115 年 國立成功大學環境工程學系碩士班乙組《流體力學》

本題考查穩定的圓管內層流流動，重點在於推導牛頓黏滯定律在圓管中的應用，以及相關的流體力學參數。

核心觀念：圓管內穩定的層流（Hagen-Poiseuille flow）

推導步驟：

首先，我們考慮一個半徑為 $r$、厚度為 $dr$ 的同心圓柱形流體薄層。由於流體是不可壓縮的穩態層流，且重力效應在水平管道中可忽略，流體只受壓力差和黏滯力的作用。

1. 剪應力 (τ) 與半徑 (r) 的函數關係

根據牛頓黏滯定律，剪應力與速度梯度成正比：
$\tau = -\mu \frac{du}{dr}$
其中 $\mu$ 是流體的動力黏滯係數，$\frac{du}{dr}$ 是速度梯度。負號表示當 $r$ 增加時（遠離管壁），速度 $u$ 增加，因此 $\frac{du}{dr}$ 為負值，而剪應力 $\tau$ 在此定義下應為正值（抵抗流動的切應力）。

對於圓管內的層流，作用在半徑為 $r$ 的圓柱形流體薄層上的剪應力，是由通過該圓柱的壓力差和黏滯力平衡所決定。考慮一個長度為 $L$、半徑為 $r$ 的圓柱形流體。作用在其上的總壓力差力為 $(P_0 - P_L) \pi r^2$。作用在其側表面上的黏滯剪應力為 $\tau (2\pi r L)$。
$(P_0 - P_L) \pi r^2 = \tau (2\pi r L)$
解出 $\tau$：
$\tau = \frac{(P_0 - P_L) r}{2L}$
令 $\Delta P = P_0 - P_L$ 為壓力降，則
$\tau = \frac{\Delta P}{2L} r$
這個結果表明，圓管內層流的剪應力與半徑 $r$ 成正比，在管壁 ($r=R$) 時最大，在圓心 ($r=0$) 時為零。

2. 體積流量 (Q) 與管徑 (R) 的函數關係

由牛頓黏滯定律和上面的剪應力關係，我們可以得到速度梯度：
$-\mu \frac{du}{dr} = \frac{\Delta P}{2L} r$
$\frac{du}{dr} = -\frac{\Delta P}{2\mu L} r$
對上式積分以求速度 $u(r)$：
$u(r) = \int -\frac{\Delta P}{2\mu L} r dr = -\frac{\Delta P}{4\mu L} r^2 + C$
邊界條件是當 $r=R$ 時，速度 $u=0$ (無滑動條件)。代入邊界條件：
$0 = -\frac{\Delta P}{4\mu L} R^2 + C \implies C = \frac{\Delta P R^2}{4\mu L}$
因此，速度分佈為：
$u(r) = \frac{\Delta P}{4\mu L} (R^2 - r^2)$
這是一個拋物線速度分佈。

體積流量 $Q$ 可以通過對速度分佈在圓管截面上進行積分得到。考慮一個半徑為 $r$、厚度為 $dr$ 的環形面積 $dA = 2\pi r dr$。
$Q = \int_0^R u(r) dA = \int_0^R \frac{\Delta P}{4\mu L} (R^2 - r^2) (2\pi r dr)$
$Q = \frac{2\pi \Delta P}{4\mu L} \int_0^R (R^2 r - r^3) dr$
$Q = \frac{\pi \Delta P}{2\mu L} \left[ \frac{R^2 r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^R$
$Q = \frac{\pi \Delta P}{2\mu L} \left( \frac{R^4}{2} - \frac{R^4}{4} \right) = \frac{\pi \Delta P R^4}{8\mu L}$
這就是著名的 Hagen-Poiseuille 方程式。

題目要求 $Q$ 作為 $R$ 的函數，以上結果正是所需。

3. 剪應力與速度分佈圖

• 剪應力分佈圖 (τ vs. r)：
  如第 (1) 小題推導所示，$\tau = \frac{\Delta P}{2L} r$。這是一個線性關係，$\tau$ 在 $r=0$ 時為 0，在 $r=R$ 時達到最大值 $\tau_{max} = \frac{\Delta P R}{2L}$。圖形為一條通過原點的直線。

• 速度分佈圖 (u vs. r)：
  如第 (2) 小題推導所示，$u(r) = \frac{\Delta P}{4\mu L} (R^2 - r^2)$。這是一個拋物線關係，$u$ 在 $r=0$ 時達到最大值 $u_{max} = \frac{\Delta P R^2}{4\mu L}$，在 $r=R$ 時為 0。圖形為一個開口向下的拋物線。

