112 年 國立政治大學科技管理與智慧財產研究所科技管理組（一般生）《經濟學》

本題主要考驗積分與極限的概念。

(1) 此題為不定積分，觀察被積函數，分子包含 $\sin x$、$x^{2023}$ 與常數 1，分母為 $1+x^2$。此種形式的積分通常沒有標準的解析解法，尤其是 $\sin x$ 與 $x^{2023}$ 這兩項。若題目為計算定積分，或許有特殊技巧。但此處為不定積分，且形式複雜，無明顯降階或轉換方法。因此，此積分無法用基本函數表示。

(2) 此題考驗極限的計算，形式為 $\infty \times 0$ 的不定型。
令 $y = \frac{1}{x}$，則當 $x \to \infty$ 時，$y \to 0^+$。

本題考驗 Maclaurin 級數的定義與應用，以及誤差估計。

(1) Maclaurin 級數是泰勒級數在 $a=0$ 時的特例，其公式為：
$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$
對於 $f(x) = \sin x$，我們需要計算其各階導數在 $x=0$ 的值：
$f(x) = \sin x \implies f(0) = 0$
$f'(x) = \cos x \implies f'(0) = 1$
$f''(x) = -\sin x \implies f''(0) = 0$
$f'''(x) = -\cos x \implies f'''(0) = -1$
$f^{(4)}(x) = \sin x \implies f^{(4)}(0) = 0$
$f^{(5)}(x) = \cos x \implies f^{(5)}(0) = 1$
週期性地，偶數階導數在 0 的值為 0，奇數階導數在 0 的值為 1 或 -1。
因此，$\sin x$ 的 Maclaurin 級數展開為：
$\sin x = 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 + \cdots$
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

(2) 我們要估計 $\sin 1$ (這裡的 1 是指弧度)，並要求誤差小於 $10^{-3}$。將 $x=1$ 代入 Maclaurin 級數：
$\sin 1 = 1 - \frac{1^3}{3!} + \frac{1^5}{5!} - \frac{1^7}{7!} + \cdots$
$\sin 1 = 1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{120} - \frac{1}{5040} + \cdots$
這個級數是交錯級數。

本題考驗分部積分法。此積分是常見的積分形式，通常需要使用兩次分部積分。

令 $I = \int e^x \sin x dx$。

第一次分部積分：
選擇 $u = \sin x$，$dv = e^x dx$。
則 $du = \cos x dx$，$v = e^x$。
$I = uv - \int v du = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$

第二次分部積分，對 $\int e^x \cos x dx$ 進行：
選擇 $u = \cos x$，$dv = e^x dx$。
則 $du = -\sin x dx$，$v = e^x$。
$\int e^x \cos x dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$

本題考驗微分方程式的求解，此為一階可分離變數的微分方程式。

將方程式改寫為：
$\frac{dy}{dx} = -y e^{2x}$
將含有 $y$ 的項移到左邊，含有 $x$ 的項移到右邊，實現變數分離：
$\frac{dy}{y} = -e^{2x} dx$
對兩邊同時積分：
$\int \frac{dy}{y} = \int -e^{2x} dx$
左邊積分得 $\ln|y|$。
右邊積分，令 $u = 2x$，則 $du = 2dx$，即 $dx = \frac{1}{2}du$。
$\int -e^{2x} dx = -\int e^u \frac{1}{2} du = -\frac{1}{2} \int e^u du = -\frac{1}{2} e^u + C_1 = -\frac{1}{2} e^{2x} + C_1$
所以，

本題考驗一階微分方程式的求解，以及利用初始條件求特解。此為可分離變數的微分方程式。

給定的微分方程式為 $\frac{dy}{dx} = x^2y$。
將變數分離：
$\frac{dy}{y} = x^2 dx$
對兩邊同時積分：
$\int \frac{dy}{y} = \int x^2 dx$
左邊積分得 $\ln|y|$。
右邊積分得 $\frac{x^3}{3}$。
$\ln|y| = \frac{x^3}{3} + C_1$
其中 $C_1$ 為積分常數。
為了求得 $y(x)$，我們對兩邊取指數：

