113 年 國立臺灣大學哲學系碩士班乙組《哲學英文與邏輯》

本題為哲學英文閱讀與闡釋題，主要測試考生對康德《純粹理性批判》中關於空間與時間的觀念的理解，以及對其論證的分析與評論能力。

核心觀念： 康德的先驗唯心論（Transcendental Idealism），特別是他對空間（Space）和時間（Time）的分析。康德認為空間與時間並非獨立於心靈之外的實體或物體本身的屬性，而是我們心靈（主體）感知外在經驗的先驗形式（a priori forms of intuition）。

(a) 第一段的解釋，特別是第一句話：

• 第一句話：「By means of outer sense, a property of our mind, we represent to ourselves objects as outside us, and all without exception in space.」
  這句話點出了康德的「外感官」（outer sense）概念。康德認為，我們的感官（sense）有內外之分。外感官是我們用來感知「外在於我們自身」的對象的能力。透過這個能力，我們將事物表象（represent）為處於我們「外面」（outside us）的位置，並且這些事物都「無一例外地處於空間中」（all without exception in space）。這裡的「空間」並非指物體實際佔據的空間，而是指我們感知這些物體「外在性」的「方式」或「框架」。

• 整段解釋：
  康德在第一段中，首先闡述了「外感官」是我們心靈的一個屬性，它使我們能夠將對象表象為存在於我們「之外」，並且這些對象都必然地被置於「空間」之中。接著，他提出了關於空間與時間的根本問題：「那麼，空間和時間是什麼？它們是真實的存在嗎？它們僅僅是事物（things）的決定（determinations）或關係（relations），而且即使事物未被直觀（intuited）也會屬於事物本身的屬性嗎？還是空間和時間僅僅是直觀的形式（form of intuition），因此是我們心靈的主觀構成（subjective constitution）的屬性，脫離了這個主觀構成，它們就無法歸屬於任何事物了？」
  這段話揭示了康德的哲學關切：他質疑傳統上將空間與時間視為獨立於觀察者的客觀實體或物體固有屬性的觀點。他提出了四種可能的解釋（儘管後面的論述主要聚焦於最後一種），即空間與時間是：

  1. 真實的存在（real existences）。
  2. 事物的決定或關係（determinations or relations of things）。
  3. 即使未被直觀也屬於事物本身的屬性（belong to things even if they were not intuited）。
  4. 僅僅是直觀的形式，屬於心靈的主觀構成（belong only to the form of intuition, and therefore to the subjective constitution of our mind）。
     康德預告了他將要論證的是，空間與時間屬於第四種情況。

(b) 康德的論證與結論的評論：

• 康德的第一個論證（來自第二段）：
  「Space is not an empirical concept which has been derived from outer experiences. For in order that certain sensations be referred to something outside me (that is, to something in another region of space from that in which I find myself), and similarly in order that I may be able to represent them as outside and alongside one another, and accordingly as not only different but as in different places, the representation of space must be presupposed. The representation of space cannot, therefore, be empirically obtained from the relations of outer appearance. On the contrary, this outer experience is itself possible at all only through that representation.」
  這個論證可以被簡述為：
  1. 經驗（尤其是外在經驗）的內容是「感覺」（sensations）。

本題為哲學英文閱讀與闡釋題，探討的是主體認識論中著名的「內外問題」（inside-outside problem），即我們如何從主觀的內在意識經驗，連接到客觀的外在世界。

核心觀念： 主體認識論（Epistemology of Subjectivity）、內在主義（Internalism）與外在主義（Externalism）的爭論、現象學（Phenomenology）的視角。

(a) 文章摘要與解釋：

• 摘要：
  這段文字指出，在笛卡爾、霍布斯、洛克等傳統哲學家影響下，我們普遍傾向於認為意識是封閉的、內在的，我們直接接觸的只是我們內部的思想、觀念或腦狀態。然而，我們又「本能地」確信自己能夠觸及真實的外在世界，但卻難以說明或證明這種確信的合理性，也無法解釋我們如何能「超越」內在意識，與外在世界產生聯繫。這種「內外難題」使得我們在思考意識時，常陷入困境。

