108 年 國立臺北大學企業管理學系碩士班甲組《統計學》

此題主要在考察學生對線性迴歸模型基本假設的理解，以及違反假設時對模型估計與檢定的影響。

(a) 違反線性迴歸模型假設的問題：

1. 誤差項變異數非同質 (Heteroscedasticity)：

   • 問題：當誤差項的變異數不是常數 ($\text{var}(\epsilon_i) \neq \sigma^2$) 時，雖然迴歸係數的估計值 (OLS estimators) 仍然是「不偏」的 (unbiased)，但它們不再是「有效」的 (efficient)，也就是說，它們的變異數不是最小的。更重要的是，使用標準的 Ordinary Least Squares (OLS) 方法計算出的標準誤 (standard errors) 會是錯誤的，這會導致 t-檢定和 F-檢定的結果不可靠，進而影響係數顯著性的判斷。例如，標準誤可能被低估，導致過度拒絕虛無假設。
   • 解決方法：可使用穩健標準誤 (robust standard errors)，或對模型進行加權最小平方法 (Weighted Least Squares, WLS)。

2. 誤差項之間存在共變 (Autocorrelation / Serial Correlation)：

   • 問題：當誤差項之間存在相關性 ($\text{cov}(\epsilon_i, \epsilon_j) \neq 0$ for $i \neq j$)，尤其常見於時間序列資料。與變異數非同質類似，OLS 估計量仍然是不偏的，但不再是有效的。標準誤的計算同樣會被扭曲，通常會被低估，導致統計檢定失效，容易得出錯誤的結論。
   • 解決方法：可使用廣義最小平方法 (Generalized Least Squares, GLS)，例如 Cochrane-Orcutt 迭代法，或使用穩健標準誤 (Newey-West standard errors)。

3. 解釋變數之間存在共線性 (Multicollinearity)：

   • 問題：當一個解釋變數可以被其他解釋變數線性組合表示，或者兩個解釋變數之間高度相關時，稱為共線性。
     • 嚴重共線性：OLS 估計量仍然是不偏的，但它們的變異數會非常大。這意味著迴歸係數的估計值會非常不穩定，對數據微小的變動非常敏感。此外，個別解釋變數的 t-檢定可能不顯著，即使它們與依變數 Y 之間有實際的關係。
     • 完全共線性：模型無法估計。
   • 解決方法：移除其中一個高度相關的變數、合併變數、增加樣本數，或使用嶺迴歸 (Ridge Regression) 等方法。

(b) F-value 的計算及其檢定：
在多重迴歸中，F-檢定的目的是檢定所有斜率係數是否同時為零。對於模型 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \epsilon_i$，F-檢定是用來檢定是否所有斜率係數都顯著不為零。

• 虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$)：所有斜率係數同時為零。
  $H_0: \beta_1 = \beta_2 = 0$
• 對立假設 (Alternative Hypothesis, $H_1$)：至少有一個斜率係數不為零。
  $H_1: \text{at least one of } \beta_1, \beta_2 \text{ is not zero}$
• F-value 的計算公式：
  $F = \frac{\text{Explained variation}}{\text{Unexplained variation}} = \frac{\text{SSR}/k}{\text{SSE}/(n-k-1)}$
  其中：
  • $SSR$ (Sum of Squares due to Regression)：迴歸平方和，代表模型解釋的總變異。

此題主要在考察學生對單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 中固定效果模型 (Fixed Effects Model) 與隨機效果模型 (Random Effects Model) 的區別與應用。

單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)：用於比較 $k$ 個群體（處理組）的平均數是否存在顯著差異。假設依變數 $Y$ 受兩個因素影響：群體因子 (treatment factor) 和隨機誤差。

1. 固定效果模式 (Fixed Effects Model)

• 符號與模型：
  假設我們有 $k$ 個群體，每個群體有 $n_i$ 個觀察值，總樣本數為 $N = \sum_{i=1}^{k} n_i$。
  模型表示為：
  $Y_{ij} = \mu + \alpha_i + \epsilon_{ij}$
  其中：

  • $Y_{ij}$：第 $i$ 群體、第 $j$ 個觀察值。
  • $\mu$：總平均數 (overall mean)。
  • $\alpha_i$：第 $i$ 群體的「固定」效果 (fixed effect)，代表第 $i$ 群體相對於總平均數的差異。
  • $\epsilon_{ij}$：隨機誤差項，假設 $\epsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$，且各誤差項獨立。

  此模式的關鍵在於 $\alpha_i$ 被視為固定的、非隨機的參數。研究者感興趣的是這 $k$ 個「特定」群體的平均數差異。

• 假設：

  • $\alpha_i$ 是固定的參數。
  • $\epsilon_{ij}$ 是獨立同分布的常態隨機變數，且 $\epsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$。
  • 常見的約束條件是 $\sum_{i=1}^{k} \alpha_i = 0$，這樣 $\mu$ 就代表了所有群體平均數的平均值。
  • 如果沒有約束條件，則 $\mu$ 是第一個群體的平均數，而 $\alpha_i$ 是第 $i$ 群體相對於第一個群體的差異。

• 用途與推論：

  • 當研究者關心的是研究中包含的所有特定群體的平均數差異時，應使用固定效果模式。例如，比較三種不同教學方法的學習成效，而這三種方法是研究者事先選定且感興趣的。
  • 推論的範圍僅限於所研究的這 $k$ 個群體。例如，我們發現三種教學法有顯著差異，結論只能是「這三種教學法之間存在顯著差異」，而不能推論到所有可能的教學法。
  • 檢定重點：檢定 $H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_k = 0$ (或 $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k$)。

