114 年 國立臺北大學企業管理學系碩士班甲組《統計學》

此題主要在探討統計估計量的性質，特別是「一致性」這個概念。

核心觀念：估計量的一致性 (Consistency)

一個估計量 $\hat{\theta}_n$ 被稱為參數 $\theta$ 的一致估計量，如果當樣本數 $n$ 趨近於無限大時，$\hat{\theta}_n$ 會以機率趨近於 $\theta$。數學上表示為：
$\lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta}_n - \theta| < \epsilon) = 1$
對於任意小的 $\epsilon > 0$。或者，更常見的寫法是：
$\hat{\theta}_n \xrightarrow{p} \theta \quad \text{as} \quad n \to \infty$
這表示隨著樣本數的增加，估計量的值會越來越接近真實的參數值，估計的準確度會提高。

(1) $\beta_1$ 的估計滿足一致性指的是什麼？

對於線性迴歸模型 $Y = \beta_0 + \beta_1X + \epsilon$，參數 $\beta_1$ 的普通最小平方 (OLS) 估計量為 $\hat{\beta}_1$。
若滿足一般線性迴歸的假設條件（例如：誤差項的期望值為零、誤差項與自變數不相關、誤差項之間無序列相關、自變數的變異數非零且有限等），則當樣本數 $n$ 趨近於無限大時，OLS 估計量 $\hat{\beta}_1$ 會以機率收斂於真實的參數 $\beta_1$。
也就是說，隨著我們觀察到的數據點越多，我們對 $\beta_1$ 的估計值就越有可能接近其真實值。

(2) 不滿足這個特性對 $\beta_1$ 的估計有何影響？

此題是關於二因子變異數分析 (Two-Way ANOVA) 的結果解釋，特別是交互作用 (Interaction Effect) 的意義與後續分析。

核心觀念：二因子變異數分析與交互作用

二因子變異數分析用於檢定兩個類別型自變數（因子）對一個連續型應變數的影響，同時也檢定這兩個因子之間是否存在交互作用。

• 主效果 (Main Effect)：指當我們平均來看某一個因子時，它對應變數的影響。
• 交互作用 (Interaction Effect)：指當其中一個因子的效果，會隨著另一個因子的不同水準而改變時，就存在交互作用。換句話說，兩個因子對應變數的聯合影響，不能簡單地將它們各自的單獨影響加總。

(1) 這個發現對行銷人員有什麼意涵？

統計檢定發現包裝 (P1, P2, P3) 和口味 (T1, T2) 之間存在顯著的交互作用，這意味著：

• 單獨看包裝或口味的影響是不足夠的：僅分析包裝對消費意願的主效果，或口味對消費意願的主效果，將無法完全理解其影響。
• 最佳組合是關鍵：包裝的效果取決於你選擇哪種口味，反之亦然。例如，某種包裝可能在搭配 T1 口味時表現極佳，但在搭配 T2 口味時表現普通，甚至更差。
• 行銷策略的客製化：行銷人員不能僅考慮「哪種包裝最好」或「哪種口味最好」，而必須找出「哪種包裝與口味的組合」最能提升消費意願。這使得行銷策略需要更精細地針對不同的包裝-口味組合來制定。
• 資源配置的指導：如果某個組合的消費意願顯著高於其他組合，行銷人員就可以將更多資源（如生產、廣告）集中在該組合上，以最大化效益。

(2) 如果行銷人員想要得到更具體的結果，您認為接下來該進行什麼分析？

當 ANOVA 檢定出顯著的交互作用時，標準的做法是進行「事後檢定 (Post-Hoc Tests)」，特別是針對「簡單主效果 (Simple Main Effects)」的檢定，或者直接進行「

核心觀念

每位朋友各送出一份禮物，且每人恰好收到一份，因此交換方式可視為 6 個人的一個排列。題目要求沒有人收到自己的禮物，這種排列稱為錯排。

使用容斥原理計算錯排數。令 $A_i$ 表示「第 $i$ 位朋友收到自己的禮物」，則所求為總排列數扣除至少有一人收到自己禮物的排列數。

解題方法

6 份禮物共有 $6!$ 種分配方式。若指定 $k$ 位朋友都收到自己的禮物，剩下的 $6-k$ 份禮物可任意分配，共有 $(6-k)!$ 種；而指定這 $k$ 位朋友的方法有 $\binom{6}{k}$ 種。

