114 年 國立成功大學環境工程學系碩士班乙組《流體力學》

核心觀念

本題考查混凝土重力壩的「抗傾覆穩定」分析，需列出下列作用力：

1. 上游水壓
2. 下游水壓
3. 壩體自重
4. 壩基底部的滲流揚壓

最大水深 $h$ 發生於臨界傾覆狀態，此時壩基合力作用線通過下游壩趾 $A$，因此可對 $A$ 點取力矩並令總力矩為零。

以下以壩體沿縱向單位長度分析，壩高為 $H$，壩底寬為 $\ell$，下游水深為圖中的 $h_T$。

各作用力與作用位置

1. 壩體自重

壩體截面為三角形，因此單位長度壩體重量為

$$W=\gamma_c\left(\frac{1}{2}H\ell\right)$$

三角形重心距上游側 $B$ 為 $\ell/3$，故距下游壩趾 $A$ 為

$$\frac{2\ell}{3}$$

所以自重對 $A$ 點產生的抗傾覆力矩為

$$M_W=W\left(\frac{2\ell}{3}\right) =\frac{\gamma_c H\ell^2}{3}$$

2. 上游水壓

上游水深為 $h$，水壓呈三角形分布，合力為

$$P_u=\frac{1}{2}\gamma h^2$$

作用點位於水面下方 $h/3$，即距壩基 $h/3$。其對 $A$ 點產生順時針力矩：

$$M_u=P_u\frac{h}{3} =\frac{\gamma h^3}{6}$$

3. 下游水壓

下游水深為 $h_T$，其水壓合力為

$$P_d=\frac{1}{2}\gamma h_T^2$$

作用點距壩基 $h_T/3$，對 $A$ 點產生逆時針力矩：

$$M_d=P_d\frac{h_T}{3} =\frac{\gamma h_T^3}{6}$$

4. 基底揚壓

基底揚壓由

$$p_B=\gamma h$$

線性變化至

$$p_A=\gamma h_T$$

因此總揚壓為梯形面積：

$$U=\frac{p_B+p_A}{2}\ell =\frac{\gamma(h+h_T)\ell}{2}$$

揚壓合力作用點距離 $A$ 為

$$x_U=\ell\frac{2p_B+p_A}{3(p_B+p_A)} =\ell\frac{2h+h_T}{3(h+h_T)}$$

故揚壓對 $A$ 點產生順時針力矩：

$$M_U=Ux_U$$

核心觀念

本題考查 Buckingham $\Pi$ 定理。功率 $\mathcal{P}$ 受到下列變數影響：

$$\mathcal{P}=f(D,n,\rho,\mu,g,g_c)$$

其中各量的主要物理意義為：

• $\mathcal{P}$：攪拌槽所需功率
• $D$：渦輪直徑
• $n$：轉速
• $\rho$：流體密度
• $\mu$：流體黏度
• $g$：重力加速度
• $g_c$：質量力制換算因子

