112 年 國立臺北大學企業管理學系碩士班甲組《統計學》

核心觀念

本題考查兩個離散型隨機變數的相關係數：

$$\rho_{ab}=\frac{\operatorname{Cov}(a,b)} {\sqrt{\operatorname{Var}(a)\operatorname{Var}(b)}}$$

其中共變異數為：

$$\operatorname{Cov}(a,b)=E(ab)-E(a)E(b)$$

若 $a$ 與 $b$ 相互獨立，則：

$$E(ab)=E(a)E(b)$$

因此：

$$\operatorname{Cov}(a,b)=0 \quad\Longrightarrow\quad \rho_{ab}=0$$

解題方法

題目表格中的每一列皆為：

$$0.5+0.3+0.2=1$$

因此表格數值直接視為聯合機率時，全部元素總和為 $3$，不符合聯合機率總和必須為 $1$ 的條件。

依題意合理解讀為：各列的 $a$ 分布比例相同，需將表格整體正規化。正規化後：

$$P(a,b)= \begin{array}{c|ccc} &30&40&50\\ \hline 50&\frac16&\frac1{10}&\frac1{15}\\ 60&\frac16&\frac1{10}&\frac1{15}\\ 80&\frac16&\frac1{10}&\frac1{15} \end{array}$$

此時可觀察到：

$$P(a,b)=P(a)P(b)$$

因為每一個 $b$ 所對應的 $a$ 條件分布完全相同：

$$P(a=30\mid b)=0.5,\quad P(a=40\mid b)=0.3,\quad P(a=50\mid b)=0.2$$

故 $a$ 與 $b$ 相互獨立，直接得到：

本題考驗系統可靠度分析，需要根據元件的連接方式（串聯或並聯）來計算整體系統的可靠度。題目中給出了一個包含五個元件（X, Y, Z, W, V）的系統圖，每個元件的可靠度（獨立工作的機率）均為 $0.9$。

首先，我們需要分析系統圖中元件的連接方式。
元件 X 和元件 Y 是串聯的，它們共同連接到元件 Z。
元件 Z 的輸出又與元件 W 並聯。
元件 Z 和 W 的組合輸出，再與元件 V 串聯。

我們將從最內層的結構開始計算可靠度：

1. 元件 X 和 Y 的串聯：
   元件 X 和 Y 串聯，表示 X 和 Y 必須都正常工作，整個組合才能工作。
   令 $R_X$ 為元件 X 的可靠度，$R_Y$ 為元件 Y 的可靠度。
   $R_X = R_Y = 0.9$
   元件 X 和 Y 的串聯可靠度 $R_{XY} = R_X \times R_Y = 0.9 \times 0.9 = 0.81$。

2. 元件 X, Y 組合 與 Z 的串聯：
   元件 X 和 Y 的串聯組合，與元件 Z 串聯。
   令 $R_Z$ 為元件 Z 的可靠度，$R_Z = 0.9$。
   此組合的可靠度 $R_{XYZ} = R_{XY} \times R_Z = 0.81 \times 0.9 = 0.729$。

3. 元件 W 的可靠度：
   元件 W 的可靠度 $R_W = 0.9$。

4. 元件 Z 和 W 的並聯：
   從圖中可以看出，元件 Z 的輸出（實際上是 X, Y, Z 串聯的結果）與元件 W 是並聯的。
   這意味著，只要 X, Y, Z 串聯組合 或 W 正常工作，這個並聯部分就能工作。
   令 $R_{ABC}$ 為元件 Z 的輸出（即 X, Y, Z 串聯的結果）的可靠度，$R_{ABC} = 0.729$。
   令 $R_W$ 為元件 W 的可靠度，$R_W = 0.9$。
   兩個並聯元件的可靠度計算方式是：1 減去它們都失效的機率。
   失效機率：$P(\text{ABC 失敗}) = 1 - R_{ABC} = 1 - 0.729 = 0.271$

本題考驗對常態分布性質的理解，特別是關於絕對值期望值的計算。

題目要求計算 $E[|X - \mu_X|]$，其中 $X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)$。
我們令 $Y = X - \mu_X$。
由於 $X$ 是一個常態分布的隨機變數，且 $\mu_X$ 是一個常數，那麼 $Y$ 也是一個常態分布的隨機變數。
$E[Y] = E[X - \mu_X] = E[X] - \mu_X = \mu_X - \mu_X = 0$。
$Var(Y) = Var(X - \mu_X) = Var(X) = \sigma^2_X$。
所以，$Y \sim N(0, \sigma^2_X)$。

題目要求計算 $E[|X - \mu_X|]$，這等同於計算 $E[|Y|]$。
$Y$ 是一個期望值為 $0$、變異數為 $\sigma^2_X$ 的常態分布隨機變數。
我們知道 $Y$ 的機率密度函數 (PDF) 為：
$f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_X}} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2_X}}$，其中 $-\infty < y < \infty$。

$E[|Y|] = \int_{-\infty}^{\infty} |y| f_Y(y) dy$
$E[|Y|] = \int_{-\infty}^{\infty} |y| \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_X}} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2_X}} dy$

由於 $|y|$ 是偶函數，$e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2_X}}$ 也是偶函數，所以被積函數 $|y| e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2_X}}$ 是偶函數。
我們可以將積分範圍從 $(-\infty, \infty)$ 變成 $(0, \infty)$ 並乘以 $2$。

本題考驗對迴歸模型假設條件及其違反時對估計與檢定影響的理解。我們將逐一分析各項條件。

迴歸模型為 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \epsilon_i$，其中 $\epsilon_i$ 是誤差項。
標準的迴歸模型（特別是 OLS，Ordinary Least Squares）假設：

