113 年 國立成功大學資源工程學系碩士班丙組《經濟學》

本題考驗消費者理論中的效用最大化問題，要求利用拉格朗日乘數法或邊際效用均等法則，在預算限制下求得兩種財貨的需求函數。

首先，我們需要將效用函數 $U(X, Y) = \log X^2Y^3$ 進行轉換，以便於計算。由於對數函數是單調遞增函數，最大化 $\log X^2Y^3$ 等同於最大化 $X^2Y^3$。因此，我們可以將問題簡化為最大化 $V(X, Y) = X^2Y^3$ 於預算限制 $P_x X + P_y Y = E$ 下。

方法一：利用邊際效用均等法則
根據邊際效用均等法則，效用最大化發生在消費者從最後一塊錢花費在任一財貨上所獲得的邊際效用均等時。
邊際效用 $MU_X = \frac{\partial V}{\partial X} = 2XY^3$
邊際效用 $MU_Y = \frac{\partial V}{\partial Y} = 3X^2Y^2$

令 $MU_X / P_x = MU_Y / P_y$，則：
$\frac{2XY^3}{P_x} = \frac{3X^2Y^2}{P_y}$
交叉相乘並化簡：
$2XY^3 P_y = 3X^2Y^2 P_x$
$2Y P_y = 3X P_x$
$Y = \frac{3}{2} \frac{P_x}{P_y} X$

將此結果代入預算限制式 $P_x X + P_y Y = E$：
$P_x X + P_y \left(\frac{3}{2} \frac{P_x}{P_y} X\right) = E$
$P_x X + \frac{3}{2} P_x X = E$
$\frac{5}{2} P_x X = E$
$X = \frac{2E}{5P_x}$

將 $X$ 的需求函數代回 $Y$ 的關係式：
$Y = \frac{3}{2} \frac{P_x}{P_y} \left(\frac{2E}{5P_x}\right)$
$Y = \frac{3E}{5P_y}$

核心觀念

本題評量**常替代彈性生產函數（Constant Elasticity of Substitution Production Function, 簡稱 CES 生產函數）**的數理經濟學基礎性質，涵蓋兩大核心觀念：

1. 邊際生產力（Marginal Product, $MP$）：
   廠商在維持其他要素投入不變下，每增加一單位特定要素投入所帶來總產出的增量。在數學上即為生產函數對該要素的一階偏導函數：
   $MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K}, \quad MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L}$
   推導時需靈活運用微積分的連鎖律（Chain Rule）與指數律。

2. 要素替代彈性（Elasticity of Substitution, $\sigma$）：
   衡量在維持特定產量不變（即沿同一條等產量線）時，要素投入比例（$K/L$）變動百分比對邊際技術替代率（$MRTS_{LK}$）變動百分比的敏感度指標：
   $\sigma = \frac{\% \Delta (K/L)}{\% \Delta MRTS_{LK}} = \frac{d\ln(K/L)}{d\ln(MRTS_{LK})} = \frac{\frac{d(K/L)}{K/L}}{\frac{d MRTS_{LK}}{MRTS_{LK}}}$
   其中 $MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K}$ 代表增加一單位勞動投入所能替代的資本數量。

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解題方法與詳細推導

(1) 資本與勞動邊際生產力之證明

給定生產函數為：
$Q = f(K, L) = \left[ K^\rho + L^\rho \right]^{\frac{1}{\rho}}$

Step 1：推導資本的邊際生產力 $MP_K$

對資本 $K$ 進行偏微分，由微積分連鎖律可得：
$MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = \frac{1}{\rho} \left[ K^\rho + L^\rho \right]^{\frac{1}{\rho} - 1} \cdot \frac{\partial \left( K^\rho + L^\rho \right)}{\partial K}$

計算括號內對 $K$ 的偏導得 $\rho K^{\rho-1}$，代入並化簡：
$MP_K = \frac{1}{\rho} \left[ K^\rho + L^\rho \right]^{\frac{1-\rho}{\rho}} \cdot \left( \rho K^{\rho-1} \right) = \left[ K^\rho + L^\rho \right]^{\frac{1-\rho}{\rho}} \cdot K^{\rho-1}$

因為 $Q = \left[ K^\rho + L^\rho \right]^{\frac{1}{\rho}}$，兩邊取 $(1-\rho)$ 次方：
$Q^{1-\rho} = \left( \left[ K^\rho + L^\rho \right]^{\frac{1}{\rho}} \right)^{1-\rho} = \left[ K^\rho + L^\rho \right]^{\frac{1-\rho}{\rho}}$

