113 年 國立臺北大學企業管理學系碩士班甲組《統計學》

此題考驗對系統可靠度 (Reliability) 的概念，特別是串聯 (series) 和並聯 (parallel) 結構的可靠度計算。題目給出一個由六個獨立元件組成的系統，並提供了每個元件的失效率 (failure rate)。圖中顯示了一個由元件組成的系統結構，需要計算整個系統的可靠度。

核心觀念：

1. 元件可靠度： 若元件的失效率為 $p$，則其可靠度為 $1-p$。
2. 串聯系統可靠度： 若一系統由 $n$ 個獨立元件串聯組成，則系統的可靠度為所有元件可靠度的乘積。$R_{system} = R_1 \times R_2 \times \dots \times R_n$。
3. 並聯系統可靠度： 若一系統由 $n$ 個獨立元件並聯組成，則系統的可靠度為 $1 - (\text{所有元件失效機率的乘積})$。$R_{system} = 1 - (1-R_1) \times (1-R_2) \times \dots \times (1-R_n)$。

解題步驟：

根據圖示，系統結構可以分解為幾個部分：

• 左側獨立區塊： 由兩個 40% 失效率的元件串聯，再與一個 30% 失效率的元件串聯。
  • 第一個 40% 元件的可靠度：$1 - 0.40 = 0.60$
  • 第二個 40% 元件的可靠度：$1 - 0.40 = 0.60$
  • 第一個 30% 元件的可靠度：$1 - 0.30 = 0.70$
  • 此左側串聯區塊的可靠度：$R_{left} = 0.60 \times 0.60 \times 0.70 = 0.36 \times 0.70 = 0.252$

核心觀念

本題考查三角分布下的平均絕對偏差：

其密度以 $x$ 為中心對稱，定義域為 $x-1<y\leq x+1$。

解題方法

由於 $|y-x|$ 在 $y=x$ 左右需分段計算：

令 $u=y-x$，則 $-1<u\leq 1$，密度變為

因此

核心觀念

相關係數定義為

題目給的是離散聯合機率質量函數，且每個符合 $1\le y\le x\le n$ 的點都有相同機率。因此可先計算 $E(X)$、$E(Y)$、$E(X^2)$、$E(Y^2)$ 與 $E(XY)$，再求變異數及共變異數。

解題方法

令 $c=\dfrac{2}{n(n+1)}$。固定 $X=x$ 時，有 $x$ 個可能的 $Y$ 值，每個機率都是 $c$，故

給定 $X=x$ 後，$Y$ 在 $1,\ldots,x$ 上均勻分布，因此

利用條件期望，

此題考驗對迴歸分析中多重共線性 (Multicollinearity) 的影響，特別是變異數膨脹因子 (Variance Inflation Factor, VIF) 和迴歸係數顯著性檢定 (t-test) 的關係。

核心觀念：

1. VIF (Variance Inflation Factor)： VIF 用來衡量自變數 $X_j$ 與其他自變數之間的多重共線性程度。
   $VIF_j = \frac{1}{1 - R_j^2}$，其中 $R_j^2$ 是將 $X_j$ 對所有其他自變數進行迴歸時的決定係數。
   VIF 值越大，表示 $X_j$ 與其他自變數的相關性越高，其迴歸係數估計值的變異數也越大。
2. 迴歸係數估計值的變異數： 對於迴歸係數 $\beta_j$，其估計值 $b_j$ 的變異數為 $Var(b_j) = \sigma^2 (X^T X)^{-1}_{jj}$，其中 $\sigma^2$ 是誤差項的變異數。如果存在多重共線性，$(X^T X)^{-1}_{jj}$ 的值會變大。VIF 提供了這個放大效應的度量：$Var(b_j) = \frac{\sigma^2}{SST_j} VIF_j$，其中 $SST_j$ 是 $X_j$ 的總變異數。
3. t-test 顯著性： 對於迴歸係數 $\beta_j$ 的檢定，我們通常檢定 $H_0: \beta_j = 0$ vs $H_1: \beta_j \neq 0$ (或單尾檢定)。t 檢定的統計量為 $t = \frac{b_j - \beta_{j0}}{SE(b_j)}$，其中 $SE(b_j) = \sqrt{Var(b_j)}$ 是 $b_j$ 的標準誤。
   如果 $SE(b_j)$ 變大，則 $|t|$ 值會變小，使得迴歸係數較難在給定的信賴水準下被認為是顯著的。

題目資訊：

• 迴歸模型：$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \beta_3 X_{3i} + \varepsilon_i$
• $X_1$ 的 VIF 值為 9。
• $\beta_1$ 的估計值 $b_1$ 在 95% 信賴水準下是顯著的，且單尾檢定的 t-value = 2.06。
• 假設 VIF 值變為 4。

問題： VIF 值從 9 變為 4 時，$\beta_1$ 的估計值 95% 信賴水準下是否會轉為不顯著？

解題思路：

1. 理解 VIF 與標準誤的關係： VIF 值越大，表示 $Var(b_1)$ 越大，進而 $SE(b_1)$ 越大。
   $Var(b_1) = \frac{\sigma^2}{SST_1} VIF_1$
   $SE(b_1) = \sqrt{Var(b_1)} = \sqrt{\frac{\sigma^2}{SST_1} VIF_1} = \sqrt{\frac{\sigma^2}{SST_1}} \sqrt{VIF_1}$
   這裡 $\sigma^2$ (誤差項變異數) 和 $SST_1$ ($X_1$ 的總變異數) 假定在 VIF 值改變時保持不變，這是一個合理的假設，因為 VIF 的改變僅來自於 $X_1$ 與其他自變數的相關性變化。
   所以，$SE(b_1) \propto \sqrt{VIF_1}$。

