109 年 國立臺北大學企業管理學系碩士班甲組《統計學》

此題主要考驗對二項分布的理解與應用，以及多個獨立事件機率的計算。

核心觀念：

1. 二項分布 (Binomial Distribution)：用於計算在固定試驗次數下，某事件發生特定次數的機率。其機率質量函數 (PMF) 為 $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$，其中 $n$ 為試驗次數，$k$ 為成功次數，$p$ 為單次試驗成功的機率。
2. 獨立事件機率計算：若有多個獨立事件 $A, B, C, \dots$，則這些事件同時發生的機率為 $P(A \cap B \cap C \cap \dots) = P(A)P(B)P(C)\dots$。

解題過程：

Part (a): 計算任意一天 Yvonne 恰好獲得兩次成功的機率。

• 定義參數：
  • 試驗次數 $n = 6$ (每天投籃 6 次)。
  • 單次投籃成功的機率 $p = 0.4$。
  • 目標成功次數 $k = 2$。
• 套用二項分布公式：
  $P(\text{恰好成功 2 次}) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
  $P(X=2) = \binom{6}{2} (0.4)^2 (1-0.4)^{6-2}$
  $P(X=2) = \binom{6}{2} (0.4)^2 (0.6)^4$
• 計算組合數：
  $\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$
• 計算機率：
  $P(X=2) = 15 \times (0.4)^2 \times (0.6)^4$
  $P(X=2) = 15 \times 0.16 \times 0.1296$
  $P(X=2) = 2.4 \times 0.1296$

此題考驗對「收集者問題」(Coupon Collector's Problem) 的理解，並計算期望值。

核心觀念：

1. 收集者問題 (Coupon Collector's Problem)：這是機率論中的一個經典問題。假設有 $N$ 種不同的物品（在這裡是不同顏色的球），每次隨機抽取一個，直到收集到所有 $N$ 種物品為止。問平均需要抽取多少次？
2. 期望值 (Expected Value)：對於一個隨機變數 $X$，其期望值 $E[X]$ 是所有可能結果的機率加權平均。
3. 調和級數 (Harmonic Series)：調和級數的部分和 $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$。

解題過程：

• 定義參數：
  • 總共有 $N = 6$ 種不同顏色的球。
  • 每次購買一個玩具盒，裡面隨機放入一種顏色的球。
• 收集者問題的期望值公式：

此題考驗對多因子變異數分析 (ANOVA) 中交互作用 (Interaction Effect) 的理解，以及在發現顯著交互作用後應採取的後續分析步驟。

核心觀念：

1. 交互作用 (Interaction Effect)：在多因子實驗設計中，當一個因子對應變數的影響程度，會隨著另一個因子的水準改變而改變時，則稱這兩個因子之間存在交互作用。
2. 顯著交互作用的意義：表示因子之間不是獨立作用，而是彼此會互相影響。此時，單獨討論個別因子的主效應 (Main Effect) 可能會產生誤導，因為某個因子的影響力強弱取決於另一個因子的組合。
3. 事後檢定 (Post-hoc Test) / 簡單主效應檢定 (Simple Main Effects Test)：當交互作用顯著時，應進一步探討交互作用的具體模式。常用的方法是檢定「簡單主效應」，即固定其中一個因子，檢定另一個因子在不同水準下的效應。

解題過程：

(1) <口味與甜度有顯著交互作用>的意義是什麼？

• 解釋：
  當檢定結果顯示「口味」與「甜度」之間存在顯著的交互作用時，這表示：
  • 不同口味的飲料，其對消費者偏好的影響程度，會因為甜度的不同而有所差異。
  • 反之，不同甜度的飲料，其對消費者偏好的影響程度，也會因為口味的不同而有所差異。
  • 簡單來說，口味和甜度並非獨立地影響消費者偏好，它們的組合效果比各自獨立效果的總和更重要，或呈現出與獨立效果不同的模式。例如，某種口味（如奇異果）可能在高甜度時最受歡迎，但在低甜度時卻不受歡迎，而另一種口味（如蘋果）則可能在所有甜度下都表現穩定，或在高甜度時受歡迎程度不如奇異果，但在低甜度時卻更受歡迎。

