109 年 國立成功大學環境工程學系碩士班乙組《流體力學》

核心觀念

本題考查 Buckingham $\Pi$ 定理與模型律。阻力 $F_D$ 被假設只與下列三個物理量有關：

$$F_D=f(V,\rho,D)$$

其中：

• $F_D$：阻力，量綱為 $MLT^{-2}$
• $V$：流速，量綱為 $LT^{-1}$
• $\rho$：流體密度，量綱為 $ML^{-3}$
• $D$：降落傘直徑，量綱為 $L$

由量綱分析可得唯一無因次群：

$$\Pi=\frac{F_D}{\rho V^2D^2}$$

因此：

$$\frac{F_D}{\rho V^2D^2}=C_D$$

其中 $C_D$ 為無因次阻力係數。模型與原型若遵守相同的無因次關係，則有：

$$\frac{F_{D,p}}{\rho_p V_p^2D_p^2} = \frac{F_{D,m}}{\rho_m V_m^2D_m^2}$$

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解題方法與計算

模型資料為：

$$F_{D,m}=50\ \text{N}$$ $$V_m=1\ \text{m/s},\qquad \rho_m=1000\ \text{kg/m}^3,\qquad D_m=0.3\ \text{m}$$

原型條件為：

$$V_p=3\ \text{m/s},\qquad \rho_p=1.225\ \text{kg/m}^3,\qquad D_p=9\ \text{m}$$

由相同無因次阻力係數：

核心觀念

本題利用靜水壓力與庫侖摩擦定律判斷壩體是否滑動：

1. 壩體重量提供基礎正向力。
2. 水對上游斜面的靜水壓力可分解為：
   • 水平分力：促使壩體滑動；
   • 垂直分力：方向向下，會增加基礎正向力。
3. 臨界不滑動條件為

$$F_H=\mu_s N$$

因此最小摩擦係數為

$$\mu_{\min}=\frac{F_H}{N}$$

以下以壩體每單位長度 $1\ \mathrm{m}$ 分析。

解題方法

1. 壩體重量

壩體剖面為梯形，高度為 $5\ \mathrm{m}$，底寬為 $6\ \mathrm{m}$，頂寬為 $2\ \mathrm{m}$。

其剖面面積為

$$A=\frac{6+2}{2}\times 5=20\ \mathrm{m^2}$$

已知混凝土單位重為 $23.6\ \mathrm{kN/m^3}$，故每單位長度壩體重量為

$$W=23.6\times 20 =472\ \mathrm{kN/m}$$

2. 水壓水平分力

水深為 $h=4\ \mathrm{m}$。水壓作用於斜面，但其水平分力等於作用在該斜面垂直投影面上的靜水壓力：

$$F_H=\frac{1}{2}\gamma_w h^2$$

取水的單位重 $\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$，則

$$F_H=\frac{1}{2}(9.81)(4^2) =78.48\ \mathrm{kN/m}$$

此力方向向右，為造成壩體滑動的主要分力。

本題考驗量測堰（Weir）的流量計算公式推導，核心是利用積分來計算總流量，並考慮到流量係數。

核心觀念：

1. 流體力學中的連續性原理：在堰上方，水面到堰口的深度變化。
2. 積分計算：將堰口分成無數個薄片，計算每個薄片的流量後進行積分。
3. 流量係數 (Discharge Coefficient)：實際流量與理論流量的比例。

步驟 1：建立堰口上方水流的幾何關係
考慮堰口上方水面到堰口之間的深度為 $H$。V 型堰的開口角度為 $\theta$。
我們需要計算通過堰口的一小段寬度 $db$ 在深度 $h$ 處的流量 $dq$。
在深度 $h$ 處，V 型堰的寬度 $b$ 可以由幾何關係求出。
考慮 V 型堰的頂點為座標原點 (0, 0)。從圖示看，V 型堰的開口是向下張開的。
深度 $h$ 是從水面到 V 型堰頂部的垂直距離。
在深度 $h$ 處，V 型堰的寬度 $b$ 與深度 $h$ 和角度 $\theta$ 的關係：
考慮 V 型堰的剖面，它是一個三角形。如果我們從頂點向下看，深度為 $h$ 處的寬度 $b$ 可以表示為：
$\tan(\theta/2) = \frac{b/2}{h}$
所以，$b = 2h \tan(\theta/2)$。

步驟 2：計算通過薄片寬度 $db$ 的流量 $dq$
考慮一個距離堰口頂部深度 $h$ 的極薄水層，其厚度為 $dh$。
此水層的寬度為 $b = 2h \tan(\theta/2)$。
此水層的面積為 $dA = b \times dh = 2h \tan(\theta/2) dh$。
假設水流通過此薄層的速度為 $v$。根據伯努利原理，在深度 $h$ 處的速度可以近似為自由落體速度：
$v = \sqrt{2gh}$
（嚴格來說，這是在忽略壓力、黏滯性等因素，僅考慮動能與位能轉換的理想情況。在實際堰口，速度會受影響，但這個速度是推導公式的基礎。）

通過此薄層的流量 $dq$ 為：
$dq = v \times dA = \sqrt{2gh} \times (2h \tan(\theta/2) dh)$
$dq = 2 \tan(\theta/2) \sqrt{2g} h^{1/2} h dh$
$dq = 2 \tan(\theta/2) \sqrt{2g} h^{3/2} dh$