• 解釋：
  文章開頭首先點明了西方哲學中一種主導性的觀點，即「內在主義」的傾向。這種觀點認為，我們意識的內容（想法、觀念、印象）是「內在的」，像是裝在一個「盒子里」或「氣泡」裡。我們所能直接知道的，不是外在事物本身，而是這些事物在我們內心引起的「表象」或「觀念」。這種觀點還得到了神經科學的強化，因為我們知道所有認知活動都發生在大腦中，我們直接接觸的似乎只是「腦狀態」。

  然而，文章隨即提出一個普遍的直覺或「本能」：我們並不認為自己完全被困在主觀世界裡。我們相信自己能夠「超越」大腦和內在心理狀態，與「真實世界」建立聯繫。但問題來了：我們該如何「證明」或「證實」這種聯繫呢？我們如何能確保我們與外在世界的接觸不是一種「幻覺」或「主觀投射」？

  作者指出，大多數時候，我們對這個問題的處理方式是「忽略它」，或者希望別人不要問。當我們開始思考意識時，我們總是預設自己處於「內部」（inside），然後就對如何「出去」（get outside）感到非常困惑和苦惱。這就是所謂的「內外問題」。

(b) 對「內外問題」的思考：

「內外問題」是認識論的核心難題之一，它關乎我們如何建立主觀意識與客觀實在之間的橋樑。

• 問題的根源：
  這個問題的根源在於笛卡爾式的「心物二元論」以及隨之而來的「方法論的懷疑」。一旦我們將意識（心靈）與外部世界（物質）嚴格區分開來，並且認為我們只能直接接觸到心靈的內容，那麼如何從內在的「觀念」跳躍到外在的「實在」就成了一個巨大的鴻溝。我們如何知道我們的觀念「正確地」反映了外部世界？

• 可能的解決途徑與我的看法：

  1. 現象學的視角（如作者所暗示）： 現象學（Phenomenology）試圖超越內外二分的僵局。它認為，意識本身就是「關於某物的意識」（intentionality），意識總是朝向某個對象。我們並非先有純粹內在的意識，然後再試圖「出去」接觸外在。相反，我們的意識經驗本身就已經是與世界的「共存」（being-in-the-world）的。當我們經驗一個「紅色的蘋果」時，我們並非先經驗到一個「紅色的觀念」和一個「蘋果的觀念」，然後再將它們配對。

核心觀念

本題評量將自然語言（日常英文）精確符號化為**一階謂詞邏輯（First-Order Predicate Logic）**的能力，主要涵蓋四大核心要點：

1. 關係謂詞與個體常元（Relational Predicates & Individual Constants）：
   二元關係謂詞 $Rxy$ 代表 $x$ 與 $y$ 之間的特定關係；個體常元（如 $a, b, c, s$）直接代入論元位置，無需加上量詞。
2. 條件句連接詞的語意辨析（$p \text{ only if } q$）：
   英文中的「$p \text{ only if } q$」（僅當 $q$ 時，$p$）表達「$q$ 是 $p$ 的必要條件」，其邏輯結構為：
   $p \to q$
   不可與「$p \text{ if } q$」（若 $q$ 則 $p$，即 $q \to p$）混淆。
3. 量詞（Quantifiers）的搭配慣例：
   • 全稱量詞（Universal Quantifier $\forall$）：常規配合條件句運算子（$\to$），表述「凡具備性質 $A$ 者，皆具備性質 $B$」，即 $\forall x (Ax \to Bx)$。若使用合取式 $\forall x (Ax \land Bx)$，會將範圍內的所有事物都斷言為 $A$，導致過強的錯誤宣稱。
   • 存在量詞（Existential Quantifier $\exists$）：常規配合合取運算子（$\land$），表述「存在某個對象，同時具備性質 $A$ 與 $B$」，即 $\exists x (Ax \land Bx)$。若使用條件句 $\exists x (Ax \to Bx)$，只要存在一個不具性質 $A$ 的個體即可使該式為真，導致過於薄弱的邏輯宣稱。
4. 歧義性與量詞轄域（Scope Ambiguity）：
   如「Every cat scares a dog」，涉及全稱量詞與存在量詞的先後轄域關係。通常依自然語序與慈善原則（Principle of Charity）採表面轄域（Surface Scope）解釋，但亦可考量反向轄域（Inverse Scope）之合理性。

