111 年 國立成功大學資源工程學系碩士班丙組《統計學》

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第 1 題

If A and B are independent events with P(A)=0.65P(A) = 0.65 and P(A∩B)=0.26P(A \cap B) = 0.26, then P(B)=P(B) =
(A) 0.400
(B) 0.169
(C) 0.390
(D) 0.650

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本題考驗獨立事件的機率定義。
若事件 A 與事件 B 是獨立事件，則 P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B)。
已知 P(A)=0.65P(A) = 0.65 且 P(A∩B)=0.26P(A \cap B) = 0.26。
將已知數值代入獨立事件的公式：

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第 2 題

A six-sided die is tossed 3 times. The probability of observing three ones in a row is
(A) 1/3
(B) 1/6
(C) 1/27
(D) 1/216

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本題考驗獨立事件的機率計算，特別是重複進行的獨立實驗。
一個標準的六面骰子，每一面出現的機率均為 1/6。
當骰子被投擲三次時，每次投擲的結果是獨立的。
我們要求觀察到連續三次出現「一點」的機率。
第一次投擲出現一點的機率為 P(first toss is 1)=16P(\text{first toss is 1}) = \frac{1}{6}。
第二次投擲出現一點的機率為 P(second toss is 1)=16P(\text{second toss is 1}) = \frac{1}{6}。
第三次投擲出現一點的機率為 P(third toss is 1)=16P(\text{third toss is 1}) = \frac{1}{6}。

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第 3 題

A simple random sample of 100 observations was taken from a large population. The sample mean and the standard deviation were determined to be 80 and 12 respectively. The standard error of the mean is
(A) 1.20
(B) 0.12
(C) 8.00
(D) 0.80

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本題考驗樣本平均數的標準誤 (Standard Error of the Mean, SEM) 的計算。
樣本平均數的標準誤是衡量樣本平均數抽樣變異性的指標。
其公式為：
SEM=σnSEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
其中 σ\sigma 是母體標準差，nn 是樣本大小。
然而，題目中給出的是樣本標準差 (sample standard deviation)，而非母體標準差。

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第 4 題

Exhibit AA
The following information was obtained from independent random samples.
Assume normally distributed populations with equal variances.

Sample 1Sample 2
Sample Mean4542
Sample Variance8590
Sample Size1012

Refer to Exhibit AA. The 95% confidence interval for the difference between the two population means is
(A) -5.36 to 11.36
(B) -5 to 3
(C) -4.86 to 10.86
(D) -2.65 to 8.65

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本題考驗兩個獨立樣本的平均數差值的信賴區間計算，且假設母體變異數相等。
由於母體變異數相等，我們需要計算合併變異數 (pooled variance)。
合併變異數的公式為：
sp2=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}
其中：
n1=10n_1 = 10, s12=85s_1^2 = 85
n2=12n_2 = 12, s22=90s_2^2 = 90
sp2=(10−1)×85+(12−1)×9010+12−2=9×85+11×9020=765+99020=175520=87.75s_p^2 = \frac{(10-1) \times 85 + (12-1) \times 90}{10 + 12 - 2} = \frac{9 \times 85 + 11 \times 90}{20} = \frac{765 + 990}{20} = \frac{1755}{20} = 87.75
合併標準差 sp=87.75≈9.3675s_p = \sqrt{87.75} \approx 9.3675
自由度 (degrees of freedom, df) 為 df=n1+n2−2=10+12−2=20df = n_1 + n_2 - 2 = 10 + 12 - 2 = 20。
信賴區間的公式為：

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第 5 題

Exhibit AA
The following information was obtained from independent random samples.
Assume normally distributed populations with equal variances.

Sample 1Sample 2
Sample Mean4542
Sample Variance8590
Sample Size1012

Refer to Exhibit AA. The null hypothesis to be tested is H0:μ1−μ2≥0H_0: \mu_1 - \mu_2 \ge 0. The test statistic for the difference between the two population means is
(A) .186
(B) .32
(C) .748
(D) 1

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本題考驗兩個獨立樣本平均數差值的檢定統計量計算，假設母體變異數相等。
虛無假設 H0:μ1−μ2≥0H_0: \mu_1 - \mu_2 \ge 0 表示母體一的平均數不小於母體二的平均數。
若要計算檢定統計量，我們通常會先計算合併變異數 (pooled variance)，如同問題 4。
從問題 4 的計算，我們得到：
合併變異數 sp2=87.75s_p^2 = 87.75
自由度 df=20df = 20
樣本平均數差值 xˉ1−xˉ2=45−42=3\bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 45 - 42 = 3
檢定統計量 (t-statistic) 的公式為：

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第 6 題

Exhibit BB
The table below gives beverage preferences for random samples of teens and adults.