採用基本維度 $M,L,T$，共有 $7$ 個變數、$3$ 個基本維度，因此可形成

$$7-3=4$$

個無因次群。由於 $g_c$ 是工程單位制中的換算因子，通常將它併入功率群中，實際上可寫成三個主要流體力學無因次群，再加上一個攪拌器幾何形狀群。

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解題方法

選擇 $\rho$、$n$、$D$ 作為重複變數，因為三者可涵蓋質量、長度與時間三個基本維度。

第一組：功率數

令

$$\Pi_1=\mathcal{P}\rho^a n^bD^c g_c^d$$

在一致單位制下，功率的特徵尺度為

$$\rho n^3D^5$$

因此得到功率無因次群：

$$\boxed{\Pi_1=N_P=\frac{\mathcal{P}g_c}{\rho n^3D^5}}$$

其中 $N_P$ 稱為功率數。若使用 SI 一致單位制，$g_c=1$，則

$$N_P=\frac{\mathcal{P}}{\rho n^3D^5}$$

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第二組：雷諾數

黏性效應與慣性效應的比值可形成：

$$\Pi_2=\frac{\rho nD^2}{\mu}$$

此即攪拌系統的雷諾數：

$$\boxed{Re=\frac{\rho nD^2}{\mu}}$$

它代表慣性力與黏滯力的相對大小。

• $Re$ 小：黏性力主導，屬於層流攪拌。
• $Re$ 大：慣性力主導，逐漸進入紊流攪拌。

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第三組：弗勞德數

重力效應與慣性效應可形成：

$$\Pi_3=\frac{n^2D}{g}$$

因此得到弗勞德數：

$$\boxed{Fr=\frac{n^2D}{g}}$$

其物理意義是攪拌流場中的慣性力與重力效應之比。

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本題考驗對 Pitot-static tube 的原理及其在測量流速中的應用。Pitot-static tube 結合了靜壓和全壓的測量，通過兩者之差可以計算流速。

Pitot-static tube 的原理：
Pitot-static tube 包含兩個通道：

1. 靜壓孔 (Static Port)： 測量流體在流動方向上的靜壓力 $P_{static}$。
2. 全壓管 (Total Pressure Tube)： 在管口處，流體速度減為零，此時測量到的壓力為全壓 $P_{stagnation}$。根據 Bernoulli 方程式，全壓等於靜壓與動壓之和。

Bernoulli 方程式 (適用於無黏性、不可壓縮流體)：
$\frac{P}{\rho} + \frac{v^2}{2} + gz = \text{constant}$

在水平管道中 (z=constant)，且考慮兩點：
點 1：在流場中，距離 Pitot-static tube 全壓管口一段距離，流速為 $v$，靜壓為 $P_1$。
點 2：在 Pitot-static tube 全壓管口，流體被滯止，速度 $v_2 = 0$，壓力為 $P_2$。

根據 Bernoulli 方程式，從點 1 到點 2：
$\frac{P_1}{\rho} + \frac{v^2}{2} = \frac{P_2}{\rho} + \frac{0^2}{2}$
$\frac{P_2 - P_1}{\rho} = \frac{v^2}{2}$
$v = \sqrt{\frac{2(P_2 - P_1)}{\rho}}$

這裡，$P_1$ 是靜壓，$P_2$ 是全壓。
題目中給定：$P_1 = P_0$ (靜壓)，$P_2 = P_s$ (滯止壓力，即全壓)。
所以，流速 $v = \sqrt{\frac{2(P_s - P_0)}{\rho}}$。

題目中的特殊情況：
題目提到 $\rho_m$ (汞的密度) 和一個 $\Delta h$ 的高度差。
這表示 Pitot-static tube 的壓力讀數是通過 U 型壓力計來測量的，壓力計中填充了汞。
圖示中，$P_1$ (靜壓) 和 $P_2$ (全壓) 的讀數通過 U 型壓力計測量。
$P_s$ (全壓) 作用在壓力計的一側，而 $P_0$ (靜壓) 作用在另一側。
壓力計中的汞柱高度差為 $\Delta h$。
由於汞的密度為 $\rho_m$，而流體密度為 $\rho$。
全壓 $P_s$ 作用在壓力計左側，靜壓 $P_0$ 作用在右側。
壓力計的平衡方程為：
$P_s + \rho g (\text{某高度}) = P_0 + \rho_m g \Delta h + \rho g (\text{某高度})$
在 U 型管中，如果兩側的液面高度相同，則：
$P_s + \rho g h_1 = P_0 + \rho_m g \Delta h + \rho g h_2$
假設壓力計的左側液面比右側液面高 $h_1$，右側液面比左側液面高 $h_2$。
通常，壓力計的兩側液面會處於不同的高度。
在圖示中，全壓 $P_s$ 作用在左側，靜壓 $P_0$ 作用在右側。
汞柱在左側較低，右側較高，高度差為 $\Delta h$。
這意味著 $P_s$ 較大。
壓力計的平衡方程是：
$P_s = P_0 + \rho_m g \Delta h$
或者，壓力差 $P_s - P_0 = \rho_m g \Delta h$。

