114 年 國立成功大學資源工程學系碩士班甲組《土壤力學》

本題主要在考驗考生對於土壤力學基本名詞的理解與定義。

1. 靈敏度 (Sensitivity, $S_t$):
   靈敏度定義為未擾動試樣的無水土重度與擾動後試樣的無水土重度之比。它反映了土壤在擾動後，其強度降低的程度。
   $S_t = \frac{c_u (\text{undisturbed})}{c_u (\text{disturbed})}$
   其中 $c_u$ 為不排水剪力強度。靈敏度愈高，表示土壤擾動後強度愈容易降低，通常發生在飽和的軟黏土中。

2. 水力梯度 (Hydraulic Gradient, $i$):
   水力梯度是水流通過土壤介質時，水頭損失與水流路徑長度之比。它代表單位長度上水頭的下降率，是影響土壤滲流速度的重要參數。
   $i = \frac{\Delta h}{L}$
   其中 $\Delta h$ 為水頭損失， $L$ 為水流路徑長度。根據達西定律，滲流速度 $v$ 與水力梯度成正比 ($v = k i$)，其中 $k$ 為透水係數。

3. 活性 (Activity):
   土壤的活性是指土壤的塑性指數 (PI) 與其黏土含量 (百分比) 之比。它是衡量黏土礦物種類及其分散程度的重要指標。
   $\text{Activity} = \frac{PI}{\% \text{ Clay fraction}}$

本題主要考驗考生對統一土壤分類法 (USCS) 的認識，包括其定義、應用以及常見符號的意義。

一、統一土壤分類法 (Unified Soil Classification System, USCS) 的定義與應用

• 定義: 統一土壤分類法 (USCS) 是一種基於土壤顆粒大小分佈和塑性特徵的土壤分類系統。它將土壤分為粗粒土、細粒土和有機土三大類，並進一步細分為許多亞類。USCS 主要依據土壤顆粒的粒徑分佈（例如篩分析）和細粒土的塑性試驗（液性限度 LL 和塑性限度 PL）來進行分類。
• 應用: USCS 在土木工程領域有廣泛的應用，包括：
  • 地基設計: 根據土壤的分類，可以初步判斷其承載力、壓縮性和穩定性，進而設計合適的地基。
  • 邊坡穩定分析: 不同類型的土壤對邊坡的穩定性有不同的影響，USCS 有助於評估邊坡的潛在滑動模式和穩定性。
  • 土方工程: USCS 可以幫助工程師選擇合適的土料用於填方、路基或回填。
  • 土壤改良: 了解土壤的特性有助於選擇最有效的土壤改良方法。
  • 材料選用: 在工程項目中，USCS 有助於選擇適合特定用途的土壤材料。
  • 水利工程: 例如土壩、渠道的設計和施工。

二、USCS 符號意義說明

1. (1) MH:
   • M: Silt (粉土)
   • H: High plasticity (高塑性)
   • MH: High plasticity silt (高塑性粉土)。

本題考驗考生對土壤中應力傳遞、滲流以及固結過程的理解，特別是水壓計上升高度、壓密度 (degree of consolidation) 和滲流水頭的計算。

【題組共用題幹】
土壤剖面圖顯示，上方為砂層 (Sand)，厚度為 6.0 m。地下水位 (Groundwater table) 位於砂層頂部下方 4.5 m 處。均佈載重 $\Delta \sigma = 120 \text{ kN/m}^2$ 施加於砂層頂部。下方為黏土層 (Clay)，厚度為 3.6 m。黏土層底部 (A 點) 的地下水位線上方 1.5 m 處。

假設條件與已知參數：

• 均佈載重 $\Delta \sigma = 120 \text{ kN/m}^2$
• 砂層厚度 $= 6.0 \text{ m}$
• 地下水位在砂層頂部下方 $4.5 \text{ m}$
• 黏土層厚度 $= 3.6 \text{ m}$
• 黏土層底部 A 點的地下水位線上方 $1.5 \text{ m}$ 處。