由容斥原理，錯排數為

本題的核心觀念為**指數分配（Exponential Distribution）的無記憶性（Memoryless Property）與條件期望值（Conditional Expectation）**的推導。指數分配是連續型隨機變數中唯一具備無記憶性的分配，這意味著設備無論已經運作了多久，其「剩餘壽命」的機率分配與全新設備的壽命分配完全相同。因此，已知設備已持續運作至少 $Y$ 小時的情況下，其期望總壽命即為「已運作時間 $Y$」加上「剩餘期望壽命 $\mu$」。

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完整解題過程

方法一：利用指數分配的無記憶性（推薦做法）

步驟一：定義隨機變數與分配參數
設隨機變數 $X$ 表示該設備的壽命（單位：小時）。
根據題意，$X$ 服從平均數為 $\mu$ 的指數分配，記作 $X \sim \text{Exp}(\lambda)$，其中率參數（Rate Parameter）$\lambda = \frac{1}{\mu}$。
其機率密度函數（PDF）與生存函數（Survival Function）分別為：
$f(x) = \frac{1}{\mu} e^{-x/\mu}, \quad x \ge 0$
$P(X > x) = e^{-x/\mu}, \quad x \ge 0$

步驟二：說明無記憶性（Memoryless Property）
指數分配具有無記憶性，其數學定義為對任意 $s, t \ge 0$：
$P(X > s + t \mid X \ge s) = P(X > t)$

為什麼？
因為根據條件機率定義：
$P(X > s + t \mid X \ge s) = \frac{P(X > s + t \cap X \ge s)}{P(X \ge s)} = \frac{P(X > s + t)}{P(X \ge s)} = \frac{e^{-(s+t)/\mu}}{e^{-s/\mu}} = e^{-t/\mu} = P(X > t)$
這說明已運作 $s$ 小時的事實，不會影響未來還能再運作 $t$ 小時的機率。

步驟三：求解條件期望值
題目要求計算在已知設備已持續運作至少 $Y$ 小時（即 $X \ge Y$）的條件下，設備的期望總壽命 $E[X \mid X \ge Y]$。

將總壽命 $X$ 拆解為已運作時間 $Y$ 與剩餘壽命 $(X - Y)$：
$E[X \mid X \ge Y] = E[(X - Y) + Y \mid X \ge Y]$

利用期望值的線性性質（Linearity of Expectation），常數 $Y$ 可直接提出：

本題考查的核心觀念為貝氏定理（Bayes' Theorem）與條件獨立性（Conditional Independence），同時展現了統計學中經典的基礎比率謬誤（Base Rate Fallacy）或稱偽陽性悖論。在面對罕見疾病（患病率極低）時，即使診斷工具具備高敏感度（Sensitivity）與極低偽陽性率（False Positive Rate），連續兩次陽性結果所推導出的實際患病事後機率，仍會因背景盛行率過低而遠低於一般直覺想像。

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詳細解題過程

第一步：定義事件與已知條件

首先明確定義隨機事件與相應的機率值：

• 設 $D$ 為「被檢驗者確實患有該罕見疾病」的事件；$D^c$ 為「未患病」的事件。
• 設 $T_1^+$ 為「第一次檢驗結果呈陽性」的事件。
• 設 $T_2^+$ 為「第二次檢驗結果呈陽性」的事件。

根據題目給定資訊：

1. 疾病盛行率（Prevalence / 事前機率）：
   $P(D) = \frac{1}{50000} = 0.00002$
   未患病機率 $P(D^c) = 1 - P(D) = 1 - 0.00002 = 0.99998$

2. 敏感度（Sensitivity / 真陽性率）：
   在確實患病的前提下，檢驗呈陽性的條件機率：
   $P(T_1^+|D) = P(T_2^+|D) = 99.5\% = 0.995$

3. 偽陽性率（False Positive Rate）：
   在未患病的前提下，檢驗誤判為陽性的條件機率：
   $P(T_1^+|D^c) = P(T_2^+|D^c) = 1.5\% = 0.015$

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第二步：運用條件獨立性計算聯合條件機率

題目說明對同一位患者進行了「兩次獨立檢驗」（Two independent tests）。在統計診斷模型中，這代表在已知個體真實患病狀態（$D$ 或 $D^c$）的前提下，兩次檢驗結果彼此條件獨立（Conditionally Independent）。

因此：

1. 若患者確實患病（$D$），兩次均呈陽性的條件機率：