113 年 國立清華大學歷史學系碩士班乙組《國文與英文》

此題為考場規則說

核心觀念

本題考查**多自由度振動系統（Two-Degree-of-Freedom Vibration System）**的動態方程式建立與自由振動響應求解，屬於工程數學中「常微分方程組（ODEs）」與「線性代數特徵值問題」在工程力學上的典型應用。

1. 自由體圖（Free-Body Diagram, FBD）與牛頓第二運動定律：
   對質量 $m_1$ 與 $m_2$ 分別進行力平衡分析：
   $\sum F = m \cdot a$
   將各彈簧與阻尼器所產生的恢復力及阻尼力表示為位移與速度的相對變化量。
2. 二階常微分方程組矩陣化：
   將方程式整理為標準矩陣形式：
   $\mathbf{M} \mathbf{\ddot{x}} + \mathbf{C} \mathbf{\dot{x}} + \mathbf{K} \mathbf{x} = \mathbf{f}(t)$
   其中 $\mathbf{M}$ 為質量矩陣（Mass Matrix），$\mathbf{C}$ 為阻尼矩陣（Damping Matrix），$\mathbf{K}$ 為勁度矩陣（Stiffness Matrix）。
3. 無阻尼自由振動與特徵值問題：
   當無外力（$\mathbf{f}(t) = \mathbf{0}$）且無阻尼（$\mathbf{C} = \mathbf{0}$）時，假設解的形式為 $\mathbf{x}(t) = \mathbf{v} e^{i\omega t}$，代入可化為特徵值問題：
   $(\mathbf{K} - \omega^2 \mathbf{M}) \mathbf{v} = \mathbf{0}$
   由此求解自然頻率（Natural Frequencies $\omega_n$）與對應的模態形狀向量（Mode Shapes $\mathbf{v}_n$）。
4. 模態疊加法（Mode Superposition Method）與初始條件求解：
   通解為各模態振態的線性組合：
   $\mathbf{x}(t) = \sum_{j=1}^{2} \mathbf{v}^{(j)} \left( A_j \cos(\omega_j t) + B_j \sin(\omega_j t) \right)$
   利用初始位移 $\mathbf{x}(0)$ 與初始速度 $\dot{\mathbf{x}}(0)$ 求解未知的振幅係數 $A_1, B_1, A_2, B_2$。

解題方法與推導

(a) 建立運動方程式（Derive the Equation of Motion）

假設位移 $x_1(t)$ 與 $x_2(t)$ 均以向右為正方向，且 $x_2 > x_1 > 0$：

1. 對質量 $m_1$ 作自由體圖分析：

   • 左側彈簧 $k_1$ 受拉伸 $x_1$，產生向左施加於 $m_1$ 的拉力 $k_1 x_1$。
   • 左側阻尼器 $c_1$ 產生向左施加於 $m_1$ 的阻尼力 $c_1 \dot{x}_1$。
   • 中間彈簧 $k_2$ 相對伸長量為 $x_2 - x_1$，產生向右施加於 $m_1$ 的拉力 $k_2 (x_2 - x_1)$。
   • 中間阻尼器 $c_2$ 產生向右施加於 $m_1$ 的阻尼力 $c_2 (\dot{x}_2 - \dot{x}_1)$。
   • 外力 $f_1(t)$ 向右作用於 $m_1$。

   依據牛頓第二定律 $\sum F_1 = m_1 \ddot{x}_1$：
   $m_1 \ddot{x}_1 = f_1(t) - k_1 x_1 - c_1 \dot{x}_1 + k_2 (x_2 - x_1) + c_2 (\dot{x}_2 - \dot{x}_1)$
   整理得：
   $m_1 \ddot{x}_1 + (c_1 + c_2) \dot{x}_1 - c_2 \dot{x}_2 + (k_1 + k_2) x_1 - k_2 x_2 = f_1(t)$

2. 對質量 $m_2$ 作自由體圖分析：

   • 中間彈簧 $k_2$ 產生向左施加於 $m_2$ 的拉力 $k_2 (x_2 - x_1)$。
   • 中間阻尼器 $c_2$ 產生向左施加於 $m_2$ 的阻尼力 $c_2 (\dot{x}_2 - \dot{x}_1)$。
   • 右側彈簧 $k_3$ 受壓縮 $x_2$，產生向左施加於 $m_2$ 的抗力 $k_3 x_2$。
   • 右側阻尼器 $c_3$ 產生向左施加於 $m_2$ 的阻尼力 $c_3 \dot{x}_2$。
   • 外力 $f_2(t)$ 向右作用於 $m_2$。

