109 年 國立成功大學資源工程學系碩士班甲組《工程數學》

核心觀念

本題考查兩類一階、二階常微分方程：

• (a) 二階常係數非齊次線性微分方程，右側 forcing term 為 $\sin x$，且與齊次解重複，需使用共振型特解。
• (b) 一階線性微分方程，可用積分因子法求解。

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(a) 解 $y''+y=\sin x$，$y(0)=0$，$y'(0)=0$

解題方法

先求齊次方程

$$y''+y=0.$$

其特徵方程為

$$r^2+1=0,$$

故

$$r=\pm i.$$

因此齊次解為

$$y_h=C_1\cos x+C_2\sin x.$$

右側為 $\sin x$，但 $\sin x$ 已出現在齊次解中，表示發生共振，不能直接設

$$y_p=A\cos x+B\sin x.$$

應乘上一個 $x$，設特解為

$$y_p=x(A\cos x+B\sin x).$$

直接取其中適當形式，可令

$$y_p=Kx\cos x.$$

計算導數：

$$y_p'=K\cos x-Kx\sin x,$$ $$y_p''=-2K\sin x-Kx\cos x.$$

代回原方程：

$$y_p''+y_p = -2K\sin x-Kx\cos x+Kx\cos x = -2K\sin x.$$

比較右側 $\sin x$ 的係數：

$$-2K=1 \quad\Longrightarrow\quad K=-\frac12.$$

因此

$$y_p=-\frac{x}{2}\cos x.$$

總解為

$$y=C_1\cos x+C_2\sin x-\frac{x}{2}\cos x.$$

套用初始條件

由 $y(0)=0$：

$$0=C_1\cos 0+C_2\sin 0-\frac{0}{2}\cos 0,$$

所以

$$C_1=0.$$

先微分總解：

$$y'= -C_1\sin x+C_2\cos x -\frac12\cos x+\frac{x}{2}\sin x.$$

由 $y'(0)=0$：

$$0=C_2-\frac12,$$

故

$$C_2=\frac12.$$

因此

$$\boxed{y(x)=\frac12\sin x-\frac{x}{2}\cos x}.$$

核心觀念

本題考查兩個拉普拉斯變換基本定理：

1. 雙曲函數的指數表示法：
   $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

2. 第二平移定理：
   若
   $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s),$
   則
   $\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=u(t-a)f(t-a),$
   其中 $u(t-a)$ 為單位階梯函數。

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(a) 求 $\cosh(at+b)$ 的拉普拉斯變換

利用雙曲餘弦的指數表示式：

$$\cosh(at+b) =\frac{e^{at+b}+e^{-(at+b)}}{2} =\frac{e^b e^{at}+e^{-b}e^{-at}}{2}.$$

利用基本公式

$$\mathcal{L}\{e^{ct}\}=\frac{1}{s-c},$$

可得

$$\begin{aligned} \mathcal{L}\{\cosh(at+b)\} &=\frac{1}{2} \left[ e^b\mathcal{L}\{e^{at}\} +e^{-b}\mathcal{L}\{e^{-at}\} \right]\\ &=\frac{1}{2} \left( \frac{e^b}{s-a} +\frac{e^{-b}}{s+a} \right). \end{aligned}$$

通分整理：

$$\begin{aligned} \mathcal{L}\{\cosh(at+b)\} &=\frac{1}{2} \frac{e^b(s+a)+e^{-b}(s-a)}{s^2-a^2}\\ &=\frac{s(e^b+e^{-b})+a(e^b-e^{-b})} {2(s^2-a^2)}. \end{aligned}$$

由

$$\cosh b=\frac{e^b+e^{-b}}{2}, \qquad \sinh b=\frac{e^b-e^{-b}}{2},$$

因此

$$\boxed{ \mathcal{L}\{\cosh(at+b)\} = \frac{s\cosh b+a\sinh b}{s^2-a^2} }$$

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(b) 求 $\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{e^{-7s}}{s^2-4}\right\}$

