112 年 國立成功大學環境工程學系碩士班乙組《流體力學》

核心觀念

曲面所受靜水壓力可分解為水平分力與垂直分力，再分別對 toe 點 $A$ 取矩：

• 水平分力等於曲面在鉛直面上的投影所受靜水壓力。
• 垂直分力可由曲面上的壓力垂直分量積分求得；本題方向向下。
• 合力矩為各分力對 $A$ 的力矩總和。

以下以逆時針為正，並令 $\gamma$ 表示海水單位重。若題目中的 $\mathrm{kg/m^3}$ 指質量密度 $\rho$，則下式的 $\gamma$ 應代為 $\rho g$。

解題方法

拋物線為 $y=0.2x^2$，其與自由液面的交點滿足 $y=h$，因此

$$a=\sqrt{\frac{h}{0.2}}=\sqrt{5h}$$

其中 $a$ 是曲面在自由液面處的水平座標。

水平分力及其力矩

曲面的鉛直投影高度為 $h$，故每單位寬度的水平分力為

$$F_H=\int_0^h \gamma y\,dy=\frac{\gamma h^2}{2}$$

此分力作用於投影面形心，即距底部 $h/3$ 處。水平分力向右，對 $A$ 造成順時針力矩：

$$M_H=-F_H\frac{h}{3}=-\frac{\gamma h^3}{6}$$

垂直分力及其力矩

核心觀念

本題考查定壓水箱（油箱）的非定常排放。由於油面下降，油面至噴嘴的水頭隨時間改變，必須使用：

1. 伯努力方程式求噴嘴流速。
2. 連續方程式 $Q=-A\dfrac{dh}{dt}$。
3. 積分求油面下降 $60\text{ cm}$ 所需時間。

假設噴嘴流動可視為理想流動，忽略損失與收縮係數。

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解題方法

設 $h$ 為油面至噴嘴中心的垂直距離。由圖得：

$$h_1=150\text{ cm}=1.50\text{ m}$$

油面下降 $60\text{ cm}$ 後：

$$h_2=150-60=90\text{ cm}=0.90\text{ m}$$

油箱內空氣壓力相對大氣壓力為：

$$P_{\text{air}}-P_{\text{atm}}=10\text{ cm Hg}$$

換算成油柱水頭：

$$\frac{P_{\text{air}}-P_{\text{atm}}}{\gamma_{\text{oil}}} = \frac{SG_{\text{Hg}}}{SG_{\text{oil}}}(0.10) = \frac{13.6}{0.85}(0.10) =1.60\text{ m}$$

因此，任一瞬間的有效能量水頭為：

$$H=1.60+h$$

由伯努力方程式，噴嘴出口速度為：

$$V=\sqrt{2g(1.60+h)}$$

油箱截面積：

$$A=\frac{\pi(1.80)^2}{4}$$

噴嘴截面積：

$$a=\frac{\pi(0.05)^2}{4}$$

連續方程式為：

$$-A\frac{dh}{dt}=aV$$

代入 $V$：

$$-A\frac{dh}{dt} = a\sqrt{2g(1.60+h)}$$

此題考驗對總能量方程式（白努利方程式考慮損耗）的應用，以及如何計算管路系統中的流體流量，包含摩擦損失和局部損失。

核心觀念：

1. 總能量方程式：$\frac{P_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + h_L$
   其中 $h_L$ 是總的揚程損失（包含摩擦損失和局部損失）。
2. 達西-威斯巴赫方程式 (Darcy-Weisbach equation)：用於計算摩擦損失。
   $h_{f} = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g}$
3. 局部損失：由閥門、彎頭、縮口等引起，表示為 $h_m = K \frac{v^2}{2g}$，其中 $K$ 是局部損失係數。

解題步驟：

1. 定義系統的起點和終點：
   我們需要選擇兩個點來應用總能量方程式。最方便的選擇是：

   • 點 1：水庫 B 的自由液面。
   • 點 2：管路出口（假設壓力為大氣壓力）。

2. 寫出總能量方程式：
   點 1 (水庫 B 液面)：
   $P_1 = P_{atm}$ (自由液面)
   $v_1 \approx 0$ (水庫面積遠大於管路面積)
   $z_1 = 13.4 \, \text{m}$ (題目圖示)