---

解題方法與逐步推導

第 (1) 小題

• 題目：Albert, who is a student, will talk to Barbara, only if he talks to someone who is not a student.
• 字典：$a$: Albert; $b$: Barbara; $Txy$: $x$ talks to $y$; $Sx$: $x$ is a student
• 語意結構拆解：
  1. 主幹包含兩個部分：
     • 非限定關係子句「Albert, who is a student, will talk to Barbara」：表明 Albert 本身是學生（$Sa$），且在特定條件下會與 Barbara 交談（$Tab$）。
     • 條件關係「... will talk to Barbara, only if he talks to someone who is not a student」：屬於「$p \text{ only if } q$」句型，等價於 $p \to q$。
       • 前件 $p$：Albert will talk to Barbara（$Tab$）。
       • 後件 $q$：Albert talks to someone who is not a student。
  2. 後件符號化：
     「存在某個人 $x$ 不是學生，且 Albert 與他交談」：
     $\exists x (\neg Sx \land Tax)$
  3. 整體組合：
     非限定關係子句在語意上斷定了事實 $Sa$，並修飾了後續條件句的主詞。整句為 $Sa$ 與該條件句的合取：
     $Sa \land (Tab \to \exists x (\neg Sx \land Tax))$
     （註：若依緊密修飾結構將前件視為整體 $(Sa \land Tab)$，則為 $(Sa \land Tab) \to \exists x (\neg Sx \land Tax)$；但在標準英文語法中，插入語「, who is a student,」代表說話者肯定 $Sa$ 之真實性，故以合取形式最為精確標準。）

第 (2) 小題

• 題目：If a bear eats some honey, then it will sleep a lot.
• 字典：$Bx$: $x$ is a bear; $Ex$: $x$ eats some honey; $Sx$: $x$ sleeps a lot
• 語意結構拆解：
  1. 句型為一般性規律陳述（Generalization）。「a bear ... it」代表任意一隻熊，因此論域主詞受全稱量詞管轄。
  2. 條件結構：「任何一隻個體 $x$，如果 $x$ 是一隻熊且 $x$ 吃了一些蜂蜜，那麼 $x$ 就會睡很多覺」。
  3. 符號化公式：
     $\forall x ((Bx \land Ex) \to Sx)$

第 (3) 小題

• 題目：If Socrates meets Confucius, then all philosophers will be happy.
• 字典：$s$: Socrates; $c$: Confucius; $Mxy$: $x$ meets y; $Px$: $x$ is a philosopher; $Hx$: $x$ will be happy
• 語意結構拆解：

核心觀念

本題考查一階述詞邏輯的自然演繹，主要規則如下：

• 全稱例示（UI）：由 $(\forall x)\varphi(x)$，可得任意個體的 $\varphi(a)$。
• 存在例示（EI）：由 $(\exists x)\varphi(x)$，引入一個新的個體常項 $a$，暫設 $\varphi(a)$。
• 肯定前件（MP）：由 $\varphi$ 與 $\varphi \supset \psi$，推出 $\psi$。
• 存在概括（EG）：由 $\varphi(a)$，推出 $(\exists x)\varphi(x)$。
• 否定引入（$\neg$I）：若假設 $\varphi$ 可推出矛盾，則推出 $\neg\varphi$。

