108 年 國立成功大學環境工程學系碩士班甲組《衛生工程》

本題為概念題，主要測試考生對衛生工程中幾個重要名詞的理解與應用。

(1) 非平衡態地下水流動方程式 (Non-equilibrium Equation for Groundwater Hydraulics)
非平衡態地下水流動方程式，也稱為瞬時地下水流動方程式 (transient flow equation)，用於描述地下水含水層中，水位隨時間變化的流動情況。在穩態流動中，含水層的水位不隨時間改變；但在抽水或回補過程中，水位會不斷變化，此時便需要使用非平衡態方程式。
最廣泛使用的非平衡態方程式是 Theis 方程式，它是基於以下假設推導出來的：
a. 含水層為均質、等向性、無限延伸的孔隙介質。
b. 含水層為均質的儲水層 (confining bed)，其儲水係數 (storage coefficient, S) 是常數。
c. 抽水井為一維直線井 (line source)，且抽水率 (Q) 為定值。
d. 水是無壓縮性的，且含水層的變形很小。
Theis 方程式的數學形式為：
$s(r,t) = \frac{Q}{4\pi T} W(u)$
其中：
$s(r,t)$：距離抽水井 $r$ 處、時間 $t$ 時的降深 (drawdown)。
$Q$：抽水率 (volume/time)。
$T$：含水層的透水係數 (transmissivity, $K b$，其中 $K$ 為水平導水係數， $b$ 為含水層厚度)。
$W(u)$：Theis 積分函數，稱為「庫普曼函數」(well function)。
$u$：無因次參數，定義為 $u = \frac{r^2 S}{4 T t}$，其中 $S$ 為儲水係數， $t$ 為抽水時間。

此方程式的精髓在於引入了「庫普曼函數」$W(u)$，該函數描述了瞬時流動的特性。當時間 $t$ 趨近於無限大時，$u$ 趨近於零，$W(u)$ 趨近於 $-\ln(u)$，此時 Theis 方程式近似於穩態流動的 Theis 穩態方程式 (Theis steady-state equation)。

(2) 抽水機的「氣蝕」現象 (Cavitation in Pumping)
氣蝕是指在泵浦流體過程中，當流體壓力下降到其蒸氣壓以下時，會在流體中形成氣泡（蒸氣泡）的現象。這些氣泡在壓力較高的區域（如泵輪的出口處）會突然破裂，產生衝擊波，對泵浦的葉輪、殼體等零件造成損壞，並伴隨有異常的噪音和振動。
氣蝕發生的主要原因是在泵浦的吸入口或葉輪內部，由於流體加速和壓力損失，導致局部壓力降低。當此壓力低於流體的蒸氣壓時，就會發生氣蝕。

如何最小化氣蝕：
a. 提高吸入壓力 (NPSHa)：

• 提高液面高度：確保液體在泵浦入口的靜水壓力足夠。
• 降低泵浦的安裝高度：將泵浦盡量靠近液體源。
• 減少吸入管路的阻力損失：使用較大口徑的吸入管，減少彎頭、閥門等配件，並保持管路清潔。
• 確保吸入管路無洩漏。
  b. 選擇合適的泵浦：
• 選擇具有較高淨正吸入揚程 (NPSHr) 的泵浦。
• 泵浦的類型和設計也會影響氣蝕的發生，例如離心泵的葉輪設計。
  c. 降低流體溫度：流體溫度越高，蒸氣壓越高，越容易發生氣蝕。
  d. 穩定操作條件：避免泵浦在低流量或超過其最佳效率點附近操作，因為這些操作條件可能導致較低的吸入壓力。