   點 2 (管路出口)：
   $P_2 = P_{atm}$ (假設出口在大氣中)
   $v_2 = v$ (管路中的流速，假設為定值，因為題目沒有給出出口處的直徑，但通常管路系統是單一管徑)
   $z_2 = 0 \, \text{m}$ (題目圖示)

   總能量方程式：
   $\frac{P_{atm}}{\rho g} + 0 + 13.4 = \frac{P_{atm}}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + 0 + h_L$
   $13.4 = \frac{v^2}{2g} + h_L$

3. 計算總揚程損失 $h_L$：
   $h_L = h_{f} + h_{m, total}$
   $h_{f}$ 是總摩擦損失。
   $h_{m, total}$ 是總局部損失。

   管路系統分析：

   • 管徑 $D = 15 \, \text{cm} = 0.15 \, \text{m}$。
   • 摩擦係數 $f = 1 \times 10^{-3}$。
   • 水庫出口 (sharp-edged entrance)：$K_c = 0.5$。
   • 60 m 長的直管段：$L_1 = 60 \, \text{m}$。
   • 一個 45° 彎頭 (elbow)：$K_{elbow} = 1.0$。
   • 80 m 長的直管段：$L_2 = 80 \, \text{m}$。
   • 一個球閥 (Globe valve)：$K_{globe} = 5.5$。
   • 10 m 長的直管段：$L_3 = 10 \, \text{m}$。
   • 另一個 45° 彎頭 (elbow)：$K_{elbow} = 1.0$。
   • 另一個 10 m 長的直管段：$L_4 = 10 \, \text{m}$。
   • 題目圖示中有一個 $K_c=0.5$ 的縮口，但圖示連接方式似乎是從水庫直接進管，所以這個 $K_c$ 應該是指水庫出口的局部損失。
   • 題目提到 "sudden contraction, elbow and global valve"，並在圖示中標示了 $K_c=0.5$, $K_{elbow}=1.0$, $K_{globe}=5.5$。
   • 總長度 L：60 m + 80 m + 10 m + 10 m = 160 m。
   • 局部損失總計：
     • 水庫出口 (sharp-edged entrance): $K_{entrance} = 0.5$ (題目圖示的 $K_c$)
     • 兩個 45° 彎頭: $2 \times K_{elbow} = 2 \times 1.0 = 2.0$
     • 一個球閥: $K_{globe} = 5.5$
     • 總局部損失係數 $K_{total} = K_{entrance} + 2 K_{elbow} + K_{globe} = 0.5 + 2.0 + 5.5 = 8.0$。

   摩擦損失 $h_f$：
   $h_f = f \frac{L_{total}}{D} \frac{v^2}{2g} = (1 \times 10^{-3}) \frac{160 \, \text{m}}{0.15 \, \text{m}} \frac{v^2}{2g}$
   $h_f = \frac{1 \times 10^{-3} \times 160}{0.15} \frac{v^2}{2g} = \frac{0.16}{0.15} \frac{v^2}{2g} \approx 1.067 \frac{v^2}{2g}$。

   總損失 $h_L$：
   $h_L = h_f + h_{m, total} = h_f + K_{total} \frac{v^2}{2g}$
   $h_L = 1.067 \frac{v^2}{2g} + 8.0 \frac{v^2}{2g} = (1.067 + 8.0) \frac{v^2}{2g} = 9.067 \frac{v^2}{2g}$。

4. 代入總能量方程式並求解 $v$：
   $13.4 = \frac{v^2}{2g} + h_L$
   $13.4 = \frac{v^2}{2g} + 9.067 \frac{v^2}{2g}$
   $13.4 = (1 + 9.067) \frac{v^2}{2g}$
   $13.4 = 10.067 \frac{v^2}{2g}$
   $\frac{v^2}{2g} = \frac{13.4}{10.067} \approx 1.331 \, \text{m}$。
   $v^2 = 1.331 \times 2g = 1.331 \times 2 \times 9.81 \approx 26.11 \, \text{m}^2/\text{s}^2$。
   $v = \sqrt{26.11} \approx 5.11 \, \text{m/s}$。

