108 年 國立臺灣大學商學研究所乙組《經濟學（A）》

核心觀念

本題考查電子支付與信用制度對貨幣供給的影響，重點包括：

1. $M_1$ 的意義：通常包括通貨淨額、支票存款與活期存款等高度流動性的貨幣。
2. 信用卡不是貨幣，而是支付工具與短期信用工具。
3. $M_1$ 乘數可表示為：

$$m=\frac{M_1}{B}$$

其中 $B$ 為準備貨幣。若以貨幣持有比例表示，常見形式為：

$$m=\frac{1+c}{c+rr+e}$$

其中 $c$ 為通貨對存款比率、$rr$ 為法定準備率、$e$ 為超額準備率。
4. 準備貨幣是中央銀行貨幣，主要由流通中的通貨與銀行準備金構成，不是一般民眾直接使用的支付工具。

解題方法

判斷各選項對 $M_1$、$M_1$ 乘數及貨幣成長率的影響：

• 若只是改變支付工具，未必會增加貨幣存量。
• 信用卡屬於借貸安排，不等於貨幣本身。
• 延後付款的商業信用會降低當期交易對貨幣餘額的需求，抑制 $M_1$ 的成長壓力。
• 準備貨幣不是一般交易者直接拿來付款的工具。

因此，應選擇描述「延後付款降低 $M_1$ 成長率」的選項。

選項分析

(a) 錯誤

線上購物採用塑膠貨幣，並不必然使 $M_1$ 增加。

尤其信用卡只是付款工具。消費者使用信用卡時，是由發卡銀行先代為付款，消費者日後再償還銀行；信用卡本身並不列入 $M_1$。

因此，線上購物盛行及信用卡使用增加，不能直接推論 $M_1$ 及其成長率必然上升。

【核心觀念】

1. 交易性貨幣需求（Transactional Demand for Money, $M_1$）：與交易頻率、支付工具便捷度成反比，與交易總額、名目所得成正比。
2. 投機性貨幣需求（Speculative Demand for Money）：與利率或風險規避行為相關。
3. 支付工具演進對貨幣需求的影響：
   • 簽帳卡（Debit Card）、電子票證（悠遊卡）等新興支付工具增加，會提升交易效率、減少維持日常交易所需持有的通貨與活期存款（即 $M_1$），故交易性貨幣需求下降。
4. 股市多頭對貨幣需求的影響：

核心觀念

本題考查金融交易中的資訊不對稱，以及兩種典型問題：

• 逆選擇（adverse selection）：發生在交易成立以前。交易一方掌握自身風險或品質資訊，導致高風險者較願意參與交易。
• 道德危險（moral hazard）：發生在交易成立以後。受到保障或取得資金後，當事人因無法被完全監督而改變行為，增加交易對方的損失。

判斷關鍵在於：問題發生於「交易前」還是「交易後」。

解題方法

逐一判斷各選項所描述的現象，並確認其對應的資訊不對稱類型：

• 保險費率變動與投保人風險選擇，屬於交易前的逆選擇問題。
• 逾期放款通常涉及借款後的行為改變，屬於道德危險問題。
• 顧客關係主要用於持續監督與掌握借款人資訊，並非解決搭便車問題。
• 資訊揭露主要使投資人能在交易前判斷企業品質，降低逆選擇。

選項分析

(a) 正確

若壽險業調升旅遊平安險保費，低風險者可能因保費過高而退出，高風險者則仍願意投保，結果保單持有人中高風險者比例上升，形成逆選擇。

因此，避免大幅調升保費，有助於避免低風險者退出、減輕逆選擇問題。其核心機制是：

$$\text{保費上升} \Rightarrow \text{低風險者退出} \Rightarrow \text{投保人平均風險上升}$$

(b) 錯誤

核心觀念

本題考三個概念：

1. 預期報酬率：衡量投資報酬的平均結果。
2. 風險偏好：
   • 風險怯避者：偏好較低風險，在相同預期報酬下選擇風險較低的投資。
   • 風險中立者：只重視預期報酬率。
   • 風險愛好者：偏好較高風險，願意承擔風險以追求較高報酬。
3. 偏態係數：
   • 正偏態：右尾較長，代表少數情況下可能出現極高正報酬。
   • 負偏態：左尾較長，代表少數情況下可能出現極大損失。

