114 年 國立成功大學資源工程學系碩士班乙組《材料科學導論》

此題考查離子晶體中離子半徑比與配位數的關係。

解題步驟：

1. 計算離子半徑比 $r/R$，其中 $r$ 是陽離子半徑，$R$ 是陰離子半徑。
2. 根據離子半徑比的值，對應到常見的配位數範圍。

計算離子半徑比：
陽離子半徑 $r(\text{Mn}^{2+}) = 0.67$ Å
陰離子半徑 $r(\text{S}^{2-}) = 1.84$ Å

此題考查晶體學的基本概念，包括晶格、晶胞的定義、七種晶系以及其對應的晶胞參數。

(a) Explain "unit cell" and "lattice".

• Lattice (晶格): 晶格是一個由週期性重複的點所組成的幾何結構。這些點稱為晶格點，它們在空間中具有相同的周圍環境。晶格描述了原子、離子或分子在晶體中排列的重複性規律。
• Unit Cell (晶胞): 晶胞是構成晶格的最小重複單元。它是平行六面體，其邊長和角度決定了晶格的形狀和大小。將晶胞在空間中進行週期性平移，就可以構建出整個晶格。

(b) Explain how the idea of lattice comes up with seven unit cell shapes.

晶格的週期性重複性可以用幾個參數來描述：三個晶軸的長度 ($a, b, c$) 和三個晶軸之間的夾角 ($\alpha, \beta, \gamma$)。透過改變這六個參數的組合，可以形成不同的晶格結構。數學上，將晶格中的任何一個點作為原點，並定義三個不共面的基向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$，則所有晶格點的位置可以表示為 $\vec{R} = u\vec{a} + v\vec{b} + w\vec{c}$，其中 $u, v, w$ 是整數。
這六個參數 ($a, b, c, \alpha, \beta, \gamma$) 的不同組合，在滿足數學和幾何限制（例如，基向量必須不共面，且週期性重複結構必須能填滿空間）的條件下，最終歸納出七種基本晶系（或稱七種晶體系統）。這七種晶系代表了所有可能的晶體結構的基礎分類。

(c) Please plot the seven unit cell geometries and list related parameters (axial and interaxial angels).

七種晶系及其對應的晶胞參數如下：

1. 立方晶系 (Cubic)

   • 幾何形狀：正方體。
   • 參數：$a = b = c$, $\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$
   • 繪圖：一個正方體。
   • 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

2. 四方晶系 (Tetragonal)

   • 幾何形狀：長方體，但底面為正方形。
   • 參數：$a = b \ne c$, $\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$

此題考查晶體學中兩種表示晶面和晶向的標示方法：米勒指數 (Miller indices) 和勞埃指數 (Laue indices)。

米勒指數 (Miller Indices)

米勒指數是用來標示晶面和晶向的一種標準方法，由英國礦物學家威廉·亨利·米勒 (William Hallowes Miller) 在 1839 年提出。

• 標示晶面 (Crystal Planes):

  1. 確定晶面與三個晶軸的截距，並將截距表示為晶軸單位長度的倍數。
  2. 取這些截距的倒數。
  3. 將倒數化為最簡整數比。
  4. 將結果寫在括號內，並省略逗號，例如 $(hkl)$。
  • 若晶面與某軸的截距為零，則該倒數為無限大，通常以 $\infty$ 表示。
  • 若截距在負向，則在對應的數字上方加一橫線，例如 $(\bar{h}kl)$。

• 標示晶向 (Crystal Directions):

  1. 選擇一個通過原點的向量，該向量平行於所要標示的晶向。
  2. 將該向量在三個晶軸上的分量表示為晶軸單位長度的倍數。
  3. 將這些分量化為最簡整數比。
  4. 將結果寫在方括號內，並省略逗號，例如 $[uvw]$。
  • 負向的表示方法同晶面。

此題考查原子和離子的電子組態，特別是過渡金屬的電子組態。

1. 中性 Cr 原子的電子組態 ($^{24}\text{Cr}$)

鉻 (Cr) 的原子序為 24，表示其原子核中有 24 個質子，中性原子有 24 個電子。
填充規則：

• 能量最低原理：電子首先填充能量較低的軌域。
• 洪德規則 (Hund's Rule)：在同一亞層中，電子會盡可能分開填充，且自旋方向相同。
• 包立不相容原理 (Pauli Exclusion Principle)：一個軌域最多只能容納兩個自旋方向相反的電子。