核心觀念

本題考查河川受污後的氧垂曲線（oxygen sag curve），以 Streeter–Phelps 模型求：

1. 廢水與河水混合後的初始終極 BOD。
2. 混合後的初始溶氧與氧虧。
3. 氧虧隨時間的變化。
4. 臨界時間、最低溶氧及其發生距離。

氧虧定義為

$$D=D_{\mathrm{sat}}-\mathrm{DO}$$

其中 $D_{\mathrm{sat}}$ 為飽和溶氧量。

---

解題方法

1. 求混合後的流量

$$Q=Q_w+Q_r=0.3+0.9=1.2\ \mathrm{m^3/s}$$

下標 $w$ 代表廢水，$r$ 代表河水。

2. 求混合後的終極 BOD

以流量加權平均：

$$L_0= \frac{Q_wL_w+Q_rL_r}{Q_w+Q_r}$$

代入數值：

$$L_0= \frac{(0.3)(6.4)+(0.9)(7.0)}{1.2} =6.85\ \mathrm{mg/L}$$

3. 求混合後的初始 DO 與氧虧

混合後初始溶氧為

$$\mathrm{DO}_0= \frac{Q_w\mathrm{DO}_w+Q_r\mathrm{DO}_r}{Q_w+Q_r}$$ $$\mathrm{DO}_0= \frac{(0.3)(1.0)+(0.9)(6.0)}{1.2} =4.75\ \mathrm{mg/L}$$

因此，混合點的初始氧虧為

$$D_0=D_{\mathrm{sat}}-\mathrm{DO}_0 =8.0-4.75 =3.25\ \mathrm{mg/L}$$

4. 建立氧虧方程式

Streeter–Phelps 氧虧方程式為

$$D(t)= \frac{k_1L_0}{k_2-k_1} \left(e^{-k_1t}-e^{-k_2t}\right) +D_0e^{-k_2t}$$

本題中：

$$k_1=0.20\ \mathrm{d^{-1}},\qquad k_2=0.37\ \mathrm{d^{-1}}$$

先計算：

$$A=\frac{k_1L_0}{k_2-k_1} =\frac{(0.20)(6.85)}{0.37-0.20} =8.0588\ \mathrm{mg/L}$$

因此

$$D(t)=8.0588e^{-0.20t} -4.8088e^{-0.37t}$$

5. 求最低 DO 發生的臨界時間

最低 DO 等同於最大氧虧，因此令

$$\frac{dD}{dt}=0$$

可得臨界時間公式：

$$t_c= \frac{1}{k_2-k_1} \ln\left[ \frac{k_2}{k_1} \left( 1-\frac{D_0(k_2-k_1)}{k_1L_0} \right) \right]$$

代入：

核心觀念

本題考查河川流量與用水需求的「水量平衡」及「蓄水庫容量設計」。

每日水量盈餘或不足為

$$\Delta Q_i=I_i-D$$

其中：

• $I_i$：第 $i$ 月河川平均日流入量
• $D$：每日用水需求量，本題為 $380{,}000\ \text{m}^3/\text{day}$
• $\Delta Q_i>0$：當月有盈餘，可蓄存
• $\Delta Q_i<0$：當月有不足，須由水庫供水

判斷全年水資源是否足夠，須比較全年總流入量與全年總需求量；判斷是否需要水庫，則須檢查各月份是否存在流入量低於需求量的情形。

---

解題方法

題目未指定每月天數，依水文工程題目的標準假設，採每月 $30$ 日計算。

每日需求量為

$$D=380{,}000\ \text{m}^3/\text{day}$$

將各月流入量減去需求量，並計算累積盈虧。下表單位以 $10^3\ \text{m}^3/\text{day}$ 表示：

月份	流入量 $I$	淨水量 $I-D$	累積淨水量
F	640	+260	260
M	590	+210	470
A	440	+60	530
M	160	−220	310
J	140	−240	70
J	200	−180	−110
A	300	−80	−190
S	350	−30	−220
O	450	+70	−150
N	490	+110	−40
D	570	+190	150
J	680	+300	450

---

全年水資源是否足夠

全年流入量總和為

$$\sum I_i = 640{,}000+590{,}000+\cdots+680{,}000 = 5{,}010{,}000$$

由於每月均以 $30$ 日計算，全年總流入量為

$$V_{\text{in}} = 5{,}010{,}000\times 30 = 150{,}300{,}000\ \text{m}^3$$

全年用水需求量為

$$V_{\text{demand}} = 380{,}000\times 12\times 30 = 136{,}800{,}000\ \text{m}^3$$

全年水量盈餘為

$$V_{\text{surplus}} = 150{,}300{,}000-136{,}800{,}000 = 13{,}500{,}000\ \text{m}^3$$

本題考驗對膠體雙電層結構及表面電位的理解。

膠體周圍的電解質離子分佈：
當一個膠體顆粒帶有正電荷時，在電解質溶液中，它會吸引溶液中的陰離子 (anions) 到其表面附近，同時排斥陽離子 (cations)。