核心觀念

本題考查三重積分求體積。若立體在上下方向由 $z=0$ 與 $z=x^2-y^2$ 所夾，體積公式為

$$V=\iint_D \bigl(z_{\text{上}}-z_{\text{下}}\bigr)\,dA.$$

題面未明列 $z=0$（即 $xy$ 平面）。若沒有此平面，僅由 $z=x^2-y^2$、$x=y$、$x=2$、$x=3$ 無法形成有限封閉立體。以下依照此類題目的標準解讀，補上 $xy$ 平面。

解題方法

上表面為

$$z=x^2-y^2,$$

下表面為

$$z=0.$$

由於立體必須位於 $z\ge 0$，所以

$$x^2-y^2\ge 0.$$

本題中 $x$ 介於 $2$ 與 $3$ 之間，故 $x>0$，因此

$$-x\le y\le x.$$

再配合兩個垂直平面 $x=2$ 與 $x=3$，在 $xy$ 平面上的投影區域為

$$D=\{(x,y):2\le x\le 3,\ -x\le y\le x\}.$$

因此體積為

$$V=\int_2^3\int_{-x}^{x}(x^2-y^2)\,dy\,dx.$$

先計算內層積分：

本題考驗機率密度函數 (Probability Density Function, PDF) 的應用，計算累積機率。

給定的機率密度函數為 $f(x) = 0.001e^{-0.001x}$，其中 $x$ 代表燈泡的壽命，且 $x \ge 0$。
我們需要計算燈泡壽命超過 1000 個小時的機率，這表示我們需要計算 $P(x > 1000)$。

對於連續型隨機變數，機率的計算是透過積分機率密度函數。
$P(x > 1000) = \int_{1000}^{\infty} f(x) dx$
$P(x > 1000) = \int_{1000}^{\infty} 0.001e^{-0.001x} dx$
我們來計算這個積分：
令 $u = -0.001x$，則 $du = -0.001 dx$，所以 $dx = \frac{du}{-0.001}$。
當 $x = 1000$ 時，$u = -0.001 \times 1000 = -1$。
當 $x \to \infty$ 時，$u \to -\infty$。

$\int_{-1}^{-\infty} 0.001 e^u \left(\frac{du}{-0.001}\right) = \int_{-1}^{-\infty} -e^u du$
$= - \int_{-1}^{-\infty} e^u du = - [e^u]_{-\infty}^{-1}$
$= - (e^{-1} - \lim_{u\to-\infty} e^u)$
$= - (e^{-1} - 0) = -e^{-1}$
這個結果是負的，表示積分方向有問題。我們應該從較小的極限到較大的極限。

本題考驗多元函數的梯度 (Gradient) 計算，以及邊際生產力 (Marginal Productivity) 的概念與應用。

生產函數為 $f(x, y) = 60x^{2/3}y^{1/3}$。

(1) 梯度 $\nabla f$ 定義為：
$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$
我們需要計算對 $x$ 和對 $y$ 的偏導數。

對 $x$ 的偏導數 $\frac{\partial f}{\partial x}$:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (60x^{2/3}y^{1/3})$
將 $y^{1/3}$ 視為常數：
$= 60 y^{1/3} \frac{\partial}{\partial x} (x^{2/3})$
$= 60 y^{1/3} \left( \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}-1} \right)$
$= 60 y^{1/3} \left( \frac{2}{3} x^{-1/3} \right)$
$= 40 x^{-1/3} y^{1/3}$

對 $y$ 的偏導數 $\frac{\partial f}{\partial y}$:
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (60x^{2/3}y^{1/3})$
將 $x^{2/3}$ 視為常數：
$= 60 x^{2/3} \frac{\partial}{\partial y} (y^{1/3})$
$= 60 x^{2/3} \left( \frac{1}{3} y^{\frac{1}{3}-1} \right)$
$= 60 x^{2/3} \left( \frac{1}{3} y^{-2/3} \right)$
$= 20 x^{2/3} y^{-2/3}$

所以，梯度為：
$\nabla f(x, y) = \left( 40 x^{-1/3} y^{1/3}, 20 x^{2/3} y^{-2/3} \right)$
可以寫成：
$\nabla f(x, y) = \frac{40 y^{1/3}}{x^{1/3}} + \frac{20 x^{2/3}}{y^{2/3}}$
或者更清晰地表示為向量：
$\nabla f(x, y) = 40 \left(\frac{y}{x}\right)^{1/3} \frac{1}{x} + 20 \left(\frac{x}{y}\right)^{2/3} \frac{1}{y}$
或者
$\nabla f(x, y) = \left( 40 \sqrt[3]{\frac{y}{x}}, 20 \sqrt[3]{\left(\frac{x}{y}\right)^2} \right)$