5. 計算流量 $Q$：
   $Q = A \times v$
   $A = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (0.15 \, \text{m})^2 = \frac{\pi}{4} (0.0225) \approx 0.01767 \, \text{m}^2$。
   $Q = 0.01767 \, \text{m}^2 \times 5.11 \, \text{m/s} \approx 0.0903 \, \text{m}^3/\text{s}$。

   檢查步驟與計算：

   • 液體性質：題目未給定水溫，但通常此類題目假設為水，密度 $\rho \approx 1000 \, \text{kg/m}^3$，重力加速度 $g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2$。
   • 能量方程式：點 1 是水庫 B 液面 ($z_1=13.4$ m, $P_1=P_{atm}, v_1\approx 0$)，點 2 是管路出口 ($z_2=0$ m, $P_2=P_{atm}, v_2=v$)。
     $13.4 = \frac{v^2}{2g} + h_L$。正確。
   • 總損失 $h_L$：
     $h_L = h_f + h_{m, total}$
     $h_f = f \frac{L_{total}}{D} \frac{v^2}{2g}$
     $L_{total} = 60 + 80 + 10 + 10 = 160 \, \text{m}$。
     $D = 0.15 \, \text{m}$。
     $f = 1 \times 10^{-3}$。
     $h_f = (1 \times 10^{-3}) \frac{160}{0.15} \frac{v^2}{2g} = 1.0667 \frac{v^2}{2g}$。正確。
     $h_{m, total} = K_{total} \frac{v^2}{2g}$
     $K_{total} = K_{entrance} + 2 K_{elbow} + K_{globe} = 0.5 + 2 \times 1.0 + 5.5 = 8.0$。正確。
     $h_L = (1.0667 + 8.0) \frac{v^2}{2g} = 9.0667 \frac{v^2}{2g}$。正確。
   • 求解 $v$：

此題分為兩部分：(a) 要求解釋 Navier-Stokes 方程式中各項的物理意義，(b) 要求根據 Navier-Stokes 方程式推導並畫出特定幾何條件下的速度剖面。

(a) Navier-Stokes 方程式各項的物理意義 (10%)

Navier-Stokes 方程式是描述牛頓流體運動的動量守恆方程式。其向量形式通常寫為：
$\rho \frac{D\vec{v}}{Dt} = -\nabla P + \nabla \cdot \tau + \rho \vec{g}$
題目中給出的形式為：
$\frac{D\vec{v}}{Dt} = \rho \vec{g} - \nabla P + \mu \nabla^2 \vec{v}$
這裡 $\vec{v}$ 是速度向量，$\rho$ 是密度，$\vec{g}$ 是重力加速度向量， $P$ 是壓力，$\mu$ 是動力黏度。
我們假設題目給出的方程式是將 $\rho$ 除到右邊，並且忽略了黏滯應力張量 $\tau$ 的詳細展開，直接使用牛頓流體的黏滯力形式（假設為簡單的剪切流）。

讓我們逐項解釋：

1. $\frac{D\vec{v}}{Dt}$ (實質導數或隨體導數)：

   • 物理意義：表示流體質點的速度隨時間的變化率。它包含了兩個部分：局部變化率 $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}$ (速度在固定點的變化) 和對流變化率 $(\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v}$ (速度因質點移動到不同位置而變化)。
   • 數學形式：$\frac{D\vec{v}}{Dt} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v}$。
   • 在方程式中的作用：代表單位質量流體所受的加速度。根據牛頓第二運動定律 ($\vec{F} = m\vec{a}$)，左邊可以看作是單位質量流體受到的合外力。

2. $\rho \vec{g}$ (重力項)：

   • 物理意義：單位體積流體所受的重力。
   • 在方程式中的作用：表示重力對流體運動的影響。

3. $-\nabla P$ (壓力梯度項)：

   • 物理意義：壓力在空間中的變化率。負號表示流體從高壓區域流向低壓區域。$\nabla P$ 是一個向量，其方向是壓力增加最快的方向，大小是壓力變化的梯度。
   • 在方程式中的作用：表示壓力差導致流體產生加速度的力。

