111 年 國立成功大學環境工程學系碩士班丙組《微積分》

本題主要在考驗基本微分技巧，包含連鎖律、對數函數微分、三角函數反函數微分等。

(1) 對 $f(x)=5x(4-x^3)$ 求導。
此函數可先展開再微分，或使用乘法法則。
展開後為 $f(x) = 20x - 5x^4$。
則 $f'(x) = \frac{d}{dx}(20x - 5x^4) = 20 - 5(4x^3) = 20 - 20x^3$。
若使用乘法法則：令 $u(x) = 5x$，$v(x) = 4-x^3$。
則 $u'(x) = 5$，$v'(x) = -3x^2$。
$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 5(4-x^3) + 5x(-3x^2) = 20 - 5x^3 - 15x^3 = 20 - 20x^3$。
【答案】$f'(x) = 20 - 20x^3$

(2) 對 $g(x) = \log_4(\sqrt{x^2+1})$ 求導。
此題涉及換底公式和連鎖律。
首先，利用對數性質，$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$。
$g(x) = \frac{\ln(\sqrt{x^2+1})}{\ln 4} = \frac{1}{2 \ln 4} \ln(x^2+1)$。
接著，對 $g(x)$ 微分，使用連鎖律。

本題考驗隱函數微分求切線方程式。
首先，我們需要求出曲線在點 $(1,1)$ 的斜率，即 $y'$ 在該點的值。
對方程式 $1 + \ln(xy) = e^{x^2y}$ 兩邊同時對 $x$ 微分。
$\frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\ln(xy)) = \frac{d}{dx}(e^{x^2y})$
$0 + \frac{1}{xy} \cdot \frac{d}{dx}(xy) = e^{x^2y} \cdot \frac{d}{dx}(x^2y)$
$0 + \frac{1}{xy} \cdot (y + x\frac{dy}{dx}) = e^{x^2y} \cdot (2xy + x^2\frac{dy}{dx})$
將點 $(1,1)$ 代入，此時 $x=1$, $y=1$。

本題考驗將幾何問題轉換為最佳化問題，並利用微積分求解。
當扇形展開圖的半徑 $R$ 變成圓錐的母線長，扇形的弧長變成圓錐的底圓周長。
設圓錐的底圓半徑為 $r'$，高為 $h'$。
扇形的弧長為 $R\theta$。
圓錐的底圓周長為 $2\pi r'$。
所以，$R\theta = 2\pi r'$，即 $r' = \frac{R\theta}{2\pi}$。
由畢氏定理，圓錐的高 $h' = \sqrt{R^2 - (r')^2} = \sqrt{R^2 - (\frac{R\theta}{2\pi})^2} = R\sqrt{1 - (\frac{\theta}{2\pi})^2}$。
圓錐的體積 $V$ 為：
$V = \frac{1}{3}\pi (r')^2 h' = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{R\theta}{2\pi}\right)^2 \left(R\sqrt{1 - (\frac{\theta}{2\pi})^2}\right)$
$V = \frac{1}{3}\pi \frac{R^2\theta^2}{4\pi^2} R \sqrt{1 - \frac{\theta^2}{4\pi^2}} = \frac{R^3}{12\pi} \theta^2 \sqrt{1 - \frac{\theta^2}{4\pi^2}}$
為簡化計算，我們考慮 $V^2$ 的最大值，這與 $V$ 的最大值同時發生。

核心觀念

本題考查「旋轉體體積」與圓盤／圓環截面法。圓柱孔沿球心穿過，因此剩餘部分為著名的「餐巾環（napkin ring）」；其體積只與環的高度 $h$ 有關，與球半徑 $r$ 無關。

解題方法

設球心為原點，圓柱孔的中心軸為 $z$ 軸。由於剩餘球環的高度為 $h$，其上下端面位置為

在高度 $z$ 處，球的外半徑平方為

圓柱孔的半徑固定。孔的邊界位於 $z=\pm \frac{h}{2}$，所以孔半徑平方為

因此，高度 $z$ 處的截面面積為

代入得

本題考驗利用積分計算橢圓面積，或利用線性變換的性質。

方法一：利用積分計算。
橢圓方程式為 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。
我們可以將橢圓上半部表示為 $y = b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}$，其中 $x$ 從 $-a$ 到 $a$。
則橢圓的面積 $A$ 為：
$A = \int_{-a}^{a} 2y dx = \int_{-a}^{a} 2b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} dx$
$A = \frac{2b}{a} \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx$
令 $x = a\sin\theta$，則 $dx = a\cos\theta d\theta$。
當 $x = -a$ 時，$\sin\theta = -1$，$\theta = -\pi/2$。
當 $x = a$ 時，$\sin\theta = 1$，$\theta = \pi/2$。
$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} = \sqrt{a^2\cos^2\theta} = a|\cos\theta|$。
在 $[-\pi/2, \pi/2]$ 區間，$\cos\theta \ge 0$，所以 $\sqrt{a^2 - x^2} = a\cos\theta$。
$A = \frac{2b}{a} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (a\cos\theta)(a\cos\theta) d\theta = \frac{2b}{a} a^2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta d\theta$