投資決策不能只看偏態係數，也不能只以股票本身的預期報酬率判斷，仍須考慮投資人的效用函數、投資組合及避險需求。

在標準單一資產投資的設定下，風險怯避者的效用可概略表示為：

$$E[U] \approx E[R]-\frac{1}{2}A\operatorname{Var}(R)$$

其中 $A>0$ 為風險怯避程度。風險不僅不會增加效用，還會產生風險折價。

解題方法

本題逐一檢查各選項：

• 不能只用「風險怯避」推論投資人必然只買正預期報酬率資產，因為投資組合中的避險效果也很重要。
• 不能只由偏態係數判斷應採多頭或空頭，因為偏態只描述報酬分配形狀，沒有提供預期報酬率及其他風險資訊。
• 風險愛好者的效用函數為凸函數，即使投資的預期報酬率為負，只要高報酬結果帶來的效用足夠高，仍可能投資。
• 在單獨持有股票且不考慮避險效果時，風險怯避者面對負預期報酬率股票，不會選擇持有該股票。

選項分析

(a) 風險怯避者僅會投資正預期報酬率的股票

錯誤。

風險怯避者不一定只依據股票本身的預期報酬率做決策。若某股票與既有投資的報酬呈負相關，即使該股票本身的預期報酬率不高，納入投資組合後仍可能降低整體風險，提升投資組合效用。

