111 年 國立成功大學環境工程學系碩士班甲組《衛生工程》

此題為申論題，主要在測試考生對台灣水資源管理、水庫效益評估、水力學系統、混凝沉澱原理、膠體化學及過濾原理的了解程度。

(1) 台灣水資源管理的挑戰：
台灣地處亞熱帶，降雨量充沛，但地形陡峭、河川短促，加上降雨季節分布不均（豐水期與枯水期差異大）、降雨強度高易致豪雨成災，以及地狹人稠、土地利用衝突等因素，導致水資源的時空分布極不均勻。主要挑戰包括：

• 豐枯懸殊與季節性缺水：夏季颱風帶來大量降雨，但常伴隨淹水；冬季及春季則常有枯旱。
• 水源開發受限：可供開發的新水源地有限，且多數河川上游已被劃設為保護區，開發受限。
• 水質污染：工業、農業及生活污水排放，對既有水源造成不同程度的污染，增加淨水處理成本與難度。
• 土地利用與環境保育衝突：水庫集水區的開發與利用常與環境保育、土地利用規劃發生衝突。
• 氣候變遷影響：極端氣候事件（如乾旱、強降雨）頻率增加，對水資源供需穩定性構成威脅。
• 地下水超抽：部分地區過度抽取地下水，導致地層下陷、海水入侵等問題。
• 水管漏損：老舊供水管網的漏損率偏高，造成水資源的浪費。

(2) 評估建庫儲水之必要性：
評估是否需要興建水庫儲存河川水源，主要從供需平衡、經濟效益、環境影響及社會接受度等多方面考量。步驟如下：

• 水文分析與供需預測：
  • 分析區域歷史降雨、河川流量數據，預測未來氣候變遷下的供水潛勢。
  • 預測未來人口成長、產業發展、農業灌溉等用水需求。
  • 計算現有水源（含河川、地下水、再生水等）的可靠供水量，與預測的用水需求進行比較。若存在顯著的供水缺口，則需考慮新增儲水設施。
• 水庫效益評估：
  • 水量穩定效益：評估水庫能提供多少穩定水量，以彌補枯水期或旱季的供水不足。
  • 防洪效益：評估水庫在調節洪水、降低下游淹水風險方面的效益。
  • 發電效益：若規劃有水力發電，則評估其發電量與經濟價值。
  • 灌溉效益：評估對農業灌溉用水的支援效益。
  • 觀光遊憩效益：評估水庫及其周邊環境對觀光遊憩的貢獻。
• 成本效益分析：
  • 計算水庫興建、營運、維護的總成本（包括土地徵收、工程建設、環境補償等）。
  • 將上述各項效益量化為經濟價值，與總成本進行比較。若效益大於成本，則具備經濟可行性。
• 環境影響評估 (EIA)：
  • 評估水庫興建對生態環境（如棲地改變、魚類洄游影響）、地質（如潰壩風險）、水文（如下游水量減少、泥沙淤積）、社會文化（如淹沒聚落、文化資產）等方面可能產生的衝擊。
  • 提出減緩或補償措施。
• 社會接受度與政策考量：
  • 進行公聽會、說明會，了解民眾意見與地方政府的立場。
  • 考量國家水資源政策、區域發展計畫等。
    綜合以上評估，若供水缺口顯著、效益大於成本、環境影響可控且社會接受度高，則可考慮興建水庫。