步驟 3：積分計算總流量
總流量 $\dot{V}$ 是從堰口頂部 (h=0) 到水面深度 $H$ 處的所有薄層流量的總和。
$\dot{V} = \int_{0}^{H} dq = \int_{0}^{H} 2 \tan(\theta/2) \sqrt{2g} h^{3/2} dh$
$\dot{V} = 2 \tan(\theta/2) \sqrt{2g} \int_{0}^{H} h^{3/2} dh$
$\dot{V} = 2 \tan(\theta/2) \sqrt{2g} \left[ \frac{h^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} \right]_{0}^{H}$
$\dot{V} = 2 \tan(\theta/2) \sqrt{2g} \left[ \frac{h^{5/2}}{5/2} \right]_{0}^{H}$
$\dot{V} = 2 \tan(\theta/2) \sqrt{2g} \times \frac{2}{5} (H^{5/2} - 0^{5/2})$
$\dot{V} = \frac{4}{5} \tan(\theta/2) \sqrt{2g} H^{5/2}$

步驟 4：考慮流量係數 $C_N$
實際流量 $\dot{V}_{actual}$ 通常小於理論流量 $\dot{V}_{theoretical}$，其比值由流量係數 $C_N$ 給出。
$\dot{V}_{actual} = C_N \times \dot{V}_{theoretical}$
$\dot{V} = C_N \times \frac{4}{5} \tan(\theta/2) \sqrt{2g} H^{5/2}$
$\dot{V} = \frac{4}{5} C_N \tan(\theta/2) \sqrt{2g} H^{5/2}$

這個公式表達了體積流量 $\dot{V}$ 作為深度 $H$ 和其他參數（$C_N, \theta, g$）的函數。

核心觀念

本題考查定容完全混合槽的非穩態質量平衡。

由於淡水以流量 $Q$ 流入，且混合液以相同流量溢流出去，因此槽內體積維持不變：

$$V=55\ \text{m}^3,\qquad Q=10\ \text{m}^3/\text{min}$$

槽內混合液密度會逐漸接近淡水密度。定義密度差：

$$\Delta \rho=\rho-\rho_{\text{water}}$$

題目要求的是使 $\Delta \rho$ 降低至原來的 $50\%$。

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解題方法與推導

對槽內流體進行總質量平衡：

$$\frac{d(\rho V)}{dt} = \rho_{\text{water}}Q-\rho Q$$

因為槽內體積固定，$V$ 為常數，因此：

$$V\frac{d\rho}{dt} = Q(\rho_{\text{water}}-\rho)$$

整理為：

$$\frac{d\rho}{dt} = -\frac{Q}{V}(\rho-\rho_{\text{water}})$$

以 $\Delta\rho=\rho-\rho_{\text{water}}$ 代入：

$$\frac{d(\Delta\rho)}{dt} = -\frac{Q}{V}\Delta\rho$$

這是一階衰減方程，積分得：

$$\Delta\rho = \Delta\rho_0 e^{-Qt/V}$$

當密度差減少 $50\%$ 時：

$$\Delta\rho=\frac{1}{2}\Delta\rho_0$$

因此：

$$\frac{1}{2} = e^{-Qt/V}$$

取自然對數：

核心觀念

本題考查兩個水庫間管流的能量方程、局部損失、沿程損失，以及摩擦因子與相對粗糙度的關係。

由左側水庫自由液面流向右側水庫自由液面，兩水庫皆為大水庫，因此自由液面速度可視為 $0$，且兩側皆為大氣壓。可用能量方程：

$$h_1-h_2 = \left(K_c+f\frac{L}{D}+K_e\right)\frac{V^2}{2g}$$

其中：

• $K_c=0.5$：入口局部損失係數
• $K_e=0.5$：出口局部損失係數
• $f$：Darcy 摩擦因子
• $L=80\ \text{m}$
• $D=0.35\ \text{m}$
• $V$：管內平均流速

雖然圖中標示出口浸沒深度 $h_3=8\ \text{m}$，但若直接以兩水庫自由液面套用能量方程，出口浸沒段的靜水壓水頭與幾何高度會互相抵消，因此總驅動水頭為：

$$\Delta h=h_1-h_2=60-30=30\ \text{m}$$

管截面積為：

$$A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.35)^2}{4} =0.09621\ \text{m}^2$$

流量與流速的關係為：

$$Q=AV$$

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（a）已知摩擦因子 $f=0.004$

沿程損失係數：

$$f\frac{L}{D} = 0.004\left(\frac{80}{0.35}\right) = 0.9143$$

總損失係數：

$$K_c+f\frac{L}{D}+K_e = 0.5+0.9143+0.5 = 1.9143$$

代入能量方程：

$$30=1.9143\frac{V^2}{2(9.81)}$$

因此：

$$V = \sqrt{\frac{2(9.81)(30)}{1.9143}} = 17.53\ \text{m/s}$$

流量為：

$$Q=AV =(0.09621)(17.53) = 1.69\ \text{m}^3/\text{s}$$

因此：

$$\boxed{Q_a\approx1.69\ \text{m}^3/\text{s}}$$

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（b）已知相對粗糙度 $\varepsilon/D=0.004$

此時摩擦因子 $f$ 未知，必須同時使用能量方程與 Colebrook 式：