115 年 國立成功大學環境工程學系碩士班甲組《衛生工程》

本題考查非穩定流（Theis解）在受壓含水層中的應用，重點在於應用Well Function來計算井的降深。

核心觀念
Theis方程描述了在非穩定狀態下，受壓含水層中單一抽水井的降深。其數學表達式為：
$s = \frac{Q}{4\pi T} W(u)$
其中：

• $s$ 為降深 (m)
• $Q$ 為抽水速率 (m³/day)
• $T$ 為透水係數 (m²/day)
• $W(u)$ 為Theis Well Function，其定義為：
  $W(u) = \int_{u}^{\infty} \frac{e^{-x}}{x} dx$
• $u$ 為無因次參數，定義為：
  $u = \frac{r^2 S}{4 T t}$
  其中：
  • $r$ 為觀測點距離井的半徑 (m)
  • $S$ 為貯水係數 (無因次)
  • $t$ 為抽水時間 (day)

解題步驟

1. 確認已知參數：

   • 井的半徑 $r_w = 0.2$ m (此參數在計算降深時不需要，但在Theis方程中$r$是觀測點到井的距離)
   • 抽水速率 $Q = 1500$ m³/day
   • 透水係數 $T = 600$ m²/day
   • 貯水係數 $S = 0.0004$
   • 觀測半徑 $r = 1$ km $= 1000$ m
   • 抽水時間 $t = 1$ year $= 365$ days

2. 計算無因次參數 $u$：
   $u = \frac{r^2 S}{4 T t}$
   將已知參數代入：
   $u = \frac{(1000 \text{ m})^2 \times 0.0004}{4 \times (600 \text{ m}^2/\text{day}) \times (365 \text{ days})}$
   $u = \frac{1000000 \times 0.0004}{4 \times 600 \times 365}$
   $u = \frac{400}{876000}$
   $u \approx 0.0004567$

3. 查找 Well Function $W(u)$：
   根據計算出的 $u \approx 0.0004567$，我們需要在提供的Well Function表格中查找對應的值。
   觀察表格，當 $u$ 值很小時，通常對應到 $x10^{-k}$ 的小數次方。
   我們計算的 $u \approx 0.0004567$ 介於 $4 \times 10^{-4}$ 和 $5 \times 10^{-4}$ 之間。
   表格中 $x10^{-4}$ 列的數值是 $8.63$ (對應 $u=1.0 \times 10^{-4}$) 到 $6.44$ (對應 $u=9.0 \times 10^{-4}$)。
   我們的 $u$ 值 $0.0004567 = 4.567 \times 10^{-4}$。
   在表格中，當 $u$ 增加時，$W(u)$ 的值減小。
   我們需要查找 $u = 4.567 \times 10^{-4}$ 時的 $W(u)$ 值。
   直接查表，對於 $u$ 接近 $4 \times 10^{-4}$ 的值，例如 $4 \times 10^{-4}$ 的 $W(u)$ 大約是 $7.25$。
   對於 $5 \times 10^{-4}$ 的 $W(u)$ 大約是 $7.02$。
   由於 $4.567 \times 10^{-4}$ 介於 $4 \times 10^{-4}$ 和 $5 \times 10^{-4}$ 之間，我們可以進行線性內插，或者直接取接近的值。
   更精確地，注意到表格的 $x10^{-4}$ 列，當 $\mu$ 從 $4.0$ 變到 $5.0$ 時，對應的 $W(u)$ 值從 $7.25$ 變到 $7.02$。
   我們的 $u \approx 4.567 \times 10^{-4}$。
   若我們將表格中的 $\mu$ 值看作是 $u$ 的數量級，則 $4.0 \times 10^{-4}$ 對應 $7.25$，$5.0 \times 10^{-4}$ 對應 $7.02$。
   我們的 $u = 4.567 \times 10^{-4}$。
   內插計算：
   $W(u) = W(4.0 \times 10^{-4}) + \frac{u - 4.0 \times 10^{-4}}{5.0 \times 10^{-4} - 4.0 \times 10^{-4}} \times (W(5.0 \times 10^{-4}) - W(4.0 \times 10^{-4}))$
   $W(u) = 7.25 + \frac{4.567 \times 10^{-4} - 4.0 \times 10^{-4}}{5.0 \times 10^{-4} - 4.0 \times 10^{-4}} \times (7.02 - 7.25)$

