水位以上）：
$\gamma_{sat,sand} = \frac{G_s+e}{1+e} \gamma_w = \frac{2.68+0.67}{1+0.67} \times 9.81 = \frac{3.35}{1.67} \times 9.81 \approx 1.994 \times 9.81 \approx 19.56 \text{ kN/m}^3$
$\gamma_{d,sand} = \frac{G_s}{1+e} \gamma_w = \frac{2.68}{1.67} \times 9.81 \approx 1.605 \times 9.81 \approx 15.75 \text{ kN/m}^3$
$\gamma_{sand,above\_gw} = \gamma_{d,sand} + S \times e \times \gamma_w$。
由於 $w=0.20$ 且 $e=0.67$, $G_s=2.68$，可算出 $S = \frac{w G_s}{e} = \frac{0.20 \times 2.68}{0.67} \approx 0.797$。
$\gamma_{sand,above\_gw} = 15.75 + 0.797 \times 0.67 \times 9.81 \approx 15.75 + 5.25 \approx 21.0 \text{ kN/m}^3$。

砂土層（地下水位以下）：
假設為飽和。
$\gamma_{sat,sand} = \frac{G_s+e}{1+e} \gamma_w = \frac{2.68+0.67}{1+0.67} \times 9.81 \approx 19.56 \text{ kN/m}^3$。

黏土層：
$H_{clay} = 8 \text{ m}$。
$w_{clay} = 40\%$, $G_{s,clay} = 2.70$。
假設黏土層飽和，計算孔隙比 $e_{clay}$：
$w_{sat,clay} = \frac{e_{clay}}{G_{s,clay}} \implies e_{clay} = w_{sat,clay} \times G_{s,clay}$。
由於 $w_{clay} = 40\% < w_{sat}$ (因為 $w_{sat} = \frac{e_{clay}}{2.7}$，如果 $e_{clay}$ 很大，則 $w_{sat}$ 也可能很大)。
如果 $w_{clay} = 40\%$, $G_{s,clay} = 2.70$, $e_{clay} = 0.40 \times 2.70 = 1.08$。
此時 $w_{sat} = \frac{1.08}{2.70} = 0.40 = 40\%$。
這表示該黏土層在現地含水量 40% 時，正好是飽和的。
所以，黏土層的單位重：
$\gamma_{sat,clay} = \frac{G_s+e}{1+e} \gamma_w = \frac{2.70+1.08}{1+1.08} \times 9.81 = \frac{3.78}{2.08} \times 9.81 \approx 1.817 \times 9.81 \approx 17.83 \text{ kN/m}^3$。

計算初始有效應力 $\sigma'_{v0}$ 在黏土層頂部（即砂土層底部）：
砂土層頂部到地下水位 5m，單位重用 $\gamma_{sand,above\_gw} \approx 21.0 \text{ kN/m}^3$。

本題主要考驗三軸試驗結果的判讀，包括求取有效剪力強度參數，以及根據試驗條件判斷土壤類型。

(1) 計算並繪圖說明其有效剪力強度 (內聚力 $c'$ 與摩擦角 $\phi'$ )：
三軸排水試驗 (drained triaxial test) 得到的結果是有效應力參數。
已知數據：
樣品一：圍壓 $\sigma_3 = 20 \text{ kN/m}^2$，軸差應力 $\Delta\sigma_d = 100 \text{ kN/m}^2$。
樣品二：圍壓 $\sigma_3 = 60 \text{ kN/m}^2$，軸差應力 $\Delta\sigma_d = 220 \text{ kN/m}^2$。

首先，計算各試樣的最大主應力 $\sigma_1$：
$\sigma_1 = \sigma_3 + \Delta\sigma_d$

樣品一：
$\sigma_{1a} = 20 \text{ kN/m}^2 + 100 \text{ kN/m}^2 = 120 \text{ kN/m}^2$
$\sigma_{3a} = 20 \text{ kN/m}^2$