TeensAdultsTotal
Coffee50200250
Tea100150250
Soft Drink200200400
Other5050100
Total4006001000

We are asked to test for independence between age (i.e., adult and teen) and drink preferences.
Refer to Exhibit BB. With a .05 level of significance, the critical value for the test is
(A) 1.645
(B) 7.815
(C) 14.067
(D) 15.507

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本題考驗卡方獨立性檢定 (Chi-squared test for independence) 的臨界值。
卡方獨立性檢定的自由度 (degrees of freedom, df) 計算公式為：
df=(r−1)(c−1)df = (r-1)(c-1)
其中 rr 是列數 (rows)，cc 是欄數 (columns)。
在此表格中：
列數 (飲料種類) r=4r = 4

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第 7 題

Exhibit BB
The table below gives beverage preferences for random samples of teens and adults.

TeensAdultsTotal
Coffee50200250
Tea100150250
Soft Drink200200400
Other5050100
Total4006001000

We are asked to test for independence between age (i.e., adult and teen) and drink preferences.
Refer to Exhibit BB. The expected number of adults who prefer coffee is
(A) 0.25
(B) 0.33
(C) 150
(D) 200

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本題考驗卡方獨立性檢定中，期望次數 (expected frequency) 的計算。
期望次數的計算公式為：
Eij=(Row Totali)×(Column Totalj)Grand TotalE_{ij} = \frac{(\text{Row Total}_i) \times (\text{Column Total}_j)}{\text{Grand Total}}
我們要計算的是「期望的成人偏好咖啡」的次數。

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第 8 題

Exhibit CC
You want to test whether or not the following sample of 30 observations follows a normal distribution. The mean of the sample equals 11.83, and the standard deviation equals 4.53.
2, 3, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19
Refer to Exhibit CC. The calculated value for the test statistic equals
(A) 0
(B) 1.67
(C) 2
(D) 6

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核心觀念

本題使用卡方適合度檢定，檢查樣本是否可視為來自常態分配：

  • 虛無假設：資料來自常態分配。
  • 對立假設：資料不來自常態分配。
  • 檢定統計量：
χ2=∑(O−E)2E\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}

其中 OO 為觀察次數，EE 為常態分配下的期望次數。

解題方法

依照資料分組，觀察次數為：

O=(4,5,7,7,6,1)O=(4,5,7,7,6,1)

以樣本平均數 xˉ=11.83\bar{x}=11.83、樣本標準差 s=4.53s=4.53 建立常態分配，計算各組的理論機率，再乘以 n=30n=30 得到期望次數 EE。

代入卡方統計量：

χ2=∑(O−E)2E≈1.67\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}\approx 1.67
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第 9 題

Exhibit CC
You want to test whether or not the following sample of 30 observations follows a normal distribution. The mean of the sample equals 11.83, and the standard deviation equals 4.53.
2, 3, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19
Refer to Exhibit CC. The hypothesis is to be tested at the 5% level of significance. The critical value from the table equals
(A) 1.645
(B) 1.96
(C) 7.815
(D) 12.592

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本題考驗常態性檢定 (Normality Test) 的臨界值。
此處測試的是樣本資料是否符合常態分佈，通常使用卡方適合度檢定 (Chi-squared goodness-of-fit test)。
卡方適合度檢定的自由度 (degrees of freedom, df) 計算公式為：
df=k−1−mdf = k - 1 - m
其中 kk 是分組的數量，mm 是參數的數量 (在本例中，我們估計了母體平均數和標準差，所以 m=2m=2)。
在問題 8 中，我們討論了數據分組的必要性。如果我們假設數據被分成了 kk 組，並且估計了 2 個參數。
常見的做法是將數據分成 5 或 6 組。
如果我們假設分成了 6 組（k=6k=6），並且估計了 2 個參數 (m=2m=2)，那麼自由度為：
df=6−1−2=3df = 6 - 1 - 2 = 3。
顯著水準 α=0.05\alpha = 0.05。
查閱卡方分佈表，對於 df=3df=3 和 α=0.05\alpha=0.05 的右尾機率，臨界值為 7.815。

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第 10 題

Exhibit CC
You want to test whether or not the following sample of 30 observations follows a normal distribution. The mean of the sample equals 11.83, and the standard deviation equals 4.53.
2, 3, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19
Refer to Exhibit CC. The conclusion of the test is that the
(A) data follows a normal distribution
(B) data does not follow a normal distribution
(C) test is inconclusive
(D) None of these alternatives is correct.

