111 年 國立成功大學環境工程學系碩士班乙組《流體力學》

本題主要在考驗對流體力學基本概念的理解。

(1) 流體 (Fluids)：
流體是物質的一種狀態，其特徵是能夠持續變形（流動）且無法抵抗剪應力。流體包括液體和氣體。與固體不同，流體在施加任何剪應力下都會產生位移，即使應力很小。
【答案】流體是能夠持續變形（流動）且無法抵抗剪應力的物質，包含液體與氣體。

(2) 運動黏度 (Kinematic viscosity)：
運動黏度是動力黏度與密度的比值。它表示流體抵抗因重力作用而產生的內摩擦力的能力。運動黏度影響流體在流動時的慣性力與黏滯力之比。
數學表示式為 $\nu = \frac{\mu}{\rho}$，其中 $\mu$ 是動力黏度 (dynamic viscosity)，$\rho$ 是密度 (density)。
單位為 $\text{m}^2/\text{s}$。
【答案】運動黏度為動力黏度與密度的比值，表示流體抵抗因重力作用而產生的內摩擦力的能力，單位為 $\text{m}^2/\text{s}$。

(3) 比重 (Specific weight)：
比重是單位體積的重量。它等於密度的乘上重力加速度 $g$。
數學表示式為 $\gamma = \rho g$。

核心觀念

本題利用動力相似原理，需滿足：

1. 幾何相似：模型與原型的長寬比相同。
2. 雷諾數相同：確保流動型態與渦旋脫落特性相似。
3. 史特拉數相同：由模型的渦旋脫落頻率推算原型頻率。

雷諾數為

$$Re=\frac{\rho V D}{\mu}$$

其中 $D$ 為橢圓截面的特徵尺寸；史特拉數為

$$St=\frac{fD}{V}$$

解題方法

原型資料為

$$D=0.1\ \text{m},\qquad H=0.3\ \text{m}$$

模型的特徵尺寸為

$$D_m=10\ \text{mm}=0.01\ \text{m}$$

（a）模型尺寸與測試速度

1. 求模型長度 $H_m$

幾何相似要求

$$\frac{H_m}{D_m}=\frac{H}{D}$$

因此

$$H_m=D_m\frac{H}{D} =0.01\left(\frac{0.3}{0.1}\right) =0.03\ \text{m}$$

所以

$$\boxed{H_m=30\ \text{mm}}$$

2. 求模型測試速度 $V_m$

原型風速為

$$V=36\ \text{km/h} =\frac{36}{3.6} =10\ \text{m/s}$$

原型雷諾數：

$$Re_p=\frac{\rho_a V D}{\mu_a}$$

代入空氣性質：

$$Re_p= \frac{(1.23)(10)(0.1)} {1.23\times10^{-5}} =1.00\times10^5$$

模型在水中測試，要求 $Re_m=Re_p$：

核心觀念

本題考查無黏性液體的微分運動方程。由於液體內「沒有剪應力」，微小流體元素所受外力只有：

1. 各方向的壓力合力；
2. 重力等體積力；
3. 流體元素的慣性力。

使用牛頓第二定律：

$$\sum \mathbf{F}=\rho\,dV\,\mathbf{a}$$

其中 $\rho$ 為密度、$\mathbf{a}$ 為流體質點的實質加速度，且

$$\gamma=\rho g$$

為單位體積重量。

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微小流體元素的壓力合力

取邊長分別為 $dx$、$dy$、$dz$ 的微小長方體，其體積為

$$dV=dx\,dy\,dz$$

以 $x$ 方向為例，兩個相對面的壓力合力為

$$p\,dy\,dz-\left(p+\frac{\partial p}{\partial x}dx\right)dy\,dz = -\frac{\partial p}{\partial x}dV$$

同理，三個方向的壓力合力可寫成向量形式：

$$d\mathbf{F}_p = -\nabla p\,dV$$

其中

$$\nabla p = \frac{\partial p}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial p}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial p}{\partial z}\mathbf{k}$$

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重力體積力

若以題目所採用的 $\mathbf{k}$ 方向表示重力項，單位體積所受重力為

$$-\gamma\mathbf{k}$$

因此微小元素所受重力為

$$d\mathbf{F}_g=-\gamma\mathbf{k}\,dV$$

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套用牛頓第二定律

流體元素沒有剪應力，因此總力為壓力力與重力之和：

$$d\mathbf{F} = \left(-\nabla p-\gamma\mathbf{k}\right)dV$$

依牛頓第二定律：

$$\left(-\nabla p-\gamma\mathbf{k}\right)dV = \rho\,dV\,\mathbf{a}$$

消去 $dV$，得到標準向量形式：

$$-\nabla p-\gamma\mathbf{k} = \rho\mathbf{a}$$

若依本題題目所指定的符號約定，將力平衡式中的壓力梯度與重力方向重新定義為題目形式，則可寫成：

核心觀念

本題使用：

• 穩態控制體質量守恆
• 線性軸對稱速度分布
• 穩態線動量方程
• 圓管截面上的動量通量必須計算 $\displaystyle \int_A \rho u^2\,dA$，不能直接使用平均速度平方