(3) 重力供水與抽水供水系統比較：

特性	重力供水系統 (Gravity Supply System)	抽水供水系統 (Pumping Supply System)
原理	利用水源地高於用水地的水位差，藉由重力自然流動將水輸送到用水地。	利用水泵將水從水源地（常低於或等於用水地）提升，再透過管路輸送到用水地。
能源需求	無或極低 (僅需克服管路阻力，若水位差足夠大，甚至可忽略)。	高，需要持續消耗電能或燃料來驅動水泵。
營運成本	低（主要為管路維護、閥類控制等）。	高（包含電費/燃料費、水泵維護、馬達保養等）。
可靠性	較高，系統結構簡單，無活動部件（除閥類），不易故障。	較低，水泵為活動部件，可能發生機械故障、電力中斷等問題，需備用機組。
適用地形	水源地必須顯著高於用水地，適用於地形落差大的區域。	適用於各種地形，無嚴格的高度限制。
水質影響	較少，水質變化較小，無額外曝氣或剪切力。	可能受水泵葉輪的剪切力影響（尤其對生物絮凝體），但通常影響不大。
系統複雜度	簡單，主要為管路、閥門、進氣口等。	較複雜，包含水泵、馬達、電控系統、壓力控制、備用機組等。
初期投資	可能較高（若需建造高水位水塔或引水渠），但若能利用天然地形則可能較低。	取決於水泵規模與管路長度，但通常需要購買水泵設備。
應用場合	適用於山區水源供應鄰近城鎮，或高位水庫供應平地區域。	廣泛應用於城市供水、農田灌溉、工業用水，特別是當水源地與用水地高差不足時。

(4) 混凝使用 FeCl3 的最佳 pH 值與原因：
從圖中可知，Fe(OH)3 的溶解度在 pH 約 5-6 時最低。

• Fe(OH)3 的溶解度曲線：圖中顯示了不同鐵離子物種（$Fe^{3+}$, $Fe(OH)^{2+}$, $Fe(OH)_2^{+}$, $Fe(OH)_3$, $Fe(OH)_2$）在不同 pH 值下的存在形式。其中，$Fe(OH)_3$ 沉澱物在 pH 較高時形成，而 $Fe^{3+}$ 離子在 pH 較低時存在。
• 混凝機制：混凝劑 FeCl3 在水中會水解產生 $Fe^{3+}$ 離子，進而形成 $Fe(OH)_3$ 膠體沉澱。混凝的目標是讓這些 $Fe(OH)_3$ 膠體能有效吸附水中的懸浮物和膠質粒子，形成較大的絮狀物以便沉澱。
• 最佳 pH 範圍：混凝效果最佳的 pH 範圍，通常是 $Fe(OH)_3$ 膠體溶解度最低、且能產生足夠的陽離子價數來中和水中帶負電的膠體粒子，同時又能形成大量、易於沉澱的 $Fe(OH)_3$ 絮凝劑。
• 圖示分析：圖中 $Fe(OH)_3$ 的曲線最低點（溶解度最小）大約落在 pH 5 到 6 之間。在此 pH 範圍內，Fe(OH)3 膠體顆粒的表面電荷趨於中性或呈現微弱的正電荷，這有利於與水中帶負電的膠體顆粒發生「電荷中和」作用，降低粒子間的靜電斥力，促進其接近。

此題要求推導顆粒沉降的終端速度公式，即史托克斯定律 (Stokes' Law)。推導過程主要基於牛頓第二運動定律，平衡作用在沉降顆粒上的重力、浮力與流體阻力。

核心觀念：當一個顆粒在流體中沉降時，它會受到三個力的作用：

1. 重力 (Gravitational Force, $F_g$)：由顆粒自身的質量與重力加速度產生。
2. 浮力 (Buoyant Force, $F_b$)：由顆粒所排開流體的重量產生，方向與重力相反。
3. 流體阻力 (Drag Force, $F_d$)：由流體與顆粒的相對運動產生，方向與運動方向相反。

當顆粒達到終端速度 ($v_t$) 時，其加速度為零，因此合力為零。即：
$F_g - F_b - F_d = 0$
或
$F_g = F_b + F_d$

推導步驟：

1. 定義參數：

   • 顆粒密度：$\rho_p$
   • 流體密度：$\rho_f$
   • 顆粒體積：$V_p$
   • 顆粒直徑：$d_p$
   • 顆粒半徑：$r_p = d_p/2$
   • 重力加速度：$g$
   • 流體黏滯係數：$\mu$
   • 終端沉降速度：$v_t$

