111 年 國立臺北大學自然資源與環境管理研究所甲組《統計學》

此題為一開放性問題，旨在測試考生觀察圖表並進行描述的能力，而非嚴格的統計計算。圖表顯示了兩個時間序列：百萬噸碳排放量 (Million Tons of Carbon) 和陸海表面溫度指數 (Land-Ocean Temperature Index)，時間範圍從 1880 年到 2010 年左右。

觀察重點：

1. 碳排放量趨勢：自 1880 年以來，百萬噸碳排放量呈現明顯的上升趨勢，尤其在 20 世紀中葉之後加速增長，到 2010 年左右達到最高點。

此題考驗對隨機變數及其事件表示的理解。
隨機變數 $X$ 定義為兩個骰子點數差的絕對值。
事件「兩個骰子數值差異的絕對值為 2」意味著我們想找出所有可能結果 $(d_1, d_2)$，使得 $|d_1 - d_2| = 2$。
選項 (A) $X=2$ 是指隨機變數 $X$ 的值等於 2，這是一個事件的數學表示。
選項 (B) $P\{X=2\}$ 是指事件 $X=2$ 發生的機率，這是一個數值。
選項 (C) $\{X=2\}$ 是指隨機變數 $X$ 的值等於 2 的事件，這是對事件的一種數學表示。
選項 (D) $\{(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)\}$ 是列出所有滿足 $|d_1 - d_2| = 2$ 的可能結果組。當我們定義一個事件時，它就是這些結果的集合。因此，選項 (D) 是最精確地描述「兩個骰子數值差異的絕對值為 2」這個事件的集合。

然而，題目要求「使用 $X$ 去表示」該事件。在統計學中，一個事件可以表示為隨機變數取特定值的集合。例如，事件「$X=2$」就是指所有結果使得隨機變數 $X$ 的值為 2 的集合。選項 (D) 正是這個集合的具體列舉。
但若題目是問「表示事件『差異絕對值為 2』的隨機變數 $X$ 的值」，則答案為 $X=2$。
題目問的是「使用 $X$ 去表示2個骰子數值差異之絕對值為2的事件」。
事件是結果的集合。選項 (D) 列出了所有結果 $(d_1, d_2)$ 使得 $|d_1 - d_2| = 2$。
而 $X$ 是這些結果的函數，即 $X(d_1, d_2) = |d_1 - d_2|$。
因此，事件 $\{X=2\}$ 等同於選項 (D) 所列的結果集合。
選項 (C) $\{X=2\}$ 是事件的標準數學表示法。選項 (D) 是該事件的列舉。
在統計學的表示法中，事件 $\{X=2\}$ 是指所有樣本點 $\omega$ 使得 $X(\omega) = 2$。
選項 (D) 是這些樣本點的具體形式。
選項 (C) 則是事件的抽象表示。
通常，當我們說「表示某事件」，我們會用集合來表示。
如果題目問「列出所有使骰子點數差的絕對值為 2 的組合」，則選 (D)。
如果題目問「事件 $X$ 等於 2」，則選 (C)。
題目問「使用 $X$ 去表示2個骰子數值差異之絕對值為2的事件」。
事件是樣本空間的子集。
樣本空間是所有可能結果的集合：$\Omega = \{(i,j) : 1 \le i, j \le 6\}$。
隨機變數 $X$ 是從 $\Omega$ 到實數的函數，$X(i,j) = |i-j|$。

此題考驗對離散型隨機變數機率分配的理解與計算。
首先，我們需要理解「等待至少 20 分鐘」的含義。
每位學生需要 10 分鐘的時間。
如果等待的學生人數是 $X$：

• 如果 $X=0$，表示沒有學生在等待，則新到達的學生不需要等待，等待時間為 0 分鐘。
• 如果 $X=1$，表示有 1 位學生在等待，新到達的學生需要等待 10 分鐘。
• 如果 $X=2$，表示有 2 位學生在等待，新到達的學生需要等待 20 分鐘。
• 如果 $X=3$，表示有 3 位學生在等待，新到達的學生需要等待 30 分鐘。
• 依此類推。