(2) 後續應該進行什麼檢定？請簡單說明進行的過程。

• 後續檢定：
  在發現顯著的交互作用後，標準的做法是進行「簡單主效應檢定 (Simple Main Effects Test)」。

此題考驗對多元迴歸模型中「共線性」(Collinearity) 的概念、評估方法 (VIF) 及影響的理解。

核心觀念：

1. 共線性 (Collinearity) / 多重共線性 (Multicollinearity)：指在多元迴歸模型中，兩個或多個解釋變數之間存在高度線性相關的關係。
2. 共線性的影響：
   • 迴歸係數估計值的標準誤 (Standard Error, SE) 增大。
   • 迴歸係數的估計值變得不穩定，對數據微小變動敏感。
   • 迴歸係數的符號或大小可能與預期不符，甚至不顯著。
   • 儘管迴歸係數的估計值變差，但模型的整體預測能力 (R-squared) 可能不受太大影響。
3. 變異數膨脹因子 (Variance Inflation Factor, VIF)：是一種衡量共線性程度的指標。對於解釋變數 $X_j$，其 VIF 值定義為 $\text{VIF}_j = \frac{1}{1 - R_j^2}$，其中 $R_j^2$ 是將 $X_j$ 作為應變數，而其他所有解釋變數作為自變數進行迴歸分析得到的決定係數。

解題過程：

(1) 共線性問題指的是什麼？

• 定義：
  共線性問題（或多重共線性）發生在多元迴歸模型中，當兩個或多個解釋變數（自變數）之間存在顯著的線性相關關係時。換句話說，一個解釋變數可以被其他解釋變數的線性組合很好地預測。
• 影響：
  雖然共線性不違反迴歸模型的假設，也不會影響迴歸係數的無偏性 (unbiasedness) 或一致性 (consistency)，但它會導致迴歸係數估計值的變異數 (variance) 增大，即標準誤 (standard error) 變大。這會使得：
  • 個別迴歸係數的估計值變得非常不穩定，對樣本數據的微小變動非常敏感。
  • 個別迴歸係數的顯著性檢定 (t-test) 變得不可靠，可能導致原本有影響力的變數被誤判為不顯著。
  • 係數的符號可能與理論預期相反。
  • 然而，模型的整體擬合優度 (如 $R^2$) 和預測能力可能不受嚴重影響。

(2) 藉由變異數膨脹因子 (VIF) 評估這個問題該如何進行 (符號可自訂)？

• VIF 的計算方法：
  對於模型中的每一個解釋變數 $X_j$（這裡有 $X_1$ 和 $X_2$），我們都需要計算其 VIF 值。
  1. 計算 $X_1$ 的 VIF ($\text{VIF}_1$)：
     • 將 $X_1$ 作為應變數，以模型中的其他解釋變數（在這裡是 $X_2$）作為自變數，進行迴歸分析。
     • 得到一個新的迴歸模型：$X_{1i} = \alpha_0 + \alpha_1 X_{2i} + u_i$。
     • 計算這個輔助迴歸模型的決定係數，記為 $R_1^2$。$R_1^2$ 表示 $X_1$ 有多少比例的變異可以被 $X_2$ 解釋。
     • $\text{VIF}_1 = \frac{1}{1 - R_1^2}$。
  2. 計算 $X_2$ 的 VIF ($\text{VIF}_2$)：
     • 將 $X_2$ 作為應變數，以模型中的其他解釋變數（在這裡是 $X_1$）作為自變數，進行迴歸分析。
     • 得到一個新的迴歸模型：$X_{2i} = \gamma_0 + \gamma_1 X_{1i} + v_i$。