112 年 國立成功大學環境工程學系碩士班甲組《衛生工程》

此題主要考察學生對永續發展目標 (SDGs)、膠體化學、金屬腐蝕、混凝沉澱以及消毒等衛生工程基礎知識的理解。

(1) 永續發展目標 (SDGs) 中與水及廢水處理直接相關的主要是目標 6：確保所有人都能獲得水和衛生，並對其進行可持續管理。其中，目標 6.1 旨在到 2030 年為所有人提供可負擔的、安全的飲用水；目標 6.2 旨在到 2030 年為所有人提供充足且公平的衛生設施和適當的衛生服務，並終止露天排便，特別關注婦女和女童的需求，以及到 2020 年改善衛生設施，並終止接觸不安全的水源。此外，目標 14：保護海洋和海洋資源，促進可持續發展，也與廢水排放對水體環境的影響有關。

(2) 對於帶負電的膠體，在電解質溶液中，其周圍會形成雙電層。膠體表面帶負電，會吸引溶液中的陽離子，而排斥陰離子。
雙電層的結構可以分為：

• 緊密層 (Stern layer 或 Adsorbed layer): 緊密吸附在膠體表面的離子層，主要是與表面電荷有靜電吸引力的對離子 (counter-ions)。
• 擴散層 (Diffuse layer 或 Gouy-Chapman layer): 緊密層之外，離子濃度逐漸降低，直至與溶液體積相應的離子濃度相同。擴散層中的離子濃度分佈受熱運動和靜電引力的共同影響。

表面電位的變化：

• 表面電位 (Surface potential, $\psi_0$): 膠體表面的實際電位。
• 斯特恩電位 (Stern potential, $\psi_\delta$): 緊密層外邊緣的電位。
• 澤荷位電位 (Zeta potential, $\zeta$): 擴散層滑動面 (slipping plane) 的電位。這是決定膠體穩定性的重要參數。

繪圖說明：
膠體表面從負電位開始，電位絕對值逐漸減小，在緊密層外緣達到斯特恩電位，然後在擴散層中繼續減小，最終在遠離膠體表面的地方趨近於零。陽離子在緊密層和擴散層的濃度高於體相，陰離子則低於體相。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】（請自行繪製圖示，包含膠體表面、緊密層、擴散層，以及陽離子和陰離子的分佈，並標示 $\psi_0$, $\psi_\delta$, $\zeta$ 的位置。）

(3) 「冠狀腐蝕」(Crown Corrosion) 是指在高溫、高濕的環境下，特別是在燃燒設備（如鍋爐）的煙道氣中，由於硫氧化物 (SOx) 和氮氧化物 (NOx) 等酸性氣體與水蒸氣反應生成硫酸 (H₂SO₄) 和硝酸 (HNO₃)，這些酸液凝結在金屬表面，尤其是煙道氣出口處或溫度較低的區域，導致金屬（通常是碳鋼）發生嚴重的腐蝕。這種腐蝕通常呈現出類似「皇冠」的斑駁狀或點狀蝕坑。

核心觀念

本題比較兩種人口推估方式：

1. 幾何趨勢法（geometric trend）：以人口 $x$ 與成長率 $y$ 建立冪次關係
   $y=ax^b$
   取對數後轉為線性迴歸：
   $\ln y=\ln a+b\ln x$

2. 幾何級數法（geometric progression）：假設人口以固定比例成長
   $P_t=P_0(1+k_g)^t$
   其中 $k_g$ 為每年人口成長率。

本題人口單位為 $10^3$ 人，因此計算所得的人口數須乘以 $1,000$ 才能換算為實際人口。

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解題方法一：建立幾何趨勢成長率方程式

令：

• $x$：人口數，單位為 $10^3$ 人
• $y$：人口成長率，單位為百分比
• 幾何趨勢式：
  $y=ax^b$

兩邊取自然對數：

$\ln y=\ln a+b\ln x$

設：

$X=\ln x,\qquad Y=\ln y,\qquad A=\ln a$

則：

$Y=A+bX$

以最小平方法求得：

$b=\frac{n\sum XY-\sum X\sum Y}{n\sum X^2-(\sum X)^2}$

$A=\bar{Y}-b\bar{X}$

計算表如下：

年度	$x$	$y$	$\ln x=X$	$\ln y=Y$	$X^2$	$XY$
1950	42.0	26.7	3.7377	3.2847	13.970	12.276
1960	53.2	50.2	3.9740	3.9160	15.792	15.565
1970	79.9	23.8	4.3808	3.1697	19.192	13.887
1980	98.9	39.6	4.5947	3.6788	21.111	16.903
1990	138.0	18.8	4.9273	2.9339	24.278	14.456
合計			21.6145	16.9831	94.343	73.087

因此：

$\bar{X}=\frac{21.6145}{5}=4.3229$

$\bar{Y}=\frac{16.9831}{5}=3.3966$

斜率：

$$b= \frac{5(73.087)-(21.6145)(16.9831)} {5(94.343)-(21.6145)^2} \approx -0.366$$