由圖可知，下游速度由中心線的零值，沿半徑方向線性增加至管壁最大值，因此

$$u(r)=u_{\max}\frac{r}{R}$$

其中 $R=0.2\ \text{m}$。

解題方法

取包含變孔目篩網、截面 $1$ 與截面 $2$ 的控制體，流動方向為 $x$ 軸正向。管壁對流體的作用力忽略不計。

1. 由連續方程求下游最大速度

上游速度均勻，故

$$\dot m_1=\rho V_1A$$

下游質量流率為

$$\dot m_2 =\rho\int_Au\,dA =\rho\int_0^R \left(u_{\max}\frac{r}{R}\right)(2\pi r\,dr)$$

因此

$$\rho V_1\pi R^2 = \rho\frac{2\pi u_{\max}}{R} \int_0^Rr^2\,dr$$ $$V_1\pi R^2 = \frac{2\pi u_{\max}R^2}{3}$$

所以

$$u_{\max}=\frac{3}{2}V_1 =\frac{3}{2}(30) =45\ \text{m/s}$$

2. 計算動量通量

上游截面的動量流出入差為

$$\left(\dot{P}_x\right)_1 =\rho V_1^2A$$

下游動量通量為

$$\left(\dot{P}_x\right)_2 = \rho\int_Au^2\,dA$$

代入速度分布：

$$\left(\dot{P}_x\right)_2 = \rho\int_0^R \left(u_{\max}\frac{r}{R}\right)^2 (2\pi r\,dr)$$

核心觀念

本題考查：

• 穩態控制體積的質量守恆
• 線動量方程式
• 自由射流壓力皆為大氣壓，且重力位能可忽略
• 射流混合造成的機械能損失

由圖可知，射流 $V_1$ 垂直向上、射流 $V_2$ 水平向右，兩者夾角為 $90^\circ$。出口射流 $V_3$ 與水平線夾角為 $\theta$。

令

$$A_1=\frac{\pi D_1^2}{4},\qquad A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}$$

則入口流量為

$$Q_1=A_1V_1,\qquad Q_2=A_2V_2$$

出口流量由質量守恆得

$$Q_3=Q_1+Q_2=A_1V_1+A_2V_2$$

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解題方法

（a）出口方向與速度

取水平向右為 $x$ 方向、垂直向上為 $y$ 方向。

控制體積包住兩股射流的碰撞與混合區域。由於為自由射流，控制體積外部沒有合力作用，因此使用線動量守恆。

入口動量流率為：

• 水平分量：$\rho A_2V_2^2$
• 垂直分量：$\rho A_1V_1^2$

出口動量流率為：

$$\rho Q_3V_3\cos\theta$$

及

$$\rho Q_3V_3\sin\theta$$

因此，$x$ 方向動量方程式為

$$\rho Q_3V_3\cos\theta=\rho A_2V_2^2$$

$y$ 方向動量方程式為

$$\rho Q_3V_3\sin\theta=\rho A_1V_1^2$$

兩式相除可得

$$\tan\theta = \frac{A_1V_1^2}{A_2V_2^2}$$

代入圓管截面積：

$$\boxed{ \theta= \tan^{-1}\left[ \frac{D_1^2V_1^2}{D_2^2V_2^2} \right] }$$

出口速度由兩個動量分量合成：

$$(Q_3V_3)^2 = (A_1V_1^2)^2+(A_2V_2^2)^2$$

所以

$$V_3= \frac{ \sqrt{(A_1V_1^2)^2+(A_2V_2^2)^2} }{ A_1V_1+A_2V_2 }$$

以 $D_1,D_2$ 表示後，公共因子 $\pi/4$ 可約去：

$$\boxed{ V_3= \frac{ \sqrt{D_1^4V_1^4+D_2^4V_2^4} }{ D_1^2V_1+D_2^2V_2 } }$$

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（b）由入口至出口的能量損失

由於入口與出口皆為自由射流：

$$p_1=p_2=p_3=p_{\mathrm{atm}}$$

且重力位能可忽略，因此對分別由截面 $1$、截面 $2$ 流至截面 $3$ 的流體，機械能損失可寫成單位體積能量損失：

$$e_{L,1\to3} = \frac{1}{2}\rho\left(V_1^2-V_3^2\right)$$

本題考驗白努利方程在考慮了主要損失（管路摩擦損失）的系統中的應用，以及計算泵浦功率。

核心觀念：

1. 白努利方程 (帶損失)：考慮泵浦、重力位能、壓力能和摩擦損失。
2. 達西-白 உருவா (Darcy-Weisbach) 方程：計算管路摩擦損失。
3. 雷諾數 (Reynolds number)：判斷流動類型（層流或紊流），並在紊流區確定摩擦係數。
4. 相對粗糙度 (Relative roughness)：用於在紊流區從莫迪圖 (Moody chart) 中查找摩擦係數。
5. 泵浦功率 (Pump power)：由泵浦提供的能量與流量的乘積。