本題考查因次分析法 (Dimensional Analysis) 在流體力學模型試驗中的應用，特別是利用相似性原理來預測原型 (prototype) 的行為。

核心觀念：Buckingham Pi Theorem, 相似準則 (Similitude)

問題分析：
我們要找出臨界速度 $V_c$ 與影響因素之間的關係，並應用到模型試驗上。
影響因素有：
$V_c$ (速度, $[LT^{-1}]$)
$D$ (管道直徑, $[L]$)
$d$ (顆粒直徑, $[L]$)
$\rho$ (流體密度, $[ML^{-3}]$)
$\mu$ (流體黏滯係數, $[ML^{-1}T^{-1}]$)
$\rho_p$ (顆粒密度, $[ML^{-3}]$)
$g$ (重力加速度, $[LT^{-2}]$)

共有 $n=7$ 個變數。
基本因次有 $k=3$ (M, L, T)。
根據 Buckingham Pi Theorem，預期有 $n-k = 7-3 = 4$ 個無因次參數。

步驟：

Part (a): 相似性要求與預測方程式

1. 列出所有變數及其因次：
   $V_c \sim LT^{-1}$
   $D \sim L$
   $d \sim L$
   $\rho \sim ML^{-3}$
   $\mu \sim ML^{-1}T^{-1}$
   $\rho_p \sim ML^{-3}$
   $g \sim LT^{-2}$

2. 選擇重複變數 (Repeating Variables)：
   我們需要選擇 $k=3$ 個重複變數，它們必須包含所有基本因次 (M, L, T)，且不能有相同的因次組合。通常選擇最基本的幾個變數，例如：$\rho, V, D$ 或 $\rho, D, \mu$。在此，我們選擇 $\rho, D, V_c$ 作為重複變數，因為 $V_c$ 是我們要求解的因變數。

3. 建立無因次參數 (Pi 參數)：
   我們將其他變數與重複變數組合，形成無因次參數 $\Pi_i$。

   • $\Pi_1$ (與 $d$ 相關)：
     $\Pi_1 = d^a \rho^b D^c V_c^e$
     因次：$[L]^a [ML^{-3}]^b [L]^c [LT^{-1}]^e = M^b L^{a-3b+c+e} T^{-e}$
     為了使 $\Pi_1$ 無因次，必須有：
     $b = 0$ (M)
     $a-3b+c+e = 0 \implies a+c+e = 0$ (L)
     $-e = 0 \implies e = 0$ (T)
     因此，$a+c = 0 \implies c = -a$。
     令 $a=1$，則 $c=-1$。
     $\Pi_1 = d^1 \rho^0 D^{-1} V_c^0 = \frac{d}{D}$。
     這個參數是顆粒直徑與管道直徑的比值，即 顆粒形狀比。

   • $\Pi_2$ (與 $\mu$ 相關)：
     $\Pi_2 = \mu^a \rho^b D^c V_c^e$
     因次：$[ML^{-1}T^{-1}]^a [ML^{-3}]^b [L]^c [LT^{-1}]^e = M^{a+b} L^{-a-3b+c+e} T^{-a-e}$
     為了使 $\Pi_2$ 無因次，必須有：
     $a+b = 0 \implies b = -a$ (M)
     $-a-e = 0 \implies e = -a$ (T)
     $-a-3b+c+e = 0 \implies -a-3(-a)+c+(-a) = 0 \implies -a+3a+c-a = 0 \implies a+c = 0 \implies c = -a$ (L)
     令 $a=1$，則 $b=-1, c=-1, e=-1$。
     $\Pi_2 = \mu^1 \rho^{-1} D^{-1} V_c^{-1} = \frac{\mu}{\rho D V_c}$。
     這個參數的倒數 $\frac{\rho V_c D}{\mu}$ 是 雷諾數 (Reynolds number)，通常用 $Re$ 表示。

   • $\Pi_3$ (與 $\rho_p$ 相關)：
     $\Pi_3 = \rho_p^a \rho^b D^c V_c^e$
     因次：$[ML^{-3}]^a [ML^{-3}]^b [L]^c [LT^{-1}]^e = M^{a+b} L^{-3a-3b+c+e} T^{-e}$
     為了使 $\Pi_3$ 無因次，必須有：
     $a+b = 0 \implies b = -a$ (M)
     $-e = 0 \implies e = 0$ (T)
     $-3a-3b+c+e = 0 \implies -3a-3(-a)+c+0 = 0 \implies -3a+3a+c = 0 \implies c = 0$ (L)
     令 $a=1$，則 $b=-1, c=0, e=0$。
     $\Pi_3 = \rho_p^1 \rho^{-1} D^0 V_c^0 = \frac{\rho_p}{\rho}$。
     這個參數是顆粒密度與流體密度的比值，即 密度比。