2. 隨機效果模式 (Random Effects Model)

• 符號與模型：
  模型表示為：
  $Y_{ij} = \mu + A_i + \epsilon_{ij}$
  其中：

  • $Y_{ij}$：第 $i$ 群體、第 $j$ 個觀察值。
  • $\mu$：總平均數 (overall mean)。
  • $A_i$：第 $i$ 群體的「隨機」效果 (random effect)。$A_i$ 被視為一個隨機變數，從一個總體分佈中抽取而來。
  • $\epsilon_{ij}$：隨機誤差項，假設 $\epsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$，且各誤差項獨立。

  此模式的關鍵在於 $A_i$ 被視為一個隨機變數，假設 $A_i \sim N(0, \sigma_A^2)$，且 $A_i$ 與 $\epsilon_{ij}$ 獨立。研究者感興趣的不是特定群體的平均數，而是群體間變異來源。

此題是關於比例的信賴區間估計，包含計算邊際誤差以及根據預期邊際誤差來反推樣本數。

核心觀念：比例的信賴區間、邊際誤差、樣本數決定。

(1) 計算 95% 信賴區間的邊際誤差 (Margin of Error, MOE)

我們有一個比例的樣本數據：

• 樣本數 $n = 100$
• 認為氣候變遷非人為污染的人數 $x = 50$
• 樣本比例 $\hat{p} = x/n = 50/100 = 0.5$

比例的信賴區間通常是 $\hat{p} \pm MOE$。
邊際誤差 (MOE) 的公式為：
$MOE = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
其中 $z_{\alpha/2}$ 是對應於信賴水準 $(1-\alpha)$ 的標準常態分配臨界值。

對於 95% 的信賴水準，$\alpha = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。
查標準常態分配表可得，$z_{0.025} = 1.96$。

將已知數值代入公式：
$MOE = 1.96 \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{100}}$
$MOE = 1.96 \sqrt{\frac{0.5 \times 0.5}{100}}$
$MOE = 1.96 \sqrt{\frac{0.25}{100}}$
$MOE = 1.96 \sqrt{0.0025}$
$MOE = 1.96 \times 0.05$
$MOE = 0.098$

所以，95% 信賴區間的邊際誤差是 0.098。

(2) 根據預期邊際誤差反推所需樣本數

我們希望邊際誤差 (MOE) 不大於 0.02，即 $MOE \le 0.02$。
信賴水準仍為 95%，所以 $z_{\alpha/2} = 1.96$。

此題為貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用，目的是計算在已知某事件（Mary 請假兩次）發生的情況下，Mary 屬於低生產力員工的機率。

核心觀念：貝氏定理、條件機率。

定義事件：

• $L$: Mary 是低生產力員工 (Low productivity employee)。
• $NL$: Mary 不是低生產力員工 (Non-low productivity employee)。
• $T$: Mary 上個月請假兩次 (Took personal leave twice last month)。

根據題目給予的資訊：

• 低生產力員工的比例：$P(L) = 0.05$。
• 非低生產力員工的比例：$P(NL) = 1 - P(L) = 1 - 0.05 = 0.95$。
• 低生產力員工請假兩次的機率（條件機率）：$P(T|L) = 1.00$ (100%)。
• 非低生產力員工請假兩次的機率（條件機率）：$P(T|NL) = 0.20$ (20%)。

我們要求的是 Mary 請假兩次的情況下，她是低生產力員工的機率，即 $P(L|T)$。
根據貝氏定理：
$P(L|T) = \frac{P(T|L) P(L)}{P(T)}$

核心觀念

本題考查「卡方適合度檢定」：

• 檢定一組樣本的類別比例，是否符合既定母體比例。
• 北大臺北地區抽樣資料為觀察次數。
• 臺灣整體教育程度比例為假設比例。
• 顯著水準為 $\alpha=0.05$，亦即 95% 信賴水準。

設五種教育程度的母體比例為：

$$(p_1,p_2,p_3,p_4,p_5) =(0.102,0.123,0.579,0.07,0.126)$$

假設為：

$$H_0:\text{臺北教育程度分布與臺灣整體相同}$$ $$H_1:\text{臺北教育程度分布與臺灣整體不同}$$

卡方適合度檢定統計量為：

$$\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$$

其中：

• $O_i$：第 $i$ 類的觀察次數
• $E_i$：第 $i$ 類在 $H_0$ 下的期望次數
• $k=5$：教育程度類別數

自由度為：

$$df=k-1=5-1=4$$

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解題方法與計算

樣本總人數為：

$$n=33+44+89+14+20=200$$

各類別的期望次數為：

教育程度	觀察次數 $O_i$	臺灣比例	期望次數 $E_i=200p_i$
國小	33	0.102	$20.4$
國中	44	0.123	$24.6$
高中	89	0.579	$115.8$
大學	14	0.070	$14.0$
研究所	20	0.126	$25.2$

所有期望次數皆大於 5，符合卡方檢定的近似條件。

代入公式：

$$\begin{aligned} \chi^2 &=\frac{(33-20.4)^2}{20.4} +\frac{(44-24.6)^2}{24.6} +\frac{(89-115.8)^2}{115.8}\\ &\quad+\frac{(14-14)^2}{14} +\frac{(20-25.2)^2}{25.2} \end{aligned}$$

各項貢獻值為：