填充順序（根據原子序）：
$1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^4$

然而，鉻是一個 例外。由於半滿和全滿的亞層能量較穩定，Cr 會從 4s 軌域「借」一個電子到 3d 軌域，以達到更穩定的半滿 3d 亞層。
因此，Cr 的實際電子組態為：
$1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^5 4s^1$
或者可以簡寫為：$[Ar] 3d^5 4s^1$

2. $\text{Cr}^{2+}$ 離子的電子組態

$\text{Cr}^{2+}$ 表示鉻原子失去 2 個電子。在失去電子時，通常優先從能量較高的、離核較遠的軌域失去。對於過渡金屬，外層的 $ns$ 軌域的能量通常比 $(n-1)d$ 軌域高。

此題考查晶體缺陷中的 Schottky 缺陷，以及其在給定溫度下的濃度（分數）。

核心觀念：
Schottky 缺陷是指在離子晶體中，陽離子和陰離子對同時從晶格點上移除，形成空位。在熱力學平衡狀態下，缺陷的形成是一個吸熱過程，其濃度與溫度有關，遵循玻爾茲曼分佈。

解題步驟：

1. 確定晶體結構與單位晶胞中的離子數：
   氯化銫 (CsCl) 是一種簡單的立方結構。每個單位晶胞包含 1 個 Cs$^+$ 離子和 1 個 Cl$^-$ 離子。因此，一個單位晶胞有 2 個離子。
   總的離子數目 $N$ 在一個單位體積內，可以通過密度和摩爾質量計算，但在此題中，我們更關心的是「單位晶格點」上的離子數。對於 CsCl，我們可以將其看作是 Cs$^+$ 離子構成的立方晶格，而 Cl$^-$ 離子位於立方體的中心，或者反之。因此，每個單位晶胞有 1 個 Cs$^+$ 晶格點和 1 個 Cl$^-$ 晶格點，總共有 2 個離子。

2. 定義 Schottky 缺陷的形成：
   對於 CsCl 結構，一個 Schottky 缺陷的形成通常是指移除一對 Cs$^+$ 空位和 Cl$^-$ 空位。因此，形成一個 Schottky 缺陷需要移除兩個離子。

3. 應用熱力學公式計算缺陷濃度：
   在熱力學平衡狀態下，形成 $n$ 種不同類型的缺陷，每種缺陷的形成能為 $E_n$ 的情況下，單位體積內的缺陷總數 $N_d$ 為：
   $N_d = \sum_n N_n \exp(-E_n/kT)$
   其中 $N_n$ 是沒有缺陷時，可以形成該缺陷的「可能位置」的總數，$k$ 是玻爾茲曼常數，$T$ 是絕對溫度。

   對於 Schottky 缺陷，我們考慮形成一對 Cs$^+$ 空位和 Cl$^-$ 空位。
   假設單位體積內總的離子數為 $N_{total}$。
   如果 $N_{total}$ 是由 $N_{cation}$ 個陽離子和 $N_{anion}$ 個陰離子組成，且 $N_{cation} = N_{anion} = N_{total}/2$。
   形成一個 Schottky 缺陷（一對陽離子空位和陰離子空位）需要移除 2 個離子。
   在沒有缺陷時，可以形成陽離子空位的可能位置數為 $N_{cation}$，可以形成陰離子空位的可能位置數為 $N_{anion}$。
   形成一個 Schottky 缺陷的能量為 $E_s$。
   則 Schottky 缺陷的總數 $N_s$ 可以近似為：
   $N_s \approx \sqrt{N_{cation} N_{anion}} \exp(-E_s / (2kT))$
   這裡的 $2kT$ 是因為我們是將一對離子移除，能量是 $E_s$，但根據統計力學，對於每種離子，其形成空位的機率是 $\exp(-E_s/2kT)$。

   更精確的說法，對於一個由 $N$ 個陽離子和 $N$ 個陰離子組成的晶體，形成 $n$ 對 Schottky 缺陷（總共 $2n$ 個空位）的自由能變化為：
   $\Delta G = n E_s - T \Delta S$
   其中 $E_s$ 是形成一對空位的能量。
   熵變 $\Delta S$ 包括：

   • 配位熵：形成 $n$ 個陽離子空位和 $n$ 個陰離子空位，總共 $2n$ 個空位，總的離子數是 $2N$。
     $\Delta S_{config} = k \ln \frac{(2N)!}{(N-n)!(N+n)!}$
     近似為 $2n \ln(\frac{2N}{n})$
   • 振動熵：由於空位的存在，鄰近原子的振動頻率會改變，這部分通常較小，在此題目中可以忽略或假設為常數。