2. 計算各力：

   • 重力 ($F_g$)：
     $F_g = m_p \cdot g = (\rho_p \cdot V_p) \cdot g$
     假設顆粒為球形，則 $V_p = \frac{4}{3}\pi r_p^3 = \frac{4}{3}\pi (\frac{d_p}{2})^3 = \frac{\pi}{6} d_p^3$
     所以，$F_g = \rho_p \cdot \frac{\pi}{6} d_p^3 \cdot g$

   • 浮力 ($F_b$)：
     浮力等於顆粒所排開流體的重量。
     $F_b = (\rho_f \cdot V_p) \cdot g = \rho_f \cdot \frac{\pi}{6} d_p^3 \cdot g$

   • 流體阻力 ($F_d$)：
     史托克斯定律適用於低雷諾數 (Reynolds number, $Re < 1$) 的情況，此時流體阻力與顆粒速度成正比，且與顆粒尺寸有關。對於球形顆粒，在低 $Re$ 數下，阻力公式為：
     $F_d = 3 \pi \mu d_p v_t$

核心觀念

本題利用觀測井的「時間—降深資料」估算抽水井流量，適用於受壓地下水層的 Cooper–Jacob 半對數直線法。

受壓含水層晚期抽水時，降深 $s$ 與時間 $t$ 的關係可近似為：

$$s=\frac{2.3Q}{4\pi T} \log_{10}\left(\frac{2.25Tt}{r^2S}\right)$$

其中：

• $s$：降深，$\mathrm{ft}$
• $Q$：抽水量，$\mathrm{ft^3/day}$
• $T$：傳導係數，$\mathrm{ft^2/day}$
• $t$：抽水時間，$\mathrm{day}$
• $r$：觀測井與抽水井距離，$\mathrm{ft}$
• $S$：蓄水係數

