108 年 國立成功大學環境工程學系碩士班乙組《流體力學》

核心觀念

本題考查重力壩自重所造成的基底合力：

• 忽略靜水浮力，因此外力只包含壩體自重。
• 壩體每單位寬度的重量為合力大小。
• 基底應力呈線性分布時，其合力作用線通過壩體的重心。
• 合力通過基底的位置可由力矩平衡求得。

由圖讀得壩體尺寸如下，計算以壩體寬度 $1\ \text{m}$ 為基準：

• 上方矩形：寬 $4\ \text{m}$、高 $7\ \text{m}$
• 下方梯形：高 $20\ \text{m}$、底寬 $18\ \text{m}$、頂寬 $4\ \text{m}$
• 壩體比重：$S=2.5$

取基底左端 $A$ 為水平座標原點。

解題方法

1. 壩體面積

上方矩形面積：

$$A_1=4\times 7=28\ \text{m}^2$$

其重心距離 $A$：

$$x_1=3+\frac{4}{2}=5\ \text{m}$$

下方梯形面積：

$$A_2=\frac{18+4}{2}\times 20=220\ \text{m}^2$$

因此總面積為：

$$A=A_1+A_2=28+220=248\ \text{m}^2$$

2. 下方梯形重心位置

將下方梯形視為座標多邊形，其頂點為

$$(0,0),\quad (18,0),\quad (7,20),\quad (3,20)$$

利用多邊形形心公式，可得下方梯形重心的水平座標：

$$x_2=\frac{1633.33}{220}=7.424\ \text{m}$$

3. 合力作用位置

對基底左端 $A$ 取力矩：

$$x_R A=A_1x_1+A_2x_2$$

代入數值：

$$x_R(248)=28(5)+220(7.424)$$

本題考驗的是圓管內不可壓縮、穩態、層流的流動分析，包括應力、流量、速度分佈以及能量修正係數的推導。

核心觀念：

1. 動量方程與 Navier-Stokes 方程（圓柱座標系下簡化）。
2. 牛頓黏滯定律：$\tau = -\mu \frac{du}{dr}$。
3. 連續性方程（對於穩態不可壓縮流，體積流量守恆）。
4. 能量修正係數的定義。

解題步驟：

本題描述的是一個圓形導管內的不可壓縮、層流流動。假設流動是穩態的（steady），並且是完全發展的（fully developed），這意味著速度分佈不隨軸向 $z$ 變化。壓力從入口 $P_0$ 變化到出口 $P_L$。

我們使用圓柱座標系 $(r, \theta, z)$。由於流動是軸對稱的，速度只有軸向分量 $u_z$，且 $u_z$ 只依賴於徑向距離 $r$，即 $u_z = u_z(r)$。

考慮一個薄的圓筒形流體殼，半徑為 $r$，厚度為 $dr$，長度為 $L$。作用在這個圓筒殼上的力包括：

• 兩端的壓力差：$(P_0 - P_L) \times (2\pi r dr)$。
• 側面的剪應力：$\tau_z$ 在半徑 $r$ 處，作用面積為 $2\pi r L$。在半徑 $r+dr$ 處，剪應力為 $\tau_z + d\tau_z$，作用面積為 $2\pi (r+dr) L$。

由於流動是穩態且完全發展的，作用在這個圓筒殼上的總力為零。
$(P_0 - P_L) (2\pi r dr) + \tau_z (2\pi r L) - (\tau_z + d\tau_z) (2\pi (r+dr) L) = 0$
忽略高階小量 $dr \cdot d\tau_z$：
$(P_0 - P_L) (2\pi r dr) + 2\pi r L \tau_z - 2\pi r L \tau_z - 2\pi L \tau_z dr - 2\pi L r d\tau_z = 0$
$(P_0 - P_L) r dr - L \tau_z dr - L r d\tau_z = 0$
$L r d\tau_z + L \tau_z dr = (P_0 - P_L) r dr$
$L (r d\tau_z + \tau_z dr) = (P_0 - P_L) r dr$
$L d(r \tau_z) = (P_0 - P_L) r dr$
$d(r \tau_z) = \frac{P_0 - P_L}{L} r dr$
積分上式，得到：
$r \tau_z = \frac{P_0 - P_L}{L} \frac{r^2}{2} + C_1$
$\tau_z(r) = \frac{P_0 - P_L}{2L} r + \frac{C_1}{r}$
由於在圓管中心 ($r=0$)，剪應力必須是有限的，所以 $C_1$ 必須為 0。
$\tau_z(r) = \frac{P_0 - P_L}{2L} r$
令 $\Delta P = P_0 - P_L$。
$\tau_z(r) = \frac{\Delta P}{2L} r$