4. $\mu \nabla^2 \vec{v}$ (黏滯力項)：

   • 物理意義：表示流體內部的黏滯力對流體運動的影響。$\nabla^2 \vec{v}$ 是速度向量的拉普拉斯算子。這個形式是適用於牛頓流體，且假設流體是不可壓縮的。
   • 在方程式中的作用：表示流體內部剪應力引起的動量耗散或阻尼效應。它將動量從流速較快的區域傳遞到流速較慢的區域。

   注意：題目給出的方程式 $\frac{D\vec{v}}{Dt} = \rho \vec{g} - \nabla P + \mu \nabla^2 \vec{v}$ 是將密度 $\rho$ 除到了左邊，所以右邊的 $\rho \vec{g}$ 應該是單位質量流體受到的重力，而 $-\nabla P$ 也是單位體積的壓力梯度。如果題目原意是 $\rho \frac{D\vec{v}}{Dt} = \dots$，則各項是單位體積的力。
   假設題目給定的方程式是正確的，那麼：

   • $\frac{D\vec{v}}{Dt}$：單位質量流體的加速度。
   • $\rho \vec{g}$：單位體積流體的重力，除以 $\rho$ 後變成單位質量的重力。
   • $-\nabla P$：單位體積的壓力梯度，除以 $\rho$ 後變成單位質量的壓力梯度力。
   • $\mu \nabla^2 \vec{v}$：這個項的單位是 $\text{Pa} \cdot \text{m}^{-2} = (\text{N/m}^2) \cdot \text{m}^{-2} = \text{N/m}^4$。而 $\frac{D\vec{v}}{Dt}$ 的單位是 $\text{m/s}^2$。
     因此，題目給出的方程式 $\frac{D\vec{v}}{Dt} = \rho \vec{g} - \nabla P + \mu \nabla^2 \vec{v}$ 的單位是不一致的。

   更正為標準形式：
   標準的 Navier-Stokes 方程式（不可壓縮牛頓流體）是：
   $\rho \frac{D\vec{v}}{Dt} = -\nabla P + \mu \nabla^2 \vec{v} + \rho \vec{g}$
   或者，除以 $\rho$ 後：
   $\frac{D\vec{v}}{Dt} = -\frac{1}{\rho}\nabla P + \nu \nabla^2 \vec{v} + \vec{g}$
   其中 $\nu = \mu/\rho$ 是運動黏度。

   根據題目給定的形式，我們假設其意圖是解釋這些項的物理意義，即使單位可能不完全匹配。

   • $\frac{D\vec{v}}{Dt}$：單位質量的加速度。
   • $\rho \vec{g}$：單位體積的重力。
   • $-\nabla P$：單位體積的壓力梯度力。
   • $\mu \nabla^2 \vec{v}$：單位體積的黏滯力（假設 $\mu$ 是動力黏度）。

   若嚴格按照題目形式解釋：

   • $\frac{D\vec{v}}{Dt}$：流體質點的加速度。
   • $\rho \vec{g}$：單位體積的重力。
   • $-\nabla P$：單位體積的壓力梯度力。
   • $\mu \nabla^2 \vec{v}$：單位體積的黏滯力（假設 $\mu$ 是動力黏度）。

   最可能的情況是，題目意圖是解釋 $\rho \frac{D\vec{v}}{Dt} = -\nabla P + \mu \nabla^2 \vec{v} + \rho \vec{g}$ 中的各項，但省略了左邊的 $\rho$。
   如果這樣理解，則：

   • $\frac{D\vec{v}}{Dt}$：單位質量流體的加速度。
   • $\rho \vec{g}$：單位體積的重力。
   • $-\nabla P$：單位體積的壓力梯度力。
   • $\mu \nabla^2 \vec{v}$：單位體積的黏滯力。

   為了更貼合題目，我們假設題目是想問 $\frac{D\vec{v}}{Dt} = \vec{a}$，而右邊是作用在單位質量上的力。

   • $\frac{D\vec{v}}{Dt}$: 流體質點的加速度。
   • $\rho \vec{g}$: 單位體積的重力。
   • $-\nabla P$: 單位體積的壓力梯度力。
   • $\mu \nabla^2 \vec{v}$: 單位體積的黏滯力。