其中，存在例示所引入的個體必須是新的，且不能把兩個不同存在命題的見證人擅自視為同一個個體。

---

（1）證明 $(\exists x)Gx$

前提：

$$(\forall x)(Fx \supset Gx)$$ $$(\exists x)Fx$$

目標：

$$(\exists x)Gx$$

自然演繹推導

1. $(\forall x)(Fx \supset Gx)$　前提
2. $(\exists x)Fx$　前提
3. $Fa$　假設，EI，由 2
4. $Fa \supset Ga$　UI，由 1
5. $Ga$　MP，由 3、4
6. $(\exists x)Gx$　EG，由 5
7. 關閉 3 的存在例示子證明

因此：

$$(\forall x)(Fx \supset Gx),\;(\exists x)Fx \vdash (\exists x)Gx$$

解題技巧

先由 $(\exists x)Fx$ 取出一個具有 $F$ 性質的個體，再套用全稱前提所給的 $F \supset G$。得到該個體具有 $G$ 後，以存在概括完成證明。

---

（2）原命題無法證明

前提：

$$(\forall x)(Hx \supset (Fx \supset Gx))$$ $$(\exists x)Hx$$ $$(\exists x)(\neg Gx)$$

目標：

$$(\exists x)(\neg Hx)$$

為何自然演繹無法完成

由第二個前提可取出某個個體 $a$，使得：

$$Ha$$

由第三個前提可取出某個個體 $b$，使得：

$$\neg Gb$$

但兩個存在命題的見證人不必是同一個個體，因此不能直接得到：

$$Ha,\;\neg Ga$$

即使假定兩者是同一個個體，第一個前提只能給出：

$$Ha \supset (Fa \supset Ga)$$

還必須另有 $Fa$，才能推出 $Ga$。題目沒有提供 $Fa$，所以無法由 $Ha$ 與 $\neg Ga$ 導出矛盾，也無法推出 $\neg Ha$。

反模型

取論域只有一個個體 $a$，並設定：

$$Ha \text{ 為真},\qquad Fa \text{ 為假},\qquad Ga \text{ 為假}$$

逐一檢查前提：

1. $Ha \supset (Fa \supset Ga)$ 為真，因為 $Fa$ 為假，所以 $Fa \supset Ga$ 為真。

核心觀念

本題評量將自然語言（日常英文）精確符號化為**一階謂詞邏輯（First-Order Predicate Logic）**的能力，主要涵蓋四大核心要點：

1. 關係謂詞與個體常元（Relational Predicates & Individual Constants）：
   二元關係謂詞 $Rxy$ 代表 $x$ 與 $y$ 之間的特定關係；個體常元（如 $a, b, c, s$）直接代入論元位置，無需加上量詞。
2. 條件句連接詞的語意辨析（$p \text{ only if } q$）：
   英文中的「$p \text{ only if } q$」（僅當 $q$ 時，$p$）表達「$q$ 是 $p$ 的必要條件」，其邏輯結構為：
   $p \to q$
   不可與「$p \text{ if } q$」（若 $q$ 則 $p$，即 $q \to p$）混淆。
3. 量詞（Quantifiers）的搭配慣例：
   • 全稱量詞（Universal Quantifier $\forall$）：常規配合條件句運算子（$\to$），表述「凡具備性質 $A$ 者，皆具備性質 $B$」，即 $\forall x (Ax \to Bx)$。若使用合取式 $\forall x (Ax \land Bx)$，會將範圍內的所有事物都斷言為 $A$，導致過強的錯誤宣稱。
   • 存在量詞（Existential Quantifier $\exists$）：常規配合合取運算子（$\land$），表述「存在某個對象，同時具備性質 $A$ 與 $B$」，即 $\exists x (Ax \land Bx)$。若使用條件句 $\exists x (Ax \to Bx)$，只要存在一個不具性質 $A$ 的個體即可使該式為真，導致過於薄弱的邏輯宣稱。
4. 歧義性與量詞轄域（Scope Ambiguity）：
   如「Every cat scares a dog」，涉及全稱量詞與存在量詞的先後轄域關係。通常依自然語序與慈善原則（Principle of Charity）採表面轄域（Surface Scope）解釋，但亦可考量反向轄域（Inverse Scope）之合理性。

