110 年國立政治大學國際經營與貿易學系研究所國際經濟、國際財管、國際企管與行銷組《統計學》考古題與詳解

Question 1

Consider n samples independently drawn from a distribution with mean 0 and variance 1. What is the minimum value of n that will make variance of the sample mean no greater than 0.01?
a. 30
b. 4
c. 100
d. n does not matter here
e. None of the above is correct.

Accepted Answer

本題考驗樣本平均數的變異數性質。
假設母體平均數為 $\mu$ 且母體變異數為 $\sigma^2$ 。
從該母體獨立抽取 $n$ 個樣本，則樣本平均數 $\bar{X}$ 的期望值為 $E[\bar{X}] = \mu$ ，樣本平均數的變異數為 $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ 。
題目給定母體平均數為 0，母體變異數為 1。

Question 2

A 95% confidence interval of a population mean is $(\underline{\mu}, \bar{\mu})$ . Which of the following statement is the most correct one?
a. If random samples were drawn again and again, with $\mu$ and $\bar{\mu}$ computed each time, the population mean would lie in the interval $[\underline{\mu}, \bar{\mu}]$ 95% of the samples.
b. If $\mu = 0.1$ and $\bar{\mu} = 0.5$ , the population mean would lie in the interval $[0.1, 0.5]$ with 95% probability.
c. If $\underline{\mu} = 0.05$ and $\bar{\mu} = 0.55$ , the population mean might still lie outside the interval $[0.05, 0.55]$ .
d. If $\underline{\mu} = 0.03$ and $\bar{\mu} = 0.56$ , the population mean would lie in the interval $[0.03, 0.56]$ greater than 95% probability.
e. a and c.

Accepted Answer

本題考驗對信賴區間 (Confidence Interval, CI) 的正確理解。信賴區間的解釋是統計學中常見的考點。

信賴區間的正確解釋是：如果我們重複進行抽樣和計算信賴區間的過程無限多次，那麼其中大約有 (1-α)% 的信賴區間會包含真正的母體參數。信賴區間本身是一個隨機變數，因為它是由樣本統計量計算出來的。

讓我們逐一分析選項：
a. 這個敘述是錯誤的。信賴區間是估計母體參數的範圍，而不是母體參數會落在某個範圍內的機率。母體參數 $\mu$ 是固定的，只是我們不知道它的值。信賴區間是樣本統計量計算出來的隨機區間。因此，不能說母體參數會落在某個信賴區間內的機率是 95%。
b. 這個敘述是錯誤的。

Question 3

If $E[XY] = E[X]$, then a. X and Y are mutually independent b. X and Y are uncorrelated c. $E[X^2 Y] = E[X^2]$ d. $Var(X|Y) = Var(X)$ e. $E[X] = 0$

Accepted Answer

本題考驗機率論中期望值、獨立性、相關性與變異數的性質。 題目給定條件為 $E[XY] = E[X]$。 我們逐一分析選項： a. X 和 Y 相互獨立 (mutually independent)：若 X 和 Y 相互獨立，則 $E[XY] = E[X]E[Y]$。題目給定 $E[XY] = E[X]$。若 $E[Y] 
eq 1$，則 $E[X]E[Y] 
eq E[X]$，因此 X 和 Y 不一定是相互獨立的。例如，若 $E[Y]=2$，則 $E[X]E[Y] = 2E[X] 
eq E[X]$。所以 a 不一定正確。 b. X 和 Y 不相關 (uncorrelated)：若 X 和 Y 不相關，則 $Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0$，即 $E[XY] = E[X]E[Y]$。題目給定 $E[XY] = E[X]$。若 $E[Y] = 1$，則 $E[XY] = E[X] \cdot 1 = E[X]$，此時 X 和 Y 可能不相關。然而，題目只給 $E[XY] = E[X]$，並沒有給 $E[Y]=1$ 的條件。 如果我們假設 $E[Y] = 1$，那麼 $E[XY] = E[X]$ 就會成立，這時 X 和 Y 就可能是不相關的。 但是，如果 $E[Y] 
eq 1$，例如 $E[Y] = 2$，則 $E[XY] = E[X]$。若 $E[X] 
eq 0$，則 $E[X]E[Y] = 2E[X] 
eq E[X]$。此時，X 和 Y 顯然是相關的。 然而，題目給定的條件是 $E[XY] = E[X]$。 我們可以將條件寫成 $E[XY] - E[X] = 0$。 考慮 $Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$。 若 $E[XY] = E[X]$，則 $E[X] = E[X]E[Y]$。 這意味著 $EX = 0$。 這告訴我們，要麼 $E[X] = 0$，要麼 $E[Y] = 1$ (或兩者皆為真)。 如果 $E[Y] = 1$，則 $Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = E[X] - E[X] \cdot 1 = 0$。此時 X 和 Y 不相關。 如果 $E[X] = 0$，則 $E[XY] = 0$。此時 $Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 - 0 \cdot E[Y] = 0$。此時 X 和 Y 也不相關。 所以，只要 $E[XY] = E[X]$ 成立，就必然滿足 $EX=0$，這會導致 $Cov(X,Y)=0$ (除非 $E[X]=0$ 且 $E[Y]
eq 1$ 的情況，但此時 $E[XY]=0$ 且 $E[X]=0$ 依然滿足 $E[XY]=E[X]$)。 因此，X 和 Y 必定不相關。 c. $E[X^2 Y]…

Question 4

Consider the following hypothesis test about population mean: $H_0: \mu = 3, H_1: \mu > 3$ . Which of the following results gives most supportive evidence to reject the hypothesis?
a. Sample mean equals to 5 and standard error equals to 1.
b. Sample mean equals to 5 and standard error equals to 2.
c. Sample mean equals to 3.5 and standard error equals to 1.
d. Sample mean equals to 2 and standard error equals to 1.
e. Sample mean equals to 2 and standard error equals to 0.5.