   標準解釋（基於 $\rho \frac{D\vec{v}}{Dt} = \dots$）

   • $\rho \frac{D\vec{v}}{Dt}$：單位體積的慣性力（或質量 × 加速度）。
   • $-\nabla P$：單位體積的壓力梯度力。
   • $\mu \nabla^2 \vec{v}$：單位體積的黏滯力。
   • $\rho \vec{g}$：單位體積的重力。

   根據題目給定的方程式，最嚴謹的解釋是：

   • $\frac{D\vec{v}}{Dt}$: 流體質點的加速度。
   • $\rho \vec{g}$: 單位體積的重力。
   • $-\nabla P$: 單位體積的壓力梯度力。
   • $\mu \nabla^2 \vec{v}$: 單位體積的黏滯力。
     此時，方程式的單位不匹配。

   假設題目意圖是解釋 $\frac{D\vec{v}}{Dt} = \vec{g} - \frac{1}{\rho}\nabla P + \nu \nabla^2 \vec{v}$，其中 $\nu = \mu/\rho$ 是運動黏度。

   • $\frac{D\vec{v}}{Dt}$: 流體質點的加速度。
   • $\vec{g}$: 重力加速度。
   • $-\frac{1}{\rho}\nabla P$: 單位質量的壓力梯度力。
   • $\nu \nabla^2 \vec{v}$: 單位質量的黏滯力。

   最終採取最常見的解釋方式，假設題目是標準 Navier-Stokes 方程式的簡化形式，並解釋各項代表的力/加速度。

   • $\frac{D\vec{v}}{Dt}$: 流體質點的加速度。
   • $\rho \vec{g}$: 單位體積的重力。
   • $-\nabla P$: 單位體積的壓力梯度力。
   • $\mu \nabla^2 \vec{v}$: 單位體積的黏滯力。

(b) 速度剖面示意圖 (10%)

問題設定：

• 流體：不可壓縮、牛頓流體。
• 幾何：兩個平行、垂直的表面。
• 運動邊界：左表面靜止，右表面向下以恆定速度 $v_0$ 移動。
• 流動：層流 (laminar flow)。
• 控制方程式：Navier-Stokes 方程式。

簡化與假設：

1. 穩態流動：由於邊界速度是恆定的，我們可以假設流動是穩態的，即 $\frac{\partial}{\partial t} = 0$。

2. 二維流動：考慮 $x-y$ 平面，其中 $y$ 軸垂直於表面，$x$ 軸平行於表面。由於表面是垂直的，重力可能沿 $y$ 方向（向下）。

3. 速度分量：由於流體被限制在兩個平行表面之間，且運動是沿表面方向的，我們可以假設速度只有一個分量，例如沿右表面向下方向的速度 $v_x$。或者，如果左表面為 $x=0$，右表面為 $x=L$，則速度 $v$ 沿左表面到右表面的方向（垂直於表面）變化。

   根據圖示：
   圖示顯示流體在兩個垂直表面之間，右表面向下運動。這意味著速度方向是垂直於表面的。
   設左表面為 $x=0$ (靜止)，右表面為 $x=L$ (速度 $v_0$ 向下)。
   流體是「confined between two parallel, vertical surfaces」。
   「The left surface is stationary, whereas the other is moving downward at a constant velocity ($v_0$)」。
   這意味著速度是沿垂直於表面的方向。
   設 $y$ 軸垂直於表面，指向右邊。
   則左表面 $y=0$，$v_y(0)=0$。
   右表面 $y=L$，$v_y(L)=v_0$（向下）。
   流體是不可壓縮的，並且是牛頓流體，流動是層流。

此題的目標是描述如何使用 Moody Chart 來確定管徑。然而，題目中給定的條件與此目標似乎有些矛盾。題目給定了流量 $Q$、管長 $L$、水溫（由此可得運動黏度 $v$）、粗糙度 $\epsilon$、以及系統中的局部損失係數。題目要求「determine the pipe diameter needed」，但又要求「describe how to use the Moody chart」。Moody Chart 的主要用途是根據雷諾數 (Re) 和相對粗糙度 ($\epsilon/D$) 來查找摩擦係數 $f$。