已知條件：

• 流體：水，溫度 4.5°C
• 比重 $\gamma = 9800 \text{ N m}^{-3}$
• 運動黏度 $\nu = 1.58 \times 10^{-6} \text{ m}^2 \text{ s}^{-1}$
• 管徑 $D = 0.075 \text{ m}$
• 管長 $L = 750 \text{ m}$
• 入口水位 $z_1 = 1300 \text{ m}$ (池塘水位)
• 出口水位 $z_2 = 1400 \text{ m}$ (雪機壓力入口處)
• 流量 $Q = 0.0075 \text{ m}^3 \text{ s}^{-1}$
• 出口壓力 $p_2 = 980 \text{ kPa} = 980 \times 10^3 \text{ Pa}$
• 忽略次要損失 (minor losses)。

求解目標： 泵浦功率 $P_{pump}$。

解題步驟：

1. 確定流體密度 $\rho$：
由比重 $\gamma = \rho g$，假設 $g \approx 9.81 \text{ m/s}^2$。
$\rho = \frac{\gamma}{g} = \frac{9800 \text{ N m}^{-3}}{9.81 \text{ m/s}^2} \approx 999 \text{ kg m}^{-3}$。
（或者，水在 4°C 時密度約為 1000 kg/m³，4.5°C 時略低，但題目給了比重，用比重計算更精確。）

2. 計算流速 $V$：
流量 $Q = A V = \frac{\pi D^2}{4} V$
$V = \frac{4Q}{\pi D^2} = \frac{4 \times 0.0075 \text{ m}^3 \text{ s}^{-1}}{\pi \times (0.075 \text{ m})^2} = \frac{0.03}{\pi \times 0.005625} \approx \frac{0.03}{0.01767} \approx 1.698 \text{ m/s}$。

3. 計算雷諾數 $Re$：
$Re = \frac{V D}{\nu} = \frac{(1.698 \text{ m/s}) \times (0.075 \text{ m})}{1.58 \times 10^{-6} \text{ m}^2 \text{ s}^{-1}} = \frac{0.12735}{1.58 \times 10^{-6}} \approx 8.06 \times 10^4$。
$Re = 80600$。
由於 $Re > 4000$，流動是紊流。

4. 確定管路粗糙度 $\epsilon$：
題目提到是「steel pipe」。從莫迪圖旁的表格中查找鋼管的粗糙度。
鋼管 (Commercial steel or wrought iron) 的粗糙度 $\epsilon = 0.045 \text{ mm} = 0.000045 \text{ m}$。

5. 計算相對粗糙度 $\epsilon/D$：
$\frac{\epsilon}{D} = \frac{0.000045 \text{ m}}{0.075 \text{ m}} = 0.0006$。

6. 查找摩擦係數 $f$：
使用莫迪圖 (Moody chart) 或 Colebrook 方程。
根據 $Re \approx 8.06 \times 10^4$ 和 $\epsilon/D = 0.0006$。
在莫迪圖上，找到 $Re=8 \times 10^4$ 的縱線，找到 $\epsilon/D=0.0006$ 的曲線。
在 $Re=10^5$ 和 $Re=10^4$ 之間，$\epsilon/D=0.0006$ 的曲線處於「全紊流區」(Wholly turbulent flow) 的邊緣或剛進入。
從圖上看，對於 $Re=8 \times 10^4$ 和 $\epsilon/D=0.0006$，摩擦係數 $f$ 大約在 0.022 左右。
（使用 Colebrook 方程：$\frac{1}{\sqrt{f}} = -2.0 \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re\sqrt{f}} \right)$。這需要迭代求解。
估計 $f \approx 0.022$。）

7. 計算主要損失 $h_{L,major}$：
使用達西-白 உருவா 方程：
$h_{L,major} = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}$
$h_{L,major} = 0.022 \times \frac{750 \text{ m}}{0.075 \text{ m}} \times \frac{(1.698 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2}$
$h_{L,major} = 0.022 \times 10000 \times \frac{2.883}{19.62}$
$h_{L,major} = 220 \times 0.147$
$h_{L,major} \approx 32.34 \text{ m}$。

8. 應用白努利方程（從池塘到雪機）：
設池塘液面為點 1，雪機壓力入口為點 2。