題目要求計算「必須等待至少 20 分鐘」的機率。這表示等待時間 $\ge$ 20 分鐘。
根據上述分析，當等待的學生人數 $X \ge 2$ 時，等待時間才會達到或超過 20 分鐘。
因此，我們需要計算 $P(X \ge 2)$。

核心觀念

本題評量全機率公理（Total Probability Axiom）與樣本空間的分割（Partition of Sample Space）。

1. 全機率定理（公理）：
   對於整個樣本空間 $S$（即隨機變數 $T$ 落在實數線 $(-\infty, \infty)$ 上的機率），其總機率恆等於 1，即： $$P(-\infty < T < \infty) = 1$$
2. 互斥事件的機率加法性：
   若事件 $A_1, A_2, \dots, A_k$ 兩兩互斥（互不相交），則其聯集的機率等於各事件機率之和： $$P\left(\bigcup_{i=1}^{k} A_i\right) = \sum_{i=1}^{k} P(A_i)$$

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解題方法

本題要求以 $x$ 與 $y$ 表示 $P(-a \le T \le 0)$。我們可以將實數線 $(-\infty, \infty)$ 依據臨界點 $-a$、 $0$、 $a$ 分割成四個互斥且窮盡的區間：

1. $T < -a$
2. $-a \le T \le 0$
3. $0 < T \le a$
4. $T > a$

這四個區間的聯集為整個實數空間 $(-\infty, \infty)$，且彼此互斥無重疊。

根據機率公理，所有互斥區間的機率總和為 1：

$$P(T < -a) + P(-a \le T \le 0) + P(0 < T \le a) + P(T > a) = 1$$

將題目已知條件代入：

• $P(T < -a) = x$
• $P(T > a) = x$
• $P(0 < T \le a) = y$

可得：

$$x + P(-a \le T \le 0) + y + x = 1$$

整理移項求 $P(-a \le T \le 0)$：

$$2x + y + P(-a \le T \le 0) = 1$$

此題考驗對二項分配 (Binomial Distribution) 的應用。
題目描述了一個典型的二項分配場景：

1. 固定次數的獨立試驗：從物理系隨機選取 10 個學生，這相當於進行 $n=10$ 次獨立的抽樣。
2. 每次試驗只有兩種結果：每個學生要麼是少數族裔（成功），要麼不是（失敗）。
3. 成功的機率固定：少數族裔學生的比例是 20%，所以每次選到少數族裔學生的機率 $p = 0.20$。
4. 我們感興趣的是恰好有 k 次成功的機率。

我們需要計算恰好抽出 3 個少數族裔學生的機率，即 $P(X=3)$，其中 $X$ 為二項隨機變數。
二項分配的機率質量函數 (Probability Mass Function, PMF) 為：
$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

在此題中：
$n = 10$ (選取的學生總數)
$k = 3$ (恰好抽出的少數族裔學生數)
$p = 0.20$ (選到少數族裔學生的機率)
$1-p = 1 - 0.20 = 0.80$ (選到非少數族裔學生的機率)

將這些值代入公式：
$P(X=3) = \binom{10}{3} (0.20)^3 (0.80)^{10-3}$
$P(X=3) = \binom{10}{3} (0.20)^3 (0.80)^7$

此題考驗對卜瓦松分配 (Poisson Distribution) 的應用。
卜瓦松分配用於描述在固定時間或空間間隔內，隨機發生某事件的次數。其機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$
其中：

• $X$ 是事件發生的次數。
• $\lambda$ 是單位時間或空間內的平均發生次數。
• $k$ 是我們感興趣的特定發生次數。
• $e$ 是自然對數的底數，約等於 2.71828。