Accepted Answer

本題考驗對假設檢定中證據強度 (supportive evidence) 的理解，特別是與檢定統計量 (test statistic) 的關係。

在進行單一樣本平均數的 Z 檢定或 t 檢定時，檢定統計量的計算公式通常為：
$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma_{\bar{x}}}$ 或 $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s_{\bar{x}}}$
其中 $\bar{x}$ 是樣本平均數， $\mu_0$ 是虛無假設下的母體平均數， $\sigma_{\bar{x}}$ 或 $s_{\bar{x}}$ 是樣本平均數的標準誤 (standard error)。

在這個題目中，虛無假設是 $H_0: \mu = 3$ ，對立假設是 $H_1: \mu > 3$ 。
我們要找的是最能支持拒絕 $H_0$ 的結果。這意味著我們需要找到一個檢定統計量的值，這個值在對立假設 $H_1$ 下具有較大的機率出現，並且離虛無假設的值 3 越遠，且方向是 $\mu > 3$ 。

我們計算每個選項對應的檢定統計量的值。注意，這裡的「standard error」指的是樣本平均數的標準誤。

a. 樣本平均數 $\bar{x} = 5$ ，標準誤 $s_{\bar{x}} = 1$ 。
檢定統計量 $t = \frac{5 - 3}{1} = \frac{2}{1} = 2$ 。

Question 5

Suppose we want to test $H0: \mu = \mu0$ against $H1: \mu 
eq \mu0$: a. The power function of the test is a function of $\mu$ and describes the probability of rejecting $H0$. b. The maximum probability of committing a Type I error is called the power of the test. c. The minimum probability of committing a Type II error is called the size of the test. d. When the power function is evaluated at $\mu0$, the value equals to the probability of committing a Type II error. e. None of the above is correct.

Accepted Answer

本題考驗對假設檢定中 Type I 錯誤、Type II 錯誤、檢定功效 (Power) 和檢定大小 (Size) 的定義。 檢定設定為雙尾檢定：$H0: \mu = \mu0$ 對 $H1: \mu 
eq \mu0$。 我們逐一分析選項： a. 檢定功效 (Power Function) 的定義是當真實母體參數為某個值時，拒絕虛無假設 $H0$ 的機率。對於 $H1: \mu 
eq \mu0$，檢定功效是真實母體平均數 $\mu$ 的函數，記作 $Power(\mu) = P(	ext{Reject } H0 | \mu)$。這個敘述是正確的。 b. Type I 錯誤是當虛無假設 $H0$ 為真時，卻拒絕了 $H0$。Type I 錯誤的機率通常用 $\alpha$ 表示，即 $P(	ext{Reject } H0 | H0 	ext{ is true}) = \alpha$。檢定功效 (Power) 是當對立假設 $H1$ 為真時，正確地拒絕 $H0$ 的機率，即 $Power(\mu) = P(	ext{Reject } H0 | H1 	ext{ is true})$。因此，b 的敘述是錯誤的。Type I 錯誤的機率 ($\alpha$) 是固定的 (由顯著水準決定)，而 Power 是對立假設下參數值的函數。

Question 6

Consider two continuous random variables (X, Y) with $X \in [0, \infty)$ and $Y \in [1, 5]$ . The joint density function of (X, Y) is
$f_{XY}(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{4} y e^{-xy} & \text{if } x \in [0, \infty), y \in [1, 5] \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
What is the conditional density function of X given Y = 1 if $X \in [0, \infty)$ ?
a. $e^{-x}$
b. $\frac{1}{2} e^{-x}$
c. $x e^{-x}$
d. $\frac{1}{4} e^{-x}$
e. $e^{-x/2}$

Accepted Answer

本題考驗連續隨機變數的條件機率密度函數的計算。

給定聯合機率密度函數 (joint probability density function, jpdf) $f_{XY}(x, y)$ 。
我們需要計算在 $Y=1$ 的條件下，隨機變數 $X$ 的條件機率密度函數 (conditional probability density function, cpdf)，記為 $f_{X|Y}(x|y=1)$ 。

計算條件機率密度函數的步驟如下：

計算邊際機率密度函數 (marginal probability density function, mpdf) $f_Y(y)$ 。
使用公式 $f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{XY}(x, y)}{f_Y(y)}$ 。

首先，計算 $f_Y(y)$ ：
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{XY}(x, y) dx$
由於 $X \in [0, \infty)$ ，所以積分範圍是從 0 到 $\infty$ 。
$f_Y(y) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{4} y e^{-xy} dx$
在這個積分中， $y$ 被視為常數。
$f_Y(y) = \frac{1}{4} y \int_{0}^{\infty} e^{-xy} dx$
計算積分 $\int_{0}^{\infty} e^{-xy} dx$ 。
令 $u = -xy$ ，則 $du = -y dx$ ，所以 $dx = -\frac{1}{y} du$ 。
當 $x=0$ 時， $u=0$ 。當 $x \to \infty$ 時， $u \to -\infty$ (假設 $y > 0$ )。

Question 7

Consider an experiment having two outcomes: success with probability p = 0.12 and failure with probability 1 - p = 0.88. Suppose we independently conduct the experiment n times and estimate p with
$\hat{p} = \frac{\text{number of success experiments}}{n}$
What is the minimum value of n that will make standard deviation of $\hat{p}$ no greater than 0.01?
a. 30
b. 1056
c. 33
d. n does not matter here
e. None of the above is correct.