先處理未含平移因子的部分：

核心觀念

本題考查兩部分：

1. 矩陣的列最簡階梯形（reduced row echelon form, RREF）與秩

   • 透過初等列運算將矩陣化為列最簡階梯形。
   • 矩陣的秩等於主元個數，也等於非零列的個數。

2. 特徵值與特徵向量

   • 特徵值 $\lambda$ 滿足
     $\det(A-\lambda I)=0$
   • 對應特徵向量 $v$ 則滿足
     $(A-\lambda I)v=0$
   • 同一特徵值的所有非零倍數皆為對應特徵向量。

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(a) 求列最簡階梯形與秩

給定矩陣

$$A= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 1&0&0&1\\ 1&1&0&1\\ 0&1&1&0 \end{pmatrix}$$

先利用第一列消去第一欄下方元素：

$$R_2\leftarrow R_2-R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-R_1$$

得到

$$\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&1&0&1\\ 0&1&1&0 \end{pmatrix}$$

將第二列與第三列交換，使第二欄主元位於階梯位置：

$$R_2\leftrightarrow R_3$$ $$\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&1\\ 0&0&0&1\\ 0&1&1&0 \end{pmatrix}$$

利用第二列消去第四列第二欄的元素：

$$R_4\leftarrow R_4-R_2$$ $$\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&1\\ 0&0&0&1\\ 0&0&1&-1 \end{pmatrix}$$

接著將第四列與第三列交換，使第三欄主元位於第三列：

$$R_3\leftrightarrow R_4$$ $$\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&-1\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}$$

最後利用第四列消去第二、三列第四欄的元素：

$$R_2\leftarrow R_2-R_4,\qquad R_3\leftarrow R_3+R_4$$

因此

$$\operatorname{RREF}(A)= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} =I_4$$

共有 $4$ 個主元，所以

$$\operatorname{rank}(A)=4$$

這也表示矩陣 $A$ 可逆。

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(b) 求特徵值與對應特徵向量

給定

$$B= \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&2&1\\ 0&1&2 \end{pmatrix}$$

計算特徵方程：

$$B-\lambda I= \begin{pmatrix} 2-\lambda&0&0\\ 0&2-\lambda&1\\ 0&1&2-\lambda \end{pmatrix}$$

由於矩陣具有區塊結構，

$$\det(B-\lambda I) =(2-\lambda) \begin{vmatrix} 2-\lambda&1\\ 1&2-\lambda \end{vmatrix}$$

因此

$$\det(B-\lambda I) =(2-\lambda)\left[(2-\lambda)^2-1\right]$$

因式分解得

$$\det(B-\lambda I) =(2-\lambda)(3-\lambda)(1-\lambda)$$

所以特徵值為

$$\boxed{\lambda=1,\ 2,\ 3}$$

1. $\lambda=2$

解

$$(B-2I)v=0$$

其中

$$B-2I= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0 \end{pmatrix}$$

令

核心觀念

本題考查兩個向量微積分概念：

1. 向量場的散度（divergence）：

$$\nabla\cdot\mathbf F =\frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z}.$$

2. 向量場的旋度（curl）：

$$\nabla\times\mathbf F = \begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix}.$$

對純量函數 $f(x,y,z)$ 而言，方向導數為
$D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u,$
其中 $\mathbf u$ 為單位方向向量。函數增加最快的方向是梯度 $\nabla f$ 的方向，最大變化率為
$\left\lVert\nabla f\right\rVert.$

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(a) 求散度與旋度

題目給定
$\mathbf F=yz^2\mathbf i+xz\mathbf j+xy^2\mathbf k.$

令
$P=yz^2,\qquad Q=xz,\qquad R=xy^2.$

1. 散度

由定義，

$$\nabla\cdot\mathbf F =\frac{\partial}{\partial x}(yz^2) +\frac{\partial}{\partial y}(xz) +\frac{\partial}{\partial z}(xy^2).$$

因為各項分別不含所微分的變數，所以

$$\frac{\partial}{\partial x}(yz^2)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(xz)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(xy^2)=0.$$