此外，風險怯避者也可能選擇不投資股票，而持有無風險資產。因此，「僅會投資正預期報酬率的股票」不是普遍成立的命題。

核心觀念

本題考驗 Fisher 效果。名目利率、實質利率與預期通貨膨脹率的關係為：

$$i \approx r+\pi^e$$

其中：

• $i$：名目利率（貨幣利率）
• $r$：實質利率
• $\pi^e$：預期通貨膨脹率

「利率變動完全符合 Fisher 效果」表示預期通貨膨脹率每變動 $1$ 個百分點，名目利率隨之同方向變動 $1$ 個百分點，而實質利率維持不變。

解題方法

2016 年預期通貨膨脹率為 $3\%$，2017 年降為 $-1\%$，變化量為：

$$\Delta \pi^e=-1\%-3\%=-4\%$$

依 Fisher 效果，實質利率不變，因此：

$$\Delta r=0$$

由 Fisher 方程式：

$$\Delta i=\Delta r+\Delta \pi^e$$

代入可得：

$$\Delta i=0+(-4\%)=-4\%$$

因此，2017 年金融市場的名目利率下跌 $4$ 個百分點，實質利率維持不變。

選項分析

核心觀念

本題考查銀行的兩項法定準備要求：

1. 法定準備率：銀行必須持有的法定準備，占存款的比例。
   $\text{法定準備}=\text{存款}\times\text{法定準備率}$

2. 法定流動準備率：銀行必須持有的流動準備，占存款的比例。
   $\text{法定流動準備}=\text{存款}\times\text{法定流動準備率}$

題目同時調降法定準備率、提高法定流動準備率，必須分別計算兩項政策造成的資金變化，再判斷整體影響。

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解題方法與計算

存款餘額為 $2{,}000$ 億元。

原本實際準備為 $100$ 億元，且正好符合法定準備，因此原法定準備率為：

$$\frac{100}{2{,}000}=5\%$$

原本流動準備為 $200$ 億元，且正好符合法定流動準備，因此原法定流動準備率為：

$$\frac{200}{2{,}000}=10\%$$

一、法定準備率調降至 $4\%$

新的法定準備需求為：

$$2{,}000\times 4\%=80\text{億元}$$

銀行原有準備為 $100$ 億元，因此相對於新的法定準備要求，產生：

$$100-80=20\text{億元}$$

這 $20$ 億元是法定準備率下降所釋出的資金。

二、法定流動準備率提高至 $12\%$

新的法定流動準備需求為：

$$2{,}000\times 12\%=240\text{億元}$$

銀行原有流動準備為 $200$ 億元，因此流動準備缺口為：

$$240-200=40\text{億元}$$

法定準備率調降所釋出的 $20$ 億元，可以轉作流動準備使用，因此尚有：

$$40-20=20\text{億元}$$

的流動準備缺口。

核心觀念

本題測驗古典學派的貨幣數量學說（Quantity Theory of Money, QTM）以及古典學派的核心假設：古典雙分法（Classical Dichotomy）與貨幣中立性（Monetary Neutrality）。

1. 交易方程式（Fisher's Equation of Exchange）：

   $$M \cdot V = P \cdot Y$$

   其中：

   • $M$：名目貨幣供給量（Money Supply）
   • $V$：貨幣流通速度（Velocity of Money）
   • $P$：物價水準（Price Level）
   • $Y$：實質產出（Real Output / Real GDP）
   • $P \cdot Y$：名目產出（Nominal Output / Nominal GDP）

2. 古典學派的核心假設：

   • 價格機能具完全伸縮性（Perfect Price Flexibility），市場瞬時結清。
   • 實質產出 $Y$ 完全由實質面因素（生產技術、資本存量、勞動供給）決定於充分就業水準 $\bar{Y}$，不受貨幣數量影響。
   • 貨幣流通速度 $V$ 由制度與支付習慣決定，在短期與長期均視為常數（$\bar{V}$）。
   • 貨幣中立性：貨幣供給量變動僅同比例改變名目變數（物價 $P$、名目產出 $PY$），不影響實質變數（實質產出 $Y$）。在傳統古典數量學說中，此結論在短期與長期均成立。

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解題方法

由交易方程式：

$$M \cdot \bar{V} = P \cdot \bar{Y}$$

由於古典學派假設貨幣流通速度 $V$ 固定（$\Delta\% V = 0$），且實質產出 $Y$ 固定在充分就業產出 $\bar{Y}$（$\Delta\% Y = 0$），將方程式取對數全微分轉為成長率型態：

$$\frac{\Delta M}{M} + \frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{P} + \frac{\Delta Y}{Y}$$

代入 $\frac{\Delta V}{V} = 0$ 與 $\frac{\Delta Y}{Y} = 0$，可得：

$$\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta M}{M}$$

核心觀念

Baumol-Tobin 存貨理論將持有交易性貨幣的成本分成兩部分：

• 提款成本：提款次數愈多，總提款成本愈高。
• 利息機會成本：平均持有貨幣愈多，放棄的利息愈多。

若每次提款有固定成本 $F$，每期名目支出為 $PY$，名目利率為 $i$，一年提款 $N$ 次，則每次提款金額為 $PY/N$，平均名目貨幣餘額為 $PY/(2N)$。總成本為：

