113 年 國立成功大學資源工程學系碩士班甲組《工程數學》

核心觀念

本題考查常微分方程的基本解法：

• 一階線性微分方程的積分因子法。
• 二階常係數非齊次微分方程。
• 共振情形下的特解形式。
• 利用初始條件決定任意常數。

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解題方法

（a）$\dfrac{dy}{dx}=y+x^2,\quad y(0)=1$

將方程式整理為一階線性形式：

$$\frac{dy}{dx}-y=x^2.$$

其標準形式為

$$y'+P(x)y=Q(x),$$

其中 $P(x)=-1$，因此積分因子為

$$\mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.$$

方程式兩邊同乘以 $e^{-x}$：

$$e^{-x}y'-e^{-x}y=x^2e^{-x}.$$

左側可寫成乘積微分：

$$\frac{d}{dx}\left(e^{-x}y\right)=x^2e^{-x}.$$

計算右側積分：

$$\int x^2e^{-x}\,dx =-e^{-x}(x^2+2x+2)+C.$$

因此

$$e^{-x}y=-e^{-x}(x^2+2x+2)+C,$$

兩邊乘以 $e^x$：

$$y=-(x^2+2x+2)+Ce^x.$$

代入初始條件 $y(0)=1$：

$$1=-2+C,$$

所以

$$C=3.$$

故

$$\boxed{y(x)=3e^x-x^2-2x-2}.$$

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（b）$\dfrac{d^2y}{dx^2}+y=\cos x,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0$

先解對應的齊次方程：

$$y''+y=0.$$

其特徵方程為

$$r^2+1=0,$$

故 $r=\pm i$，齊次解為

$$y_h=C_1\cos x+C_2\sin x.$$

右側非齊次項為 $\cos x$，而 $\cos x$ 已包含在齊次解中，因此發生共振。一般待定係數形式需乘上 $x$，取特解為

$$y_p=Ax\sin x.$$

計算導數：

$$y_p'=A\sin x+Ax\cos x,$$

核心觀念

本題考查拉普拉斯轉換的基本定義、指數函數公式、部分分式分解，以及反拉普拉斯轉換。

常用公式為

$$\mathcal{L}\{e^{at}\} =\int_0^\infty e^{at}e^{-st}\,dt =\frac{1}{s-a}, \qquad s>a.$$

此外，若

$$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\},$$

則可利用線性性與基本反轉換公式求出 $f(t)$。

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(a) 計算 $e^{3t-2}$ 的拉普拉斯轉換

解題方法

先將常數部分提出：

$$e^{3t-2}=e^{-2}e^{3t}.$$

由拉普拉斯轉換的線性性，

$$\mathcal{L}\{e^{3t-2}\} =e^{-2}\mathcal{L}\{e^{3t}\}.$$

利用公式

$$\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},$$

令 $a=3$，可得

$$\mathcal{L}\{e^{3t}\}=\frac{1}{s-3}.$$

因此

$$\boxed{ \mathcal{L}\{e^{3t-2}\} =\frac{e^{-2}}{s-3} }$$

收斂條件為 $s>3$。

解題技巧

指數函數的指數若為 $at+b$，應先寫成

$$e^{at+b}=e^b e^{at},$$

再套用基本公式。常見錯誤是將結果誤寫成 $\frac{1}{s-3-2}$；常數 $-2$ 是乘法因子 $e^{-2}$，不會改變分母中的 $s-3$。

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(b) 求 $\displaystyle \frac{s+2}{(s+1)s}$ 的反拉普拉斯轉換

解題方法

分母由 $s$ 與 $s+1$ 兩個一次因式組成，因此進行部分分式分解：

$$\frac{s+2}{s(s+1)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}.$$

兩邊同乘以 $s(s+1)$：

$$s+2=A(s+1)+Bs.$$

整理右側：

核心觀念

本題考查兩部分：

1. 利用列運算求矩陣的列簡化梯形式（row reduced echelon form, RREF），並由主元個數判斷：

   • 矩陣的秩（rank）
   • 矩陣的零度（nullity）

2. 利用特徵方程式求特徵值，再由
   $([A]-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$
   求對應的特徵向量。

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(a-1) 求矩陣 $[A]$ 的列簡化梯形式

原矩陣為

$$[A]= \begin{bmatrix} 1&1&1&2\\ 1&2&1&1\\ 2&1&1&1\\ 2&1&1&1 \end{bmatrix}.$$

先以第一列第一欄的 $1$ 作為主元，進行列運算：

$$R_2\leftarrow R_2-R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-2R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4-2R_1.$$

得到

$$\begin{bmatrix} 1&1&1&2\\ 0&1&0&-1\\ 0&-1&-1&-3\\ 0&-1&-1&-3 \end{bmatrix}.$$

接著利用第二列消去第三、四列的第二欄：

$$R_3\leftarrow R_3+R_2,\qquad R_4\leftarrow R_4+R_2.$$

得到

$$\begin{bmatrix} 1&1&1&2\\ 0&1&0&-1\\ 0&0&-1&-4\\ 0&0&-1&-4 \end{bmatrix}.$$

將第三列乘以 $-1$，並用第三列消去第四列：

$$R_3\leftarrow -R_3,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_3.$$

因此

$$\begin{bmatrix} 1&1&1&2\\ 0&1&0&-1\\ 0&0&1&4\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}.$$

再消去第一列第二、三欄的元素：

$$R_1\leftarrow R_1-R_2-R_3.$$

最後得到

$$\operatorname{RREF}([A]) = \begin{bmatrix} 1&0&0&-1\\ 0&1&0&-1\\ 0&0&1&4\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}.$$