核心觀念

本題旨在測驗非線性市場均衡分析與福利經濟學（微積分在消費者剩餘與生產者剩餘之應用）：

1. 市場均衡（Market Equilibrium）：市場結清條件為需求價格等於供給價格，即 $D(x) = S(x)$，解出均衡交易量 $x^*$ 與均衡價格 $p^*$（其中產量 $x \ge 0$、價格 $p \ge 0$）。
2. 消費者剩餘（Consumer Surplus, CS）：消費者願意支付之最高總額與實際支付總額之差額。在連續且非線性的反需求函數 $p = D(x)$ 下，定義為： $$CS = \int_{0}^{x^*} D(x) \, dx - p^* x^* = \int_{0}^{x^*} [D(x) - p^*] \, dx$$
3. 生產者剩餘（Producer Surplus, PS）：生產者實際收到的總金額與其願意接受之最低總額（變動成本）之差額。在連續且非線性的反供給函數 $p = S(x)$ 下，定義為： $$PS = p^* x^* - \int_{0}^{x^*} S(x) \, dx = \int_{0}^{x^*} [p^* - S(x)] \, dx$$

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解題方法

(1) 求市場均衡價格 $p$

市場達均衡時，市場結清滿足 $D(x) = S(x)$：

$$400 - 0.2x^2 = 0.3x^2 + 200$$

移項整理：

$$0.5x^2 = 200$$ $$x^2 = 400$$

由於經濟意義下產量非負（$x > 0$），解得市場均衡數量為：

$$x^* = 20$$

將 $x^* = 20$ 代入需求函數（或供給函數）求均衡價格 $p^*$：

$$p^* = D(20) = 400 - 0.2(20)^2 = 400 - 0.2(400) = 400 - 80 = 320$$

（亦可代入供給函數驗算：$S(20) = 0.3(20)^2 + 200 = 0.3(400) + 200 = 120 + 200 = 320$）

因此，市場均衡價格為 $p^* = 320$。

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(2) 求消費者剩餘 (C.S.)

利用消費者剩餘之微積分定義公式：

$$CS = \int_{0}^{x^*} [D(x) - p^*] \, dx$$

代入 $D(x) = 400 - 0.2x^2$、$p^* = 320$ 與 $x^* = 20$：

$$CS = \int_{0}^{20} [(400 - 0.2x^2) - 320] \, dx$$ $$CS = \int_{0}^{20} (80 - 0.2x^2) \, dx$$

求反導函數進行定積分計算：

$$CS = \left[ 80x - \frac{0.2}{3}x^3 \right]_{0}^{20}$$

代入上下限：

核心觀念

本題考查：

• 生產函數與邊際產量
• 成本限制下的產量極大化
• Cobb-Douglas 生產函數
• 最適投入條件：

$$\frac{MP_x}{MP_y}=\frac{w_x}{w_y}$$

其中：

• $MP_x$：勞力財的邊際產量
• $MP_y$：資本財的邊際產量
• $w_x=100$：勞力財價格
• $w_y=200$：資本財價格

由於兩種投入的邊際產量皆為正，投入增加會使產量增加，因此最大產量必須使用全部預算。

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解題方法

生產函數為：

$$f(x,y)=160x^{1/3}y^{1/3}$$

預算限制為：

$$100x+200y\leq 40000$$

因為最適解會用完全部預算，故：

$$100x+200y=40000$$

一、求兩種投入的邊際產量

勞力財的邊際產量：

$$MP_x=\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{160}{3}x^{-2/3}y^{1/3}$$

資本財的邊際產量：

$$MP_y=\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{160}{3}x^{1/3}y^{-2/3}$$

因此：

$$\frac{MP_x}{MP_y} = \frac{x^{-2/3}y^{1/3}} {x^{1/3}y^{-2/3}} = \frac{y}{x}$$

最適投入條件為：

$$\frac{MP_x}{MP_y} = \frac{w_x}{w_y} = \frac{100}{200} = \frac{1}{2}$$

所以：

$$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$$

整理得：

$$x=2y$$

二、利用預算限制求投入量

將 $x=2y$ 代入預算限制：

$$100(2y)+200y=40000$$