在此題中：

• 事件是「缺電」，發生的次數是 $X$。
• 平均缺電次數 $\lambda = 0.210$。
• 我們想知道恰好發生 2 次缺電的機率，即 $k=2$。

將值代入卜瓦松分配公式：
$P(X=2) = \frac{e^{-0.210} (0.210)^2}{2!}$

核心觀念

本題考察「以大學 GPA $X$ 預測研究所 GPA $Y$」的簡單線性迴歸。

簡單迴歸式為：

$$\hat{Y}=b_0+b_1X$$

其中：

• $b_1$ 為迴歸斜率，表示 $X$ 增加一單位時，$Y$ 的預測平均變化量。
• $b_0$ 為截距。
• 斜率公式為：

$$b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}} =\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$$

• 截距公式為：

$$b_0=\bar{y}-b_1\bar{x}$$

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解題方法

先計算 $X$ 與 $Y$ 的樣本平均數：

$$\bar{x}=\frac{37.0}{10}=3.7$$ $$\bar{y}=\frac{37.9}{10}=3.79$$

整理各資料相對於平均數的偏差：

$$\begin{array}{c|c|c|c} x_i & x_i-\bar{x} & y_i-\bar{y} & (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\\ \hline 3.5&-0.2&-0.19&0.038\\ 3.8&0.1&-0.09&-0.009\\ 3.6&-0.1&0.11&-0.011\\ 3.6&-0.1&-0.19&0.019\\ 3.5&-0.2&0.11&-0.022\\ 3.9&0.2&0.01&0.002\\ 4.0&0.3&-0.09&-0.027\\ 3.9&0.2&0.11&0.022\\ 3.5&-0.2&0.01&-0.002\\ 3.7&0&0.21&0 \end{array}$$

因此：

$$S_{xy}=\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=0.010$$

核心觀念

簡單線性迴歸中，斜率 $\beta$ 的 95% 信賴區間為

$$\hat{\beta}\pm t_{0.975,\,n-2}\,SE(\hat{\beta})$$

其中 $\hat{\beta}$ 是樣本斜率，$SE(\hat{\beta})$ 是斜率估計值的標準誤，自由度為 $n-2$。迴歸估計標準誤（standard error of the estimate）通常指殘差標準差的估計值，記為 $s_e$；它不等於斜率的標準誤。兩者的關係為

$$SE(\hat{\beta})=\frac{s_e}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}}$$

解題方法

題目給的 $0.14521$ 若是迴歸估計標準誤 $s_e$，還需要樣本的 $x$ 值（或 $\sum (x_i-\bar{x})^2$）來計算 $SE(\hat{\beta})$，並需要樣本斜率 $\hat{\beta}$ 與樣本數 $n$，才能建立信賴區間。

因此，題目資料不足：缺少 $\hat{\beta}$、樣本數，以及計算斜率標準誤所需的 $x$ 資料；僅憑 $0.14521$ 無法判定四個選項中的正確答案。

此題為一開放性問題，旨在測試考生辨識生活中隨機現象並將其定義為隨機變數的能力。沒有標準答案，但需符合隨機變數的定義。

隨機變數的定義：一個隨機變數是將隨機試驗的結果映射到實數的函數。換句話說，它是一個數值型的隨機現象。

範例說明：
我們可以從日常生活中選擇一個隨機現象，例如：

• 「明天台北市的最高氣溫」
• 「今天一天內進入某家便利商店的顧客總數」
• 「一次投擲三枚硬幣時，出現正面的次數」

此題是緊接上一題的隨機變數定義，要求說明關心該變數的原因以及資料的蒐集方式。

延續上一題的例子：「一天內，我從住家騎車到公司的通勤時間」($T$)。

關心原因 (Why care?)：
我們可以從多個角度說明關心通勤時間的原因：

• 時間規劃：了解平均通勤時間和變異性，可以更準確地規劃每天的行程，例如預留足夠的時間，避免遲到。
• 效率評估：如果通勤時間過長，可能會影響工作效率或個人時間。了解其原因（如交通狀況、路線選擇）有助於改善。
• 生活品質：過長的通勤時間會降低生活品質，影響休息或休閒時間。
• 交通決策：如果通勤時間波動很大，可以考慮其他交通方式（如大眾運輸）或調整出發時間。