將 $Q^{1-\rho}$ 代回 $MP_K$ 式中，並將 $K^{\rho-1}$ 改寫為 $K^{-(1-\rho)}$：
$MP_K = Q^{1-\rho} \cdot K^{-(1-\rho)} = \left( \frac{Q}{K} \right)^{1-\rho}$

亦可將指數拆解為一階產出要素比與要素份額的型態：
$MP_K = \left( \frac{Q}{K} \right) \cdot \left( \frac{Q}{K} \right)^{-\rho} = \left( \frac{Q}{K} \right) \cdot \left( \frac{K^\rho}{Q^\rho} \right) = \left( \frac{Q}{K} \right) \cdot \left( \frac{K^\rho}{K^\rho + L^\rho} \right)$
由 $Q^\rho = K^\rho + L^\rho$ 即得證：
$MP_K = \left( \frac{Q}{K} \right)^{1-\rho}$

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Step 2：推導勞動的邊際生產力 $MP_L$

對勞動 $L$ 進行偏微分，由微積分連鎖律可得：
$MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = \frac{1}{\rho} \left[ K^\rho + L^\rho \right]^{\frac{1}{\rho} - 1} \cdot \frac{\partial \left( K^\rho + L^\rho \right)}{\partial L}$

本題考驗廠商短期生產成本的計算，需要從生產函數推導出總成本函數，進而計算平均變動成本、短期平均成本和短期邊際成本。

首先，確定短期與長期的變數。在本題中，資本 $K$ 是固定要素，勞動 $L$ 是變動要素。
給定短期資本量 $K=1$。
生產函數為 $Q = 5 \times K \times \sqrt{L}$。
代入 $K=1$，得到短期生產函數：$Q = 5 \times 1 \times \sqrt{L} = 5\sqrt{L}$。

接下來，我們需要將生產函數轉換為勞動 $L$ 相對於產量 $Q$ 的函數，以便計算總變動成本。
由 $Q = 5\sqrt{L}$，可得 $\sqrt{L} = \frac{Q}{5}$，所以 $L = (\frac{Q}{5})^2 = \frac{Q^2}{25}$。

給定要素價格：
工資率 $w=5$ (勞動的價格)
資本租金 $r=5$ (資本的價格)

短期總成本 (Short-Run Total Cost, STC) 的計算：
$STC = \text{總固定成本 (TFC)} + \text{總變動成本 (TVC)}$
$TFC = r \times K = 5 \times 1 = 5$ (因為 $K$ 是短期固定投入)
$TVC = w \times L = 5 \times L = 5 \times \frac{Q^2}{25} = \frac{Q^2}{5}$

所以，短期總成本函數為 $STC = 5 + \frac{Q^2}{5}$。

現在，我們可以計算所需的成本函數：

1. 平均變動成本 (Average Variable Cost, AVC)
   $AVC = \frac{TVC}{Q}$
   $AVC = \frac{Q^2/5}{Q} = \frac{Q}{5}$

2. 短期平均成本 (Short-Run Average Cost, SAC)
   $SAC = \frac{STC}{Q} = \frac{TFC + TVC}{Q} = \frac{TFC}{Q} + \frac{TVC}{Q} = \frac{5}{Q} + \frac{Q}{5}$