1. 線性性： 模型形式是線性的（對於參數而言）。
2. 隨機抽樣： 樣本是從總體中隨機抽取的。
3. 零條件均值： $E[\epsilon_i | X_{1i}, X_{2i}] = 0$。這意味著誤差項的期望值為零，且與解釋變數不相關。
4. 同質性變異數 (Homoscedasticity)： $Var(\epsilon_i | X_{1i}, X_{2i}) = \sigma^2$。誤差項的變異數對於所有觀測值都相同。
5. 無自相關 (No Autocorrelation)： $Cov(\epsilon_i, \epsilon_j | X_{1i}, X_{2i}, X_{1j}, X_{2j}) = 0$ for $i \neq j$。誤差項之間沒有相關性。
6. 解釋變數非隨機性或與誤差項無關： 通常假設解釋變數是固定的或與誤差項無關。
7. 常態性 (Normality)： $\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2)$。誤差項服從常態分布（此假設僅在進行小樣本推論時需要，大樣本時利用中央極限定理可放寬）。

我們逐一分析違反這些假設時的影響。

(1) $\epsilon_i$ 分布不為常態;

• 影響：
  • 估計： 如果僅違反常態性假設，OLS 估計量 $\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2$ 仍然是最佳線性不偏估計量 (BLUE, Best Linear Unbiased Estimator)，只要其他假設（特別是零條件均值、同質性變異數、無自相關）成立。
  • 檢定： 小樣本情況下，t 檢定和 F 檢定的 P 值和信賴區間將不再準確。因為這些推論是基於誤差項服從常態分布的假設。
  • 大樣本情況下： 根據中央極限定理，當樣本量 $n$ 足夠大時，OLS 估計量的抽樣分布會趨近於常態。因此，在大樣本情況下，t 檢定和 F 檢定仍然是近似有效的。

(2) $\epsilon_i$ 期望值不為 0;

• 影響：
  • 估計： 如果 $E[\epsilon_i] = c \neq 0$（且 $c$ 是常數），那麼 OLS 估計量 $\hat{\beta}$ 將會產生偏差。
    具體來說，我們有 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \epsilon_i$。
    令 $E[\epsilon_i] = c$。
    $E[Y_i | X_{1i}, X_{2i}] = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + E[\epsilon_i | X_{1i}, X_{2i}]$
    如果我們還假設 $E[\epsilon_i | X_{1i}, X_{2i}] = c$（即誤差項的條件期望值是常數 $c$），
    那麼 $E[Y_i | X_{1i}, X_{2i}] = (\beta_0 + c) + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i}$。
    這相當於將截距項變為 $\beta_0 + c$。
    OLS 估計量 $\hat{\beta}_0$ 將估計 $\beta_0 + c$，而不是 $\beta_0$。
    因此，$\hat{\beta}_0$ 是有偏差的。
    然而，如果解釋變數 $X_{1i}, X_{2i}$ 的均值不為零，且我們將模型寫為 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \epsilon_i$，並假設 $E[\epsilon_i]=c \neq 0$，但是 $E[\epsilon_i | X_{1i}, X_{2i}]$ 仍然是 $0$（這在實際中不太可能發生，除非 $c$ 恰好是 $0$），那麼估計量仍然不偏。
    通常，如果 $E[\epsilon_i] \neq 0$，則意味著 $E[\epsilon_i | X_{1i}, X_{2i}] \neq 0$（除非 $X_{1i}, X_{2i}$ 的均值為零且誤差項與 $X$ 不相關）。
    最常見的情況是，如果 $E[\epsilon_i] \neq 0$，則 OLS 估計量（特別是截距項 $\hat{\beta}_0$）將是有偏差的。

本題考驗對二因子變異數分析 (Two-way ANOVA) 中交互作用 (Interaction Effect) 的理解及其後續分析。

題目背景：北大麵包店研究三種不同配方 (Factor A: Recipe) 和四種烤箱溫度 (Factor B: Temperature) 對消費者偏好 (Response Variable: Preference) 的影響。研究者使用二因子 ANOVA，並發現配方和溫度之間存在顯著的交互效果。

(1) 這個<顯著交互效果>的意義是什麼? (10%)

在二因子 ANOVA 中，交互作用顯著表示一個因子 (例如配方) 對應變數 (消費者偏好) 的影響程度，會隨著另一個因子的水準 (例如烤箱溫度) 而改變。反之亦然，溫度對偏好的影響程度也會隨著配方而改變。

換句話說，這意味著：

• 並非單純的加總效應： 配方的影響和溫度的影響不能簡單地加總起來解釋消費者偏好。
• 組合效應： 某些配方在某些溫度下可能比其他配方在其他溫度下更能獲得消費者偏好。例如，一種配方可能在低溫下表現良好，但在高溫下表現不佳，而另一種配方則可能在高溫下表現突出。
• 預測性： 知道一個因子的水準，能夠幫助我們更精確地預測另一個因子對應變數的影響。如果沒有交互作用，那麼一個因子的影響程度就是固定的，與另一個因子無關。

簡單來說，顯著的交互作用意味著「配方的影響依賴於溫度」，或者「溫度的影響依賴於配方」。

在實際應用中，這可能表示：

• 某種配方在特定溫度下製作的麵包特別受歡迎，而這種受歡迎程度並不是僅由該配方本身或該溫度本身所能解釋的。
• 最佳的組合（配方和溫度）需要被識別出來，而不是分別優化配方和溫度。

(2) 後續應該進行什麼檢定? (10%)

當二因子 ANOVA 中發現顯著的交互作用時，通常意味著我們需要進一步探究交互作用的具體模式，而不是僅僅關注個別因子的主效應 (Main Effects)。

後續的檢定或分析方法包括：