   為了找到最小自由能（即平衡狀態），我們令 $\frac{\partial \Delta G}{\partial n} = 0$。
   $\frac{\partial \Delta G}{\partial n} = E_s - T \frac{\partial (\Delta S_{config})}{\partial n} = 0$
   $\frac{\partial}{\partial n} \ln \frac{(2N)!}{(N-n)!(N+n)!} = \frac{\partial}{\partial n} [\ln(2N)! - \ln(N-n)! - \ln(N+n)!]$
   使用 Stirling approximation $\ln(x!) \approx x \ln x - x$
   $\approx (2N \ln(2N) - 2N) - [(N-n)\ln(N-n) - (N-n)] - [(N+n)\ln(N+n) - (N+n)]$
   $\approx 2N \ln(2N) - (N-n)\ln(N-n) - (N+n)\ln(N+n)$
   對 $n$ 微分：
   $-\ln(N-n) - (N-n)\frac{-1}{N-n} - \ln(N+n) - (N+n)\frac{1}{N+n}$
   $= -\ln(N-n) + 1 - \ln(N+n) - 1 = -\ln(N-n) - \ln(N+n) = -\ln((N-n)(N+n))$
   對於低濃度的缺陷， $n \ll N$，則 $(N-n)(N+n) \approx N^2$。
   $\frac{\partial \Delta S_{config}}{\partial n} \approx -2 \ln N$。

   所以，最小自由能條件是 $E_s - T (-2 \ln N) = 0$ 顯然不對。
   使用更直接的公式：
   缺陷濃度 $x_d$ (定義為缺陷數佔總晶格點數的比例) 與形成能 $E_f$ 和溫度 $T$ 的關係為：
   $x_d = \exp(-E_f / (kT))$

   對於 Schottky 缺陷，我們需要考慮陽離子和陰離子。
   設單位晶胞有 $N_0$ 個離子。
   總的離子數量為 $N_{total}$。
   Schottky 缺陷形成能為 $E_s$。
   形成一對 Schottky 缺陷（一個陽離子空位 + 一個陰離子空位）所需的能量是 $E_s$。
   在熱力學平衡時，形成 $n$ 對 Schottky 缺陷的機率與 $\exp(-n E_s / kT)$ 成正比。
   單位體積內的總離子數為 $N$。
   單位體積內可以形成陽離子空位的格點數為 $N_{cation}$。
   單位體積內可以形成陰離子空位的格點數為 $N_{anion}$。
   對於 CsCl， $N_{cation} = N_{anion} = N/2$。
   形成 $n_s$ 對 Schottky 缺陷的總數（即 $2n_s$ 個空位）的機率為：
   $N_s \propto N_{cation} \cdot N_{anion} \cdot \exp(-E_s/kT)$ （這裡的 $N_{cation}$ 和 $N_{anion}$ 是指可能形成空位的格點數，而不是已經形成的空位數）
   $N_s \propto (N/2) \cdot (N/2) \cdot \exp(-E_s/kT) = N^2/4 \cdot \exp(-E_s/kT)$
   這個公式給的是形成 $n_s$ 對缺陷的「機率」，不是缺陷數。

   標準公式為：
   缺陷濃度 $x_d = \frac{N_d}{N_{total}}$
   對於 Schottky 缺陷，形成能量為 $E_s$。
   $x_s = \exp(-E_s / (2kT))$

此題考查鈣鈦礦 (Perovskite) 結構的定義及其在材料科學中的廣泛應用。

1. 什麼是鈣鈦礦 (Perovskite)?

鈣鈦礦 (Perovskite) 最初是指一種天然礦物，其化學式為 $\text{CaTiO}_3$。後來，這個詞被用來描述具有與 $\text{CaTiO}_3$ 相同化學式和晶體結構的一類化合物。
鈣鈦礦結構的化學式通常表示為 $\text{ABO}_3$。
其典型的晶體結構是立方晶系（或在較低溫度下可能發生畸變，呈現四方、斜方或單斜等結構）。

在理想的立方鈣鈦礦結構中：

• A 離子： 通常是較大的陽離子，位於立方體的頂點 (0,0,0)。例如，$\text{Ca}^{2+}$。
• B 離子： 通常是較小的陽離子，位於立方體的中心 (1/2, 1/2, 1/2)。例如，$\text{Ti}^{4+}$。
• O 離子： 通常是氧離子，位於立方體的面中心 (1/2, 0, 0), (0, 1/2, 0), (0, 0, 1/2) 等。