計算流速 $v$：
將壓力差代入流速公式：
$v = \sqrt{\frac{2(P_s - P_0)}{\rho}} = \sqrt{\frac{2(\rho_m g \Delta h)}{\rho}}$

計算體積流量 $\dot{V}$：
體積流量 $\dot{V}$ 是流速 $v$ 乘以流體的截面積 $A$。
管道直徑為 $D$，所以截面積 $A = \frac{\pi D^2}{4}$。
$\dot{V} = v \times A = \sqrt{\frac{2 \rho_m g \Delta h}{\rho}} \times \frac{\pi D^2}{4}$

注意事項：

1. 層流 (Laminar Flow)： 題目明確指出是層流。Pitot-static tube 的原理本身不區分層流或紊流，但測量精度可能受影響。在層流中，流速分佈是拋物線形的。Pitot-static tube 測量的是某一點的流速。
2. 測量點： Pitot-static tube 測量的是其前端的局部流速。在管道中，流速沿半徑方向分佈（拋物線形）。為了得到平均流速，需要進行多次測量並積分，或者假設流速分佈。
3. 平均流速： 在層流管道中，平均流速是最大流速的三分之一。如果 Pitot-static tube 放置在管道中心，測量到的流速 $v_{center}$ 是最大流速 $v_{max}$。
   $v_{max} = 2 v_{avg}$。
   所以，如果測量到中心流速 $v_{center}$，則平均流速 $v_{avg} = \frac{1}{2} v_{center}$。
   或者，如果測量到的是某處流速 $v$，需要確定這是否是平均流速。
   通常，Pitot-static tube 測量的是某一點的流速。為了得到體積流量，需要知道平均流速。
   在層流管道中，平均流速 $v_{avg} = \frac{1}{2} v_{max}$。
   而 $v_{max}$ 是在管道中心測得的流速。
   所以，如果 Pitot-static tube 測量到的是管道中心的流速 $v_{center}$，則平均流速 $v_{avg} = \frac{1}{2} v_{center}$。

更新流速計算：
如果 $v$ 是在管道中心測得的流速，則：
$v_{center} = \sqrt{\frac{2(\rho_m g \Delta h)}{\rho}}$
平均流速 $v_{avg} = \frac{1}{2} v_{center} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2 \rho_m g \Delta h}{\rho}}$

體積流量 $\dot{V}$：
$\dot{V} = v_{avg} \times A = \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2 \rho_m g \Delta h}{\rho}} \right) \times \frac{\pi D^2}{4}$
$\dot{V} = \frac{\pi D^2}{8} \sqrt{\frac{2 \rho_m g \Delta h}{\rho}}$

重要說明：
題目中給定的 $P_1 = P_0$ 是靜壓，$P_2 = P_s$ 是滯止壓力。
圖示的 $\Delta h$ 是 U 型壓力計中汞柱的高度差。
壓力計的平衡關係是 $P_s - P_0 = \rho_m g \Delta h$。
這個壓力差是動壓的兩倍。
$v = \sqrt{\frac{2(P_s - P_0)}{\rho}} = \sqrt{\frac{2 \rho_m g \Delta h}{\rho}}$。
這計算出的 $v$ 是該點的流速。

測量體積流量的步驟：

1. 確定測量點： 為了測量體積流量，需要知道管道中的平均流速。
2. 放置 Pitot-static tube： 在層流管道中，流速分佈是拋物線形的，中心流速最大。
3. 測量壓力差： 使用 U 型壓力計測量全壓 $P_s$ 和靜壓 $P_0$。記錄汞柱高度差 $\Delta h$。
4. 計算局部流速： 利用關係式 $P_s - P_0 = \rho_m g \Delta h$ 計算動壓 $P_s - P_0$，然後計算該點的流速 $v = \sqrt{\frac{2(P_s - P_0)}{\rho}}$。
5. 確定平均流速：
   • 方法一 (假設中心測量)： 如果 Pitot-static tube 放置在管道中心，測量到的流速 $v_{center}$ 是最大流速。在層流管道中，平均流速 $v_{avg} = \frac{1}{2} v_{center}$。
   • 方法二 (多次測量)： 為了更準確地測量體積流量，可以在管道的不同位置（沿半徑方向）進行多次測量，然後對流速分佈進行積分，得到平均流速。
   • 方法三 (使用流量係數)： 有時會使用一個流量係數來修正單點測量值，但這需要實驗數據支持。