截距：

$$A=\bar{Y}-b\bar{X}$$ $$A=3.3966-(-0.366)(4.3229)\approx 4.978$$

因為 $A=\ln a$，所以：

$$a=e^{4.978}\approx145.1$$

故幾何趨勢成長率方程式為：

$$\boxed{y=145.1x^{-0.366}}$$

其中 $x$ 的單位為千人，$y$ 為百分比。

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利用幾何趨勢方程式推估 2030 年人口

每十年依序計算：

$$P_{t+10}=P_t\left(1+\frac{y_t}{100}\right)$$

其中：

$$y_t=145.1P_t^{-0.366}$$

計算如下：

年度	期初人口 $P_t$（千人）	預測成長率 $y_t$（%）	人口增加後 $P_{t+10}$（千人）
1990	138.00	$145.1(138)^{-0.366}=23.9$	$138.00(1.239)=170.98$
2000	170.98	$145.1(170.98)^{-0.366}=22.1$	$170.98(1.221)=208.79$
2010	208.79	$145.1(208.79)^{-0.366}=20.6$	$208.79(1.206)=251.75$

核心觀念

本題考查快速混合槽的功率需求，以及溫度改變造成黏度變化時，平均速度梯度 $G$ 的影響。

快速混合槽中，混合功率與速度梯度的關係為

$$P=\mu G^2V$$

其中：

• $P$：傳遞至水體的混合功率，$\mathrm{W}$
• $\mu$：動力黏度，$\mathrm{N\cdot s/m^2}$
• $G$：平均速度梯度，$\mathrm{s^{-1}}$
• $V$：快速混合槽體積，$\mathrm{m^3}$

槽體積由流量與停留時間決定：

$$V=Qt$$

馬達效率為 $\eta$ 時，馬達輸入功率為

$$P_{\text{motor}}=\frac{P}{\eta}$$

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解題方法

（1）混合馬達功率

① 流量換算

題目給定流量為 $10\ \mathrm{mgd}$：

$$Q=10\times 10^6\ \mathrm{gal/day}$$

利用

$$1\ \mathrm{gal}=3.785\ \mathrm{L}=3.785\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$$

因此

$$Q=\frac{10\times10^6\times3.785\times10^{-3}}{86400}$$ $$Q=0.4381\ \mathrm{m^3/s}$$

② 混合槽體積

停留時間為 $10\ \mathrm{s}$：

$$V=Qt$$ $$V=(0.4381)(10)=4.381\ \mathrm{m^3}$$

③ 計算傳遞至水體的功率

在 $10^\circ\mathrm{C}$ 時：

$$\mu=1.307\times10^{-3}\ \mathrm{N\cdot s/m^2}$$

且

$$G=800\ \mathrm{s^{-1}}$$

代入功率公式：

$$P=\mu G^2V$$ $$P=(1.307\times10^{-3})(800)^2(4.381)$$ $$P=3.664\times10^3\ \mathrm{W}$$

此為實際傳遞給水體的混合功率。

④ 考慮馬達效率

馬達效率為 $70\%$：

$$\eta=0.70$$

因此馬達所需輸入功率為

$$P_{\text{motor}}=\frac{3.664\times10^3}{0.70}$$ $$P_{\text{motor}}=5.235\times10^3\ \mathrm{W}$$ $$\boxed{P_{\text{motor}}\approx5.23\ \mathrm{kW}}$$

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（2）$25^\circ\mathrm{C}$ 時的速度梯度

同一部混合設備在相同功率及相同槽體積下運轉，因此有

此題考察學生對沉澱池設計參數的理解與計算，包括流量、表面負荷率 (overflow rate)、停留時間 (detention time) 以及尺寸之間的關係。

核心觀念： 沉澱池的設計需要滿足特定的流量、表面負荷率和停留時間要求。

已知條件：

• 流量 $Q = 1.0 \text{ mgd}$
• 長寬比 L/W = 2:1
• 表面負荷率 (Overflow Rate, OR) = 0.00077 fps (ft/sec)
• 停留時間 (Detention Time, DT) = 3 hours
• 單位換算：1 gallon = 3.785 L, 1 ft = 0.305 m

求解目標： 沉澱池的尺寸 (長 L, 寬 W, 高 H)，以公尺 (meter) 為單位。

步驟 1：將流量 Q 轉換為 ft³/sec
$Q = 1.0 \text{ mgd} = 1.0 \times 10^6 \text{ gallons/day}$
$Q = 1.0 \times 10^6 \text{ gallons/day} \times \frac{3.785 \text{ L}}{1 \text{ gallon}} \times \frac{1 \text{ m³}}{1000 \text{ L}} \times \frac{1 \text{ ft³}}{0.028317 \text{ m³}} \times \frac{1 \text{ day}}{24 \text{ hours}} \times \frac{1 \text{ hour}}{3600 \text{ sec}}$
$Q = \frac{1.0 \times 10^6 \times 3.785}{0.028317 \times 24 \times 3600} \text{ ft³/sec} \approx \frac{37850}{101941} \text{ ft³/sec} \approx 0.3713 \text{ ft³/sec}$