在結構中，B 離子被六個氧離子包圍，形成一個八面體 ($\text{BO}_6$)。A 離子則被 12 個氧離子包圍，位於八面體的空隙中。
這個結構可以看作是連續的 $\text{BO}_6$ 八面體通過共用氧離子頂點連接而成的三維網絡，而 A 離子則填充在這些八面體之間的空隙中。

2. 為什麼鈣鈦礦結構能廣泛應用於材料科學？

鈣鈦礦結構的廣泛應用歸因於其結構的幾個關鍵特性：

• 結構穩定性與可調性：

  • 穩定性： $\text{ABO}_3$ 的結構相對穩定，能夠容納各種不同大小和電荷的 A 和 B 離子，只要滿足一定的離子半徑比例條件（稱為離子半徑比規則，或 Tolman 參數）。
  • 可調性： 透過改變 A 和 B 位上的離子，可以合成出種類繁多的鈣鈦礦材料。這使得材料的電子、光學、磁學、催化等性質可以被精細調控，以滿足特定的應用需求。例如，可以通過掺雜來改變導電性、發光效率等。

• 多樣化的物理性質：

  • 壓電性 (Piezoelectricity): 許多鈣鈦礦材料，如鈦酸鋇 ($\text{BaTiO}_3$)

此題考查半導體的光學性質，特別是帶隙 (band gap) 與光吸收/透射的關係。

核心觀念：
半導體對光的吸收與否，主要取決於入射光子的能量是否足以激發電子從價帶躍遷到導帶。

• 如果光子的能量 $E_{photon}$ 大於或等於半導體的帶隙能量 $E_g$，則半導體會吸收該光子，電子躍遷，此時半導體不透明（或說是不透明）。
• 如果光子的能量 $E_{photon}$ 小於半導體的帶隙能量 $E_g$，則半導體無法吸收該光子，電子無法躍遷，此時半導體是透明的。

解題步驟：

1. 確定半導體的帶隙能量：
   題目給出鋅硒化物 (Zinc selenide, ZnSe) 的帶隙能量 $E_g = 2.58$ eV。

2. 確定可見光的波長範圍：
   題目提示可見光的波長範圍為 400 nm 到 700 nm。

3. 計算可見光光子的能量範圍：
   我們需要將波長範圍轉換為能量範圍，以便與帶隙能量比較。
   光子的能量 $E_{photon}$ 與其波長 $\lambda$ 的關係由普朗克公式給出：
   $E_{photon} = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$
   其中：
   $h$ 是普朗克常數 $= 4.13 \times 10^{-15}$ eV-s
   $c$ 是光速 $= 3 \times 10^8$ m/s
   $\lambda$ 是波長

   計算 400 nm 光子的能量：
   $\lambda_1 = 400 \text{ nm} = 400 \times 10^{-9} \text{ m} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$
   $E_1 = \frac{(4.13 \times 10^{-15} \text{ eV-s}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})}{4 \times 10^{-7} \text{ m}}$
   $E_1 = \frac{12.39 \times 10^{-7} \text{ eV-m}}{4 \times 10^{-7} \text{ m}}$
   $E_1 = \frac{12.39}{4} \text{ eV} \approx 3.0975$ eV

   計算 700 nm 光子的能量：
   $\lambda_2 = 700 \text{ nm} = 700 \times 10^{-9} \text{ m} = 7 \times 10^{-7} \text{ m}$
   $E_2 = \frac{(4.13 \times 10^{-15} \text{ eV-s}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})}{7 \times 10^{-7} \text{ m}}$
   $E_2 = \frac{12.39 \times 10^{-7} \text{ eV-m}}{7 \times 10^{-7} \text{ m}}$
   $E_2 = \frac{12.39}{7} \text{ eV} \approx 1.77$ eV

此題考查相圖 (Phase Diagram) 的判讀，特別是二元體系中的液相線、固相線、共晶點、包晶點等概念，以及在冷卻過程中相的形成和組成變化。此題的相圖是典型的二元共晶相圖，其中一種組分以固態存在（如 NaAlSi₂O₅），另一種組分是可溶的（如 CaAl₂Si₂O₈）。

(a) Explain the meaning of point Ta, Tb, and curve C and D (8%)