   依據牛頓第二定律 $\sum F_2 = m_2 \ddot{x}_2$：
   $m_2 \ddot{x}_2 = f_2(t) - k_2 (x_2 - x_1) - c_2 (\dot{x}_2 - \dot{x}_1) - k_3 x_2 - c_3 \dot{x}_2$
   整理得：
   $m_2 \ddot{x}_2 - c_2 \dot{x}_1 + (c_2 + c_3) \dot{x}_2 - k_2 x_1 + (k_2 + k_3) x_2 = f_2(t)$

3. 寫成矩陣形式（Matrix Form）：

   $$\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot{x}_1 \\ \ddot{x}_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_1+c_2 & -c_2 \\ -c_2 & c_2+c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} k_1+k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2+k_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \end{bmatrix}$$

(b) 求解無阻尼自由振動位移 $x_1(t)$ 與 $x_2(t)$

將已知參數代入：

• $f_1(t) = f_2(t) = 0$
• $c_1 = c_2 = c_3 = 0$
• $m_1 = 1, m_2 = 2$
• $k_1 = 1, k_2 = 2, k_3 = 2$

微分方程簡化為：

展開即為方程組：

1. $\ddot{x}_1 + 3 x_1 - 2 x_2 = 0$
2. $2 \ddot{x}_2 - 2 x_1 + 4 x_2 = 0 \implies \ddot{x}_2 - x_1 + 2 x_2 = 0$

步驟一：求自然角頻率 $\omega$ 與特徵向量 $\mathbf{v}$

令特徵方程式 $|\mathbf{K} - \omega^2 \mathbf{M}| = 0$：

計算行列式：
$(3 - \omega^2)(4 - 2\omega^2) - (-2)(-2) = 0$
$2\omega^4 - 10\omega^2 + 12 - 4 = 0$
$2\omega^4 - 10\omega^2 + 8 = 0 \implies \omega^4 - 5\omega^2 + 4 = 0$
分解因式得到：
$(\omega^2 - 1)(\omega^2 - 4) = 0$
解得：

此題為考場規則說

此題為考場規則說

此題為考場規則說

此題為考場規則說

本大題主要在檢測考生對於古文的閱讀理解能力，包含句讀、主旨分析，以及文言文的白話翻譯。

核心觀念：

• 句讀能力： 準確標點文言文，使其意義清晰。
• 主旨分析： 辨識人物對話中的核心論點與論證方式。
• 文言文翻譯： 將古文轉換成現代白話，理解其意涵。

解題步驟：

1. 通篇抄錄並句讀：
此題要求將原文完整抄錄並加上標點符號。這部分需要對文言文的語氣、結構有相當的掌握。以下為句讀後的原文：

公將如棠，觀魚者，臧僖伯諫曰：「凡物不足以講大事，其材不足以備器用，則君不舉焉。君將納民於軌物者也，故講事以度軌量，謂之軌；取材以章物采，謂之物。不軌，不物，謂之亂政；亂政亟行，所以敗也。故春蒐、夏苗、秋狝、冬狩，皆於農隙以講事也。三年而治兵，入而振旅，歸而飲至，以數軍實，昭文章，明貴賤，辨等列，順少長，習威儀也。鳥獸之肉不登於姐，皮革、齒牙、骨角、毛羽不登於器，則公不射。古之制也。若夫山林川澤之實，器用之資，皁隷之事，官司之守，非君所及也。」公曰：「吾將畧地焉。」遂往陳魚而觀之。僖伯稱疾不從。