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本題考驗常態性檢定 (Normality Test) 的結論。
在問題 8 中，我們計算了卡方檢定統計量，並在問題 9 中找到了臨界值。
根據問題 9 的分析，我們假設自由度為 6，臨界值為 12.592。
我們需要將問題 8 計算出的檢定統計量與此臨界值進行比較，以得出結論。
由於問題 8 的檢定統計量無法確定，我們無法直接得出結論。

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第 11 題

In application of statistics on quality control, consumer's risk is
(A) the same concept as the Producer's risk
(B) the probability of Type II error
(C) the probability of Type I error
(D) None of these alternatives is correct.

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本題考驗品質管制中，消費者風險 (consumer's risk) 的定義。
在品質管制中，我們通常會進行抽樣檢驗來決定一批產品是否合格。

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第 12 題

A graph showing the probability of accepting the lot as a function of the percent defective in the lot is
(A) a power curve
(B) a control chart
(C) an operating characteristic curve
(D) None of these alternatives is correct.

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這一題的完整詳解

本題考驗品質管制中，用來評估抽樣計畫的圖形。

  • 功率曲線 (Power Curve)：通常指統計檢定中，正確拒絕虛無假設的機率（檢定力），作為某參數的函數。
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第 13 題

Exhibit DD
Part of an ANOVA table is shown below. (hint: you need to fill the table first)

Source of VariationSum of SquaresDegrees of FreedomMean SquareF
Between Treatments648
Within Treatments
Error
Total100

Refer to Exhibit DD. If at 95% confidence we want to determine whether or not the means of the populations are equal, the critical value of F is
(A) 5.80
(B) 2.93
(C) 3.16
(D) 2.90

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核心觀念

本題考查單因子變異數分析（one-way ANOVA）中的 ANOVA 表與 FF 檢定。

檢定假設為：

  • H0H_0：各母體平均數相等。
  • H1H_1：至少有一個母體平均數不同。

FF 統計量為：

F=MSBetweenMSWithinF=\frac{MS_{\text{Between}}}{MS_{\text{Within}}}

其中：

MS=SSdfMS=\frac{SS}{df}

題目圖中的表格給定：

  • Between Treatments：SSB=64SS_B=64、F=8F=8
  • Within Treatments：MSW=2MS_W=2
  • Total：SST=100SS_T=100

解題方法

先利用 FF 值求組間均方：

8=MSB28=\frac{MS_B}{2}

因此：

MSB=16MS_B=16

再求組間自由度：

dfB=SSBMSB=6416=4df_B=\frac{SS_B}{MS_B} =\frac{64}{16} =4

組內平方和為：

SSW=SST−SSB=100−64=36SS_W=SS_T-SS_B =100-64 =36

因此組內自由度為：

dfW=SSWMSW=362=18df_W=\frac{SS_W}{MS_W} =\frac{36}{2} =18

所以臨界值應查 FF 分配的：

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第 14 題

Exhibit DD
Part of an ANOVA table is shown below. (hint: you need to fill the table first)

Source of VariationSum of SquaresDegrees of FreedomMean SquareF
Between Treatments648
Within Treatments
Error
Total100

Refer to Exhibit DD. The conclusion of the test is that the means
(A) are equal
(B) may be equal
(C) are not equal
(D) None of these alternatives is correct.

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這一題的完整詳解

本題考驗單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 的檢定結論。
在問題 13 中，我們已經補齊了 ANOVA 表，並確定了自由度：
分子自由度 (between treatments) df1=4df_1 = 4
分母自由度 (within treatments / error) df2=18df_2 = 18
我們也計算出 F 檢定的臨界值為 F0.05,4,18=2.93F_{0.05, 4, 18} = 2.93。

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第 15 題

In a regression model involving more than one independent variable, which of the following tests must be used in order to determine if the relationship between the dependent variable and the set of independent variables is significant?
(A) t test
(B) F test
(C) Either a t test or a chi-square test can be used.
(D) chi-square test

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本題考驗多元迴歸分析 (Multiple Regression Analysis) 中，檢定整體迴歸模型的顯著性。
當迴歸模型包含一個以上的獨立變數時，我們使用 F 檢定來評估整個迴歸模型是否顯著。F 檢定是檢驗所有迴歸係數 (除了截距項) 是否同時為零。

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第 16 題

In simple linear regression analysis, which of the following is not true?
(A) The F test and the t test yield the same results.
(B) The F test and the t test may or may not yield the same results.
(C) The relationship between X and Y is represented by means of a straight line.
(D) The value of F=t2F = t^2.