Accepted Answer

本題考驗對比例估計量 (proportion estimator) 的標準差性質的理解。

這個實驗是一個伯努利試驗序列 (sequence of Bernoulli trials)，獨立進行 $n$ 次。
成功機率為 $p = 0.12$ ，失敗機率為 $1-p = 0.88$ 。
樣本比例 $\hat{p}$ 是成功次數的比例。
$\hat{p}$ 的期望值是 $E[\hat{p}] = p$ 。
$\hat{p}$ 的變異數是 $Var(\hat{p}) = \frac{p(1-p)}{n}$ 。
$\hat{p}$ 的標準差是 $SD(\hat{p}) = \sqrt{Var(\hat{p})} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ 。

題目要求 $\hat{p}$ 的標準差 no greater than 0.01，即 $SD(\hat{p}) \le 0.01$ 。

Question 8

A population is composed of 5 numbers: 2, 4, 6, 8, 10. Let $\mu$ and $\sigma$ denote mean and standard deviation of the population, and $\mu_{\bar{x}}$ and $\sigma_{\bar{x}}$ denote mean and standard deviation of the sample mean from the population. Which of the following statement is the most correct one?
a. $\mu = 6, \sigma = 3.16$
b. $\mu = 6, \sigma_{\bar{x}} = 3.16$
c. $\mu_{\bar{x}} = 6, \sigma_{\bar{x}} = 2.83$
d. $\mu = 6, \sigma = 2.83$
e. $\mu_{\bar{x}} = \mu, \sigma = 3.16$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 母體平均數 $\mu$ 2. 母體標準差 $\sigma$ 3. 樣本平均數的期望值 $\mu{\bar{x}}$ 4. 樣本平均數的標準差 $\sigma{\bar{x}}$ 母體共有 $N=5$ 個數值： $$ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10 $$ 母體平均數為： $$ \mu=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6 $$ 母體標準差採用母體公式： $$ \sigma=\sqrt{\frac{\sum{i=1}^{N}(xi-\mu)^2}{N}} $$ 解題方法 各數值與平均數 $6$ 的差距平方如下： $$ (2-6)^2=16,\quad (4-6)^2=4,\quad (6-6)^2=0 $$ $$ (8-6)^2=4,\quad (10-6)^2=16 $$ 因此平方離差總和為： $$ 16+4+0+4+16=40 $$ 母體變異數為： $$ \sigma^2=\frac{40}{5}=8 $$ 所以母體標準差為： $$ \sigma=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2.83 $$ 此外，若以隨機抽樣形成樣本平均數，樣本平均數具有下列基本性質： $$ \mu{\bar{x}}=\mu $$ 因此： $$ \mu{\bar{x}}=6 $$ 但 $\sigma{\bar{x}}$ 必須知道樣本大小 $n$，不能僅由題目給定的母體數值直接判定為 $2.83$ 或 $3.16$。 若為獨立抽樣，則： $$ \sigma{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$ 若為不放回簡單隨機抽樣，還須乘上有限母體修正： $$ \sigma{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} $$ 選項分析 a. $\mu=6,\ \sigma=3.16$ 平均數 $\mu=6$ 正確，但母體標準差應為： $$ \sigma=\sqrt{8}\approx 2.83 $$

Question 9

If we calculate sample mean from the population in question 8, with sample size equal to 2. Let $f_{\bar{X}}(x)$ and $F_{\bar{X}}(x)$ denote the theoretical density and cumulative distributions of the sample mean, respectively. Which of the following statement is the most correct one?
a. $f_{\bar{X}}(4) = 0.13, F_{\bar{X}}(4) = 0.2$
b. $f_{\bar{X}}(5) = 0.2, F_{\bar{X}}(4) = 0.2$
c. $f_{\bar{X}}(3) = 0.1, F_{\bar{X}}(4) = 0.3$
d. $f_{\bar{X}}(7.8) = 0.1, F_{\bar{X}}(8) = 0.7$
e. $f_{\bar{X}}(5.5) = 0.08, F_{\bar{X}}(7) = 0.7$

Accepted Answer

核心觀念 本題要求由第 8 題所給的母體分配，推導樣本平均數 $$ \bar X=\frac{X1+X2}{2}, $$ 其中樣本數為 $n=2$。因此必須知道第 8 題的母體機率密度函數（或機率質量函數），才能求出： - 樣本平均數的密度函數 $f{\bar X}(x)$； - 樣本平均數的累積分配函數 $F{\bar X}(x)=P(\bar X\le x)$。 若 $X1,X2$ 為獨立同分配，則 $$ f{\bar X}(x) = 2f{X1+X2}(2x), $$ 而 $$ f{X1+X2}(s) = \int{-\infty}^{\infty} fX(u)fX(s-u)\,du. $$ 所以 $$ f{\bar X}(x) = 2\int{-\infty}^{\infty} fX(u)fX(2x-u)\,du. $$ 累積分配函數則為 $$ F{\bar X}(x) = P\left(\frac{X1+X2}{2}\le x\right) = P(X1+X2\le 2x). $$ 解題方法 本題的正確切入點是： 1. 先讀取第 8 題給出的母體分配； 2. 建立 $X1+X2$ 的分配； 3. 將總和除以 $2$，得到 $\bar X$ 的分配； 4. 分別計算各選項所指定的 $f{\bar X}(x)$ 與 $F{\bar X}(x)$。 然而，題目所提供的內容未包含第 8 題的母體分配，因此無法計算上述積分、卷積或離散機率。僅憑第 9 題本身，無法判定 $f{\bar X}(4)$、$F{\bar X}(4)$ 等數值。 選項分析

Question 10

If we calculate a sample mean from the population in question 8, with sample size equal to 2. Let $\mu_{\bar{X}_2}$ and $\sigma_{\bar{X}_2}$ denote mean and standard deviation of the sample mean. Which of the following statement is the most correct one?
a. $\mu_{\bar{X}_2} = 5.5, \sigma_{\bar{X}_2} = 3.16$
b. $\mu_{\bar{X}_2} = 6, \sigma_{\bar{X}_2} = 1.73$
c. $\mu_{\bar{X}_2} = 6, \sigma_{\bar{X}_2} = 2.83$
d. $\mu_{\bar{X}_2} = 5.5, \sigma_{\bar{X}_2} = 1.89$
e. $\mu_{\bar{X}_2} = 6, \sigma_{\bar{X}_2} = 2.04$