$$C(N)=FN+i\frac{PY}{2N}$$

使總成本最小的提款次數為：

$$N^*=\sqrt{\frac{iPY}{2F}}$$

因此，最適平均名目交易性貨幣餘額為：

$$M^*=\frac{PY}{2N^*} =\sqrt{\frac{FPY}{2i}}$$

由此可知，固定提款成本下，名目交易性貨幣餘額隨名目支出增加而增加，但與物價水準 $P$ 的關係是平方根，不是等比例。

解題方法

先區分提款成本的性質，再看物價上升如何影響名目貨幣需求：

核心觀念

本題考查金融海嘯下，流動性陷阱、投資陷阱、Pigou 效果，以及財政政策的排擠效果。

1. 流動性陷阱：貨幣需求對利率極具彈性，$LM$ 曲線呈水平。此時即使貨幣供給增加，也難以使利率進一步下降，因此貨幣政策效果有限。

2. 投資陷阱：投資對利率極具彈性，$IS$ 曲線呈水平。財政支出增加時，產出上升，但利率不會明顯上升，因此不產生排擠效果。

3. Pigou 效果：物價下跌使實質貨幣餘額增加，人民實質財富提高，消費增加，進而使$IS$曲線右移。

4. 實質利率：

$$r=i-\pi^e$$

其中，$r$為實質利率、$i$為名目利率、$\pi^e$為預期通貨膨脹率。

解題方法

逐一判斷各選項所描述的政策效果：

• 量化寬鬆主要是增加貨幣供給，直接造成$LM$曲線右移。
• 流動性陷阱下，貨幣政策無法進一步降低利率。
• 投資陷阱下，財政擴張不會推升利率，因此沒有排擠效果。
• 以央行繳庫盈餘支應政府支出，不是發行公債，不會造成金融緊縮。

選項分析

(a) 錯誤。

Pigou 效果是物價下跌所造成的實質財富效果：

$$P\downarrow \Rightarrow \frac{M}{P}\uparrow \Rightarrow C\uparrow \Rightarrow IS\text{右移}$$

同時，實質貨幣供給增加也會使$LM$曲線右移。因此，若題目討論的是物價變動，Pigou 效果確實可能使$IS$與$LM$同時移動。

但量化寬鬆的直接效果是增加名目貨幣供給$M$，在物價短期固定時：

$$M\uparrow \Rightarrow \frac{M}{P}\uparrow \Rightarrow LM\text{右移}$$

核心觀念

本題考查凱因斯模型中的「流動性陷阱」。當名目利率已降至極低水準時，民眾預期利率不會再下降，因而願意持有新增貨幣，貨幣需求對利率呈完全彈性。

因此：

• LM 曲線呈水平線，利率固定在流動性陷阱的低點。
• 增加貨幣供給只會被民眾吸收為閒置現金，不會使利率進一步下降。
• 貨幣政策無法透過降低利率刺激投資與產出。
• 財政政策不會因利率上升而產生傳統的排擠效果。

可表示為：

$$\frac{\partial L}{\partial i}\to -\infty$$

其中 $L$ 為貨幣需求，$i$ 為名目利率。

解題方法

判斷各選項是否符合流動性陷阱的三項特徵：

1. LM 曲線是否水平；
2. 貨幣政策是否失效；
3. 財政政策是否仍能有效增加產出，且不發生排擠效果。

符合「增加準備貨幣但無法降低名目利率，因而不影響實質產出」者，即為正確敘述。

選項分析

(a) 錯誤

流動性陷阱下，LM 曲線確實具有完全利率彈性，這一部分正確。

但後半段將「總供給曲線」描述為缺乏物價彈性，並非流動性陷阱的正確結論。流動性陷阱主要影響貨幣市場與總需求，不能直接推出總供給曲線缺乏物價彈性。

若題目原意是「總需求曲線」，則在簡化的 IS–LM 架構中，因利率固定且貨幣政策失效，物價變動不會改變產出，總需求曲線可呈現垂直；但題目寫的是「總供給曲線」，因此本選項不正確。

(b) 錯誤

量化寬鬆政策會增加準備貨幣：

$$M_s\uparrow$$

然而在流動性陷阱中，新增貨幣只會被民眾持有，無法使名目利率進一步下降，也不會立即透過利率管道刺激投資與產出。

此外，Fisher 方程式為：

核心觀念

本題考查 IS–LM 模型下貨幣政策與財政政策的效果，以及利率對投資支出的影響。

商品市場均衡為：

$$y=C(y)+I(r)+G$$

其中：

• $y$：所得（或產出）
• $C(y)$：消費支出，所得增加時消費增加
• $I(r)$：投資支出，利率上升時投資減少，即 $\frac{dI}{dr}<0$
• $G$：政府支出