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解題方法與逐步推導

第 (1) 小題

• 題目：Albert, who is a student, will talk to Barbara, only if he talks to someone who is not a student.
• 字典：$a$: Albert; $b$: Barbara; $Txy$: $x$ talks to $y$; $Sx$: $x$ is a student
• 語意結構拆解：
  1. 主幹包含兩個部分：
     • 非限定關係子句「Albert, who is a student, will talk to Barbara」：表明 Albert 本身是學生（$Sa$），且在特定條件下會與 Barbara 交談（$Tab$）。
     • 條件關係「... will talk to Barbara, only if he talks to someone who is not a student」：屬於「$p \text{ only if } q$」句型，等價於 $p \to q$。
       • 前件 $p$：Albert will talk to Barbara（$Tab$）。
       • 後件 $q$：Albert talks to someone who is not a student。
  2. 後件符號化：
     「存在某個人 $x$ 不是學生，且 Albert 與他交談」：
     $\exists x (\neg Sx \land Tax)$
  3. 整體組合：
     非限定關係子句在語意上斷定了事實 $Sa$，並修飾了後續條件句的主詞。整句為 $Sa$ 與該條件句的合取：
     $Sa \land (Tab \to \exists x (\neg Sx \land Tax))$
     （註：若依緊密修飾結構將前件視為整體 $(Sa \land Tab)$，則為 $(Sa \land Tab) \to \exists x (\neg Sx \land Tax)$；但在標準英文語法中，插入語「, who is a student,」代表說話者肯定 $Sa$ 之真實性，故以合取形式最為精確標準。）

第 (2) 小題

• 題目：If a bear eats some honey, then it will sleep a lot.
• 字典：$Bx$: $x$ is a bear; $Ex$: $x$ eats some honey; $Sx$: $x$ sleeps a lot
• 語意結構拆解：
  1. 句型為一般性規律陳述（Generalization）。「a bear ... it」代表任意一隻熊，因此論域主詞受全稱量詞管轄。
  2. 條件結構：「任何一隻個體 $x$，如果 $x$ 是一隻熊且 $x$ 吃了一些蜂蜜，那麼 $x$ 就會睡很多覺」。
  3. 符號化公式：
     $\forall x ((Bx \land Ex) \to Sx)$

第 (3) 小題

• 題目：If Socrates meets Confucius, then all philosophers will be happy.
• 字典：$s$: Socrates; $c$: Confucius; $Mxy$: $x$ meets y; $Px$: $x$ is a philosopher; $Hx$: $x$ will be happy
• 語意結構拆解：

核心觀念

本題考查一階述詞邏輯的自然演繹，主要規則如下：

• 全稱例示（UI）：由 $(\forall x)\varphi(x)$，可得任意個體的 $\varphi(a)$。
• 存在例示（EI）：由 $(\exists x)\varphi(x)$，引入一個新的個體常項 $a$，暫設 $\varphi(a)$。
• 肯定前件（MP）：由 $\varphi$ 與 $\varphi \supset \psi$，推出 $\psi$。
• 存在概括（EG）：由 $\varphi(a)$，推出 $(\exists x)\varphi(x)$。
• 否定引入（$\neg$I）：若假設 $\varphi$ 可推出矛盾，則推出 $\neg\varphi$。