Accepted Answer

核心觀念 樣本平均數的期望值恆等於母體平均數：$\mu{\bar X}=\mu$。標準差則要看抽樣方式： - 放回抽樣：$\sigma{\bar X}=\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ - 不放回抽樣（有限母體）：$\sigma{\bar X}=\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}$ 使用第 8 題的母體 母體為 $\{2,4,6,8,10\}$，$N=5$： $$\mu=6,\qquad \sigma^2=\frac{16+4+0+4+16}{5}=8,\qquad \sigma=2.83$$ 判斷抽樣方式 第 9 題（同一母體、$n=2$）的選項 b 寫 $f{\bar X}(5)=0.2$、$F{\bar X}(4)=0.2$，正好對應不放回抽樣：$\binom52=10$ 組樣本的平均數為 $3,4,5,5,6,6,7,7,8,9$，$\bar X=5$ 出現 2 次（機率 0.2），$\bar X\le4$ 也有 2 次（0.2）。若是放回抽樣，$\bar X=2$ 也會出現、機率結構完全不同。因此本題同樣採不放回抽樣。

Question 11

Consider two discrete random variables (X,Y) with $X \in \{0,1,2\}$ and $Y \in \{0,3\}$ . The joint probability mass function of (X, Y) is
$P_{XY}(x,y) = \begin{cases} 1/3 & \text{if } x = 0, y = 0 \\ 1/3 & \text{if } x = 1, y = 3 \\ 1/3 & \text{if } x = 2, y = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
What is the conditional expectation of X given Y = 0?
a. 0.5
b. 1
c. 2/3
d. 3
e. None of the above is correct.

Accepted Answer

本題考驗離散隨機變數的條件期望值 (conditional expectation) 的計算。

首先，我們需要建立聯合機率質量函數 (joint probability mass function, jpmf) 的表格，以便更容易理解。
$X \in \{0, 1, 2\}$ , $Y \in \{0, 3\}$ 。
給定的 jpmf：
$P(X=0, Y=0) = 1/3$
$P(X=1, Y=3) = 1/3$
$P(X=2, Y=0) = 1/3$
所有其他組合的機率為 0。

聯合機率質量函數表格：

	Y=0	Y=3	Marginal P(X=x)
X=0	1/3	0	1/3
X=1	0	1/3	1/3
X=2	1/3	0	1/3
Marginal P(Y=y)	2/3	1/3	1

我們需要計算 $E[X | Y=0]$ 。
首先，我們需要找到在 $Y=0$ 的條件下，隨機變數 $X$ 的條件機率質量函數 (conditional probability mass function, cpmf)，記為 $P(X=x | Y=0)$ 。

計算邊際機率 $P(Y=0)$ ：
從表格中，我們可以看到 $P(Y=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=1, Y=0) + P(X=2, Y=0)$ 。

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Question 12

Let X be a positive random variable, whose expectation equals to 0.5 and variance equals to 1. Consider the probabilities that: $P(X < 10)$ and $P(X \ge 8)$ . Which of the following statement is the most correct one?
a. $P(X \ge 8) > 0.7$
b. $P(X < 10) > 0.5$
c. $P(X < 10) < 0.4$
d. $P(X < 10) < 0.3$
e. $P(X < 8) < 0.2$

Accepted Answer

核心觀念 本題主要考察： 1. 非負隨機變數的期望值。 2. Markov 不等式： $$ P(X\ge a)\le \frac{E(X)}{a},\qquad a0 $$ 因為 $X$ 為正隨機變數，所以可直接使用 Markov 不等式。題目給出的變異數在本題中並非必要資訊，主要用來干擾判斷。 已知： $$ E(X)=0.5 $$ --- 解題方法 先估計 $P(X\ge 10)$： $$ P(X\ge 10)\le \frac{E(X)}{10} =\frac{0.5}{10} =0.05 $$ 因此： $$ P(X<10)=1-P(X\ge 10)\ge 1-0.05=0.95 $$ 所以必然有： $$ P(X<10)\ge 0.950.5 $$ 再估計 $P(X\ge 8)$： $$ P(X\ge 8)\le \frac{E(X)}{8} =\frac{0.5}{8} =0.0625 $$ 因此： $$ P(X<8)=1-P(X\ge 8)\ge 1-0.0625=0.9375 $$ --- 選項分析 a. $P(X\ge 8)0.7$ 由 Markov 不等式：

Question 13

Suppose that $\Omega = \{a, b, c, d, e\}$ and $A$ and $B$ are subsets of $\Omega$ . It is known that the complement of $A$ , $A^c = \{a, b, c\}$ and the complement of $B$ , $B^c = \{b, c, d\}$ . What is the complement of $A$ or $B$ , $(A \cup B)^c$ ?
a. $\{d\}$
b. $\{b, c\}$
c. $\{a, e\}$
d. $\{a, b, c, d\}$
e. $\{a, d, e\}$

Accepted Answer

本題考驗集合論中的補集、聯集和德摩根定律 (De Morgan's Laws)。

給定全集 $\Omega = \{a, b, c, d, e\}$ 。
給定 $A$ 的補集 $A^c = \{a, b, c\}$ 。
給定 $B$ 的補集 $B^c = \{b, c, d\}$ 。

我們需要求 $(A \cup B)^c$ 。
根據德摩根定律， $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ 。

我們已經知道 $A^c$ 和 $B^c$ 。
$A^c = \{a, b, c\}$
$B^c = \{b, c, d\}$

現在我們計算 $A^c \cap B^c$ ，即找出 $A^c$ 和 $B^c$ 的共同元素。
$A^c \cap B^c = \{a, b, c\} \cap \{b, c, d\} = \{b, c\}$ 。