本題考驗求解不同類型的微分方程，包括可分離變數型、線性一階微分方程、齊次微分方程和二階常係數線性微分方程。

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{10x^2}{\sqrt{1+x^3}}$
這是可分離變數的微分方程。
將 $dx$ 乘到右邊，並分離變數：
$dy = \frac{10x^2}{\sqrt{1+x^3}} dx$
兩邊積分：
$\int dy = \int \frac{10x^2}{\sqrt{1+x^3}} dx$
$y = 10 \int \frac{x^2}{\sqrt{1+x^3}} dx$
令 $u = 1+x^3$，則 $du = 3x^2 dx$，所以 $x^2 dx = \frac{1}{3}du$。
$y = 10 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{10}{3} \int u^{-1/2} du$
$y = \frac{10}{3} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = \frac{20}{3} u^{1/2} + C$
將 $u = 1+x^3$ 代回：
$y = \frac{20}{3} \sqrt{1+x^3} + C$
【答案】$y = \frac{20}{3} \sqrt{1+x^3} + C$

(2) $e^{x}y' + 4y = 1$, where $y' = \frac{dy}{dx}$
這是線性一階微分方程。標準形式為 $y' + P(x)y = Q(x)$。
將原方程改寫為 $y' + \frac{4}{e^x}y = \frac{1}{e^x}$，即 $y' + 4e^{-x}y = e^{-x}$。
積分因子為 $\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 4e^{-x} dx} = e^{-4e^{-x}}$。
將方程兩邊乘以積分因子：
$e^{-4e^{-x}}y' + 4e^{-x}e^{-4e^{-x}}y = e^{-x}e^{-4e^{-x}}$
左邊是 $(e^{-4e^{-x}}y)'$ 的微分。
$(e^{-4e^{-x}}y)' = e^{-x}e^{-4e^{-x}}$
兩邊積分：
$e^{-4e^{-x}}y = \int e^{-x}e^{-4e^{-x}} dx$
令 $v = -4e^{-x}$，則 $dv = -4(-e^{-x})dx = 4e^{-x}dx$，所以 $e^{-x}dx = \frac{1}{4}dv$。
$\int e^{-x}e^{-4e^{-x}} dx = \int e^{v} \frac{1}{4} dv = \frac{1}{4}e^v + C = \frac{1}{4}e^{-4e^{-x}} + C$
所以，$e^{-4e^{-x}}y = \frac{1}{4}e^{-4e^{-x}} + C$
$y = \frac{1}{4} + Ce^{4e^{-x}}$
【答案】$y = \frac{1}{4} + Ce^{4e^{-x}}$

(3) $(x^2+y^2)dx - 2xydy = 0$
將方程改寫為 $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$。
這是齊次微分方程，因為分子和分母都是同次數的。
令 $y = vx$，則 $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$。
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^2+(vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1+v^2)}{2vx^2} = \frac{1+v^2}{2v}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1+v^2 - 2v^2}{2v} = \frac{1-v^2}{2v}$
這是可分離變數的方程：
$\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{1}{x} dx$
兩邊積分：
$\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$

本題考驗各種積分技巧，包括三角函數積分、換元積分法、三角換元積分法、分部積分法以及定積分的計算。

(1) $\int \tan^3\theta d\theta$
$\int \tan^3\theta d\theta = \int \tan^2\theta \tan\theta d\theta$
利用恆等式 $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$：
$= \int (\sec^2\theta - 1) \tan\theta d\theta = \int \sec^2\theta \tan\theta d\theta - \int \tan\theta d\theta$
第一項積分：令 $u = \tan\theta$，則 $du = \sec^2\theta d\theta$。
$\int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{\tan^2\theta}{2}$。
第二項積分：$\int \tan\theta d\theta = \int \frac{\sin\theta}{\cos\theta} d\theta$。令 $v = \cos\theta$，則 $dv = -\sin\theta d\theta$。
$\int \frac{-dv}{v} = -\ln|v| = -\ln|\cos\theta| = \ln|\sec\theta|$。
所以，$\int \tan^3\theta d\theta = \frac{\tan^2\theta}{2} - \ln|\sec\theta| + C$。
【答案】$\frac{\tan^2\theta}{2} - \ln|\sec\theta| + C$

(2) $\int x^2e^{x^3} dx$
這是換元積分法的典型例子。
令 $u = x^3$，則 $du = 3x^2 dx$，所以 $x^2 dx = \frac{1}{3}du$。
$\int x^2e^{x^3} dx = \int e^u \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int e^u du$
$= \frac{1}{3}e^u + C$
將 $u = x^3$ 代回：
$= \frac{1}{3}e^{x^3} + C$
【答案】$\frac{1}{3}e^{x^3} + C$

(3) $\int \frac{1}{(x^2+5)^{3/2}} dx$
這是三角換元積分法的應用。
令 $x = \sqrt{5}\tan\theta$，則 $dx = \sqrt{5}\sec^2\theta d\theta$。
$x^2+5 = (\sqrt{5}\tan\theta)^2 + 5 = 5\tan^2\theta + 5 = 5(\tan^2\theta+1) = 5\sec^2\theta$。
$(x^2+5)^{3/2} = (5\sec^2\theta)^{3/2} = 5^{3/2} (\sec^2\theta)^{3/2} = 5\sqrt{5} \sec^3\theta$。
積分變為：