本題考查DLVO理論，要求繪製兩種主要作用力（凡得瓦力與靜電力）以及總作用力隨粒子間距離變化的示意圖，特別是針對不利於聚集（UNFAVORABLE aggregation）的情況。

核心觀念
DLVO理論是膠體科學中的一個基本理論，用於解釋膠體粒子之間的主要作用力。它將粒子間的總相互作用能視為兩種主要力的疊加：

1. 凡得瓦力 (Van der Waals force)： 這是一種吸引力，其強度隨粒子間距離的增大而減小，但即使在較遠距離也存在，儘管非常微弱。
2. 靜電力 (Electrostatic force)： 在離子溶液中，膠體粒子表面通常帶電。如果粒子帶有相同電荷，則會產生靜電排斥力；如果帶有不同電荷，則會產生靜電吸引力。在大多數情況下，膠體粒子表面帶有相同電荷，因此產生排斥力。這種排斥力的作用範圍相對較短，並且在粒子距離較遠時迅速減小。

不利於聚集（UNFAVORABLE aggregation）的情況
不利於聚集意味著粒子之間存在較強的排斥力，阻止它們靠近並形成聚集體。這通常發生在：

• 粒子表面帶有較強的同種電荷，導致較大的靜電排斥力。
• 離子強度（鹽濃度）較低，使得雙電層的屏蔽效應較弱，排斥力作用範圍較廣。

繪製示意圖

我們需要繪製三條曲線：

1. 凡得瓦力的作用能 (Van der Waals energy, $E_{vdW}$)： 這是一種吸引力，所以其作用能是負值。隨著距離 $d$ 的增大，吸引力減小，負值趨近於零。在非常近的距離，吸引力達到最大（最負值）。
2. 靜電力的作用能 (Electrostatic energy, $E_{elec}$)： 對於不利於聚集的情況，這是主要的排斥力，所以其作用能是正值。隨著距離 $d$ 的增大，排斥力迅速減小，正值趨近於零。在較近的距離，排斥力較強。
3. 總作用能 (Total energy, $E_{total}$)： 這是凡得瓦力與靜電力的疊加，$E_{total} = E_{vdW} + E_{elec}$。

示意圖的繪製要點：

• 橫軸： 粒子間距離 ($d$)，通常從遠距離（如 $d \to \infty$）到非常近的距離（如 $d \to 0$ 或粒子接觸）。
• 縱軸： 作用能 (Energy)。
• 凡得瓦力 ( $E_{vdW}$ ) 曲線：
  • 在遠距離時，趨近於零（負值，代表吸引）。
  • 隨著距離減小，負值逐漸增大（吸引力增強）。
  • 在非常近的距離，達到一個較大的負值。
• 靜電力 ( $E_{elec}$ ) 曲線：
  • 在遠距離時，趨近於零（正值，代表排斥）。
  • 隨著距離減小，正值迅速增大，形成一個較高的勢壘（energy barrier）。
  • 在非常近的距離，排斥力非常強大。
• 總作用能 ( $E_{total}$ ) 曲線：
  • 在遠距離時，主要由微弱的凡得瓦力主導，呈現一個較小的負值（微弱吸引）。
  • 當粒子靠近時，靜電排斥力開始顯著增加，使得總作用能升高。
  • 對於不利於聚集的情況，靜電排斥力的勢壘會非常高，高於凡得瓦力吸引能的最小值。這意味著粒子需要足夠的動能才能克服這個勢壘，否則將保持分散狀態。
  • 在非常近的距離，如果排斥力不是無限大，凡得瓦力可能會佔優勢，使得總能再次變為負值，但這通常發生在粒子已經非常靠近的情況。