(1) Shear stress (τ) as function of r:
由上述推導，剪應力 $\tau_z$ 隨徑向距離 $r$ 呈線性關係。
$\tau_z(r) = \frac{P_0 - P_L}{2L} r$
這個關係式表明，在圓管中心 ($r=0$)，剪應力為零，而在管壁 ($r=R$)，剪應力最大。

(2) Volume flowrate (Q) as function of R:
我們知道牛頓黏滯定律：$\tau_z = -\mu \frac{du}{dr}$。
所以，
$-\mu \frac{du}{dr} = \frac{P_0 - P_L}{2L} r$
$\frac{du}{dr} = -\frac{P_0 - P_L}{2\mu L} r$
積分上式以求解速度 $u(r)$：
$u(r) = -\frac{P_0 - P_L}{2\mu L} \frac{r^2}{2} + C_2$
$u(r) = -\frac{P_0 - P_L}{4\mu L} r^2 + C_2$
在管壁處 ($r=R$)，速度為零（無滑動假設）：$u(R) = 0$。
$0 = -\frac{P_0 - P_L}{4\mu L} R^2 + C_2$
$C_2 = \frac{P_0 - P_L}{4\mu L} R^2$
所以，速度分佈為：
$u(r) = \frac{P_0 - P_L}{4\mu L} (R^2 - r^2)$
這是一個拋物線分佈，在圓管中心 ($r=0$) 速度最大，$u_{max} = \frac{P_0 - P_L}{4\mu L} R^2$。

體積流量 $Q$ 是速度 $u(r)$ 在圓管橫截面上積分的結果。考慮一個半徑為 $r$、厚度為 $dr$ 的薄圓環，其面積為 $dA = 2\pi r dr$。
$Q = \int_0^R u(r) dA = \int_0^R \left( \frac{P_0 - P_L}{4\mu L} (R^2 - r^2) \right) (2\pi r dr)$
$Q = \frac{2\pi (P_0 - P_L)}{4\mu L} \int_0^R (R^2 r - r^3) dr$
$Q = \frac{\pi (P_0 - P_L)}{2\mu L} \left[ \frac{R^2 r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^R$
$Q = \frac{\pi (P_0 - P_L)}{2\mu L} \left( \frac{R^4}{2} - \frac{R^4}{4} \right)$
$Q = \frac{\pi (P_0 - P_L)}{2\mu L} \frac{R^4}{4}$
$Q = \frac{\pi (P_0 - P_L) R^4}{8\mu L}$
這個結果就是著名的 Poiseuille 定律。
題目要求 Volume flowrate (v) as function of R。這裡的 v 應是指 Q。
$Q = \frac{\pi (P_0 - P_L)}{8\mu L} R^4$
這表明體積流量 $Q$ 與圓管半徑 $R$ 的四次方成正比。

核心觀念

Pitot-static tube 利用同一流線上的兩個壓力：

• $P_1=P_o$：靜壓（static pressure）。
• $P_2=P_s$：停滯壓（stagnation pressure）。

流體流至 Pitot 管前端後速度降為零，動壓轉換成壓力，因此由 Bernoulli 方程式可求流速：

$$P_o+\frac{1}{2}\rho V^2 = P_s$$

所以管內該測點的局部流速為

$$V=\sqrt{\frac{2(P_s-P_o)}{\rho}}$$

其中 $\rho$ 為管內流體密度。

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解題方法

由圖可知，Pitot-static tube 的一端量測靜壓 $P_o$，另一端量測停滯壓 $P_s$，兩端接至差壓水銀柱。若兩個取壓點位於同一高程，且壓差計內液體密度為 $\rho_m$，則由差壓計平衡關係：