   • $\Pi_4$ (與 $g$ 相關)：
     $\Pi_4 = g^a \rho^b D^c V_c^e$
     因次：$[LT^{-2}]^a [ML^{-3}]^b [L]^c [LT^{-1}]^e = M^b L^{a-3b+c+e} T^{-2a-e}$
     為了使 $\Pi_4$ 無因次，必須有：
     $b = 0$ (M)
     $-2a-e = 0 \implies e = -2a$ (T)
     $a-3b+c+e = 0 \implies a-0+c+(-2a) = 0 \implies c - a = 0 \implies c = a$ (L)
     令 $a=1$，則 $b=0, c=1, e=-2$。
     $\Pi_4 = g^1 \rho^0 D^1 V_c^{-2} = \frac{gD}{V_c^2}$。
     這個參數的倒數 $\frac{V_c^2}{gD}$ 是 弗勞德數 (Froude number) 的平方。

   因此，我們得到四個無因次參數：
   $\Pi_1 = \frac{d}{D}$
   $\Pi_2 = \frac{\mu}{\rho V_c D}$ (或 $Re = \frac{\rho V_c D}{\mu}$)
   $\Pi_3 = \frac{\rho_p}{\rho}$
   $\Pi_4 = \frac{gD}{V_c^2}$ (或 $Fr^2 = \frac{V_c^2}{gD}$)

4. 建立函數關係與預測方程式：
   無因次參數之間的關係可以寫成：
   $f(\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3, \Pi_4) = 0$
   我們將 $V_c$ 寫成其他參數的函數：
   $V_c = F(\frac{d}{D}, \frac{\rho V_c D}{\mu}, \frac{\rho_p}{\rho}, \frac{V_c^2}{gD})$
   通常，我們會將與 $V_c$ 直接相關的參數（如 $Re$ 和 $Fr$）作為自變數，將其他參數放在函數內。
   從 $\Pi_4$ 中，我們可以得到 $V_c^2$ 的形式：
   $\frac{V_c^2}{gD} = \phi_4(\frac{d}{D}, Re, \frac{\rho_p}{\rho})$
   $V_c = \sqrt{gD} \sqrt{\phi_4(\frac{d}{D}, Re, \frac{\rho_p}{\rho})}$
   這表示臨界速度 $V_c$ 與 $\sqrt{gD}$ 成正比。

   或者，我們可以將 $V_c$ 寫成：
   $V_c = f(\frac{d}{D}, \rho, \mu, \rho_p, g, D)$
   根據 Buckingham Pi Theorem，我們可以將 $V_c$ 表示為這些參數的組合。
   一個常見的寫法是將 $V_c$ 寫成一個無因次參數的函數，乘以一個具有速度因次的組合。
   我們可以從 $\Pi_4$ 得到 $\frac{V_c}{\sqrt{gD}}$，這是與 Froude number 相關的參數。
   我們可以從 $\Pi_2$ 得到 $\frac{\rho V_c D}{\mu}$，這是 Reynolds number。

   在顆粒懸浮的案例中，通常認為臨界速度的發生與重力驅動的沉降以及流體提供的阻力有關。
   一個重要的無因次參數是顆粒的 沉降速度 與流體流速的比值，或是與浮力相關的參數。
   考慮顆粒受力平衡：重力、浮力、流體阻力。
   當顆粒開始懸浮時，流體對顆粒的平均拖曳力 (drag force) 等於顆粒的淨重 (重力減浮力)。
   拖曳力 $F_D \propto \frac{1}{2} C_D \rho V_c^2 (\frac{\pi d^2}{4})$ (如果假設為球形顆粒)
   淨重 $W_{net} = (\rho_p - \rho) g (\frac{\pi d^3}{6})$
   所以 $V_c^2 \propto \frac{(\rho_p - \rho) g d^3}{\rho C_D d^2} = \frac{(\rho_p - \rho) g d}{\rho C_D}$。
   $V_c \propto \sqrt{\frac{(\rho_p - \rho) g d}{\rho C_D}}$。
   拖曳係數 $C_D$ 本身是雷諾數 $Re = \frac{\rho V_c d}{\mu}$ 的函數。

   為了得到預測方程式，我們需要將所有影響因素組合成無因次參數。
   我們選擇 $\rho, D, V_c$ 作為重複變數。
   $\Pi_1 = \frac{d}{D}$
   $\Pi_2 = \frac{\rho V_c D}{\mu}$ (Reynolds number)
   $\Pi_3 = \frac{\rho_p}{\rho}$
   $\Pi_4 = \frac{gD}{V_c^2}$ (Froude number squared)