圖示說明：

請想像一個座標圖：

1. 畫一條水平線代表零能量。
2. 凡得瓦力 ( $E_{vdW}$ )： 畫一條曲線，從右側（遠距離）的零下方開始，向左（近距離）逐漸下降，達到一個負的最小值，然後在極近處可能略微回升或保持負值。
3. 靜電力 ( $E_{elec}$ )： 畫一條曲線，從右側（遠距離）的零上方開始，向左（近距離）迅速升高，形成一個高聳的「勢壘」（energy barrier），然後在極近處可能略有下降，但整體保持為強烈的正值。
4. 總作用能 ( $E_{total}$ )： 畫一條曲線，它是在 $E_{vdW}$ 和 $E_{elec}$ 的疊加。
   • 在遠距離，它會接近 $E_{vdW}$ 的值（一個小負值）。
   • 隨著距離縮小，$E_{elec}$ 開始佔主導，總能量會迅速上升，越過勢壘。
   • 對於「不利於聚集」，這個勢壘需要足夠高，足以阻止粒子聚集。

核心觀念

本題考查「均勻抽水率與調節池有效蓄水量」的計算。

設：

• $D_i$：第 $i$ 小時平均需水率，單位為 gallon/min
• $Q$：全天固定且均勻的抽水率，單位為 gallon/min
• 每小時長度為 $60$ min

1. 均勻 24 小時抽水率

全天抽水總量必須等於全天需水總量，因此：

$$Q=\frac{\sum_{i=1}^{24}D_i}{24}$$

2. 所需蓄水量

每小時的淨需求量為：

$$D_i-Q$$

定義累積淨需求率：

$$C_k=\sum_{i=1}^{k}(D_i-Q)$$

其中 $C_k$ 的單位為 gallon/min。實際累積水量則為 $60C_k$ gallons。

所需有效蓄水量等於累積淨需求曲線的最大值與最小值之差：

$$V_s=60\left(\max C_k-\min C_k\right)$$

這代表水池必須吸收低需水時段的多餘抽水，並補足高需水時段的不足。

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解題方法

一、計算均勻抽水率

24 個小時需水率總和為：

$$\begin{aligned} \sum D_i ={}&1900+1800+1795+1700+1800+1910\\ &+3200+5000+5650+6000+6210+6300\\ &+6500+6460+6430+6500+6700+7119\\ &+9000+8690+5220+2200+2100+2000\\ ={}&112184 \end{aligned}$$

因此均勻抽水率為：

$$Q=\frac{112184}{24} =4674.33\ \text{gallon/min}$$

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二、建立累積淨需求表

以：

$$C_k=\sum_{i=1}^{k}(D_i-Q)$$

計算各小時末的累積淨需求率，結果如下：

時間	$C_k$（gallon/min）
1 am	$-2774.33$
2 am	$-5648.67$
3 am	$-8528.00$
4 am	$-11502.33$
5 am	$-14376.67$
6 am	$-17141.00$
7 am	$-18615.33$
8 am	$-18289.67$
9 am	$-17314.00$

核心觀念

三支管線屬於「並聯管路」，兩端均接在相同的上、下游節點，因此各支管的水頭損失相同：

$$h_{f,1}=h_{f,2}=h_{f,3}=h_f$$

總流量等於各支管流量總和：

$$Q=Q_1+Q_2+Q_3$$

各管段的摩擦水頭損失採 Darcy–Weisbach 公式：

$$h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}$$

其中：

• $f=0.015$：摩擦因子
• $L$：管長
• $D$：管徑
• $V$：管內平均流速
• $g=9.81\ \text{m/s}^2$

又因為

$$Q_i=A_iV_i=\frac{\pi D_i^2}{4}V_i$$

所以在相同水頭損失下，各支管流量可表示為：

$$Q_i = \frac{\pi D_i^2}{4} \sqrt{\frac{2gh_fD_i}{fL_i}}$$

因此：

$$Q_i\propto \frac{D_i^{5/2}}{\sqrt{L_i}}$$

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解題方法

題目給定總流量 $Q=1.5\ \text{m}^3/\text{s}$，先利用並聯管路的相同水頭損失條件，求出三支管的流量比例，再由總流量求各支管流量，最後代回 Darcy–Weisbach 公式求共同水頭損失。