將上式整理為半對數直線形式：

$$s=\frac{2.3Q}{4\pi T}\log_{10}t+\text{常數}$$

因此，在 $s$ 對 $\log_{10}t$ 的圖中，直線斜率 $m$ 為：

$$m=\frac{\Delta s}{\Delta\log_{10}t} =\frac{2.3Q}{4\pi T}$$

所以：

$$Q=\frac{4\pi Tm}{2.3}$$

本題雖提供觀測井距離 $r=75\ \mathrm{ft}$，但利用斜率求 $Q$ 時，$r$ 與 $S$ 只會影響直線截距，不影響斜率，因此不需使用。

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解題方法

將時間與降深資料整理如下：

$t$（min）	$s$（ft）	$\log_{10}t$
5	5.6	0.699
50	23.1	1.699
100	28.2	2.000

取 $t=5$ min 與 $t=50$ min 兩點。由於：

$$\frac{50}{5}=10$$

代表時間增加一個 decade，因此：

$$\Delta\log_{10}t=\log_{10}\left(\frac{50}{5}\right) =\log_{10}(10)=1$$

降深變化為：

$$\Delta s=23.1-5.6=17.5\ \mathrm{ft}$$

故半對數直線斜率為：

核心觀念

本題考查矩形混凝沉澱池的基本尺寸設計，需同時符合下列條件：

1. 水力停留時間

$t=\frac{V}{Q}$

其中 $V$ 為池體有效容積，$Q$ 為流量。

2. 表面負荷率（surface loading／overflow rate）

$V_o=\frac{Q}{A_s}$

其中 $A_s$ 為沉澱池表面積。表面負荷率代表單位表面積每日所承受的處理水量，是沉澱池設計的主要控制條件。

3. 長寬比

   矩形沉澱池通常採用：

$\frac{L}{W}=3\sim 5$

本題取常用值 $L/W=4$，可使水流具有足夠流程長度，並避免池體過於狹長或過寬。

4. 有效水深

   混凝沉澱池有效水深通常約為 $3\sim 5\ \text{m}$。本題應檢查由停留時間與表面負荷率所推得的水深是否落在合理範圍。

5. 水平流速

   水平流速不可過大，否則會造成絮體破碎或沉澱顆粒被帶出。設計上通常控制：

$v_h\leq 0.3\ \text{m/min}$

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解題方法

題目未指定唯一的設計準則，因此採用合理且常用的設計假設：

• 表面負荷率：

$V_o=20\ \text{m}^3/(\text{m}^2\cdot\text{d})$

• 長寬比：

$L/W=4$

• 有效水深應介於約 $3\sim5\ \text{m}$
• 水平流速不超過 $0.3\ \text{m/min}$

1. 計算所需表面積

已知流量為：

$Q=7,200\ \text{m}^3/\text{d}$

由表面負荷率：

$A_s=\frac{Q}{V_o}$

因此：

$A_s=\frac{7,200}{20}=360\ \text{m}^2$

所以沉澱池平面積需約為：

$A_s=L W=360\ \text{m}^2$

2. 計算有效容積

停留時間為 $4$ 小時，先換算為日：

$t=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}\ \text{d}$

所需有效容積為：

$V=Qt$

$V=7,200\times\frac{1}{6}=1,200\ \text{m}^3$

3. 計算有效水深

有效容積也可表示為：

$V=A_s D$

因此：

$D=\frac{V}{A_s}$

$D=\frac{1,200}{360}=3.33\ \text{m}$

所得有效水深為：

$D\approx3.3\ \text{m}$

符合混凝沉澱池約 $3\sim5\ \text{m}$ 的常用範圍。

4. 計算池長與池寬

採用長寬比：

$\frac{L}{W}=4$

又因為：

$LW=360$

故：

$4W^2=360$

$W=\sqrt{90}=9.49\ \text{m}$

$L=4W=4(9.49)=37.95\ \text{m}$

因此可採用實際設計尺寸：

$W\approx9.5\ \text{m}$

$L\approx38\ \text{m}$

$D\approx3.3\ \text{m}$

5. 檢查水平流速

將流量換算為每分鐘：

$Q=\frac{7,200}{24\times60}=5.0\ \text{m}^3/\text{min}$

沉澱池的流通斷面積為：

$A_c=WD$

$A_c=9.49\times3.33=31.63\ \text{m}^2$

核心觀念

本題考查泵浦的操作點（operating point）與馬達功率。

泵浦實際運轉時，必須同時滿足：

$H_p(Q)=H_s(Q)$

其中：

• $H_p(Q)$：泵浦特性曲線所提供的總揚程
• $H_s(Q)$：系統所需的總動水頭
• 兩條曲線的交點即為泵浦操作點

馬達輸入功率由水力功率除以泵浦效率及馬達效率求得：

$P_{\text{motor}}=\frac{\rho g QH}{\eta_p\eta_m}$

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解題方法

由表中數據判讀：

• 左側資料為泵浦特性曲線：流量增加時，總揚程下降。
• 右側資料為系統曲線：流量增加時，系統所需總動水頭上升。

操作點位於下列兩個資料點之間：

泵浦曲線：

$(Q,H_p)=(800,90),\ (1050,85)$

系統曲線：

$(Q,H_s)=(975,85),\ (1075,90)$

均採用相鄰資料點間的線性內插。

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（1）泵浦操作流量與揚程

泵浦特性曲線

在 $Q=800\sim1050\ \text{m}^3/\text{min}$ 間：

$$H_p=90+\frac{85-90}{1050-800}(Q-800)$$

整理得：

$$H_p=106-0.02Q$$

系統曲線

在 $Q=975\sim1075\ \text{m}^3/\text{min}$ 間：

$$H_s=85+\frac{90-85}{1075-975}(Q-975)$$

整理得：

$$H_s=36.25+0.05Q$$

求交點

令泵浦揚程等於系統所需揚程：

$$106-0.02Q=36.25+0.05Q$$ $$69.75=0.07Q$$ $$Q=996.4\ \text{m}^3/\text{min}$$

代回泵浦曲線：

$$H=106-0.02(996.4)$$ $$H=86.1\ \text{m}$$

因此，泵浦操作點約為：

$$\boxed{Q\approx 996\ \text{m}^3/\text{min}}$$ $$\boxed{H\approx 86.1\ \text{m}}$$