資料蒐集方式 (How to collect data?)：
由於這個變數是關於「我」的個人通勤時間，這屬於「初級資料」(Primary data)，需要自行蒐集。
蒐集方法：

1. 記錄：在一段時間內（例如連續 30 天），每天騎車上班時，記錄下實際的通勤時間。

此題要求根據蒐集到的資料，估計隨機變數的五數概括 (Five-number summary)，即最小值、第一四分位數 (Q1)、第二四分位數 (Q2，即中位數)、第三四分位數 (Q3) 和最大值。

延續上一題的例子：「一天內，我從住家騎車到公司的通勤時間」($T$)，假設我們蒐集了 30 天的通勤時間數據。
假設蒐集到的 30 天通勤時間（單位：分鐘）經過排序後為：
$t_{(1)}, t_{(2)}, \dots, t_{(30)}$

估計步驟：

1. 排序資料：將蒐集到的所有數據從小到大排序。
2. 最小值 (Minimum)：排序後的第一個數值，即 $t_{(1)}$。
3. 最大值 (Maximum)：排序後的第一個數值，即 $t_{(30)}$。
4. 中位數 (Median, Q2)：由於有 30 個數據 (偶數)，中位數是第 $n/2$ 和第 $n/2+1$ 個數據的平均值。
   $Q2 = \frac{t_{(30/2)} + t_{(30/2+1)}}{2} = \frac{t_{(15)} + t_{(16)}}{2}$。
5. 第一四分位數 (Q1)：Q1 是數據集中介於最小值和中位數之間的部分的中位數。對於 30 個數據，這可以看作是前 15 個數據的中位數。
   中位數是第 15 個數，所以 Q1 是第 15 個數的中位數。
   如果我們將前 15 個數視為一個子集，其位置是 $(15+1)/2 = 8$。
   所以 $Q1 = t_{(8)}$ (這是其中一種計算方法，不同教材可能有細微差異)。
   另一種常見方法是，將數據分成兩半：前 15 個和後 15 個。
   前半部分 (15 個數)：$t_{(1)}, \dots, t_{(15)}$。其 Q1 是第 $\lceil 15/2 \rceil = 8$ 個數據，即 $t_{(8)}$。
   後半部分 (15 個數)：$t_{(16)}, \dots, t_{(30)}$。其 Q3 是第 $16 + \lceil 15/2 \rceil - 1 = 16 + 8 - 1 = 23$ 個數據，即 $t_{(23)}$。
   （注意：四分位數的計算方法有多種，例如 Tukey 的方法、Minitab 的方法等。在考試中，若無特別說明，採用標準定義即可。）
   我們採用更通用的方法：
   Q1 是第 $(n+1)/4$ 個位置的數。對於 $n=30$，位置是 $(30+1)/4 = 7.75$。
   $Q1 = t_{(7)} + 0.75 \times (t_{(8)} - t_{(7)})$。

此題要求根據上一題計算出的五數概括 (最小值、Q1、中位數、Q3、最大值)，繪製箱型圖 (Box-plot)。

延續上一題的範例數據：

• 最小值 = 25
• Q1 = 30
• 中位數 (Q2) = 33.5
• Q3 = 37
• 最大值 = 42

繪製步驟：

1. 繪製數軸：畫一條數軸，範圍必須涵蓋最小值到最大值（例如從 20 到 45）。
2. 繪製箱子 (Box)：
   • 在數軸上標出 Q1 和 Q3 的位置。
   • 以 Q1 和 Q3 為左右邊界，畫一個長方形的「箱子」。
   • 箱子的寬度代表四分位距 (Interquartile Range, IQR = Q3 - Q1)。
3. 標示中位數 (Median)：在中位數 (Q2) 的位置，在箱子內部畫一條垂直線。
4. 繪製鬍鬚 (Whiskers)：
   • 從箱子的左邊 (Q1) 向左延伸一條線（鬍鬚），直到最小值。
   • 從箱子的右邊 (Q3) 向右延伸一條線（鬍鬚），直到最大值。