1. 求各支管的流量比例

令

$$R_i=\frac{D_i^{5/2}}{\sqrt{L_i}}$$

三支管資料如下：

$$\begin{array}{c|c|c|c} \text{管線} & D\ (\text{m}) & L\ (\text{m}) & R_i \\ \hline 1 & 0.25 & 50 & \dfrac{0.25^{5/2}}{\sqrt{50}}=0.004419\\[6pt] 2 & 0.35 & 30 & \dfrac{0.35^{5/2}}{\sqrt{30}}=0.013235\\[6pt] 3 & 0.50 & 40 & \dfrac{0.50^{5/2}}{\sqrt{40}}=0.027951 \end{array}$$

因此：

$$Q_1:Q_2:Q_3 = 0.004419:0.013235:0.027951$$

總和為：

$$R_{\text{總}}=0.004419+0.013235+0.027951=0.045605$$

各支管分流比例為：

$$\frac{Q_1}{Q}=\frac{0.004419}{0.045605}=0.0969$$ $$\frac{Q_2}{Q}=\frac{0.013235}{0.045605}=0.2902$$

核心觀念

本題考查混凝劑明礬與鹼度補充劑純鹼之間的化學計量關係。

明礬水解形成氫氧化鋁絮體：

$$\mathrm{Al_2(SO_4)_3+3Na_2CO_3+3H_2O \rightarrow 2Al(OH)_3\downarrow+3Na_2SO_4+3CO_2\uparrow}$$

因此，$1$ mole 明礬需要 $3$ mole 碳酸鈉（純鹼，$\mathrm{Na_2CO_3}$）才能提供足夠鹼度，使絮體正常形成。

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解題方法

1. 計算明礬的分子量

明礬為：

$$\mathrm{Al_2(SO_4)_3\cdot14.3H_2O}$$

其分子量為：

$$M_{\text{alum}} =2(27)+3(32+4\times16)+14.3(18)$$ $$=54+3(96)+257.4 =599.4\ \mathrm{g/mol}$$

2. 計算純鹼的分子量

$$M_{\mathrm{Na_2CO_3}} =2(23)+12+3(16) =106\ \mathrm{g/mol}$$

3. 依反應式建立質量比

由反應式：

$$1\ \mathrm{mol\ alum}:3\ \mathrm{mol\ Na_2CO_3}$$

所以：

核心觀念

本題利用清潔濾砂床的 Carman–Kozeny 滲流阻力公式，計算過濾初期水流通過濾砂床所產生的水頭損失：

$$h=\frac{36L\nu v(1-\varepsilon)^2} {g\varepsilon^3d^2\psi^2}$$

其中：

• $h$：初始水頭損失，$\mathrm{m}$
• $L$：濾砂床厚度，$\mathrm{m}$
• $\nu$：水的運動黏度，$\mathrm{m^2/s}$
• $v$：過濾速度，$\mathrm{m/s}$
• $\varepsilon$：濾砂孔隙率
• $d$：濾砂代表粒徑
• $\psi$：砂粒球形度
• $g$：重力加速度，取 $9.81\ \mathrm{m/s^2}$

題目已提供砂粒球形度 $\psi=0.8$，因此應採用含 $\psi^2$ 的修正式。

解題方法

首先由粒徑分布表取得有效粒徑。濾砂水力阻力計算通常採用 $d_{10}$ 作為有效粒徑：

$$d=d_{10}=0.48\ \mathrm{mm}$$

換算為公尺：

$$d=0.48\times 10^{-3}=4.8\times10^{-4}\ \mathrm{m}$$

過濾速度為：

$$v=2\ \mathrm{L/(m^2\cdot s)}$$

因為 $1\ \mathrm{L}=10^{-3}\ \mathrm{m^3}$，所以：

$$v=2\times10^{-3}\ \mathrm{m/s}$$

代入：