所以， $(A \cup B)^c = \{b, c\}$ 。

Question 14

Let X be a continuous random variable with density function
$f_X(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{2} & \text{if } x \in [0, 2] \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
Let $Y = \sqrt{X} + 1$ . What is the density function of Y if $Y \in [1, 3]$ ?
a. $\frac{1}{2}(y^2 - 1)^2 y$
b. $\frac{1}{2} y^2$
c. $\frac{1}{2} (y-1)^2 y$
d. $\frac{1}{2} (y^2 - \sqrt{3})^2 y$
e. $\frac{1}{2} (y-1)^2$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查一對一連續型隨機變數變換的密度函數公式。若 $Y=g(X)$ 且 $g$ 單調可逆，則 $$ fY(y)=fX\bigl(g^{-1}(y)\bigr) \left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)ight|. $$ 其中絕對值 Jacobian 不可省略。 解題方法 已知 $$ Y=\sqrt{X}+1. $$ 先求反函數： $$ Y-1=\sqrt{X} \quad\Longrightarrow\quad X=(Y-1)^2. $$ 因此 $$ x=(y-1)^2, \qquad \frac{dx}{dy}=2(y-1). $$ 由於 $X\in[0,2]$，所以 $$ Y=\sqrt{X}+1\in[1,3]. $$ 代入變數變換公式： $$ \begin{aligned} fY(y) &=fX\bigl((y-1)^2\bigr)\left|2(y-1)ight|\ &=\frac{((y-1)^2)^2}{2}\cdot 2(y-1)\ &=(y-1)^5, \qquad 1\le y\le 3. \end{aligned} $$ 故依照題目所給的函數直接變換，得到 $$ fY(y)= \begin{cases} (y-1)^5, & 1\le y\le 3,\ 0, & 	ext{otherwise}. \end{cases} $$ 不過，題目給定的 $fX$ 本身並非合法的機率密度，因為 $$ \int0^2\frac{x^2}{2}\,dx =\frac12\cdot\frac{2^3}{3} =\frac43
e1. $$ 若將其正規化，正確的 $X$ 密度應為 $$ fX(x)=\frac{3x^2}{8},\qquad 0\le x\le2. $$ 此時

Question 15

Consider n samples independently drawn from a distribution with mean 0 and variance 1. What is the minimum value of n that will make bias of the sample mean no greater than 0.1?
a. 30
b. 3
c. 100
d. n does not matter here
e. None of the above is correct.

Accepted Answer

本題考驗對樣本平均數 (sample mean) 的偏差 (bias) 的理解。

假設從一個母體中獨立抽取 $n$ 個樣本，該母體的平均數為 $\mu$ 且變異數為 $\sigma^2$ 。
樣本平均數 $\bar{X}$ 的定義是所有樣本的平均值： $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 。

樣本平均數的期望值 $E[\bar{X}]$ ：
$E[\bar{X}] = E[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[X_i]$ 。
由於樣本是從同一個母體獨立抽取的，所以 $E[X_i] = \mu$ 對於所有的 $i$ 。
$E[\bar{X}] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mu = \frac{1}{n} (n \mu) = \mu$ 。

偏差 (bias) 的定義是估計量的期望值與其估計的參數值之間的差異。
Bias( $\bar{X}$ ) = $E[\bar{X}] - \mu$ 。

Question 16

Let X be a random variable whose expectation equals to 3 and variance equals to 5. Consider the probabilities: $P(|X-3| < 10)$ and $P(|X - 3| \ge 8)$ . Which of the following statement is not the correct one?
a. $P(|X-3| < 10) > 0.75$
b. $P(|X – 3| \ge 8) \ge 0.1$
c. $P(|X – 3| \ge 8) <0.05$
d. $P(|X – 3| \ge 8) \ge 0.06$
e. $P(|X – 3| < 10) > 0.8$

Accepted Answer

核心觀念 本題評量的是柴比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality）及其對立事件（互補機率）之應用。 設隨機變數 $X$ 的期望值為 $E(X) = \mu$，變異數為 $Var(X) = \sigma^2$。對於任意正實數 $k 0$（或任意常數 $c 0$），柴比雪夫不等式提供機率界限： 1. 尾端機率（極值偏離界限）： $$ P(|X - \mu| \ge c) \le \frac{\sigma^2}{c^2} $$ 若令 $c = k\sigma$，則可表為 $P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}$。 2. 中心機率（集中度下界）： $$ P(|X - \mu| < c) \ge 1 - \frac{\sigma^2}{c^2} $$ 若令 $c = k\sigma$，則可表為 $P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$。 --- 解題方法 由題意可知： - 平均數 $\mu = E(X) = 3$ - 變異數 $\sigma^2 = Var(X) = 5$ 將各參數代入柴比雪夫不等式進行界限計算： 1. 計算 $P(|X - 3| < 10)$ 的界限 此處偏差門檻 $c = 10$。利用中心機率型柴比雪夫不等式： $$ P(|X - 3| < 10) \ge 1 - \frac{\sigma^2}{10^2} = 1 - \frac{5}{100} = 1 - 0.05 = 0.95 $$ 因此，不論 $X$ 服從何種機率分配，機率值恆滿足： $$ P(|X - 3| < 10) \ge 0.95 $$ 既然該機率至少為 $0.95$，自然必然大於 $0.75$ 與 $0.8$。 2. 計算 $P(|X - 3| \ge 8)$ 的界限 此處偏差門檻 $c = 8$。利用尾端機率型柴比雪夫不等式： $$ P(|X - 3| \ge 8) \le \frac{\sigma^2}{8^2} = \frac{5}{64} = 0.078125 $$ 因此，不論 $X$ 服從何種機率分配，其尾端機率的理論上限為 $\frac{5}{64} \approx 0.078125$： $$ P(|X - 3| \ge 8) \le 0.078125 $$ --- 選項分析

Question 17

Consider n samples $(X1, X2, ..., Xn)$ independently drawn from a distribution with mean $\mu = 0$ and variance $\sigma^2 = 1$. The following estimator is used to estimate $\sigma^2$: $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum{i=1}^n Xi^2$ What is the minimum value of n that makes bias of $\hat{\sigma}^2$ no greater than 0.01? a. 30 b. 7 c. $\sigma^2$ is a biased estimator and so increasing n has no effect on reducing the bias d. n does not matter here e. $\hat{\sigma}^2$ is a biased estimator in finite sample but increasing n can reduce the bias