「寬鬆貨幣政策」通常指增加貨幣供給；「寬鬆財政政策」通常指增加政府支出或減稅。

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解題方法

分別分析兩種政策對所得、利率、消費與投資的影響。

一、寬鬆貨幣政策

央行增加貨幣供給，使 LM 曲線右移。在金融市場正常運作下：

$$M\uparrow \Rightarrow r\downarrow$$

利率下降會刺激投資：

$$r\downarrow \Rightarrow I(r)\uparrow$$

投資增加使總需求上升，均衡所得增加：

$$I\uparrow \Rightarrow y\uparrow$$

所得增加又會帶動消費增加：

$$y\uparrow \Rightarrow C(y)\uparrow$$

因此，寬鬆貨幣政策會使消費與投資都增加。

二、寬鬆財政政策

以政府支出增加為例：

$$G\uparrow$$

商品市場總需求增加，使 IS 曲線右移，導致所得與利率上升：

$$G\uparrow \Rightarrow y\uparrow,\ r\uparrow$$

所得增加會使消費增加：

$$y\uparrow \Rightarrow C(y)\uparrow$$

但利率上升會造成投資減少：

本題主要考察短期菲利浦曲線（Phillips Curve）以及政府設定的通膨目標對失業率的影響。

短期菲利浦曲線描述了短期內通膨率與失業率之間的權衡關係。
給定的短期菲利浦曲線方程為：
$\pi_t = \pi_{t-1}^e - 4(u_t - u_n)$
其中：

• $\pi_t$ 是本期（t 期）的通貨膨脹率。
• $\pi_{t-1}^e$ 是預期的上期（t-1 期）通貨膨脹率。
• $u_t$ 是本期（t 期）的失業率。
• $u_n$ 是自然失業率（Natural Rate of Unemployment）。
• 係數 -4 表示在預期通膨和自然失業率不變的情況下，失業率每高於自然失業率一個百分點，通膨率將下降 4 個百分點。

核心觀念

本題考查總需求—總供給模型（AD–AS）與菲利普斯曲線（Phillips Curve）之間的對應關係。

• 短期總供給曲線（SAS）：反映物價水準與實質產出之間的關係。生產成本下降時，SAS 曲線右移。
• 短期菲利普斯曲線：反映通貨膨脹率與失業率之間的反向關係。若供給面改善，在相同失業率下通貨膨脹率較低，短期菲利普斯曲線左移。
• 總需求曲線（AD）：受到消費、投資、政府支出、淨出口及貨幣政策等因素影響。

判斷各選項時，應先辨認事件屬於「需求面變動」或「供給面變動」，再判斷 AD、SAS 與菲利普斯曲線的移動方向。

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解題方法

供給面改善通常具有以下連鎖效果：

$$\text{生產成本下降} \Rightarrow SAS\text{ 右移} \Rightarrow \text{產出增加、物價下降}$$

同時，成本下降會降低企業調高價格與工資的壓力，因此在相同失業率下，通貨膨脹率下降：

$$\text{供給面改善} \Rightarrow \text{短期 Phillips 曲線左移}$$

反之，供給面惡化會使 SAS 左移，並使短期菲利普斯曲線右移。

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選項分析

(a) 貨幣工資下降促使短期 SAS 曲線右移與 Phillips 曲線左移

正確。

貨幣工資下降會降低企業的勞動成本。在其他條件不變下，單位生產成本下降，企業願意在較低物價水準下供給相同數量的產品，因此短期總供給曲線右移。

$$W\downarrow \Rightarrow \text{生產成本}\downarrow \Rightarrow SAS\text{ 右移}$$

此外，工資成本下降也會降低通貨膨脹壓力，使相同失業率所對應的通貨膨脹率下降，因此短期菲利普斯曲線左移。

$$\text{工資成本}\downarrow \Rightarrow \pi\downarrow \Rightarrow Phillips\text{ 曲線左移}$$