2. 臧僖伯的主要觀點及其論證方式：

• 主要觀點： 臧僖伯認為君主（公）的行為過於瑣碎、細微，忽略了國家大事的根本。他強調君主應專注於「講大事」與「備器用」，而非沉溺於細枝末節（如觀魚）。他認為君主應當「納民於軌物」，即讓人民各安其位，各盡其職，遵守法度，這才是治國之道。
• 論證方式：
  • 對比法： 臧僖伯先指出君主觀魚的行為（瑣碎之事）與「講大事」、「備器用」（國家根本）的對比，暗示君主本末倒置。
  • 舉例說明： 他接著解釋「軌」與「物」的意義，說明「講事」應有的度量與取材方式，並提出「不軌、不物」即是亂政。
  • 列舉政務： 他列舉了春蒐、夏苗、秋狝、冬狩等農隙講事，以及治兵、振旅、數軍實、昭文章、明貴賤、辨等列、習威儀等君主應當關注的政務，以此來反襯君主觀魚的無關宏旨。

本大題主要測試考生對文言議論文的理解，包含情境分析、主旨判斷、句讀及白話翻譯。

核心觀念：

• 情境分析： 辨識文章所描述的歷史背景與事件。
• 主旨判斷： 歸納作者的核心論點。
• 句讀與翻譯： 準確處理文言文的標點與轉譯。

解題步驟：

1. 本篇所議論的情況與作者的主要論點：

• 議論的情況： 本文首先提出一個普遍性的觀點，即「君子」認為人們之所以遭遇禍患，是因為無法安於自己所處的常態（勞、困、辱、難）。接著，作者將此觀點類比到「小國」的處境，以春秋時期的小國「息」為例。當時「息」國介於大國之間，處境艱難，卻因無法忍受大國（鄭）的欺凌，一時衝動而與鄭國發生衝突，最終導致滅亡。作者藉此說明小國的處境與應對策略。
• 作者的主要論點： 作者的主要論點是，小國處於大國之間，首要的生存之道是「卑、遜、忍恥、屈身」，即保持謙卑、退讓、忍耐屈辱、委曲求全的態度。這是因為小國的「常」就是弱小，應當認知到自身與大國的實力差距，順應天道（大國強盛是天意），避免因一時的衝動（忿心）而與大國爭鬥，否則必將招致覆敗。反之，過度懷疑被欺凌而先發制人，反而是小國容易導致滅亡的原因。

2. 抄錄劃有底線的文字並作句讀：

原文劃有底線的文字是：「息之為息在春秋之時至微也介乎大國之間雖祇慄危懼猶恐不能自保况敢與人爭乎當其與鄭違言之際息侯盍自咎日小大之不敵天也小國之見陵於大國亦天也天實

本題為英文寫作題，要求考生以英文撰寫一篇短文（500字以內），說明自己最感興趣的歷史研究主題，以及感興趣的原因。

核心觀念：

• 學術興趣表達： 清晰、有條理地闡述個人對特定歷史議題的熱情與研究動機。
• 論點闡述： 能夠具體說明為何對該主題感興趣，並可能連結個人經驗、學術關懷或價值觀。
• 英文寫作能力： 運用適當的詞彙、句型與結構，清晰、連貫地表達複雜的學術思想。
• 結構組織： 能夠組織一篇結構完整的短文，包含引言、主體論述與結論。

解題步驟：

此題屬於開放性題目，沒有標準答案，重點在於考生能否清晰、有條理地表達自己的想法，並展現其英文寫作能力。以下提供一個寫作架構與範例，考生可依據自己的興趣進行調整。

寫作架構建議：

1. Introduction (引言)：

   • 簡述自己最感興趣的歷史研究主題。
   • 可以稍微提及該主題的廣泛性或重要性。
   • 預告本文將闡述感興趣的原因。
   • Example: "Among the vast tapestry of human history, one particular area that consistently captures my intellectual curiosity and fuels my desire for deeper study is the social and cultural impact of the Industrial Revolution in 19th-century Britain."

2. Body Paragraph 1 (主體段落一)：

   • 闡述第一個感興趣的原因。
   • 可以連結到個人的學術啟蒙、啟發性閱讀經驗，或是對該主題的某個面向特別著迷。
   • Example: "My fascination stems from its profound transformation of everyday life. It wasn't just about technological advancements; it was about how these innovations reshaped social structures, family dynamics, and the very fabric of human experience. I am particularly drawn to examining the lives of the working class, their struggles, and their resilience in the face of unprecedented change."

3. Body Paragraph 2 (主體段落二)：

   • 闡述第二個感興趣的原因。
   • 可以從更宏觀的角度，探討該主題對現代社會的影響，或是其在歷史學研究中的重要性。