其中，存在例示所引入的個體必須是新的，且不能把兩個不同存在命題的見證人擅自視為同一個個體。

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（1）證明 $(\exists x)Gx$

前提：

$$(\forall x)(Fx \supset Gx)$$ $$(\exists x)Fx$$

目標：

$$(\exists x)Gx$$

自然演繹推導

1. $(\forall x)(Fx \supset Gx)$　前提
2. $(\exists x)Fx$　前提
3. $Fa$　假設，EI，由 2
4. $Fa \supset Ga$　UI，由 1
5. $Ga$　MP，由 3、4
6. $(\exists x)Gx$　EG，由 5
7. 關閉 3 的存在例示子證明

因此：

$$(\forall x)(Fx \supset Gx),\;(\exists x)Fx \vdash (\exists x)Gx$$

解題技巧

先由 $(\exists x)Fx$ 取出一個具有 $F$ 性質的個體，再套用全稱前提所給的 $F \supset G$。得到該個體具有 $G$ 後，以存在概括完成證明。

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（2）原命題無法證明

前提：

$$(\forall x)(Hx \supset (Fx \supset Gx))$$ $$(\exists x)Hx$$ $$(\exists x)(\neg Gx)$$

目標：

$$(\exists x)(\neg Hx)$$

為何自然演繹無法完成

由第二個前提可取出某個個體 $a$，使得：

$$Ha$$

由第三個前提可取出某個個體 $b$，使得：

$$\neg Gb$$

但兩個存在命題的見證人不必是同一個個體，因此不能直接得到：

$$Ha,\;\neg Ga$$

即使假定兩者是同一個個體，第一個前提只能給出：

$$Ha \supset (Fa \supset Ga)$$

還必須另有 $Fa$，才能推出 $Ga$。題目沒有提供 $Fa$，所以無法由 $Ha$ 與 $\neg Ga$ 導出矛盾，也無法推出 $\neg Ha$。

反模型

取論域只有一個個體 $a$，並設定：

$$Ha \text{ 為真},\qquad Fa \text{ 為假},\qquad Ga \text{ 為假}$$

逐一檢查前提：

1. $Ha \supset (Fa \supset Ga)$ 為真，因為 $Fa$ 為假，所以 $Fa \supset Ga$ 為真。

本題為邏輯判斷題，要求考生判斷三個關於邏輯真理、邏輯等價、以及邏輯有效性的敘述是否為真。這需要考生對一階邏輯的語義（truth conditions）以及邏輯推理的性質有深入理解。

核心觀念：

• 邏輯真理 (Logical Truth/Tautology): 在所有可能的解釋下都為真的公式。
• 邏輯等價 (Logical Equivalence): 兩個公式在所有可能的解釋下具有相同的真值。$A = B$ 表示 $A \leftrightarrow B$ 是邏輯真理。
• 邏輯有效性 (Logical Validity): 如果所有前提為真，則結論必然為真。這意味著前提的合取蘊含結論是邏輯真理。

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(1) $((3x)Fx \supset (y)Gy)$ = $(x)(FxGx)$ is a logical truth.

• 分析：
  我們要判斷的是公式 $((3x)Fx \supset (y)Gy) \leftrightarrow (x)(FxGx)$ 是否為邏輯真理。
  這裡的 "=" 符號通常表示邏輯等價。
  左邊：$(\exists x)Fx \rightarrow (\forall y)Gy$
  右邊：$(\forall x)(Fx \rightarrow Gx)$

  首先，我們檢查左邊的公式 $(\exists x)Fx \rightarrow (\forall y)Gy$。
  這個公式的意思是：「如果存在一個 $x$ 使得 $Fx$ 為真，那麼對於所有 $y$，$Gy$ 都為真。」
  這個公式不是邏輯真理。例如，考慮一個論域 $\{a, b\}$。令 $F = \{a\}$，$G = \{a, b\}$。
  那麼 $(\exists x)Fx$ 為真（因為 $Fa$）。
  而 $(\forall y)Gy$ 也為真（因為 $Ga$ 和 $Gb$ 都為真）。
  此時，$(\exists x)Fx \rightarrow (\forall y)Gy$ 為 $T \rightarrow T$，即為真。
  但考慮另一個解釋：令 $F = \{a\}$，$G = \{a\}$。
  $(\exists x)Fx$ 為真。
  $(\forall y)Gy$ 為真。
  此時公式為真。
  再考慮一個解釋：令 $F = \{a\}$，$G = \{b\}$。
  $(\exists x)Fx$ 為真。
  $(\forall y)Gy$ 為假（因為 $Gb$ 為假）。
  此時，$(\exists x)Fx \rightarrow (\forall y)Gy$ 為 $T \rightarrow F$，即為假。
  因此，$(\exists x)Fx \rightarrow (\forall y)Gy$ 不是邏輯真理。

