109 年 國立成功大學環境工程學系碩士班甲組《衛生工程》

(1) 影響地表逕流係數 (runoff coefficient) 的因素眾多，主要可歸納為以下五項：

1. 土地利用與覆蓋物 (Land Use and Cover)：不同的土地利用方式，如綠地、建築物、道路、裸露地等，對逕流的影響不同。不透水面積比例越高，逕流係數越高。
2. 土壤特性 (Soil Characteristics)：土壤的滲透性、孔隙度、飽和度等會影響水分的入滲。滲透性好的土壤，逕流係數較低。
3. 降雨強度與持續時間 (Rainfall Intensity and Duration)：降雨強度越大、持續時間越長，土壤越容易達到飽和，入滲能力下降，導致逕流增加。
4. 坡度 (Slope)：坡度越陡峭，地表水流速度越快，滲入土壤的時間越短，逕流量越多，逕流係數越高。
5. 前期濕潤度 (Antecedent Moisture Conditions)：在降雨發生前，土壤的濕潤程度會影響其後續的入滲能力。土壤越濕潤，入滲能力越差，逕流係數越高。

(2) 題幹所提供的圖為 Log[Al(OH)₃ⁿ⁻ʸ] 對 pH 的關係圖，其中顯示了不同形態的鋁離子 (Al³⁺, Al(OH)₂⁺, Al(OH)₂, Al(OH)₃, Al(OH)₄⁻) 在水中的溶解度隨 pH 變化的趨勢。在混凝沉澱的過程中，我們希望使用的混凝劑能形成具有良好絮凝效果的膠質沉澱物，通常是 Al(OH)₃。從圖中可以看出，Al(OH)₃ 的溶解度在 pH 約 5-7 之間最低，這表示在此 pH 範圍內，Al(OH)₃ 的沉澱量最多。因此，利用明礬 (alum) 進行混凝處理時，最佳的 pH 值大約落在 5 到 7 之間。在這個 pH 範圍內，明礬水解產生的 Al(OH)₃ 膠質沉澱物最為豐富，能有效吸附水中的懸浮物和膠質粒子，達到淨化水質的目的。

(3) 理想沉砂池 (ideal sedimentation tank) 的假設條件主要包含以下幾點：

1. 均勻流動 (Uniform Flow)：水流進入沉砂池後，在整個池體內呈均勻的水平流動，沒有死角或短流。
2. 無短路或再循環 (No Short-circuiting or Recirculation)：水流不會繞過沉砂池的部分區域直接流出（短路），也沒有水流在池內循環。
3. 無沉澱物再懸浮 (No Scouring or Resuspension of Settled Solids)：已沉降的顆粒不會因為水流的擾動而被重新捲起。
4. 顆粒沉降獨立性 (Independent Settling of Particles)：水中顆粒的沉降過程不受其他顆粒的影響，每個顆粒都按照其自身的沉降速率獨立沉降。
5. 顆粒大小與密度均勻 (Uniform Particle Size and Density)：池內所有待去除的顆粒具有相同的粒徑和密度，以便於計算沉降速率。
6. 無溫度或密度梯度 (No Temperature or Density Gradients)：池內水溫均勻，沒有因密度差異造成的水流分層。
7. 進流水質穩定 (Steady Influent Characteristics)：進流水中的污染物濃度、顆粒特性（大小、密度）等保持穩定。

(4) 影響飲用水消毒效率的因素主要有以下幾點：

1. 消毒劑種類與濃度 (Type and Concentration of Disinfectant)：不同的消毒劑（如氯、氯胺、二氧化氯、臭氧、紫外線）具有不同的殺菌機制和效率。消毒劑的濃度越高，殺菌效果越好，但過高濃度可能產生不良副產物。
2. 接觸時間 (Contact Time)：消毒劑與微生物接觸的時間越長，殺菌效果越好。通常以 ct 值（消毒劑濃度 × 接觸時間）來衡量。
3. 水質因素 (Water Quality Factors)：
   • pH 值：pH 值會影響某些消毒劑（如次氯酸）的有效形態和殺菌能力。
   • 溫度：較高的水溫通常會加速消毒劑的殺菌反應。
   • 懸浮固體與有機物：水中的懸浮物和有機物會消耗消毒劑，形成保護層，降低消毒劑與微生物的接觸效率。