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（2）馬達馬力

題目未指定效率，採用合理工程假設：

$$\eta_p=75\%$$ $$\eta_m=90\%$$

其中 $\eta_p$ 為泵浦效率，$\eta_m$ 為馬達效率。

單位換算

操作流量為：

核心觀念

反沖洗時，水流向上增加至「開始流動化」的臨界狀態，砂粒床的壓降恰好平衡砂粒在水中的有效重量。因此最低反沖洗速率可由下式求得：

$$\frac{\Delta P}{L} = (\rho_s-\rho_w)(1-\varepsilon)g$$

其中：

• $\rho_s$：砂粒密度
• $\rho_w$：水密度
• $\varepsilon$：濾床孔隙率
• $g$：重力加速度

流經顆粒床的壓降使用 Ergun 方程式：

$$\frac{\Delta P}{L} = \frac{150\mu(1-\varepsilon)^2}{d_p^2\varepsilon^3}v + \frac{1.75\rho_w(1-\varepsilon)}{d_p\varepsilon^3}v^2$$

題目給的是「等體積球粒徑」，因此取

$$d_p=1.2\ \text{mm}=1.2\times10^{-3}\ \text{m}$$

並以等效球形顆粒計算。

解題方法

開始流動化時，Ergun 方程式所計算的壓降梯度等於砂粒的水中有效重量：

$$\frac{150\mu(1-\varepsilon)^2}{d_p^2\varepsilon^3}v + \frac{1.75\rho_w(1-\varepsilon)}{d_p\varepsilon^3}v^2 = (\rho_s-\rho_w)(1-\varepsilon)g$$

先計算右側：

$$(\rho_s-\rho_w)(1-\varepsilon)g$$ $$=(2650-998.2)(1-0.4)(9.81) =9.72\times10^3\ \text{Pa/m}$$

黏性項係數為：

$$A= \frac{150(1.0\times10^{-3})(0.6)^2} {(1.2\times10^{-3})^2(0.4)^3}$$ $$A=5.859\times10^5\ \text{Pa}\cdot\text{s/m}^2$$

慣性項係數為：

$$B= \frac{1.75(998.2)(0.6)} {(1.2\times10^{-3})(0.4)^3}$$

核心觀念

本題使用氯消毒的 Chick–Watson 反應模式：

$$\log_{10}\left(\frac{N_0}{N}\right)=k'Ct$$

其中：

• $N_0$：消毒前微生物濃度
• $N$：消毒後微生物濃度
• $k'$：反應速率常數
• $C$：有效餘氯濃度，單位為 $\mathrm{mg/L}$
• $t$：接觸時間，單位為 min
• $Ct$：消毒所需的濃度—時間值，單位為 $\mathrm{mg\cdot min/L}$

「3-log removal」表示：

$$\log_{10}\left(\frac{N_0}{N}\right)=3$$

因此，所需的 $Ct$ 值為：

$$Ct=\frac{3}{k'}$$

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解題方法

已知：

$$k'=0.115\ \mathrm{L/(min\cdot mg)}$$

故：

$$Ct=\frac{3}{0.115} =26.09\ \mathrm{mg\cdot min/L}$$

因此，達到 Giardia 3-log 去除所需的濃度—時間值為：

$$\boxed{Ct=26.1\ \mathrm{mg\cdot min/L}}$$

題目指定氯劑量維持：

$$C=1\ \mathrm{mg/L}$$

由 $Ct=C\times t$：

$$t=\frac{Ct}{C} =\frac{26.09}{1} =26.09\ \mathrm{min}$$

流量為 $10{,}000\ \mathrm{CMD}$，即：

$$Q=10{,}000\ \mathrm{m^3/day}$$

接觸槽體積為：

$$V=Qt$$