Accepted Answer

核心觀念 估計量的偏誤定義為 $$ \operatorname{Bias}(\hat{	heta})=E(\hat{	heta})-	heta. $$ 本題以 $$ \hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum{i=1}^n Xi^2 $$ 估計母體變異數 $\sigma^2$。已知 $$ \mu=0,\qquad \sigma^2=1. $$ 由變異數公式： $$ \sigma^2=E(Xi^2)-[E(Xi)]^2, $$ 因此 $$ E(Xi^2)=\sigma^2+\mu^2=1+0^2=1. $$ 解題方法與計算 計算估計量的期望值： $$ E(\hat{\sigma}^2) =E\left(\frac{1}{n}\sum{i=1}^n Xi^2ight) =\frac{1}{n}\sum{i=1}^n E(Xi^2). $$ 因為每個 $Xi$ 的分布相同，且 $E(Xi^2)=1$，所以 $$ E(\hat{\sigma}^2) =\frac{1}{n}\cdot n\cdot 1 =1. $$ 故偏誤為 $$ \operatorname{Bias}(\hat{\sigma}^2) =E(\hat{\sigma}^2)-\sigma^2 =1-1=0. $$ 由於 $$ |\operatorname{Bias}(\hat{\sigma}^2)|=0\leq 0.01, $$

Question 18

Suppose Y is a Poisson random variable with mean $\lambda = 4$ and X is a Chi-square random variable with degree of freedom df = 2. Which of the following statement is the most correct one?
a. Covariance between X and Y is greater than 6
b. $E[X + Y] = 4$
c. Variance of X + Y equals to 8
d. Covariance between 2X and 3Y is between -24 and 24
e. Variance of X + Y is between 8 and 16

Accepted Answer

核心觀念 本題考查期望值、變異數、共變異數，以及柯西—許瓦茲不等式： - 若 $Y\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$，則 $$E(Y)=\lambda,\qquad \operatorname{Var}(Y)=\lambda.$$ - 若 $X\sim\chi^2(
u)$，則 $$E(X)=
u,\qquad \operatorname{Var}(X)=2
u.$$ - 期望值具線性： $$E(X+Y)=E(X)+E(Y).$$ - 變異數： $$ \operatorname{Var}(X+Y) =\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y). $$ - 共變異數的尺度性質： $$\operatorname{Cov}(aX,bY)=ab\operatorname{Cov}(X,Y).$$ - 柯西—許瓦茲不等式： $$ |\operatorname{Cov}(X,Y)| \leq \sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}. $$ 題目沒有說明 $X$ 與 $Y$ 獨立，因此不能直接令 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$。 --- 解題方法 已知 $Y\sim\operatorname{Poisson}(4)$，所以 $$ E(Y)=4,\qquad \operatorname{Var}(Y)=4. $$ 又 $X\sim\chi^2(2)$，因此 $$ E(X)=2,\qquad \operatorname{Var}(X)=2(2)=4. $$ 由柯西—許瓦茲不等式， $$ |\operatorname{Cov}(X,Y)| \leq \sqrt{4\cdot4}=4. $$ 因此 $$ -4\leq \operatorname{Cov}(X,Y)\leq4. $$ 進一步， $$ \operatorname{Cov}(2X,3Y) =2\cdot3\operatorname{Cov}(X,Y) =6\operatorname{Cov}(X,Y), $$ 所以 $$ -24\leq \operatorname{Cov}(2X,3Y)\leq24. $$ 故選項 d 的敘述一定成立。 --- 選項分析 a. Covariance between X and Y is greater than 6 由上面的界線，

Question 19

In country A, according to past experience, 40% of video game consoles sold were PS4, 10% were xbox I and 50% were Switch. To maintain the inventory of each type of video game consoles, Tony conducts a survey and gather a random sample of 100 sales of video game consoles and finds that 30 of them are PS4, 30 are xbox I and 40 are switch. To test whether past pattern of sales of video game consoles still prevails, Tony uses the chi-square test with 1% level of significance. Let $Q_{\chi^2_k}(\alpha)$ denote the $\alpha$ th quantile of a chi-square random variable with degree of freedom k:
a. The value of the test statistic is 44.5 and the critical value used should be $Q_{\chi^2_3}(0.99)$ .
b. The value of the test statistic is 17.83 and the critical value used should be $Q_{\chi^2_3}(0.995)$ .
c. The value of the test statistic is 42 and the critical value used should be $Q_{\chi^2_3}(0.99)$ .
d. The value of the test statistic is 45.33 and the critical value used should be $Q_{\chi^2_3}(0.99)$ .
e. The value of the test statistic is 45.33 and the critical value used should be $Q_{\chi^2_3}(0.995)$ .

Accepted Answer

核心觀念 本題考「卡方適合度檢定」： - $H0$：過去的銷售比例仍然成立，即 $$p{\mathrm{PS4}}=0.4,\quad p{\mathrm{xbox}}=0.1,\quad p{\mathrm{Switch}}=0.5$$ - $H1$：至少有一項銷售比例不同。 - 卡方適合度檢定統計量： $$\chi^2=\sum{i=1}^{k}\frac{(Oi-Ei)^2}{Ei}$$ 其中 $Oi$ 為觀察次數，$Ei$ 為虛無假設下的期望次數。 - 若有 $k$ 個類別，且沒有估計未知參數，則自由度為： $$df=k-1$$ 解題方法 樣本數為 $n=100$，依照過去比例，期望次數為： $$ \begin{array}{c|c|c} 	ext{種類} & Oi & Ei=100pi\ \hline \mathrm{PS4} & 30 & 40\ \mathrm{xbox\ I} & 30 & 10\ \mathrm{Switch} & 40 & 50 \end{array} $$ 因此檢定統計量為： $$ \begin{aligned} \chi^2 &=\frac{(30-40)^2}{40} +\frac{(30-10)^2}{10} +\frac{(40-50)^2}{50}\ &=\frac{100}{40}+\frac{400}{10}+\frac{100}{50}\ &=2.5+40+2\ &=44.5 \end{aligned} $$ 共有 $k=3$ 種遊戲機，且比例 $0.4,0.1,0.5$ 已經給定，沒有從樣本估計參數，因此： $$ df=k-1=3-1=2 $$ 顯著水準為 $1\%$，卡方檢定為右尾檢定，因此臨界值應為： $$ Q{\chi^22}(0.99) $$ 查表可得：