所以本選項正確。

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(b) 出口競爭力提升，促使 AD 曲線左移與 Phillips 曲線右移

錯誤。

核心觀念

本題的核心考點為沉沒成本（Sunk Cost）與邊際分析（Marginal Analysis / Incremental Analysis）。

1. 沉沒成本（Sunk Cost）：過去已經發生且無法收回的支出。在進行前瞻性的經濟決策時，沉沒成本不應納入考量（Sunk costs are irrelevant to future decisions）。
2. 邊際決策準則（Marginal Decision Rule）：決策者評估一項後續行動是否值得執行，依據的是「繼續投入所帶來的預期新增收益（邊際利益 $MB$）」是否大於或等於「完成該項目尚需付出的新增支出（邊際成本 $MC$）」。

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解題方法與詳細推導

1. 成本結構拆解

• 原計畫總預算：100 億元
• 已發生支出：80 億元
  • 由於這 80 億元已經投入且無法收回，屬於沉沒成本，對後續決策不具相關性。
• 原計畫剩餘尚未投入之預算：$100\text{ 億} - 80\text{ 億} = 20\text{ 億元}$
• 預算追加金額：100 億元
• 建廠總成本增至：$80\text{ 億} + 20\text{ 億} + 100\text{ 億} = 200\text{ 億元}$

2. 完成建廠尚需投入之邊際成本（$MC$）

政府若選擇「繼續興建完工」，自當前時點起算，後續還必須支付的款項為：

• 原預算尚未支付的餘額：20 億元
• 新增追加的預算：100 億元

因此，完成核電廠的**增額成本（Incremental Cost）**為：

Coase 定理（Coase Theorem）是由經濟學家 Ronald Coase 提出的，主要在探討在某些條件下，外部性（externality）問題可以通過私人協商來有效解決，而無需政府干預。

定義：
Coase 定理指出，在交易成本為零（zero transaction costs）且財產權（property rights）被清晰界定（well-defined）的情況下，私人協商（private bargaining）能夠在外部性問題上達成有效率的結果，無論初始的財產權如何分配。換句話說，只要私人能夠自由協商，並且協商成本為零，那麼外部性的外部性問題（例如污染）的解決方案將會是有效率的，與最初的財產權歸屬無關。

核心要素：

1. 清晰界定的財產權： 必須明確誰擁有某項權利（例如，排污權、安靜權）。
2. 零交易成本： 協商、談判、監督和執行協議的成本必須為零。

定理的含義：

• 效率性： 在滿足上述條件時，市場機制可以自行達成效率性的結果，最大化社會總福利。
• 與初始財產權分配無關： 無論財產權最初是如何分配的，協商的結果都會是有效率的。財產權的分配只會影響結果的分配（例如，誰獲得補償，誰支付補償），但不會影響最終的資源配置效率。

舉例說明：

情境：工廠污染河流
假設有一個工廠（生產者）排放廢水污染了一條河流，影響了下游居民（消費者）的漁業活動。這是一個負外部性問題。

情況一：工廠擁有排污權（初始財產權歸工廠所有）

• 工廠可以自由排放廢水，因為它擁有排污權。
• 下游居民的漁業受到影響，遭受損失。
• 如果居民能夠與工廠協商，並且交易成本為零，居民可以提議支付給工廠一筆補償金，讓工廠減少排放。
• 居民願意支付的最高補償金是他們因污染所遭受的損失。
• 工廠願意接受補償金的最低金額是他們因減少排放所損失的利潤。
• 如果居民遭受的損失大於工廠因減少排放而損失的利潤，那麼他們會達成協議：居民支付補償金，工廠減少排放。最終結果是污染減少，漁業恢復，社會總福利增加。
• 如果居民遭受的損失小於工廠因減少排放而損失的利潤，那麼他們不會達成協議，工廠繼續排放。