此相圖描述的是一個二元體系，其中橫軸為組成的重量百分比，縱軸為溫度。此處的組成為 $\text{NaAlSi}_2\text{O}_6$ (Ab, 鈉長石) 和 $\text{CaAl}_2\text{Si}_2\text{O}_8$ (An, 鈣長石) 的混合物。
此圖為一個固溶體相圖，其中 Ab 和 An 形成一個完整的固溶體系列。

• Point Ta (T$_a$): 這是純 $\text{NaAlSi}_2\text{O}_6$ (Ab) 的熔點。在溫度 $T_a = 1118^\circ\text{C}$ 時，純 Ab 從固態轉變為液態，或者從液態轉變為固態。在相圖中，這條垂直線代表純組分的熔點。

• Point Tb (T$_b$): 這是純 $\text{CaAl}_2\text{Si}_2\text{O}_8$ (An) 的熔點。在溫度 $T_b = 1553^\circ\text{C}$ 時，純 An 從固態轉變為液態，或者從液態轉變為固態。

• Curve C (液相線, Liquidus Line): 曲線 C 是液相線。在這條曲線以上的區域，整個體系都是液態。當體系冷卻到曲線 C 上時，首先會析出固相。對於這個固溶體體系，曲線 C 代表了在不同組成下，液相開始形成固相的溫度。對於任意組成，液相線溫度高於固相線溫度。

• Curve D (固相線, Solidus Line): 曲線 D 是固相線。在這條曲線以下的區域，整個體系都是固態。當體系從液態冷卻到曲線 D 上時，最後的液相會凝固成固態。對於任意組成，固相線溫度低於液相線溫度。
  在曲線 C 和 D 之間，體系處於液相和固相共存的區域。

  特殊點：
  圖中標示的 X (Ab$_{58}$An$_{42}$) 點，位於液相線 (C) 和固相線 (D) 的交點上，這是一個包晶點 (Peritectic Point)。在包晶點，液相與固相反應生成另一種固相。在這個相圖中，它實際上是最高熔點的固溶體組成（共晶點類似，但這裡是指固溶體形成的最高熔點，對於完全固溶體，可能是指液相線和固相線的交點，但通常包晶點是指液體+固體1 -> 固體2。在這個圖中，Ab58An42 點標示的是一個包晶點，代表在此組成和溫度下，液相與一種固相（例如富 Ab 的固溶體）反應生成另一種固相（例如富 An 的固溶體），或者在此點，液相達到最高溫度，然後在此點或以下開始析出固相。）

  修正關於 X 點的理解：
  仔細觀察圖，X 點 (Ab$_{58}$An$_{42}$) 位於液相線 C 和固相線 D 的交點。這是一個典型的共晶點 (Eutectic Point) 或包晶點 (Peritectic Point)。在這個相圖中，Ab 和 An 形成完全固溶體。

  • 如果 X 點是一個 共晶點 (Eutectic Point)，則在 X 點的溫度下，單一的液相會同時凝固成兩種固相（例如，如果 Ab 和 An 不形成完全固溶體，則在此點液相會變成富 Ab 的固溶體和富 An 的固溶體）。
  • 然而，在這個圖中，Ab 和 An 形成完全固溶體。此圖顯示的是一個二元完全固溶體相圖。X 點 (Ab$_{58}$An$_{42}$) 實際上是液相線 (C) 和固相線 (D) 的交點。在這個點，液相和固相達到平衡。對於完全固溶體，這個點通常被稱為最高熔點的固溶體組成。
  • 在這個相圖的例子中，X 點 (Ab$_{58}$An$_{42}$) 似乎標示的是一個包晶點 (Peritectic)。在包晶點，液相與一種固相反應生成另一種固相。然而，圖的標示看起來更像是一個具有最高熔點的固溶體組成。
  • 更常見的解釋（基於標示）： 該圖顯示了鈉長石 (Ab) 和鈣長石 (An) 之間的相平衡。Ab 和 An 形成一個連續的固溶體系列。
    • 曲線 C 是 液相線 (Liquidus)：高於此線為純液相。
    • 曲線 D 是 固相線 (Solidus)：低於此線為純固相。
    • X (Ab$_{58}$An$_{42}$) 點是 包晶點 (Peritectic Point)。在此點，液相與一種固相（例如富 Ab 的固溶體）反應生成另一種固相（例如富 An 的固溶體）。此溫度是包晶反應的溫度。
    • Ta 是純 Ab 的熔點。
    • Tb 是純 An 的熔點。