2. 理解 t-value 與標準誤的關係：
   $t\text{-value} = \frac{b_1 - \beta_{10}}{SE(b_1)}$。
   在原來的 VIF=9 的情況下，t-value = 2.06。
   $2.06 = \frac{b_1 - 0}{SE_{old}(b_1)}$，其中 $SE_{old}(b_1)$ 是 VIF=9 時的標準誤。

此題考驗對變異數分析 (ANOVA) 的基本假設和檢定內容的理解，特別是關於固定效應模型 (fixed-effects model) 和隨機效應模型 (random-effects model) 的區別。

核心觀念：

1. ANOVA 的目的： 檢定兩個或兩個以上樣本均值之間是否存在顯著差異。
2. 固定效應模型 (Fixed-Effects Model)： 假設所有處理組 (treatment groups) 的效應都是固定的，並且我們感興趣的僅僅是這些特定的處理組。在這種模型下，我們檢定的是所有處理組的均值是否相等。
3. 隨機效應模型 (Random-Effects Model)： 假設處理組是從一個更大的母體中隨機抽取的。我們感興趣的不是特定處理組的均值，而是母體中處理效應的變異數。在這種模型下，我們檢定的是所有處理組的均值是否相等（這與固定效應模型相同），但其背後的解釋和推論不同。
4. 虛無假說 ($H_0$) 和對立假說 ($H_1$)：
   • 對於固定效應模型和隨機效應模型，檢定所有群體均值相等的虛無假說通常是相同的。
   • $H_0$: 所有群體（或處理組）的均值都相等。
   • $H_1$: 至少有一個群體的均值與其他群體的均值不同。

題目分析：

• 資料：五家商店 (A, B, C, D, E) 的顧客滿意度評分。
• 檢定方法：變異數分析 (ANOVA)。
• 樣本數：$k=5$ 個群體（商店）。每個群體有 $n_i=3$ 個觀察值（顧客評分）。總樣本數 $N = \sum n_i = 5 \times 3 = 15$。
• 自由度：
  • 組間自由度 (Between-groups degrees of freedom, $df_1$) = $k-1$
  • 組內自由度 (Within-groups degrees of freedom, $df_2$) = $N-k$
  • 總自由度 (Total degrees of freedom) = $N-1$

Part (1): 固定效應模型 (Fixed-Effects Model)
這是最常見的 ANOVA 情境，假設這五家商店就是我們感興趣的全部對象。

• 虛無假說 ($H_0$)： 這五家商店的顧客滿意度平均分數沒有差異。
  數學表示：$\mu_A = \mu_B = \mu_C = \mu_D = \mu_E$
• 對立假說 ($H_1$)： 這五家商店中，至少有一家商店的顧客滿意度平均分數與其他商店不同。
  數學表示：$\mu_i \neq \mu_j$ 對於至少一對 $i, j \in \{A, B, C, D, E\}$。

Part (2): 隨機效應模型 (Random-Effects Model)
假設這五家商店是從一個更大的商店母體中隨機抽取的樣本。我們感興趣的是商店效應的變異程度，而不是這五家特定商店的平均值。

• 虛無假說 ($H_0$)： 商店效應的變異數為零。這等價於所有商店的平均滿意度都相等。
  數學表示：$\sigma^2_{store} = 0$ (其中 $\sigma^2_{store}$ 是商店效應的變異數)。
  或者，更傳統地寫：$\mu_A = \mu_B = \mu_C = \mu_D = \mu_E$
• 對立假說 ($H_1$)： 商店效應的變異數大於零。這意味著商店之間的平均滿意度存在差異。
  數學表示：$\sigma^2_{store} > 0$。
  或者，更傳統地寫：$\mu_i \neq \mu_j$ 對於至少一對 $i, j \in \{A, B, C, D, E\}$。

注意： 在實際的 ANOVA 檢定中，無論是固定效應還是隨機效應模型，虛無假說和對立假說的數學形式（關於群體均值是否相等）是相同的。它們的區別在於對群體（商店）的解釋和推論範圍。

Part (3): 檢定結果說明 (5% 顯著水準)
首先，我們需要計算 ANOVA 表中的關鍵統計量。

數據整理：

• 群體數量 $k = 5$ (A, B, C, D, E)
• 每個群體的觀察數 $n_i = 3$
• 總觀察數 $N = 15$
• 組間自由度 $df_1 = k-1 = 5-1 = 4$
• 組內自由度 $df_2 = N-k = 15-3 = 12$
• 總自由度 $df_{total} = N-1 = 14$

計算各組均值、總均值、平方和：

• 總均值 $\bar{y}_{total} = \frac{(87+86+88) + (90+91+92) + (85+87+89) + (91+89+87) + (92+94+93)}{15}$
  $\bar{y}_{total} = \frac{261 + 273 + 261 + 267 + 279}{15} = \frac{1341}{15} = 89.4$

• 組內平方和 (Sum of Squares Within, SSW) 或稱誤差平方和 (SSE)：
  $SSW = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij} - \bar{y}_i)^2$
  $SSW = (0+1+1) + (1+0+1) + (4+0+4) + (4+0+4) + (1+1+0)$