仔細閱讀題目：
「Water at 15.6 °C (v = 1.12 × 10⁻⁶ m²/s) is to flow from reservoir B through a pipe of length 518 m and roughness 0.00015 m at a rate of Q = 0.74 m³/s as shown. The system contains a sharp-edged entrance and four flanged 45° elbows. The loss coefficients of sudden contraction, expansion and elbows are shown in the following figure. Please describe how to use the Moody chart (below) to determine the pipe diameter needed. (20%)」

題目要求：

1. 給定條件：$Q=0.74 \, \text{m}^3/\text{s}$, $L=518 \, \text{m}$, $\epsilon=0.00015 \, \text{m}$, $v=1.12 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}$。
2. 系統描述：水庫 B，總長 518 m，有 sharp-edged entrance ($K=0.5$)，四個 flanged 45° elbows (圖示 $K_{elbow}=0.2$)。
3. 要求：描述如何使用 Moody Chart 確定所需的管徑 $D$。

問題的矛盾點：

• Moody Chart 用來找 $f$，而 $f$ 的確定需要 $Re$ 和 $\epsilon/D$。
• $Re = \rho v D / \mu = v D / v$。
• $\epsilon/D$ 是相對粗糙度。
• 在計算 $f$ 時，我們需要知道 $D$。但題目要求確定 $D$。
• 通常，Moody Chart 是用來計算已知 $D$ 時的 $f$，或者已知 $f$ 時的 $Re$ 和 $\epsilon/D$。

重新理解題目意圖：
題目可能不是要直接計算 $D$，而是要描述一個 迭代過程，其中 Moody Chart 在其中扮演關鍵角色。
我們需要確定管徑 $D$ 使得在給定流量 $Q$ 下，系統的總水頭損失與給定的高程差匹配。

解題策略：

1. 建立總能量方程式：
   點 1：水庫 B 液面 ($z_1 = 13.4 \, \text{m}$, $P_1 = P_{atm}$, $v_1 \approx 0$)。
   點 2：出口 ($z_2 = 0 \, \text{m}$, $P_2 = P_{atm}$, $v_2 = v$，即管路中的流速)。
   $z_1 = \frac{v^2}{2g} + h_L$
   $13.4 = \frac{v^2}{2g} + h_L$

2. 表達總損失 $h_L$：
   $h_L = h_f + h_{m, total}$
   $h_f = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g}$
   $h_{m, total} = (K_{entrance} + 4 K_{elbow}) \frac{v^2}{2g}$
   根據圖示，sharp-edged entrance $K_{entrance} = 0.5$。
   flanged 45° elbows $K_{elbow} = 0.2$。
   $h_{m, total} = (0.5 + 4 \times 0.2) \frac{v^2}{2g} = (0.5 + 0.8) \frac{v^2}{2g} = 1.3 \frac{v^2}{2g}$。

3. 建立流量與速度的關係：
   $Q = A v = \frac{\pi D^2}{4} v$
   $v = \frac{4Q}{\pi D^2}$

4. 將 $v$ 和 $h_L$ 代入能量方程式：
   $13.4 = \frac{1}{2g} \left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)^2 + f \frac{L}{D} \frac{1}{2g} \left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)^2 + 1.3 \frac{1}{2g} \left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)^2$
   $13.4 = \frac{1}{2g} \left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)^2 \left( 1 + f \frac{L}{D} + 1.3 \right)$
   $13.4 = \frac{1}{2g} \left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)^2 \left( 2.3 + f \frac{L}{D} \right)$

5. 引入 Moody Chart 的迭代過程：
   我們需要確定 $D$。但是 $f$ 依賴於 $Re$ 和 $\epsilon/D$，而 $Re$ 又依賴於 $D$ ($Re = vD/v = (4Q/\pi D^2)D/v = 4Q/(\pi v D)$)。
   這是一個複雜的方程，無法直接解出 $D$。因此需要迭代。