  接下來，我們檢查右邊的公式 $(\forall x)(Fx \rightarrow Gx)$。
  這個公式的意思是：「對於所有 $x$，$Fx \rightarrow Gx$ 為真」，即「所有 $F$ 都是 $G$」。
  這也不是邏輯真理。例如，令 $F = \{a\}$，$G = \{b\}$。
  則 $(\forall x)(Fx \rightarrow Gx)$ 為假（因為對於 $x=a$，$Fa$ 為真但 $Ga$ 為假）。

  現在我們要判斷的是兩者是否「邏輯等價」。
  如果左邊公式不是邏輯真理，右邊公式也不是邏輯真理，它們之間是否等價呢？
  我們需要判斷 $((\exists x)Fx \rightarrow (\forall y)Gy) \leftrightarrow (\forall x)(Fx \rightarrow Gx)$ 是否為邏輯真理。
  這相當於判斷 $(\exists x)Fx \rightarrow (\forall y)Gy$ 和 $(\forall x)(Fx \rightarrow Gx)$ 是否邏輯等價。

  考慮一個論域 $\{a, b\}$。
  解釋 1：$F = \{a\}$，$G = \{a\}$。
  左邊：$(\exists x)Fx$ (T) $\rightarrow (\forall y)Gy$ (T)。 $T \rightarrow T$ 是 T。
  右邊：$(\forall x)(Fx \rightarrow Gx)$。
  $x=a$: $Fa \rightarrow Ga$ (T $\rightarrow$ T) 是 T。
  $x=b$: $Fb \rightarrow Gb$ (F $\rightarrow$ F) 是 T。
  右邊是 T。此時兩者等價。

  解釋 2：$F = \{a\}$，$G = \{b\}$。
  左邊：$(\exists x)Fx$ (T) $\rightarrow (\forall y)Gy$ (F)。 $T \rightarrow F$ 是 F。
  右邊：$(\forall x)(Fx \rightarrow Gx)$。
  $x=a$: $Fa \rightarrow Ga$ (T $\rightarrow$ F) 是 F。
  $x=b$: $Fb \rightarrow Gb$ (F $\rightarrow$ T) 是 T。
  右邊是 F。此時兩者等價。

  解釋 3：$F = \emptyset$，$G = \{a, b\}$。
  左邊：$(\exists x)Fx$ (F) $\rightarrow (\forall y)Gy$ (T)。 $F \rightarrow T$ 是 T。
  右邊：$(\forall x)(Fx \rightarrow Gx)$。
  $x=a$: $Fa \rightarrow Ga$ (F $\rightarrow$ T) 是 T。
  $x=b$: $Fb \rightarrow Gb$ (F $\rightarrow$ T) 是 T。
  右邊是 T。此時兩者等價。

  解釋 4：$F = \{a, b\}$，$G = \{a\}$。
  左邊：$(\exists x)Fx$ (T) $\rightarrow (\forall y)Gy$ (F)。 $T \rightarrow F$ 是 F。
  右邊：$(\forall x)(Fx \rightarrow Gx)$。
  $x=a$: $Fa \rightarrow Ga$ (T $\rightarrow$ T) 是 T。
  $x=b$: $Fb \rightarrow Gb$ (T $\rightarrow$ F) 是 F。
  右邊是 F。此時兩者等價。