此題為一開放性問題，要求考生根據前四部分的分析（定義隨機變數、蒐集資料、計算五數概括、繪製箱型圖），闡述對該隨機變數的新認識。

延續例子：「一天內，我從住家騎車到公司的通勤時間」($T$)。
在前幾部分，我們定義了 $T$，假設蒐集了 30 天的數據，計算了五數概括（例如：Min=25, Q1=30, Median=33.5, Q3=37, Max=42），並繪製了箱型圖。

透過這些量化分析，我們可以獲得以下新的瞭解：

1. 集中趨勢 (Central Tendency)：

   • 平均值（如果計算了）：了解典型的通勤時間。
   • 中位數 (33.5 分鐘)：知道大約一半的通勤時間少於 33.5 分鐘，另一半多於 33.5 分鐘。這比平均值更能抵抗極端值的影響。

2. 離散程度 (Dispersion)：

   • 極差 (Range)：最大值 - 最小值 = 42 - 25 = 17 分鐘。這顯示了通勤時間的總變異範圍。
   • 四分位距 (IQR)：Q3 - Q1 = 37 - 30 = 7 分鐘。這表示中間 50% 的數據分佈範圍。IQR 通常比極差更能代表數據的離散程度，因為它不受極端值影響。
   • 箱型圖的視覺化：箱型圖直觀地展示了數據的分佈，箱子的長度代表 IQR，鬍鬚的長度代表數據的延伸範圍。如果鬍鬚一邊長一邊短，或箱子偏向一邊，則可能表示數據分佈的偏度 (skewness)。

核心觀念

本題要比較 1990 年與 1995 年「星期一至星期五發生意外的比例」是否相同，適合使用「兩個母體比例分配的同質性檢定」。其虛無假設與對立假設為：

$$H_0：1990\text{ 年與 }1995\text{ 年的意外分配相同}$$ $$H_1：1990\text{ 年與 }1995\text{ 年的意外分配不相同}$$

卡方同質性檢定統計量為：

$$\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}$$

其中 $O$ 為觀察次數，$E$ 為虛無假設成立時的期望次數。

題目只提供百分比，未提供實際事故件數；以下依常見考試假設，將兩年度各視為 $100$ 件事故進行計算。

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解題方法

將百分比換成次數：

工作日	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	合計
1990 年	25	15	15	15	30	100
1995 年	35	23	16	13	13	100
合計	60	38	31	28	43	200

在 $H_0$ 成立下，兩年度的總事故數皆為 $100$，因此各星期的期望次數為：

$$E_{ij} = \frac{\text{第 }i\text{ 年合計}\times\text{第 }j\text{ 日合計}{}}{\text{總合計}}$$

例如，1990 年星期一的期望次數為：

$$E_{1990,\text{一}} = \frac{100\times 60}{200}=30$$

因此期望次數表為：

工作日	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五
1990 年期望次數	30	19	15.5	14	21.5
1995 年期望次數	30	19	15.5	14	21.5

計算卡方統計量：

此題考驗對變異數比例檢定 (F-test for ratio of variances) 的應用。
我們想檢定 A 隊伍等待時間的標準差 ($\sigma_A$) 是否大於 B 隊伍等待時間的標準差 ($\sigma_B$)。
即檢定 $\sigma_A > \sigma_B$，這等價於檢定 $\sigma_A^2 > \sigma_B^2$。