重要假設：

• 砂層的滲流特性較好，可視為水壓能快速消散，因此載重 $\Delta \sigma$ 瞬間施加時，主要應力傳遞至黏土層。
• 水壓計 (piezometer) 的作用是量測孔隙水壓。水壓計上升的高度 $h$ 與量測點的孔隙水壓有關。
• 題目圖示中的地下水位線，對於黏土層底部 A 點而言，其上方 1.5 m 處，表示 A 點的靜水壓力是來自於 A 點上方 1.5 m 高的水柱。

解題步驟：

(1) 粘土層中之水壓計上升高度 h 為何？

題目問的是「瞬間」施加載重時，黏土層中水壓計的上升高度。在瞬間載重施加時，由於水的不可壓縮性，土壤骨架尚未變形，載重 $\Delta \sigma$ 幾乎完全由孔隙水承受，即孔隙水壓的增加量 $\Delta u$ 等於外加的總應力 $\Delta \sigma$。

• 總應力增量: $\Delta \sigma = 120 \text{ kN/m}^2$ (此為施加在砂層頂部的均佈載重)
• 孔隙水壓增量: 在瞬間， $\Delta u = \Delta \sigma = 120 \text{ kN/m}^2$

水壓計上升的高度 $h$ 是由孔隙水壓增量 $\Delta u$ 所引起的水頭。
$\Delta u = \gamma_w h$
其中 $\gamma_w$ 為水的重力密度。通常取 $\gamma_w = 9.81 \text{ kN/m}^3$ 或 $10 \text{ kN/m}^3$。若無特別說明，我們使用 $\gamma_w = 9.81 \text{ kN/m}^3$。

$h = \frac{\Delta u}{\gamma_w} = \frac{120 \text{ kN/m}^2}{9.81 \text{ kN/m}^3} \approx 12.23 \text{ m}$

注意： 圖中黏土層底部 A 點的地下水位線上方 1.5 m 處，這個 1.5 m 是指 A 點的「靜水壓力」對應的水頭，而不是載重瞬間的孔隙水壓力。瞬間載重時，黏土層內任何一點的孔隙水壓力都會因為外加載重而增加。

【答案】(1) 約 12.23 m

(2) 當 h = 5m 時, 此粘土層之壓密度為何?

核心觀念

本題利用土壤三相材料的基本關係：

• 孔隙比
  $e=\frac{V_v}{V_s}$
• 飽和度
  $S_r=\frac{V_w}{V_v}$
• 含水量
  $w=\frac{W_w}{W_s}$
• 土粒比重
  $G_s=\frac{\gamma_s}{\gamma_w}$

常用關係式為：

$w=\frac{S_r e}{G_s}$

完全飽和時 $S_r=100\%$，因此：

$w_{\mathrm{sat}}=\frac{e}{G_s}$

題目所列重量 $10.675\times10^3\ \mathrm{kN}$ 明顯不符合試體尺寸，依合理題意採用印刷常見格式 $W=10.675\times10^{-3}\ \mathrm{kN}$。

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解題方法

先由圓柱體尺寸求體積，再利用總單位重與三相關係求孔隙比，最後求現況含水量及完全飽和含水量。

1. 試體體積

直徑：

$D=71\ \mathrm{mm}=0.071\ \mathrm{m}$

高度：

$H=142\ \mathrm{mm}=0.142\ \mathrm{m}$

圓柱體體積為：

$V=\frac{\pi D^2}{4}H$

$$V=\frac{\pi(0.071)^2}{4}(0.142) =5.622\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}$$

試體總單位重：

$$\gamma=\frac{W}{V} =\frac{10.675\times10^{-3}}{5.622\times10^{-4}} =18.99\ \mathrm{kN/m^3}$$