此題考驗生化需氧量 (BOD) 的計算與廢水處理廠去除率的評估。

解題步驟：

1. 計算未處理污水 (Untreated sewage) 的 BOD
   BOD 的計算公式為：
   $\text{BOD} = \frac{(D_1 - D_2) \times (V_w + V_d)}{V_w}$
   其中：

   • $D_1$ = 稀釋後水樣的初期溶氧 (Initial D.O. in diluted sample) (mg/L)
   • $D_2$ = 稀釋後水樣的期末溶氧 (Final D.O. in diluted sample) (mg/L)
   • $V_w$ = 水樣體積 (Volume of wastewater sample) (mL)
   • $V_d$ = 稀釋用水體積 (Volume of dilution water) (mL)

   對於未處理污水：

   • $D_1 = 6.0$ mg/L
   • $D_2 = 2.0$ mg/L
   • $V_w = 5$ mL
   • $V_d = 295$ mL

   計算：
   $\text{BOD}_{\text{untreated}} = \frac{(6.0 - 2.0) \text{ mg/L} \times (5 \text{ mL} + 295 \text{ mL})}{5 \text{ mL}}$
   $\text{BOD}_{\text{untreated}} = \frac{4.0 \text{ mg/L} \times 300 \text{ mL}}{5 \text{ mL}} = \frac{1200}{5} \text{ mg/L} = 240 \text{ mg/L}$

2. 計算處理後污水 (Treated sewage) 的 BOD
   對於處理後污水：

   • $D_1 = 9.0$ mg/L
   • $D_2 = 4.0$ mg/L
   • $V_w = 15$ mL

此題考驗混凝反應中，明礬 (alum) 與水中的鹼度 (alkalinity) 或蘇打灰 (soda ash) 反應的化學計量計算。

核心觀念：
混凝反應中，明礬 Al₂(SO₄)₃ 會水解產生 H⁺ 離子，降低水的 pH 值。為了維持反應的 pH 值在適當範圍，需要消耗水中的鹼度（通常以 CaCO₃ 表示）來中和這些 H⁺ 離子，或額外添加鹼性物質如蘇打灰 (Na₂CO₃)。

已知資訊：

• 明礬化學式：Al₂(SO₄)₃·14.3 H₂O
• 明礬分子量：599.4 g/mol
• 蘇打灰化學式：Na₂CO₃
• 鈉 (Na) 的原子量：23 g/mol
• 計算目標：1.0 mg/L 明礬所需的鹼度 (以 CaCO₃ 表示) 和蘇打灰 (Na₂CO₃) 的量。

步驟一：推導明礬水解與鹼度反應的化學計量

明礬在水中水解的主要反應可以簡化為：
Al₂(SO₄)₃ + 6H₂O → 2Al³⁺ + 6HSO₄⁻
Al³⁺ + 3H₂O → Al(OH)₃(s) + 3H⁺

綜合起來，明礬的水解反應消耗鹼度並產生 H⁺：
Al₂(SO₄)₃ + 6H₂O → 2Al(OH)₃(s) + 6H⁺ + 6SO₄²⁻
（注意：此為簡化表示，實際水解過程更複雜，但此式能代表消耗鹼度和產生酸性的效果）

而鹼度（以 CaCO₃ 表示）中和 H⁺ 的反應為：
CaCO₃ + 2H⁺ → Ca²⁺ + H₂O + CO₂
或者，若以碳酸根離子 (CO₃²⁻) 為主，則為：
CO₃²⁻ + 2H⁺ → H₂O + CO₂

從上述反應式可以看出，1 mol 的 Al₂(SO₄)₃ 水解會產生 6 mol 的 H⁺ 離子。
為了中和這 6 mol 的 H⁺ 離子，需要 3 mol 的 CO₃²⁻ (來自 CaCO₃ 或 Na₂CO₃)。
因此，明礬與鹼度的莫耳比為：
1 mol Al₂(SO₄)₃ : 3 mol CO₃²⁻

步驟二：計算所需鹼度 (以 CaCO₃ 表示)