Question 20

Let (X, Y) be two random variables such that standard deviation of X is 2 and covariance between X and Y is 2. What is the covariance between 3X and X + 3Y? a. 21 b. 10 c. 25 d. 16 e. 30

Accepted Answer

本題考驗共變異數 (covariance) 的性質。

已知：
$SD(X) = \sigma_X = 2$ 。
$Cov(X, Y) = 2$ 。

我們需要計算 $Cov(3X, X + 3Y)$ 。
根據共變異數的性質：

$Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y)$
$Cov(X+a, Y+b) = Cov(X, Y)$ (與常數相加無關)
$Cov(X_1 + X_2, Y_1 + Y_2) = Cov(X_1, Y_1) + Cov(X_1, Y_2) + Cov(X_2, Y_1) + Cov(X_2, Y_2)$

應用這些性質：
$Cov(3X, X + 3Y) = Cov(3X, X) + Cov(3X, 3Y)$

Question 21

Let X be a strictly positive random variable, whose expectation equals to 0.5 and variance equals to 1. Which of the following statement is the most correct one?
a. $E[\ln(2X)] > 0.5$
b. $E[\ln(2X)] \le 0$
c. $\ln(E[X^2]) > -0.2$
d. $\ln(E[X^2]) < -0.3$
e. $2 \ln(E[X]) > -1$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 變異數與二階動差的關係： $$\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\{E[X]\}^2$$ 2. Jensen 不等式：因為 $\ln x$ 為嚴格凹函數， $$E[\ln X]\le \ln(E[X])$$ 已知 $$E[X]=0.5,\qquad \operatorname{Var}(X)=1$$ --- 解題方法 先計算 $E[X^2]$： $$ 1=E[X^2]-(0.5)^2 $$ 因此 $$ E[X^2]=1+0.25=1.25 $$ 再利用對數函數的凹性判斷 $E[\ln(2X)]$： $$ E[\ln(2X)] \le \ln(E[2X]) =\ln(2E[X]) =\ln(1) =0 $$ 由於 $\operatorname{Var}(X)=10$，所以 $X$ 並非常數，Jensen 不等式實際上為嚴格不等式： $$ E[\ln(2X)]<0 $$ --- 選項分析 (a) $E[\ln(2X)]0.5$ 由 Jensen 不等式可得 $$ E[\ln(2X)]\le 0 $$ 不可能大於 $0.5$，因此錯誤。 --- (b) $E[\ln(2X)]\le 0$ 由 $$ E[\ln(2X)]\le \ln(E[2X])=\ln(1)=0 $$ 可知此敘述正確。 --- (c) $\ln(E[X^2])-0.2$

Question 22

A manager wants to see whether the proportion of acceptable products from supplier A, $p_A$ , is greater than for supplier B, $p_B$ . The manager draw $n_A = 123$ random sample from A's and $n_B = 94$ samples from B's products. She finds that acceptable rates of samples for products from A and B are $\hat{p}_A = 0.87$ and $\hat{p}_B = 0.79$ , respectively. The manager plans to compute a test statistic and compare it with critical value from a standard normal distribution with significance level 5%:
a. The value of the test statistic is 1.575 and the critical value is 1.645.
b. The value of the test statistic is 3.061 and the critical value is 2.33.
c. The value of the test statistic is 0.984 and the critical value is 1.96.
d. The value of the test statistic is 3.33 and the critical value is 2.33.
e. The value of the test statistic is 1.775 and the critical value is 1.645.

Accepted Answer

本題考驗兩樣本比例檢定 (two-sample proportion test) 的應用。

檢定目的：判斷 supplier A 的可接受產品比例 $p_A$ 是否大於 supplier B 的 $p_B$ 。
虛無假設 $H_0: p_A \le p_B$ (或 $p_A - p_B \le 0$ )。
對立假設 $H_1: p_A > p_B$ (或 $p_A - p_B > 0$ )。
這是右尾檢定。

樣本資訊：
Supplier A: $n_A = 123$ , $\hat{p}_A = 0.87$ 。
Supplier B: $n_B = 94$ , $\hat{p}_B = 0.79$ 。
顯著水準 $\alpha = 5\% = 0.05$ 。

當我們進行比例檢定時，通常會合併兩個樣本的比例來估計共同比例 $p$ (pooled proportion)，尤其是在虛無假設為 $p_A = p_B$ 時。
然而，這裡的對立假設是 $p_A > p_B$ ，但為了計算檢定統計量，我們通常需要一個共同的比例估計值。
在 Z 檢定中，當 $H_0: p_A = p_B$ 時，我們使用合併比例 $\hat{p}_{pooled}$ 。
$\hat{p}_{pooled} = \frac{n_A \hat{p}_A + n_B \hat{p}_B}{n_A + n_B}$ 。
$\hat{p}_{pooled} = \frac{123 \cdot 0.87 + 94 \cdot 0.79}{123 + 94} = \frac{107.01 + 74.26}{217} = \frac{181.27}{217} \approx 0.8353$ 。

檢定統計量 Z 的公式為：
$Z = \frac{(\hat{p}_A - \hat{p}_B) - (p_A - p_B)_0}{\sqrt{\hat{p}_{pooled}(1-\hat{p}_{pooled})(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B})}}$
在 $H_0$ 下， $(p_A - p_B)_0 = 0$ 。
$Z = \frac{\hat{p}_A - \hat{p}_B}{\sqrt{\hat{p}_{pooled}(1-\hat{p}_{pooled})(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B})}}$

分子： $\hat{p}_A - \hat{p}_B = 0.87 - 0.79 = 0.08$ 。
分母的標準誤：
$1 - \hat{p}_{pooled} = 1 - 0.8353 = 0.1647$ 。
$\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B} = \frac{1}{123} + \frac{1}{94} \approx 0.00813 + 0.01064 = 0.01877$ 。
$\hat{p}_{pooled}(1-\hat{p}_{pooled}) = 0.8353 \times 0.1647 \approx 0.1374$ 。

Question 23

Consider an experiment having two outcomes: success (probability p = 0.1) and failure (probability 1-p = 0.9). Suppose the experiment is independently conducted n times and p is estimated with
$\hat{p} = \frac{\text{number of success experiments}}{n}$
What is the minimum value of n that will make $E[\hat{p}] - p < 0.001$ ?
a. 30
b. 6
c. 90
d. n does not matter here
e. None of the above is correct.