取水的單位重：

$\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$

故試體總密度相對於水的比值為：

$$\frac{\gamma}{\gamma_w} =\frac{18.99}{9.81} =1.936$$

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1. 孔隙比

由三相關係：

$\gamma=\gamma_w\frac{G_s+S_r e}{1+e}$

因此：

本題主要考驗考生對 Mohr-Coulomb 破壞準則的理解，包括其定義、參數意義、應用以及試驗方法。

一、Mohr-Coulomb 破壞準則的定義與應用

• 定義: Mohr-Coulomb 破壞準則是一種描述土壤或岩石材料在受到剪應力作用下發生破壞的經驗性準則。它認為材料的破壞發生於某個剪應力 $\tau_f$ 和正向應力 $\sigma_n$ 的組合，該組合點位於由材料的內聚力 ($c$) 和內摩擦角 ($\phi$) 所定義的一條直線上。
  在 $\tau - \sigma$ 座標系中，破壞包絡線 (failure envelope) 的方程式為：
  $\tau_f = c + \sigma_n \tan \phi$
  其中：

  • $\tau_f$：破壞時的剪應力。
  • $\sigma_n$：破壞面上的正向應力。
  • $c$：內聚力 (cohesion)。
  • $\phi$：內摩擦角 (angle of internal friction)。

• 應用: Mohr-Coulomb 準則在土木工程和岩石力學中有廣泛應用，例如：

  • 邊坡穩定分析: 評估邊坡的穩定性，計算安全係數。
  • 基礎承載力計算: 確定淺基礎和深基礎的極限承載力。
  • 擋土牆設計: 計算土壓力，評估擋土牆的穩定性。
  • 隧道開挖穩定性分析: 預測隧道開挖後的變形和穩定性。
  • 土壤壓縮性分析: 雖然主要用於強度，但與應力狀態相關。
  • 岩體力學: 分析岩石邊坡、隧道和壩基的穩定性。

二、Mohr-Coulomb 準則的兩個重要參數及其物理意義

Mohr-Coulomb 準則的兩個重要參數是：

1. 內聚力 (Cohesion, $c$):

   • 意義: 內聚力代表土壤顆粒間的黏結力，即使在沒有外加正向應力 $(\sigma_n = 0)$ 的情況下，土壤也具有一定的抗剪強度。它主要來源於土壤顆粒之間的分子吸引力、物理吸附力以及土壤中水分的表面張力等。
   • 物理意義: 內聚力越大，表示土壤顆粒之間的黏結性越強，在低應力狀態下抵抗剪切破壞的能力越強。對於黏土而言，內聚力是其強度的一個重要組成部分，尤其是在不排水條件下（此時 $c = c_u$，不排水剪力強度）。對於砂土而言，由於顆粒間的接觸是點對點的，幾乎沒有分子吸引力，因此內聚力通常非常小或為零（$c \approx 0$）。

2. 內摩擦角 (Angle of Internal Friction, $\phi$):

   • 意義: 內摩擦角代表土壤顆粒之間由於相互鎖固和摩擦而產生的抗剪強度。當施加正向應力時，土壤顆粒會相互擠壓，產生摩擦阻力。
   • 物理意義: 內摩擦角越大，表示土壤顆粒之間的摩擦阻力越大，抵抗剪切破壞的能力越強。它與土壤顆粒的形狀、粗糙度、密實度以及顆粒大小分佈有關。對於砂土而言，內摩擦角是其強度的主要來源。對於黏土而言，內摩擦角代表了有效應力作用下的摩擦組件。

三、透過試驗求取此兩參數

求取 $c$ 和 $\phi$ 的常用試驗方法是 三軸壓縮試驗 (Triaxial Compression Test) 或 直剪試驗 (Direct Shear Test)。

1. 三軸壓縮試驗 (Triaxial Compression Test):
   • 步驟:
     1. 製備或取樣一定尺寸的土壤試體（圓柱狀）。