題目要求「如何測量體積流量」，所以需要描述整個過程。

本題考驗對 Stokes 流（蠕動流）的理解，以及流體力學中粒子沉降的分析。在蠕動流條件下，粒子受到的阻力與速度成正比，且與黏滯係數、粒子尺寸有關。

1. 分析作用在粒子上的力：
當油漆粒子在空氣中沉降時，主要受到三個力的作用：
a. 重力 (Gravitational Force, $F_g$)： 粒子自身的重力。
b. 浮力 (Buoyancy Force, $F_b$)： 空氣對粒子的浮力。
c. 曳力 (Drag Force, $F_d$)： 空氣對粒子運動的阻力。

2. 計算各力：
a. 重力 ($F_g$)：
粒子體積 $V_p = \frac{4}{3} \pi (\frac{D_p}{2})^3 = \frac{\pi}{6} D_p^3$。
粒子的密度 $\rho_p = SG \times \rho_{H_2O}$。
重力 $F_g = m_p g = \rho_p V_p g = (SG \times \rho_{H_2O}) \times (\frac{\pi}{6} D_p^3) \times g$。
或者，使用比重 $\gamma_p = SG \times \gamma_{H_2O}$。
$F_g = \gamma_p V_p = (SG \times \gamma_{H_2O}) \times (\frac{\pi}{6} D_p^3)$。

b. 浮力 ($F_b$)：
浮力等於粒子排開的空氣的重量。
空氣的體積與粒子體積相同，為 $V_p$。
空氣的密度為 $\rho_{air}$。
浮力 $F_b = \rho_{air} V_p g = \rho_{air} (\frac{\pi}{6} D_p^3) g$。
或者，使用空氣的比重 $\gamma_{air}$。
$F_b = \gamma_{air} V_p = \gamma_{air} (\frac{\pi}{6} D_p^3)$。

c. 曳力 ($F_d$)：
題目假設是蠕動流 ($Re < 1$)。在蠕動流條件下，球形物體受到的曳力由 Stokes 定律給出：
$F_d = 3 \pi \mu_{air} D_p v$
其中，$v$ 是粒子的沉降速度。

3. 建立運動方程：
粒子最終會達到一個終端速度 (terminal velocity)，此時粒子受到的合力為零。
假設粒子向下運動，則重力向下，浮力和曳力向上。
$F_g = F_b + F_d$ (在達到終端速度時)

將各力代入：
$(SG \times \gamma_{H_2O}) V_p = \gamma_{air} V_p + 3 \pi \mu_{air} D_p v_{terminal}$

或者使用密度：
$(\rho_p) V_p g = (\rho_{air}) V_p g + 3 \pi \mu_{air} D_p v_{terminal}$
$(\rho_p - \rho_{air}) V_p g = 3 \pi \mu_{air} D_p v_{terminal}$

代入 $V_p = \frac{\pi}{6} D_p^3$：
$(\rho_p - \rho_{air}) (\frac{\pi}{6} D_p^3) g = 3 \pi \mu_{air} D_p v_{terminal}$

4. 計算終端速度 ($v_{terminal}$)：
$v_{terminal} = \frac{(\rho_p - \rho_{air}) (\frac{\pi}{6} D_p^3) g}{3 \pi \mu_{air} D_p}$
$v_{terminal} = \frac{(\rho_p - \rho_{air}) \frac{\pi}{6} D_p^3 g}{3 \pi \mu_{air} D_p}$
$v_{terminal} = \frac{(\rho_p - \rho_{air}) D_p^2 g}{18 \mu_{air}}$