  根據圖形和常見的長石相圖，X 點 (Ab$_{58}$An$_{42}$) 應該是包晶點，並且其溫度約為 1553°C。
  然而，圖中標示的 X 點的溫度是 ~1553°C，並且與 Tb 點重合，這是不尋常的。 Tb 是純 An 的熔點。
  更仔細的觀察圖，X 點 (Ab$_{58}$An$_{42}$) 標示在 1553°C，並且是液相線 C 和固相線 D 的交點。這意味著在此組成下，液相和固相在 1553°C 共存。這表明 1553°C 是這個體系的最高溫度，也是純 An 的熔點。
  在這種完全固溶體的相圖中，最高熔點通常在一個端元的熔點，或在一個包晶點。
  如果 X 點是包晶點，則它應該是液相 + 固相 -> 新固相 的反應溫度。
  如果 X 點是最高熔點的固溶體組成，則在該溫度下，液相線和固相線相交，並且在此溫度下的液相和固相的組成是相同的。
  從圖來看，X 點 (Ab$_{58}$An$_{42}$) 是一個包晶點，它位於 1553°C。在這個溫度下，純 An (Tb) 剛好熔化。在 X 點的組成下，液相與固相 (富 An 的固溶體) 反應生成另一種固相 (富 Ab 的固溶體)。
  然而，圖中的標示和曲線的行為更像是一個二元液相線和固相線的相圖，其中 Ab 和 An 形成完全固溶體。X 點 (Ab$_{58}$An$_{42}$) 位於液相線和固相線的交點，並且這個交點的溫度是 1553°C。這表示在此組成下，液相和固相的熔化/凝固溫度都是 1553°C。這通常發生在共晶點或包晶點。
  更常見的長石相圖（例如 NaAlSi₃O₈ - CaAl₂Si₂O₈）顯示一個包晶反應。在該相圖中，純 An 的熔點 (Tb) 約為 1553°C。包晶點 (Peritectic point) 通常在此溫度附近，並且在此溫度下，液相與富 An 的固溶體反應生成富 Ab 的固溶體。
  根據圖的標示，X 點 (Ab$_{58}$An$_{42}$) 位於 1553°C。它代表的是這個體系的最高熔點。在這個溫度下，純 An 熔化。在這個組成下，液相和固相的平衡溫度是 1553°C。
  因此，X 點 (Ab$_{58}$An$_{42}$) 是一個包晶點。
  Tb 是純 $\text{CaAl}_2\text{Si}_2\text{O}_8$ (An) 的熔點。
  Ta 是純 $\text{NaAlSi}_2\text{O}_6$ (Ab) 的熔點。
  曲線 C 是液相線 (Liquidus)。
  曲線 D 是固相線 (Solidus)。

  綜合以上分析，並參考常見的長石相圖，X 點 (Ab$_{58}$An$_{42}$) 應為包晶點，溫度為 1553°C，是純 An 的熔點。
  然而，圖中的 X 點標示與 Tb 點重合，且溫度為 1553°C。這意味著 1553°C 是純 An 的熔點，同時也是包晶反應的溫度。

  重新解釋：

  • Ta (1118°C): 純 Ab 的熔點。
  • Tb (1553°C): 純 An 的熔點。
  • X (Ab$_{58}$An$_{42}$) 點: 包晶點，溫度約 1553°C。在此點，液相與固相 (富 An 的固溶體) 反應生成另一種固相 (富 Ab 的固溶體)。
  • 曲線 C (Liquidus): 高於此線為純液相。
  • 曲線 D (Solidus): 低於此線為純固相。
  • 區域 Liquid + Plagioclase: 液相和斜長石固溶體共存。
  • 區域 Plagioclase: 純固態斜長石固溶體。

  根據圖示，X (Ab$_{58}$An$_{42}$) 點位於 1553°C，是液相線 C 和固相線 D 的交點。這表示在此組成下，1553°C 是液相和固相的平衡溫度。在此溫度下，純 An 剛好熔化。這是一個包晶點。
  因此，X 點是包晶點，溫度為 1553°C，組成是 Ab$_{58}$An$_{42}$。Tb 也是 1553°C，純 An 的熔點。

  最終確定：

  • Ta: 純 Ab 的熔點 (1118°C)。
  • Tb: 純 An 的熔點 (1553°C)。
  • X (Ab$_{58}$An$_{42}$): 包晶點，溫度 1553°C。
  • 曲線 C: 液相線 (Liquidus)。
  • 曲線 D: 固相線 (Solidus)。