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本題考驗簡單線性迴歸分析 (Simple Linear Regression Analysis) 的性質。
在簡單線性迴歸中，迴歸模型為 Y=β0+β1X+ϵY = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon。

  • (C) 簡單線性迴歸的假設就是 XX 和 YY 之間的關係可以用一條直線來表示，所以這是正確的。
  • (D) 在簡單線性迴歸中，檢定迴歸係數 β1\beta_1 的 t 檢定統計量與檢定整體迴歸模型的 F 檢定統計量之間存在關係：F=t2F = t^2。這是正確的。
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第 17 題

In a regression and correlation analysis if r2=1r^2 = 1, then
(A) SSE must also be equal to one
(B) SSE must be equal to zero
(C) SSE can be any positive value
(D) SSE must be negative

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本題考驗迴歸分析中，r2r^2 (決定係數) 的意義。
決定係數 r2r^2 的定義是：
r2=1−SSESSTr^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}
其中 SSESSE (Sum of Squared Errors) 是殘差平方和，代表模型未能解釋的變異。
SSTSST (Total Sum of Squares) 是總平方和，代表依變數 Y 的總變異。
如果 r2=1r^2 = 1，表示模型完美地解釋了 Y 的所有變異。
代入公式：

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第 18 題

Exhibit EE
The following information regarding a dependent variable (Y) and an independent variable (X) is provided.

YX
42
31
44
63
85

SSE = 6
SST = 16

Refer to Exhibit EE. The least squares estimate of the Y intercept is
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

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本題考驗簡單線性迴歸中的 Y 截距 (intercept) 的最小平方估計值。
首先，我們需要計算迴歸線的斜率 (slope) β^1\hat{\beta}_1 和截距 β^0\hat{\beta}_0。
迴歸線的公式為 Y^=β^0+β^1X\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X。
我們已知 SSE=6SSE = 6 和 SST=16SST = 16。
決定係數 r2=1−SSESST=1−616=1−0.375=0.625r^2 = 1 - \frac{SSE}{SST} = 1 - \frac{6}{16} = 1 - 0.375 = 0.625。
在簡單線性迴歸中，r2=(correlation coefficient)2r^2 = (\text{correlation coefficient})^2。
相關係數 rr 可以由 r2r^2 的平方根得到，但方向需要確定。

我們需要計算樣本的平均值：
Xˉ=2+1+4+3+55=155=3\bar{X} = \frac{2+1+4+3+5}{5} = \frac{15}{5} = 3
Yˉ=4+3+4+6+85=255=5\bar{Y} = \frac{4+3+4+6+8}{5} = \frac{25}{5} = 5

斜率 β^1\hat{\beta}_1 的公式為：
β^1=SXYSXX\hat{\beta}_1 = \frac{S_{XY}}{S_{XX}}
其中 SXY=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)S_{XY} = \sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})
SXX=∑(Xi−Xˉ)2S_{XX} = \sum (X_i - \bar{X})^2

我們也可以利用 SSTSST 和 SSRSSR (Sum of Squares Regression) 來計算。
SST=SSR+SSESST = SSR + SSE
16=SSR+6  ⟹  SSR=1016 = SSR + 6 \implies SSR = 10
在簡單線性迴歸中，SSR=β^12SXXSSR = \hat{\beta}_1^2 S_{XX}。
同時，SST=∑(Yi−Yˉ)2=16SST = \sum (Y_i - \bar{Y})^2 = 16。

讓我們直接計算 SXYS_{XY} 和 SXXS_{XX}：
| XiX_i | YiY_i | Xi−XˉX_i - \bar{X} | Yi−YˉY_i - \bar{Y} | (Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) | (Xi−Xˉ)2(X_i - \bar{X})^2 |

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第 19 題

Exhibit EE
The following information regarding a dependent variable (Y) and an independent variable (X) is provided.

YX
42
31
44
63
85

SSE = 6
SST = 16

Refer to Exhibit EE. The least squares estimate of the slope is
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

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本題考驗簡單線性迴歸中的斜率 (slope) 的最小平方估計值。
在問題 18 的詳解中，我們已經計算了斜率。
我們計算得到：
SXY=10S_{XY} = 10

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第 20 題

Exhibit EE
The following information regarding a dependent variable (Y) and an independent variable (X) is provided.

YX
42
31
44
63
85

SSE = 6
SST = 16

Refer to Exhibit EE. The coefficient of determination is
(A) 0.7096
(B) -0.7906
(C) 0.625
(D) 0.375

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本題考驗決定係數 (Coefficient of Determination, r2r^2) 的計算。
決定係數 r2r^2 的定義是模型解釋的變異佔總變異的比例。
其計算公式為：
r2=1−SSESSTr^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}
其中：

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