步驟 2：利用表面負荷率 (OR) 計算沉澱池的表面積 (A)
表面負荷率定義為：$OR = \frac{Q}{A}$
所以，表面積 $A = \frac{Q}{OR}$
$A = \frac{0.3713 \text{ ft³/sec}}{0.00077 \text{ ft/sec}} \approx 482.2 \text{ ft²}$

步驟 3：利用長寬比和表面積計算長 (L) 和寬 (W)
設沉澱池的寬為 W，長為 L。
$L = 2W$
表面積 $A = L \times W = (2W) \times W = 2W^2$
$2W^2 = 482.2 \text{ ft²}$
$W^2 = \frac{482.2}{2} = 241.1 \text{ ft²}$
$W = \sqrt{241.1} \approx 15.53 \text{ ft}$
$L = 2W = 2 \times 15.53 \approx 31.06 \text{ ft}$

步驟 4：利用停留時間 (DT) 和流量 Q 計算沉澱池的體積 (V)
停留時間 DT = 3 hours。
將 DT 轉換為秒：$DT = 3 \text{ hours} \times 3600 \text{ sec/hour} = 10800 \text{ sec}$
體積 $V = Q \times DT$
$V = 0.3713 \text{ ft³/sec} \times 10800 \text{ sec} \approx 4009.9 \text{ ft³}$

步驟 5：計算沉澱池的高度 (H)
體積 $V = A \times H$
$H = \frac{V}{A} = \frac{4009.9 \text{ ft³}}{482.2 \text{ ft²}} \approx 8.316 \text{ ft}$

步驟 6：將尺寸轉換為公尺 (meter)
$L = 31.06 \text{ ft} \times 0.305 \text{ m/ft} \approx 9.473 \text{ m}$
$W = 15.53 \text{ ft} \times 0.305 \text{ m/ft} \approx 4.737 \text{ m}$
$H = 8.316 \text{ ft} \times 0.305 \text{ m/ft} \approx 2.536 \text{ m}$

驗算：
長寬比：$L/W = 9.473 / 4.737 \approx 2.00$。符合要求。
表面積：$A = L \times W = 9.473 \text{ m} \times 4.737 \text{ m} \approx 44.92 \text{ m²}$

核心觀念

本題利用清潔砂濾床的 Kozeny–Carman 滲流關係，計算水流通過砂粒孔隙時的摩擦水頭損失。所需資料包括：

• 過濾速度 $V$
• 水的動黏滯係數 $\nu$
• 濾砂床深度 $L$
• 孔隙率 $\varepsilon$
• 砂粒球形度 $\psi$
• Kozeny 常數 $k$
• 各粒徑級距所占比例 $x_i$

對粒徑分布不均勻的濾砂，必須將各粒徑級距的阻力加權累加。

題目公式中的 $\dfrac{d_i}{d_i^2}$，分子應解讀為該粒徑級距的重量分率 $x_i$；完整的清潔濾床公式可寫成

$$h = \frac{k\nu V L}{g} \frac{(1-\varepsilon)^2}{\varepsilon^3\psi^2} \sum_i x_i\left(\frac{6}{d_i}\right)^2$$

其中 $6/d_i$ 為近似球形砂粒的比表面積。

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解題方法

1. 單位換算

過濾率：

$$V=2\ \mathrm{L/(m^2\cdot s)} =2\times 10^{-3}\ \mathrm{m/s}$$

各粒徑以公尺表示。

2. 求各篩分級距的代表粒徑

每一級砂粒介於相鄰兩個篩孔尺寸之間，因此代表粒徑取相鄰篩孔的幾何平均值：

$$d_i=\sqrt{d_{\mathrm{上}}d_{\mathrm{下}}}$$

計算如下：

篩分級距（mm）	保留比例 $x_i$	代表粒徑 $d_i$（mm）
$10\sim 8$	$0.10$	$\sqrt{10\times 8}=8.944$
$8\sim 7$	$0.20$	$7.483$
$7\sim 6$	$0.20$	$6.481$
$6\sim 5$	$0.23$	$5.477$
$5\sim 4$	$0.17$	$4.472$
$4\sim 3$	$0.08$	$3.464$
$3\sim 2$	$0.02$	$2.449$

$14\sim10$ mm 及小於 $2$ mm 的級距，其保留比例均為 $0$，不列入計算。

3. 計算粒徑加權項

將粒徑換成公尺：

核心觀念

消毒反應常以 Chick–Watson 定律描述病原體的失活。假設反應對消毒劑濃度為一級，病原體數量隨時間呈指數衰減：

$$\frac{N}{N_0}=e^{-kCt}$$

其中 $N_0$、$N$ 分別為消毒前後的病原體數量，$k$ 為反應速率常數，$C$ 為消毒劑濃度，$t$ 為接觸時間。題目要求的 $C t$ 即消毒劑濃度與接觸時間的乘積，單位為 $\mathrm{mg\cdot min/L}$。

解題方法

4-log 去除表示病原體數量降低至原來的 $10^{-4}$，因此：

$$\frac{N}{N_0}=10^{-4}$$

代入 Chick–Watson 定律，並取自然對數：