3. 短期邊際成本 (Short-Run Marginal Cost, SMC)
   $SMC = \frac{d(STC)}{dQ}$

核心觀念

本題考查「負外部性」與矯正性租稅（Pigouvian tax）。

• 社會邊際效益：

$$MSB=MB+MEB$$

• 社會邊際成本：

$$MSC=MC+MEC$$

其中：

• $MB$：私人邊際效益
• $MC$：私人邊際成本
• $MEB$：邊際外部效益
• $MEC$：邊際外部成本

本題給定 $MEB=0$，因此：

$$MSB=MB$$

工廠排放硫氧化物造成負外部性，故 $MEC>0$，社會邊際成本高於私人邊際成本。

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(1) 不考慮外部性時的市場均衡

解題方法

未考慮外部性時，市場只反映私人邊際效益與私人邊際成本，因此均衡條件為：

$$MB=MC$$

由於 $MEB=0$：

$$MB=MSB=50-0.4Q$$

又因為：

$$MSC=MC+MEC$$

所以私人邊際成本為：

$$MC=MSC-MEC$$

代入題目資料：

$$MC=(2+0.4Q)-0.2Q$$ $$MC=2+0.2Q$$

市場均衡時：

$$50-0.4Q=2+0.2Q$$ $$48=0.6Q$$ $$Q_m=80$$

將 $Q_m=80$ 代入需求面，也就是私人邊際效益：

$$P_m=50-0.4(80)$$ $$P_m=18$$

因此，不考慮外部性時：

• 市場均衡產量：$80$ 千磅
• 市場均衡價格：18 元／磅

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(2) 考慮外部性時的社會最適均衡

解題方法

考慮外部性後，社會會將污染造成的損害納入成本，因此社會最適條件為：

$$MSB=MSC$$

代入題目給定的函數：

$$50-0.4Q=2+0.4Q$$ $$48=0.8Q$$ $$Q^*=60$$

再將 $Q^*=60$ 代入 $MSB$ 或 $MSC$：

$$P^*=50-0.4(60)$$ $$P^*=26$$

驗算社會邊際成本：

$$MSC=2+0.4(60)=26$$

兩者相等，符合社會最適條件。

因此，考慮外部性時：

• 社會最適產量：$60$ 千磅
• 社會最適價格：26 元／磅

本題考驗總體經濟學中的貨幣政策，包括寬鬆貨幣政策的工具、傳導機制及其對總體經濟變數的影響。

寬鬆貨幣政策的手段：

寬鬆的貨幣政策旨在增加貨幣供給，降低利率，刺激總體經濟活動。中央銀行（如台灣的中央銀行）主要透過以下幾種手段來實施寬鬆貨幣政策：

1. 公開市場操作 (Open Market Operations)：

   • 買入政府債券 (Buying Government Securities)： 中央銀行在公開市場上買入政府債券，相當於向市場注入資金。銀行賣出債券獲得現金，增加了銀行的準備金，從而使銀行能夠貸出更多資金，擴大了貨幣供給。這是最常用且最靈活的工具。

2. 降低重貼現率 (Lowering the Discount Rate)：

   • 重貼現率是商業銀行向中央銀行借款時支付的利率。降低重貼現率可以降低銀行從中央銀行借款的成本，鼓勵銀行增加借款，進而增加貨幣供給。

3. 降低法定準備率 (Lowering Reserve Requirements)：

   • 法定準備率是銀行必須持有的存款比例。降低法定準備率意味著銀行可以用更多的存款進行放款，從而擴大了貨幣供給的乘數效應。然而，此工具較少被頻繁使用，因為它對銀行體系影響較大且較不靈活。

4. 其他工具 (如量化寬鬆 Quantitative Easing, QE)：

   • 在極端情況下（如流動性陷阱），央行可能採取量化寬鬆，即大規模購買各種金融資產（不限於政府債券），以進一步增加貨幣供給並壓低長期利率。

寬鬆貨幣政策造成的影響：

寬鬆貨幣政策透過多個傳導機制影響總體經濟：

1. 利率下降： 增加貨幣供給會導致貨幣市場的均衡利率下降。
2. 投資增加： 較低的利率降低了企業的借貸成本，刺激了企業的投資意願。
3. 消費增加：
   • 利率下降使得儲蓄的吸引力降低，鼓勵人們增加消費。
   • 資產價格（如股票、房地產）可能因資金充裕而上漲，產生財富效果，進而刺激消費。
4. 淨出口可能下降（匯率貶值）：
   • 較低的利率可能導致資本外流，降低本國貨幣的價值（匯率貶值）。
   • 匯率貶值使得本國商品相對於外國商品更便宜，有利於出口；同時使得外國商品相對更貴，不利於進口。短期內，淨出口可能增加。但如果資本外流嚴重，匯率大幅貶值，可能導致資本外逃和金融不穩定。
   • 注意： 匯率的影響較為複雜，取決於國際資本流動、預期以及其他國家貨幣政策。在某些情況下，寬鬆貨幣政策也可能吸引外資，導致本國貨幣升值。然而，傳統上，寬鬆貨幣政策與匯率貶值相關聯。
5. 總合需求 (AD) 曲線右移：
   • 投資 (I) 和消費 (C) 的增加，以及可能增加的淨出口 (NX)，都會導致總合需求曲線右移。
6. 產出 (GDP) 和物價水平 (P) 上升：
   • 總合需求曲線右移，在短期內會導致實際 GDP 增加（接近或超過潛在產出），同時物價水平也隨之上漲。
   • 在長期，如果經濟體已處於充分就業，物價上漲會更為明顯，而實際 GDP 的增長則受限於生產要素。