核心觀念

本題考查消費者選擇與效用極大化問題，重點包括：

• Cobb-Douglas 效用函數：
  $U(x,y)=x^{1/2}y^{1/2}$
• 有限時間下的資源配置。
• Lagrange 法與一階條件。
• 由於效用函數對 $x$、$y$ 均為遞增函數，準備時間必定全部用完。

令準備經濟學的時間為 $t_x$，準備會計學的時間為 $t_y$，則：

$x=5t_x,\qquad y=10t_y$

時間限制為：

$t_x+t_y\leq 12,\qquad t_x,t_y\geq 0$

將時間限制改寫為成績限制：

$\frac{x}{5}+\frac{y}{10}\leq 12,\qquad x,y\geq 0$

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解題方法：建立最適化問題

系編的最適化問題為：

$$\max_{x,y} \quad U(x,y)=x^{1/2}y^{1/2}$$

受限於：

$$\frac{x}{5}+\frac{y}{10}\leq 12,\qquad x,y\geq 0$$

因為增加任何一科成績都會提高效用，因此最適解會使時間限制恰好成立：

$$\frac{x}{5}+\frac{y}{10}=12$$

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Lagrange 法求解

定義 Lagrangian 為：

$$\mathcal{L} =x^{1/2}y^{1/2} +\lambda\left(12-\frac{x}{5}-\frac{y}{10}\right)$$

其中 $\lambda$ 是時間限制的 Lagrange 乘數。

一階條件

對 $x$ 微分：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} =\frac{1}{2}x^{-1/2}y^{1/2}-\frac{\lambda}{5}=0$$

因此：

$$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{\lambda}{5}$$

對 $y$ 微分：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} =\frac{1}{2}x^{1/2}y^{-1/2}-\frac{\lambda}{10}=0$$

因此：

$$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\lambda}{10}$$

對 $\lambda$ 微分：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} =12-\frac{x}{5}-\frac{y}{10}=0$$

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求解最適成績比例

將兩個邊際條件相除：

本題考察完全競爭市場的短期和長期均衡分析，以及廠商的成本函數和市場需求函數。

基本概念：

• 完全競爭市場 (Perfect Competition): 許多買者和賣者，產品同質，資訊完全，廠商為價格接受者。
• 成本函數 (Cost Function): $TC(q) = 32.4 + 5q + 0.1q^2$。
  • 固定成本 (Fixed Cost, FC) = 32.4
  • 變動成本 (Variable Cost, VC) = $5q + 0.1q^2$
  • 邊際成本 (Marginal Cost, MC) = $\frac{dTC}{dq} = 5 + 0.2q$
  • 平均總成本 (Average Total Cost, ATC) = $\frac{TC}{q} = \frac{32.4}{q} + 5 + 0.1q$
  • 平均變動成本 (Average Variable Cost, AVC) = $\frac{VC}{q} = 5 + 0.1q$
• 市場需求函數 (Market Demand Function): $Q = 7500 - 500P$。
  • 反需求函數 (Inverse Demand Function): $P = \frac{7500 - Q}{500} = 15 - 0.002Q$。
• 長期均衡： 在完全競爭市場的長期，廠商會進入或退出市場，直到利潤為零。此時，價格 $P$ 等於最低平均總成本 (min ATC)。

a) 完全競爭市場下的短期均衡：

在完全競爭市場中，廠商是價格接受者，市場價格 $P$ 由市場供需決定。廠商的短期供給曲線是其邊際成本曲線（MC）在平均變動成本（AVC）之上的一部分。
廠商的利潤最大化條件是 $P = MC$。