$$P_s-P_o=(\rho_m-\rho)g\Delta h$$

因此局部流速為

$$V(r) = \sqrt{\frac{2(\rho_m-\rho)g\Delta h(r)}{\rho}}$$

若考慮 Pitot 管校正係數 $C_p$，則：

$$V(r) = C_p\sqrt{\frac{2(\rho_m-\rho)g\Delta h(r)}{\rho}}$$

一般校正良好的 Pitot 管可取 $C_p\approx 1$。

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由局部流速求體積流率

Pitot-static tube 量到的是某一位置的局部速度，並非直接量到整個管截面的平均速度。因此應沿半徑方向移動 Pitot 管，量測不同位置的 $\Delta h(r)$，再由速度分布積分求體積流率：

$$\dot V = \int_A V\,dA$$

對圓管而言，取環狀微小面積

$$dA=2\pi r\,dr$$

故

$$\boxed{ \dot V = 2\pi\int_0^R V(r)\,r\,dr }$$

代入 Pitot 測得的速度：

$$\boxed{ \dot V = 2\pi C_p \sqrt{\frac{2(\rho_m-\rho)g}{\rho}} \int_0^R \sqrt{\Delta h(r)}\,r\,dr }$$

核心觀念

本題考查液滴在空氣中的終端沉降速度。液滴沉降至終端速度後，重力與空氣阻力平衡：

$$(\rho_w-\rho_a)g = \frac{1}{2}C_D\rho_a v_t^2\frac{A}{V}$$

球形液滴有

$$\frac{A}{V}=\frac{3}{2D}$$

因此

$$v_t= \sqrt{\frac{4(\rho_w-\rho_a)gD}{3C_D\rho_a}}$$

沉降高度則為

$$H=v_t t$$

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解題方法

1. 空氣密度

由理想氣體方程式：

$$\rho_a=\frac{PMW}{RT}$$

其中

$$P=101325\ \text{Pa},\qquad MW=0.029\ \text{kg/mol}$$

所以

$$\rho_a = \frac{(101325)(0.029)} {(8.314)(300)} \approx 1.17\ \text{kg/m}^3$$

水滴密度為

$$\rho_w=1\ \text{g/cm}^3=1000\ \text{kg/m}^3$$

空氣黏度：

$$\mu=0.02\ \text{cP} =2.0\times10^{-5}\ \text{Pa}\cdot\text{s}$$

2. 估算阻力係數

液滴直徑：

$$D=30\ \text{mm}=0.03\ \text{m}$$

對光滑球體，終端速度對應的雷諾數約為 $Re\approx 4.8\times10^4$，由球體阻力係數關係可取：

$$C_D\approx 0.45$$

3. 計算終端沉降速度

核心觀念

本題考查泵浦吸入口的伯努力方程式與管路沿程損失。以集水槽自由液面為基準，假設：

• 集水槽液面與大氣相通：$p_1=0$（表壓）
• 集水槽液面速度可忽略：$V_1\approx 0$
• 管內流動充分發展
• 忽略入口及其他局部損失
• 泵浦入口高於集水槽液面 $0.3\ \mathrm{m}$

伯努力方程式為

$$\frac{p_1}{\rho g}+z_1+\frac{V_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\rho g}+z_2+\frac{V^2}{2g}+h_f$$

其中沿程損失

$$h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$$

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解題方法

題目影像中的管徑為 $89\ \mathrm{cm}=0.89\ \mathrm{m}$，管長為 $8.9\ \mathrm{m}$。

流量：

$$Q=2.04\ \mathrm{m^3/min} =\frac{2.04}{60} =0.0340\ \mathrm{m^3/s}$$

管截面積：

$$A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.89)^2}{4} =0.6219\ \mathrm{m^2}$$

管內平均流速：

$$V=\frac{Q}{A} =\frac{0.0340}{0.6219} =0.0547\ \mathrm{m/s}$$

雷諾數：

$$Re=\frac{VD}{\nu} =\frac{(0.0547)(0.89)}{1.22\times10^{-5}} \approx3.99\times10^3$$

相對粗糙度：

$$\frac{\varepsilon}{D} =\frac{0.00036}{0.89} =4.04\times10^{-4}$$

由 Moody 圖可取 Darcy 摩擦因子約為

$$f\approx0.040$$

速度水頭：