圖形說明：

我們可以使用 IS-LM 模型和 AD-AS 模型來圖示說明。

1. IS-LM 模型：

本題屬於應用題，結合了總體經濟學、環境經濟學以及產業經濟學的知識，要求分析台灣達成再生能源與能源效率目標的可能性，並探討其對台灣經濟與產業的影響。此題無標準答案，重點在於論述的邏輯性、理論的應用以及對現實情況的理解。

第一部分：台灣達成目標的可能性分析

要判斷台灣是否能達成目標，需要考量以下幾個面向：

1. 現況與目標差距：

   • 再生能源裝置容量： 台灣目前的再生能源（如太陽能、風力）裝置容量佔比相對較低，要增加三倍需要極大的投資和政策支持。需要了解目前的裝置容量基數以及預計的年增長率。
   • 能源效率： 能源效率的提升涉及技術進步、產業結構調整、民眾行為改變等多方面。需要評估台灣在這些方面的潛力。

2. 政策支持與推動力：

   • 政府政策： 台灣政府的能源轉型政策、法規支持（如再生能源躉購費率、環評制度）、以及財政補貼是關鍵。政策的穩定性、執行力以及是否能有效克服阻礙（如土地取得、電網整合）至關重要。
   • 市場機制： 碳定價（如碳稅、碳費）、綠色金融、企業的 ESG (環境、社會、公司治理) 趨勢，是否能有效引導資源流向再生能源和高效率產業。
   • 技術發展： 離岸風電、儲能技術、智慧電網等關鍵技術的發展速度和成本下降幅度。

3. 挑戰與阻礙：

   • 土地取得： 太陽能電廠需要大量土地，離岸風電也面臨海洋空間規劃的挑戰。
   • 電網穩定性： 再生能源具有間歇性，需要足夠的儲能和智慧電網來維持供電穩定。
   • 成本問題： 雖然再生能源成本持續下降，但初期投資仍高，且需要考慮與現有能源（如核能、燃煤）的成本比較。
   • 社會接受度： 地方居民對風機、電廠設置的抗議，以及對能源價格上漲的擔憂。
   • 國際供應鏈： 關鍵設備（如風機葉片、太陽能板）的供應鏈穩定性和價格波動。

個人觀點（示例）：
我認為台灣要達到 2030 年再生能源裝置容量增加三倍的目標，挑戰相當大。雖然政府有積極的政策，但土地取得、電網整合以及社會溝通是長期存在的難題。若能有效克服這些障礙，並加速離岸風電和太陽能的部署，且技術進步能進一步降低成本，則有機會接近或部分達成。
對於能源效率成長兩倍的目標，我認為更有達成可能性。這可以透過產業升級、智慧製造、建築節能、交通運輸電動化以及民眾節能意識的提升來實現。政府的相關法規和獎勵措施將是重要推手。

第二部分：達成目標對台灣經濟與產業的影響（運用經濟學理論）

若台灣能達成這些目標，將產生深遠的影響，可從以下幾個經濟學理論角度分析：

1. 總體經濟層面：
   • 經濟成長 (Economic Growth)：
     • 投資增加： 發展再生能源及提升能源效率需要大量的前期投資，這將帶動營建、設備製造、工程服務等產業的成長，增加總合需求中的投資 (I)。
     • 產業結構轉型： 能源產業的轉型將帶動新興產業（如綠能科技、儲能、電動車、節能設備）的發展，創造新的經濟增長點。
     • 潛在產出提升： 雖然再生能源本身可能不如傳統能源密集，但若能配合技術進步和產業升級，可能長期有助於提升生產力，進而影響潛在產出。
   • 就業機會 (Employment)：
     • 創造綠色就業： 再生能源的開發、建置、維護，以及節能技術的推廣，將創造大量新的就業機會，尤其是在工程、製造、安裝、研發等領域。
     • 產業結構性失業： 相對地，依賴傳統化石能源的產業（如燃煤發電、石化工業）可能會面臨萎縮，導致部分勞動力需要轉型。
   • 能源價格與通膨 (Energy Prices and Inflation)：
     • 短期： 再生能源的初期建置成本較高，若大量替代傳統能源，短期內可能面臨能源價格上漲的壓力，進而影響總體物價水平 (P)，即溫和通膨。