Accepted Answer

本題考驗對樣本比例估計量 (sample proportion estimator) 的期望值與真實比例之間的差值的理解。

題目給定：
實驗成功機率 $p = 0.1$ 。
實驗獨立進行 $n$ 次。
樣本比例估計量 $\hat{p} = \frac{\text{Number of successes}}{n}$ 。

我們需要找到最小的 $n$ ，使得 $E[\hat{p}] - p < 0.001$ 。

首先，計算樣本比例估計量 $\hat{p}$ 的期望值 $E[\hat{p}]$ 。
$\hat{p}$ 的分子是 $n$ 次獨立伯努利試驗的成功次數，這是一個二項分佈 $B(n, p)$ 的隨機變數。
二項分佈的期望值是 $np$ 。
所以， $E[\text{Number of successes}] = np$ 。

$E[\hat{p}] = E\left[\frac{\text{Number of successes}}{n}\right] = \frac{1}{n} E[\text{Number of successes}] = \frac{1}{n} (np) = p$ 。

樣本比例估計量 $\hat{p}$ 的期望值 $E[\hat{p}]$ 等於真實比例 $p$ 。
所以， $E[\hat{p}] = p$ 。

Question 24

Which of the following statement is the most correct one?
a. A Type I error is an error such that if the null is hypothesis is true, we reject the null.
b. A Type II error is an error such that if the null is hypothesis is true, we reject the null.
c. A Type II error is an error such that if the null is hypothesis is not true, we do not reject the null.
d. A Type I error is an error such that if the null is hypothesis is not true, we do not reject the null.
e. a and c.

Accepted Answer

本題考驗對假設檢定中 Type I 錯誤和 Type II 錯誤定義的理解。

Type I 錯誤 (Alpha error)：當虛無假設 $H_0$ 為真時，卻拒絕了 $H_0$ 。
機率通常用 $\alpha$ 表示。

Type II 錯誤 (Beta error)：當對立假設 $H_1$ 為真時 (也就是虛無假設 $H_0$ 為假時)，卻未能拒絕 $H_0$ 。
機率通常用 $\beta$ 表示。

讓我們逐一分析選項：
a. A Type I error is an error such that if the null is hypothesis is true, we reject the null.
這個敘述正確地定義了 Type I 錯誤。

b. A Type II error is an error such that if the null is hypothesis is true, we reject the null.

Question 25

In country B, men's longevity are investigated and the following results are found: 1. Probability that a man lives at least 70 years is 77%; 2. Probability that a man lives at least 80 years is 48%. What is the conditional probability that a man's age is at least 80 years old given that he has just celebrated his 70th birthday?
a. $\frac{48}{77}$
b. 0.48
c. 0.77
d. 1
e. None of the above is correct.

Accepted Answer

本題考驗條件機率 (conditional probability) 的計算。

設事件 A 為「一個男人活到至少 80 歲」。
設事件 B 為「一個男人活到至少 70 歲」。

已知資訊：
$P(B) = P(\text{lives at least 70 years}) = 0.77$ 。
$P(A) = P(\text{lives at least 80 years}) = 0.48$ 。

我們需要計算條件機率 $P(A | B)$ ，即「一個男人活到至少 80 歲的機率，條件是這個男人已經活到至少 70 歲」。
根據條件機率的定義：
$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ 。

110 年國立政治大學國際經營與貿易學系研究所國際經濟、國際財管、國際企管與行銷組《統計學》

第 1 題

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

第 7 題

第 8 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 9 題

第 10 題

第 11 題

第 12 題

第 13 題

第 14 題

第 15 題

第 16 題

核心觀念

解題方法

1. 計算 $P(|X - 3| < 10)$ 的界限

2. 計算 $P(|X - 3| \ge 8)$ 的界限

選項分析

第 17 題

核心觀念

解題方法與計算

第 18 題

第 19 題

第 20 題

第 21 題

第 22 題

第 23 題

第 24 題

第 25 題

其他考古題

110 年政治大學的其他科目

政治大學《統計學》其他年度

其他學校的企管與商學考古題

110 年 國立政治大學國際經營與貿易學系研究所國際經濟、國際財管、國際企管與行銷組《統計學》

第 1 題

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

第 7 題

第 8 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 9 題

第 10 題

第 11 題

第 12 題

第 13 題

第 14 題

第 15 題

第 16 題

核心觀念

解題方法

1. 計算 P(∣X−3∣<10)P(|X - 3| < 10)P(∣X−3∣<10) 的界限

2. 計算 P(∣X−3∣≥8)P(|X - 3| \ge 8)P(∣X−3∣≥8) 的界限

選項分析

第 17 題

核心觀念

解題方法與計算

第 18 題

第 19 題

第 20 題

第 21 題

第 22 題

第 23 題

第 24 題

第 25 題

其他考古題

110 年政治大學的其他科目

政治大學《統計學》其他年度

其他學校的企管與商學考古題

110 年國立政治大學國際經營與貿易學系研究所國際經濟、國際財管、國際企管與行銷組《統計學》

1. 計算 $P(|X - 3| < 10)$ 的界限

2. 計算 $P(|X - 3| \ge 8)$ 的界限