因此
$\nabla\cdot\mathbf F=0.$

在 $(1,2,3)$ 處仍為
$\boxed{\nabla\cdot\mathbf F=0}.$

2. 旋度

由旋度公式，

$$\nabla\times\mathbf F = \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathbf i + \left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathbf j + \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathbf k.$$

各偏導數為

$$\frac{\partial R}{\partial y}=2xy,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=x,$$

核心觀念

本題考查兩種積分轉換：

1. 傅立葉級數：將週期函數展開為正弦、餘弦的無限級數。
2. 傅立葉轉換：利用函數的偶對稱性，將積分化為餘弦積分。

傅立葉級數形式為

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),$$

其中

$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,$$ $$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx.$$

傅立葉轉換採用定義

$$\widehat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx.$$

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解題方法

(a) 求週期函數的傅立葉級數

題目給定

$$f(x)= \begin{cases} 0, & -\pi<x<0,\\ 1, & 0<x<\pi, \end{cases}$$

且基本週期為 $2\pi$。

1. 計算 $a_0$

由於 $f(x)$ 僅在 $(0,\pi)$ 上等於 $1$，因此

$$a_0 =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_0^\pi 1\,dx =1.$$

所以常數項為

$$\frac{a_0}{2}=\frac12.$$

2. 計算 $a_n$

$$a_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx =\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos nx\,dx.$$

因此

$$a_n =\frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin nx}{n}\right]_0^\pi =\frac{\sin n\pi}{n\pi} =0.$$

故傅立葉級數中沒有餘弦項。

3. 計算 $b_n$

$$b_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx =\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin nx\,dx.$$

計算得

$$b_n =\frac{1}{\pi}\left[-\frac{\cos nx}{n}\right]_0^\pi =\frac{1-\cos n\pi}{n\pi}.$$

因為 $\cos n\pi=(-1)^n$，所以

$$b_n=\frac{1-(-1)^n}{n\pi}.$$

分情況可寫成

$$b_n= \begin{cases} 0, & n\text{ 為偶數},\\[4pt] \dfrac{2}{n\pi}, & n\text{ 為奇數}. \end{cases}$$

因此

$$\boxed{ f(x)=\frac12+\frac{2}{\pi} \left( \sin x+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\cdots \right) }$$

亦可寫為

核心觀念

本題不是計算題，而是英文短文寫作題，評量考生能否以清楚、連貫且具個人特色的方式，說明自己與數學之間的關係。題目要求寫一篇約 600 字的文章，主題為「我與數學」。

文章應涵蓋下列內容：

• 接觸數學的背景與經驗。
• 數學學習過程中的困難或轉折。
• 數學如何影響自己的思考方式。
• 數學與工程、研究或未來志向的關聯。
• 個人對數學的看法與總結。

本題沒有唯一標準答案，評分重點在於內容是否切題、結構是否完整、語句是否正確，以及觀點是否具體可信。

解題方法

最穩定的寫法是採用五段式結構：

1. 引言：說明自己最初如何接觸數學，並提出中心觀點。例如，數學不只是考試科目，也是一種理解世界與解決問題的方法。
2. 學習經驗：描述曾經遇到的困難，例如微積分、微分方程或線性代數較為抽象，但透過練習逐漸掌握。
3. 思考方式的改變：說明數學使自己學會拆解問題、建立假設、分析條件並驗證結果。
4. 與工程及未來的關聯：將數學連結至工程數學、資源工程、數值分析、模型建立或實驗資料判讀。
5. 結論：總結數學對自己的意義，並表達未來將持續運用數學處理研究問題。

內容必須避免只羅列科目名稱，應加入具體情境。例如，可描述曾經面對複雜方程式而感到困難，後來透過繪圖、分步推導與檢查邊界條件，理解公式背後的物理意義。這類內容比單純寫「我喜歡數學」更具說服力。

參考作答內容

我與數學的關係，並不是從一開始就十分順利。小時候，我把數學看成一門需要記憶公式並追求正確答案的學科。隨著學習內容逐漸深入，我開始接觸函數、微積分、向量與微分方程，也逐漸發現數學並非單純的計算，而是一種描述現象、分析問題與建立邏輯的語言。