   從 $\Pi_4$ 中，我們可以提出 $V_c$：
   $\frac{V_c}{\sqrt{gD}} = f(\frac{d}{D}, Re, \frac{\rho_p}{\rho})$
   這個形式表示臨界速度的無因次參數與其他無因次參數的函數關係。

核心觀念

本題考查兩股不可壓縮水流碰撞後的：

1. 連續方程式
2. 線性動量方程式
3. 混合造成的機械能損失

三股水流皆為自由射流，壓力均為大氣壓，且忽略重力，因此控制體積的壓力力與重力可相互消去。

令

$$A_1=\frac{\pi D_1^2}{4},\qquad A_2=\frac{\pi D_2^2}{4},\qquad A_3=\text{出口射流面積}$$

並定義兩股入口流量：

$$Q_1=A_1V_1,\qquad Q_2=A_2V_2$$

---

解題方法

取碰撞區域為控制體積。入口 1 的速度方向垂直向上，入口 2 的速度方向水平向右，出口 3 與水平線夾角為 $\theta$。

(a) 出口方向與速度

1. 連續方程式

$$A_3V_3=A_1V_1+A_2V_2$$

即

$$A_3V_3=Q_1+Q_2$$

2. $x$ 方向動量方程式

入口 1 沒有水平速度分量，故

$$\rho A_3V_3\cos\theta=\rho A_2V_2$$

因此

$$A_3V_3\cos\theta=A_2V_2$$

3. $y$ 方向動量方程式

入口 2 沒有垂直速度分量，故

$$\rho A_3V_3\sin\theta=\rho A_1V_1$$

因此

$$A_3V_3\sin\theta=A_1V_1$$

兩式相除：

$$\tan\theta=\frac{A_1V_1}{A_2V_2}$$

由於 $A\propto D^2$，故

$$\boxed{ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{V_1D_1^2}{V_2D_2^2}\right) }$$

出口速度可由兩個方向的動量分量合成：

$$(A_3V_3)^2=(A_1V_1)^2+(A_2V_2)^2$$

再配合 $A_3V_3=A_1V_1+A_2V_2$，得到

$$V_3= \frac{\sqrt{(A_1V_1)^2+(A_2V_2)^2}} {A_1V_1+A_2V_2}$$

代入面積：

$$\boxed{ V_3= \frac{\sqrt{(D_1^2V_1)^2+(D_2^2V_2)^2}} {D_1^2V_1+D_2^2V_2} }$$

其中 $\theta$ 的方向為向右上方。

---

(b) 流動損失

兩股射流碰撞混合時，入口速度向量與出口速度向量不同，因而產生不可逆的混合損失。

入口 1 與出口 3 的速度向量夾角為 $90^\circ-\theta$，因此單位質量的損失為

$$e_{L,1} = \frac{1}{2} \left|\vec V_1-\vec V_3\right|^2$$

核心觀念

本題考查平面閘門的靜水壓力矩。開啟臨界條件為：以鉸鏈為軸，艙內空氣壓力造成的力矩，恰好等於外側海水壓力造成的力矩。

圓形艙口直徑為 $2\ \text{m}$，故

$$R=1\ \text{m},\qquad A=\pi R^2$$

鉸鏈位於圓形艙口的上緣，鉸鏈深度由圖得

$$h_H=10\ \text{m}$$

艙口與水平面夾角為

$$\theta=30^\circ$$

---

解題方法

取鉸鏈軸為轉動中心，並令 $y$ 為沿艙口面、由鉸鏈向下量測的距離。

海水側壓力為

$$p_w=p_{\text{atm}}+\rho g\left(h_H+y\sin\theta\right)$$

艙內空氣壓力 $P_1$ 為均勻分布。以大氣壓為基準，令

$$P_g=P_1-p_{\text{atm}}$$

則臨界開啟時的力矩平衡為

$$P_g\int_A y\,dA = \rho g\int_A \left(h_H+y\sin\theta\right)y\,dA$$

因此

$$P_g A\bar y = \rho g\left(h_H A\bar y+\sin\theta I_H\right)$$

其中 $\bar y$ 為圓形艙口形心至鉸鏈的距離，且

$$\bar y=R$$

圓形面積對鉸鏈軸的二次面積矩為

$$I_H=I_G+A R^2$$

圓形對通過形心直徑軸的二次面積矩為

$$I_G=\frac{\pi R^4}{4}$$

所以

$$I_H = \frac{\pi R^4}{4}+\pi R^4 = \frac{5\pi R^4}{4}$$

代入力矩平衡式：

$$P_g = \rho g \left[ h_H+ \sin\theta\frac{I_H}{A\bar y} \right]$$

而