   描述如何使用 Moody Chart 的迭代過程：
   a. 步驟 1：估計一個初始管徑 $D_{guess}$。
   我們可以通過假設一個 $f$ 值（例如，假設在完全湍流區，取一個大約的值，如 $f=0.02$）來進行初步計算。
   或者，我們可以根據流量 $Q$ 和常見的流速來估計 $D$。例如，如果假設流速 $v \approx 2 \, \text{m/s}$ (這是一個常見的流速範圍)，則 $D = \sqrt{4Q/(\pi v)} = \sqrt{4 \times 0.74 / (\pi \times 2)} \approx \sqrt{0.47} \approx 0.68 \, \text{m}$。
   或者，我們可以從 Moody Chart 中找一個 $f$ 值，例如 $f=0.02$，代入能量方程，解出 $D$。
   $13.4 = \frac{1}{2g} \left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)^2 \left( 2.3 + 0.02 \frac{L}{D} \right)$
   這仍然是一個複雜的方程。

   b. 步驟 2：更系統的迭代方法：
   i. 假設一個初始管徑 $D_1$。
   ii. 計算相對粗糙度：$\epsilon/D_1$。
   iii. 計算雷諾數 $Re_1$。首先需要計算出該管徑下的流速 $v_1 = 4Q/(\pi D_1^2)$，然後計算 $Re_1 = v_1 D_1 / v$。
   iv. 使用 Moody Chart 查找摩擦係數 $f_1$。根據 $Re_1$ 和 $\epsilon/D_1$ 在 Moody Chart 上找到對應的 $f_1$ 值。
   v. 計算該管徑下的水頭損失 $h_{L,1}$。使用 $f_1$ 和 $D_1$ 代入能量方程式：
   $h_{L,1} = \frac{v_1^2}{2g} (2.3 + f_1 \frac{L}{D_1})$。
   vi. 比較計算出的水頭損失 $h_{L,1}$ 與給定的水頭差 $13.4 \, \text{m}$。
   * 如果 $h_{L,1} < 13.4 \, \text{m}$，表示我們選擇的管徑 $D_1$ 太大 (水頭損失太小)，需要減小管徑。
   * 如果 $h_{L,1} > 13.4 \, \text{m}$，表示我們選擇的管徑 $D_1$ 太小 (水頭損失太大)，需要增大管徑。
   vii. 根據比較結果，選擇一個新的管徑 $D_2$，並重複步驟 ii 到 vi。
   viii. 重複迭代，直到計算出的水頭損失 $h_{L,n}$ 足夠接近給定的水頭差 $13.4 \, \text{m}$。此時的管徑 $D_n$ 即為所需的管徑。

   具體描述如何使用 Moody Chart：

   1. 確定相對粗糙度 $\epsilon/D$：由於 $D$ 是未知數，我們需要將其作為迭代變數。
   2. 確定雷諾數 $Re$：$Re = vD/v = (4Q/\pi D^2)D/v = 4Q/(\pi v D)$。這也依賴於 $D$。
   3. 迭代過程：
      • 假設一個 $D$ 值。
      • 計算 $\epsilon/D$。
      • 計算 $Re$ (此時 $D$ 已知，可以算出 $v$ 和 $Re$)。
      • 在 Moody Chart 上，找到相對粗糙度曲線 $\epsilon/D$。
      • 在該曲線上，找到雷諾數 $Re$ 所在的點，然後讀取對應的摩擦係數 $f$。
      • 將 $D$, $f$, $Q$ 代入能量方程式，計算出總水頭損失 $h_L$。
      • 比較 $h_L$ 與 $13.4 \, \text{m}$。
      • 根據比較結果調整 $D$ 的假設值，重複上述過程，直到 $h_L \approx 13.4 \, \text{m}$。

   給出一個具體的迭代例子（用於說明，非題目要求）：
   已知：$Q=0.74 \, \text{m}^3/\text{s}$, $L=518 \, \text{m}$, $\epsilon=0.00015 \, \text{m}$, $v=1.12 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}$。
   $g = 9.81 \, \text{m/s}^2$。
   局部損失係數 $K_{total} = 1.3$。

   迭代 1：假設 $D_1 = 0.5 \, \text{m}$。

   • $v_1 = 4Q / (\pi D_1^2) = 4 \times 0.74 / (\pi \times 0.5^2) \approx 3.76 \, \text{m/s}$。