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(a-2) 求 rank 與 nullity

矩陣的秩

列簡化後有三個非零列，也就是有三個主元，因此

$$\operatorname{rank}(A)=3.$$

矩陣的零度

矩陣 $A$ 有 $4$ 個欄，因此由秩－零度定理：

$$\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=4.$$

所以

$$\operatorname{nullity}(A)=4-3=1.$$

也可由 RREF 直接看出：第四欄為自由欄，因此自由變數有一個，零度即為 $1$。

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(a) 解題技巧與驗算

由 RREF 對應的齊次方程組為

$$\begin{cases} x_1-x_4=0,\\ x_2-x_4=0,\\ x_3+4x_4=0. \end{cases}$$

令自由變數 $x_4=t$，則

$$x_1=t,\qquad x_2=t,\qquad x_3=-4t.$$

因此零空間中的向量可寫成

$$\mathbf{x} =t \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ -4\\ 1 \end{bmatrix}.$$

取

$$\mathbf{x}= \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ -4\\ 1 \end{bmatrix},$$

直接代回原矩陣：

$$A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1+1-4+2\\ 1+2-4+1\\ 2+1-4+1\\ 2+1-4+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}.$$

驗證此向量確實屬於 $A$ 的零空間。

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(b) 求特徵值與對應特徵向量

令

$$B= \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{bmatrix}.$$

特徵值 $\lambda$ 必須滿足特徵方程式：

核心觀念

本題涵蓋向量微積分的四個基本主題：

• 向量場的旋度（curl）：

$$\nabla\times\mathbf F = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

• 標量函數的梯度與方向導數：
  $D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u$
  其中 $\mathbf u$ 必須是所給方向的單位向量。

• 平面上的 Green 定理。

• 空間曲線與曲面之間的 Stokes 定理。

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(a) 求向量場的旋度

令

$$\mathbf F=3x^2y\mathbf i-2yz^2\mathbf j+xz^2\mathbf k$$

因此

$$P=3x^2y,\qquad Q=-2yz^2,\qquad R=xz^2$$

旋度公式為

$$\nabla\times\mathbf F = \left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)$$

分別計算：

$$\frac{\partial R}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=-4yz$$ $$\frac{\partial P}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial R}{\partial x}=z^2$$ $$\frac{\partial Q}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=3x^2$$

所以

$$\nabla\times\mathbf F = \left(4yz,-z^2,-3x^2\right)$$

代入 $(x,y,z)=(2,-1,1)$：

$$\nabla\times\mathbf F\big|_{(2,-1,1)} = \left(4(-1)(1),-1^2,-3(2)^2\right)$$ $$\boxed{\nabla\times\mathbf F\big|_{(2,-1,1)} =-4\mathbf i-\mathbf j-12\mathbf k}$$

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(b) 求方向導數

給定

$$f(x,y,z)=\frac{xy^2}{z^3}=xy^2z^{-3}$$

求梯度

$$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$$

各偏導數為

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y^2}{z^3}$$ $$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2xy}{z^3}$$ $$\frac{\partial f}{\partial z} =-\frac{3xy^2}{z^4}$$

因此

$$\nabla f = \left( \frac{y^2}{z^3}, \frac{2xy}{z^3}, -\frac{3xy^2}{z^4} \right)$$

在 $(3,2,1)$ 處：

$$\nabla f(3,2,1) = \left(4,12,-36\right)$$

將方向向量單位化

所給方向為

$$\mathbf v=2\mathbf i+2\mathbf j+\mathbf k=(2,2,1)$$

其長度為

$$\|\mathbf v\|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=3$$

核心觀念

本題考查：

• 週期函數的 Fourier series 展開。
• Fourier transform 的定義與指數衰減函數的積分。
• Fourier series 係數公式，以及不連續點的收斂性。
• Fourier transform 的慣用角頻率表示法。

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(a) Fourier series 展開

解題方法

函數的基本週期為 $2$，因此取

$$L=1.$$

週期為 $2L$ 的 Fourier series 形式為

$$f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) +b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right].$$

由於 $L=1$，可寫成

$$f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x) \right].$$

係數公式為

$$a_0=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx,$$ $$a_n=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx,$$ $$b_n=\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx.$$

因為 $f(x)=1$ 僅在 $-1<x<0$，故所有積分只需計算 $[-1,0]$。

計算 $a_0$

$$a_0=\int_{-1}^{0}1\,dx=1.$$

因此

$$\frac{a_0}{2}=\frac12.$$

計算 $a_n$

$$a_n=\int_{-1}^{0}\cos(n\pi x)\,dx =\left[\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\right]_{-1}^{0}.$$

由於 $\sin 0=0$ 且 $\sin(-n\pi)=0$，所以

$$a_n=0.$$

計算 $b_n$

$$b_n=\int_{-1}^{0}\sin(n\pi x)\,dx =\left[-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\right]_{-1}^{0}.$$

因此

$$b_n =-\frac{1}{n\pi} +\frac{\cos(-n\pi)}{n\pi} =\frac{(-1)^n-1}{n\pi}.$$

當 $n$ 為偶數時，

$$b_n=0;$$

當 $n$ 為奇數時，

$$b_n=-\frac{2}{n\pi}.$$

所以 Fourier series 為

$$\boxed{ f(x)=\frac12-\frac{2}{\pi} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\sin\bigl((2m+1)\pi x\bigr)}{2m+1} }$$

亦即

$$\boxed{ f(x)=\frac12-\frac{2}{\pi} \left[ \sin(\pi x)+\frac{\sin(3\pi x)}{3} +\frac{\sin(5\pi x)}{5} +\cdots \right]. }$$

在跳躍不連續點 $x=0,\pm1,\ldots$，Fourier series 收斂至左右極限的平均值：

$$\frac{1+0}{2}=\frac12.$$

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