• 表面層 (Stern Layer / Compact Layer): 在緊鄰膠體表面的一層，陰離子會被靜電吸引並吸附在表面，形成一層緊密的、帶負電的離子層。這層離子是高度有序且緊密結合的。
• ** the diffuse layer (Gouy-Chapman Layer):** 在 Stern Layer 之外，是一層較為疏鬆的離子分佈區，稱為擴散層。在這裡，溶液中的陰離子濃度高於陽離子濃度，整體上呈現負電性，但電荷密度隨著距離膠體表面增加而逐漸減小，最終趨近於溶液的整體電中性。
• 總體而言： 膠體表面帶正電，吸引陰離子形成負電荷層，但同時溶液中仍有陽離子，整體溶液保持電中性。

繪圖表示：

1. 膠體顆粒 (Colloid Particle): 畫一個圓形或球形代表膠體顆粒，並標示其表面帶正電荷 (+)。
2. 離子分佈：
   • 在膠體表面緊鄰處，畫較多帶負電荷 ( - ) 的陰離子，表示 Stern Layer。
   • 在 Stern Layer 外圍，畫出擴散層，此區域陰離子 (-) 數量仍多於陽離子 (+)，但濃度隨距離增加而降低。
   • 離膠體表面較遠處，陽離子 (+) 和陰離子 (-) 的濃度趨於相等，整體呈電中性。

膠體表面電位變化：
膠體表面的電位 (electrostatic potential, $\phi$) 隨距離的變化與離子分佈密切相關。

• 表面電位 ($\phi_0$): 膠體表面本身的電位，由於顆粒帶正電荷，表面電位為正值。
• Stern 電位 ($\phi_d$): 緊鄰 Stern Layer 邊界處的電位，通常略低於表面電位，但仍為正值。
• Zeta 電位 ($\zeta$): 擴散層的邊界處，即液體剪切面 (shear plane) 的電位。Zeta 電位是判斷膠體穩定性的重要指標。

本題考驗計算沉砂池的溢流率 (Overflow Rate) 和滯留時間 (Detention Time)。

已知條件：

• 沉砂池直徑 (Diameter, $D$) = 24 m
• 水深 (Water depth, $H$) = 2.3 m
• 進流水量 (Flow rate, $Q$) = 10,000 m³/day

1. 計算沉砂池的表面積 (Surface Area, $A$):
沉砂池通常是圓形或方形。此題給予直徑，故為圓形。
$A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (24 \, m)^2}{4} = \frac{\pi \times 576 \, m^2}{4} = 144\pi \, m^2 \approx 452.39 \, m^2$

2. 計算溢流率 (Overflow Rate, OR):
溢流率是指單位表面積在單位時間內處理的水量。
$OR = \frac{Q}{A}$
$OR = \frac{10,000 \, m^3/day}{452.39 \, m^2} \approx 22.10 \, m/day$

核心觀念

本題利用 Kozeny–Carman 床層阻力關係，計算過濾初期，濾砂尚未截留大量懸浮固體時的水頭損失。主要步驟包括：

1. 由累積粒徑分析求濾砂代表粒徑。
2. 將過濾率換算為表面流速。
3. 代入濾床水頭損失公式。

題目給定：

• 濾床厚度：$L=0.5\ \text{m}$
• 過濾率：$v=2\ \text{L}/\text{m}^2\cdot\text{s}=0.002\ \text{m/s}$
• 孔隙率：$\epsilon=0.3$
• 顆粒球形度：$\Psi=0.8$
• 動黏度：$\nu=1.306\times10^{-6}\ \text{m}^2/\text{s}$
• $k=5$

符合量綱的公式為

$$\frac{h}{L} = \frac{36k\nu v(1-\epsilon)^2} {g\epsilon^3\Psi^2d^2}$$

其中 $d$ 為濾砂代表粒徑。

解題方法：求代表粒徑

累積百分比相鄰兩點之差，可得到各粒徑區間所占比例：

粒徑區間（mm）	重量百分比	區間代表粒徑（mm）
$0.87\sim1.00$	$10\%$	$0.935$
$0.80\sim0.87$	$20\%$	$0.835$
$0.73\sim0.80$	$20\%$	$0.765$
$0.66\sim0.73$	$20\%$	$0.695$
$0.54\sim0.66$	$20\%$	$0.600$
$0.48\sim0.54$	$10\%$	$0.510$

以各區間中點作加權平均，代表粒徑為