1. 計算明礬 (Al₂(SO₄)₃·14.3 H₂O) 的分子量：題目已給 599.4 g/mol。
2. 計算硫酸鋁 (Al₂(SO₄)₃) 的分子量：
   Al 原子量 ≈ 27 g/mol
   S 原子量 ≈ 32 g/mol
   O 原子量 ≈ 16 g/mol
   Al₂(SO₄)₃ 分子量 = 2 * 27 + 3 * (32 + 4 * 16) = 54 + 3 * (32 + 64) = 54 + 3 * 96 = 54 + 288 = 342 g/mol。
   （注意：題目給的 599.4 g/mol 是含結晶水的明礬，但化學反應主要涉及 Al₂(SO₄)₃ 部分。若題目強調是 Al₂(SO₄)₃·14.3 H₂O，則應使用 599.4 g/mol。但通常計算鹼度消耗時，是以無水鹽 Al₂(SO₄)₃ 的莫耳數來計算，因為結晶水不參與反應。我們假設題目意指 1.0 mg/L 的 Al₂(SO₄)₃，但若題目明確指是含水明礬，則需確認反應式是否包含結晶水。一般情況下，反應式以 Al₂(SO₄)₃ 為主。為求精確，我們使用題目給的含水明礬分子量 599.4 g/mol 來計算莫耳數，但反應消耗的 H⁺ 離子是來自 Al₂(SO₄)₃ 的水解。
   修正假設： 題目給的是 Al₂(SO₄)₃·14.3 H₂O，分子量 599.4 g/mol。我們計算 1.0 mg 的明礬中含有多少莫耳的 Al₂(SO₄)₃。
   1 mol Al₂(SO₄)₃·14.3 H₂O 含有 1 mol Al₂(SO₄)₃。
   所以 599.4 g Al₂(SO₄)₃·14.3 H₂O 相當於 342 g Al₂(SO₄)₃。
   1.0 mg Al₂(SO₄)₃·14.3 H₂O 相當於 $1.0 \text{ mg} \times \frac{342 \text{ g/mol}}{599.4 \text{ g/mol}} \approx 0.5706 \text{ mg Al₂(SO₄)₃}$。
   但更常見的寫法是直接使用 Al₂(SO₄)₃·14.3 H₂O 的莫耳質量來計算莫耳數，因為它代表了「一份」明礬。
   所以，1.0 mg 的 Al₂(SO₄)₃·14.3 H₂O 的莫耳數為：

核心觀念

本題考查承壓含水層在穩定抽水狀態下的徑向流動，使用 Thiem 穩定流公式：

$$s(r)=\frac{Q}{2\pi T}\ln\left(\frac{R}{r}\right)$$

其中：

• $s(r)$：距抽水井 $r$ 處的降深
• $Q$：抽水率
• $T$：含水層傳導係數，單位為 $\mathrm{m^2/min}$
• $R$：影響半徑或任意共同參考半徑

以兩口觀測井相減，可消去未知的 $R$：

$$s_1-s_2=\frac{Q}{2\pi T}\ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$$

已知：

$$r_1=20\ \mathrm{m},\qquad s_1=16\ \mathrm{m}$$ $$r_2=100\ \mathrm{m},\qquad s_2=5\ \mathrm{m}$$

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解題方法

（1）求含水層傳導係數 $T$

由兩觀測井資料：

$$s_1-s_2 = \frac{Q}{2\pi T} \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$$

代入數值：

$$16-5 = \frac{20}{2\pi T} \ln\left(\frac{100}{20}\right)$$

因此：

$$11= \frac{20}{2\pi T}\ln 5$$

整理得：

$$T=\frac{20\ln 5}{2\pi(11)}$$

計算：

$$T=\frac{20(1.6094)}{2\pi(11)} \approx 0.466\ \mathrm{m^2/min}$$

所以：

$$\boxed{T\approx 0.466\ \mathrm{m^2/min}}$$

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（2）求抽水井井壁降深 $s_w$

此小題表示抽水率 $Q$ 未知，因此不能直接使用 $T$ 或 $Q$ 個別計算；但可利用兩觀測井資料求出比例：

此題考驗沉澱池設計，包含計算沉降速率 (settling velocity) 以確定設計的溢流率 (overflow rate)，以及根據流量和停留時間設計沉澱池的尺寸。