首先，我們需要找到市場的總供給曲線。
由於有 100 家網紅，且生產的魅力都相同，我們可以假設每家網紅的短期供給函數（由 MC 決定）是相同的。
假設每家網紅的產量為 $q_i$，市場總產量為 $Q = \sum_{i=1}^{100} q_i = 100q$ （因為所有 $q_i$ 都相同）。
廠商的 MC 為 $MC = 5 + 0.2q$。
在短期均衡時，廠商會根據市場價格 $P$ 來決定其產量 $q$，使得 $P = MC$。
所以，$P = 5 + 0.2q$。
反過來，廠商的供給函數是 $q = \frac{P-5}{0.2} = 5(P-5)$。

市場總供給函數 $Q = 100q = 100 \times 5(P-5) = 500(P-5) = 500P - 2500$。

現在，我們將市場需求函數與市場總供給函數聯立，求解市場均衡價格 $P$ 和總產量 $Q$。
市場需求：$Q = 7500 - 500P$
市場供給：$Q = 500P - 2500$

聯立兩式：
$7500 - 500P = 500P - 2500$
$7500 + 2500 = 500P + 500P$
$10000 = 1000P$
$P = 10$。

市場均衡價格 $P = 10$。

核心觀念

本題考查：

• 賽局理論中的償付矩陣
• 優勢策略（dominant strategy）
• 納許均衡（Nash equilibrium）
• 伯雷托最適（Pareto optimal）

償付矩陣中，每一格以 $(阿國得分, 阿民得分)$ 表示。優勢策略是指：無論對手採取何種策略，該策略都能帶來較高償付。納許均衡則是指，在其他玩家策略既定下，任何一方都沒有誘因單獨改變策略。

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(a) 償付矩陣

令：

• 高招為 $H$
• 賤招為 $L$

以阿國為列玩家、阿民為欄玩家，償付矩陣如下：

	阿民：高招 $H$	阿民：賤招 $L$
阿國：高招 $H$	$(7,3)$	$(2,2)$
阿國：賤招 $L$	$(9,1)$	$(6,4)$

例如，阿國出賤招、阿民出高招時，償付為 $(9,1)$，表示阿國得 $9$ 分、阿民得 $1$ 分。

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(b) 優勢策略

阿國的策略

比較阿國在不同情況下的得分：

1. 若阿民出高招：

$$\text{阿國出高招得 }7\text{ 分}$$ $$\text{阿國出賤招得 }9\text{ 分}$$

因此，阿國選擇賤招較有利。

2. 若阿民出賤招：

$$\text{阿國出高招得 }2\text{ 分}$$ $$\text{阿國出賤招得 }6\text{ 分}$$

阿國仍然選擇賤招較有利。

由於無論阿民選擇何種策略，阿國出賤招都能獲得較高分數，因此：

$$\boxed{\text{阿國的嚴格優勢策略為賤招}}$$

阿民的策略

比較阿民在不同情況下的得分：

1. 若阿國出高招：

$$\text{阿民出高招得 }3\text{ 分}$$ $$\text{阿民出賤招得 }2\text{ 分}$$

此時阿民偏好高招。

2. 若阿國出賤招：

$$\text{阿民出高招得 }1\text{ 分}$$ $$\text{阿民出賤招得 }4\text{ 分}$$

此時阿民偏好賤招。

阿民的最佳策略會隨阿國的策略而改變，因此沒有單一的優勢策略。

$$\boxed{\text{阿民沒有優勢策略}}$$

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(c) 納許均衡

因為阿國具有嚴格優勢策略，所以納許均衡中阿國必定選擇賤招。

接著觀察阿民在阿國選擇賤招時的最佳反應：

• 阿民出高招，得 $1$ 分
• 阿民出賤招，得 $4$ 分

因此，阿民會選擇賤招。

所以納許均衡為：

$$\boxed{(\text{阿國賤招},\text{阿民賤招})}$$

其償付為：

$$\boxed{(6,4)}$$

直接逐格檢查亦可驗證：