樣品二：
$\sigma_{1b} = 60 \text{ kN/m}^2 + 220 \text{ kN/m}^2 = 280 \text{ kN/m}^2$
$\sigma_{3b} = 60 \text{ kN/m}^2$

有效應力參數 $c'$ 和 $\phi'$ 可以通過莫爾圓 (Mohr's Circle) 或 $\sigma_1 - \sigma_3$ 關係式來計算。

方法一：使用 $\sigma_1 - \sigma_3$ 關係式
有效應力剪力強度公式為：$\sigma'_1 = \sigma'_3 + (c' \cot \phi' + \sigma'_3 \tan \phi') \tan \phi'$
或者更常用的形式：$\sigma'_1 = \sigma'_3 + \Delta \sigma'_d$
其中 $\Delta \sigma'_d$ 是有效軸差應力。
在排水試驗中，圍壓和軸差應力都是有效應力，所以：
$\sigma'_{1a} = 120 \text{ kN/m}^2$, $\sigma'_{3a} = 20 \text{ kN/m}^2$
$\sigma'_{1b} = 280 \text{ kN/m}^2$, $\sigma'_{3b} = 60 \text{ kN/m}^2$

剪力強度公式：$\tau_f = c' + \sigma' \tan \phi'$
在莫爾圓上，最大的剪應力發生在圓與 $\tau$-$\sigma'$ 座標軸的切線上。
對於試樣一，在圓心 $(\frac{\sigma'_{1a}+\sigma'_{3a}}{2}, 0)$ 和半徑 $\frac{\sigma'_{1a}-\sigma'_{3a}}{2}$ 的圓上。
對於試樣二，在圓心 $(\frac{\sigma'_{1b}+\sigma'_{3b}}{2}, 0)$ 和半徑 $\frac{\sigma'_{1b}-\sigma'_{3b}}{2}$ 的圓上。

兩條莫爾圓的切線即為有效破壞包絡線。
對於兩個試樣，我們可以建立以下方程組：
$\tau_f = c' + \sigma' \tan \phi'$

樣品一的破壞應力點：
$\sigma'_{avg,a} = \frac{120+20}{2} = 70 \text{ kN/m}^2$
$\tau_{f,a} = \frac{120-20}{2} = 50 \text{ kN/m}^2$
$50 = c' + 70 \tan \phi'$ (式 1)

樣品二的破壞應力點：
$\sigma'_{avg,b} = \frac{280+60}{2} = 170 \text{ kN/m}^2$
$\tau_{f,b} = \frac{280-60}{2} = 110 \text{ kN/m}^2$
$110 = c' + 170 \tan \phi'$ (式 2)

解方程組 (1) 和 (2)：
(式 2) - (式 1):
$110 - 50 = (c' + 170 \tan \phi') - (c' + 70 \tan \phi')$
$60 = 100 \tan \phi'$
$\tan \phi' = \frac{60}{100} = 0.6$
$\phi' = \arctan(0.6) \approx 30.96^\circ$

將 $\tan \phi' = 0.6$ 代入式 1：
$50 = c' + 70 \times 0.6$
$50 = c' + 42$
$c' = 50 - 42 = 8 \text{ kN/m}^2$

所以，有效剪力強度參數為：
內聚力 $c' = 8 \text{ kN/m}^2$
摩擦角 $\phi' = 30.96^\circ$

繪圖說明：

1. 繪製 $\sigma'$-$\tau$ 座標軸。
2. 根據樣品一的數據 $(\sigma'_{3a}, \tau_{f,a}) = (20, 50)$ 和 $(\sigma'_{1a}, 0) = (120, 0)$ 繪製第一個莫爾圓。圓心在 $(70, 0)$，半徑為 50。
3. 根據樣品二的數據 $(\sigma'_{3b}, \tau_{f,b}) = (60, 110)$ 和 $(\sigma'_{1b}, 0) = (280, 0)$ 繪製第二個莫爾圓。圓心在 $(170, 0)$，半徑為 110。