核心觀念：
沉澱池的設計目標是使水中顆粒的沉降速率大於或等於沉澱池的溢流率，這樣才能確保顆粒在水中停留足夠的時間而被有效沉澱去除。

已知資訊：

• 要去除的顆粒大小 (粒徑) $d_p = 0.00075$ m
• 顆粒密度 $\rho_p = 1001$ kg/m³
• 水的密度 $\rho = 1000$ kg/m³ (假設在 25°C)
• 水的黏滯係數 $\mu = 0.89 \times 10^{-3}$ kg/m·s (在 25°C)
• 重力加速度 $g = 9.8$ m/s²
• 流量 $Q = 6000$ CMD (m³/day)
• 停留時間 $t = 3$ hours

第一部分：計算能完全去除顆粒的溢流率

要完全去除顆粒，沉澱池的溢流率 (Surface Overflow Rate, SOR) 必須等於或大於該顆粒的沉降速率 (settling velocity, $v_s$)。
沉降速率可由斯托克斯定律 (Stokes' Law) 計算，但首先需確認顆粒是否處於層流區 (laminar flow region)。
斯托克斯定律適用於顆粒在流體中做層流沉降的情況。

$v_s = \frac{g (\rho_p - \rho) d_p^2}{18 \mu}$

將已知數據代入計算：
$v_s = \frac{(9.8 \text{ m/s²}) \times (1001 \text{ kg/m³} - 1000 \text{ kg/m³}) \times (0.00075 \text{ m})^2}{18 \times (0.89 \times 10^{-3} \text{ kg/m·s})}$
$v_s = \frac{9.8 \times 1 \times (5.625 \times 10^{-7} \text{ m²})}{1.602 \times 10^{-2} \text{ kg/m·s}}$
$v_s = \frac{5.5125 \times 10^{-6}}{1.602 \times 10^{-2}}$ m/s
$v_s \approx 3.44 \times 10^{-4}$ m/s

單位換算：
題目要求溢流率單位為 m/day。
$v_s = 3.44 \times 10^{-4} \text{ m/s} \times (60 \text{ s/min}) \times (60 \text{ min/hr}) \times (24 \text{ hr/day})$
$v_s = 3.44 \times 10^{-4} \times 86400 \text{ m/day}$
$v_s \approx 29.72$ m/day

檢查層流條件：
為了確保斯托克斯定律的適用性，我們需要檢查雷諾數 (Reynolds number, Re)。
$Re = \frac{\rho v_s d_p}{\mu}$
$Re = \frac{(1000 \text{ kg/m³}) \times (3.44 \times 10^{-4} \text{ m/s}) \times (0.00075 \text{ m})}{0.89 \times 10^{-3} \text{ kg/m·s}}$
$Re = \frac{0.258}{0.89 \times 10^{-3}} \approx 290$

通常，當 Re < 1 時，斯托克斯定律完全適用；當 Re < 1000 時，可以近似使用。這裡 Re ≈ 290，雖然不是非常小，但尚可接受。

此題考驗消毒設計，特別是利用 ct 值來計算消毒反應器（或稱消毒室、消毒接觸槽）的尺寸。

核心觀念：
消毒反應器需要提供足夠的接觸時間 (t) 和足夠的消毒劑濃度 (C)，以達到所需的殺菌效果。ct 值是消毒劑濃度與接觸時間的乘積，是衡量消毒效果的關鍵指標。

已知資訊：

• 所需的 ct 值 (C·t)：6 mg/L·min (代表 99.99% 的病原體去除率)
• 殘留氯濃度 (C)：0.6 mg/L
• 水流速率 (Q)：2 m³/min

解題步驟：

1. 計算所需的接觸時間 (t)
   ct 值的定義為：
   $ct = C \times t$
   我們已知 ct 值和 C，可以計算出所需的接觸時間 t。
   $t = \frac{ct}{C}$
   $t = \frac{6 \text{ mg/L·min}}{0.6 \text{ mg/L}}$
   $t = 10 \text{ min}$

   這表示水流在消毒反應器中必須停留至少 10 分鐘，才能達到 99.99% 的病原體去除率。

2. 計算消毒反應器的體積 (V)
   消毒反應器的體積等於水流速率乘以接觸時間。
   $V = Q \times t$
   我們需要確保單位一致。Q 的單位是 m³/min，t 的單位是 min。
   $V = (2 \text{ m³/min}) \times (10 \text{ min})$
   $V = 20 \text{ m³}$

   消毒反應器的體積是 20 m³。