代入 $\rho_p = SG \times \rho_{H_2O}$：
$v_{terminal} = \frac{(SG \times \rho_{H_2O} - \rho_{air}) D_p^2 g}{18 \mu_{air}}$

5. 計算沉降時間：
假設粒子從天花板（高度 $H$）開始沉降，並且空氣是靜止的。
在蠕動流條件下，粒子會很快達到終端速度，並且這個速度幾乎恆定。
因此，我們可以假設粒子以恆定的終端速度 $v_{terminal}$ 下降。
沉降時間 $t$ 為：
$t = \frac{\text{總距離}}{\text{速度}} = \frac{H}{v_{terminal}}$

$t = \frac{H}{\frac{(SG \times \rho_{H_2O} - \rho_{air}) D_p^2 g}{18 \mu_{air}}}$
$t = \frac{18 \mu_{air} H}{(SG \times \rho_{H_2O} - \rho_{air}) D_p^2 g}$

檢查所使用的參數：

• $H$: 房間高度 (m)
• $SG$: 粒子比重 (無因次)
• $\rho_{H_2O}$: 水的密度 (kg/m³)
• $\rho_{air}$: 空氣的密度 (kg/m³)
• $D_p$: 粒子直徑 (m)
• $g$: 重力加速度 (m/s²)
• $\mu_{air}$: 空氣的黏滯係數 (Pa·s 或 kg/(m·s))

使用比重表示：
$\gamma_{H_2O} = \rho_{H_2O} g$
$\gamma_{air} = \rho_{air} g$
$\gamma_p = SG \times \gamma_{H_2O}$

$F_g = \gamma_p V_p$
$F_b = \gamma_{air} V_p$
$F_d = 3 \pi \mu_{air} D_p v$

$F_g - F_b = F_d$ (淨向下的力)
$(\gamma_p - \gamma_{air}) V_p = 3 \pi \mu_{air} D_p v_{terminal}$
$(SG \times \gamma_{H_2O} - \gamma_{air}) (\frac{\pi}{6} D_p^3) = 3 \pi \mu_{air} D_p v_{terminal}$

$v_{terminal} = \frac{(SG \times \gamma_{H_2O} - \gamma_{air}) \frac{\pi}{6} D_p^3 g}{3 \pi \mu_{air} D_p}$
$v_{terminal} = \frac{(SG \times \gamma_{H_2O} - \gamma_{air}) D_p^2}{18 \mu_{air}}$

這個結果看起來是一樣的，因為 $\gamma = \rho g$。

核心觀念

本題使用集水槽自由液面至泵入口的伯努力方程式，並計算管內沿程摩擦損失。由於集水槽與大氣相通，取集水槽自由液面為基準：

• 自由液面表壓：$p_s=0$
• 自由液面流速：$V_s\approx 0$
• 泵入口高於自由液面：$z_i=3\ \text{m}$
• 管內流速：$V=Q/A$

圖中使用的是 Fanning 摩擦因子 $f_f$，因此沿程損失為

$$h_f=4f_f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$$

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解題方法

流量換算為

$$Q=2.04\ \text{m}^3/\text{min} =\frac{2.04}{60} =0.0340\ \text{m}^3/\text{s}$$

管徑與管長為

$$D=8.9\ \text{cm}=0.089\ \text{m}$$ $$L=0.89\ \text{m}$$

管截面積：

$$A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.089)^2}{4} =6.22\times10^{-3}\ \text{m}^2$$

因此管內平均流速為

$$V=\frac{Q}{A} =\frac{0.0340}{6.22\times10^{-3}} \approx 5.47\ \text{m/s}$$

雷諾數：

$$Re=\frac{VD}{\nu} =\frac{(5.47)(0.089)}{1.22\times10^{-5}} \approx 3.99\times10^4$$

屬於紊流。

管徑換算為英吋：

$$D=\frac{8.9}{2.54}\approx 3.50\ \text{in}$$

由左側粗糙度圖，在 $D\approx3.5\ \text{in}$ 的鑄鐵管曲線讀得

$$\frac{\varepsilon}{D}\approx 2.8\times10^{-3}$$

再由右側圖，以