步驟：

1. 設定虛無假說 ($H_0$) 與對立假說 ($H_1$)
$H_0$: $\sigma_A^2 \le \sigma_B^2$ (或 $\sigma_A \le \sigma_B$)
$H_1$: $\sigma_A^2 > \sigma_B^2$ (或 $\sigma_A > \sigma_B$)
這是一個單尾檢定 (one-tailed test)。

2. 決定檢定統計量
當我們想比較兩個獨立樣本的變異數時，使用 F 檢定。
檢定統計量為：
$F = \frac{s_A^2}{s_B^2}$
其中 $s_A^2$ 和 $s_B^2$ 是樣本變異數。

3. 準備數據
我們有樣本標準差，需要將其轉換為樣本變異數：

• A 隊伍：$n_A = 25$ (樣本大小)，$s_A = 5.95$ 分鐘。
  $s_A^2 = (5.95)^2 = 35.4025$
• B 隊伍：$n_B = 17$ (樣本大小)，$s_B = 2.11$ 分鐘。
  $s_B^2 = (2.11)^2 = 4.4521$

4. 計算檢定統計量 F
$F = \frac{s_A^2}{s_B^2} = \frac{35.4025}{4.4521} \approx 7.9518$

此題考驗對配對樣本 t 檢定 (Paired t-test) 的應用。
研究者想瞭解減重計畫對糖尿病患者收縮壓的影響，這是一個成對設計 (paired design)，因為我們比較的是同一組患者在不同時間點（減重前 vs. 減重後）的測量值。

步驟：

1. 設定虛無假說 ($H_0$) 與對立假說 ($H_1$)
讓 $D$ 為減重前後的血壓差距，即 $D = \text{減重前} - \text{減重後}$。
如果減重計畫會影響血壓，則差距的平均值 $\mu_D$ 不應為零。
$H_0$: $\mu_D = 0$ (減重計畫對血壓沒有影響)
$H_1$: $\mu_D \ne 0$ (減重計畫對血壓有影響)
這是一個雙尾檢定 (two-tailed test)。

2. 準備數據
我們需要計算每位患者的血壓差距，並計算樣本平均差距 ($\bar{d}$) 和樣本標準差 ($s_d$)。
數據：

病患編號	減重前 (Pre)	減重後 (Post)	差距 $d_i = \text{Pre} - \text{Post}$
A	175	162	13
B	192	190	2
C	167	170	-3
D	180	180	0
E	161	153	8
F	203	197	6
G	185	191	-6
H	176	174	2
I	204	192	12

核心觀念

本題比較三種高中成績類別下，大學生 GPA 的平均數是否相同，適用「單因子變異數分析」（one-way ANOVA）。

令：

• 優良組平均數為 $\mu_1$
• 普通組平均數為 $\mu_2$
• 不佳組平均數為 $\mu_3$

檢定假設為：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3$$ $$H_1:\text{至少有一組平均數不同}$$

若拒絕 $H_0$，表示高中成績類別與大學 GPA 平均數有顯著關聯；若無法拒絕 $H_0$，則表示資料不足以支持高中成績會影響大學成績。

ANOVA 的核心為將總變異分解為：

$$SS_T=SS_B+SS_W$$

其中：

• $SS_B$：組間平方和
• $SS_W$：組內平方和

檢定統計量為：

$$F=\frac{MS_B}{MS_W} =\frac{SS_B/(k-1)}{SS_W/(N-k)}$$

本題有 $k=3$ 組、每組 $n_i=5$，總樣本數 $N=15$。

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解題方法

一、計算各組平均數

優良組：

$$\bar{x}_1=\frac{3.21+3.65+1.00+3.12+2.75}{5} =\frac{13.73}{5}=2.746$$

普通組：

$$\bar{x}_2=\frac{2.87+3.05+2.00+0.00+1.98}{5} =\frac{9.90}{5}=1.980$$

不佳組：

$$\bar{x}_3=\frac{2.01+2.31+2.98+0.50+2.36}{5} =\frac{10.16}{5}=2.032$$

總平均數為：

$$\bar{x}_{..}=\frac{13.73+9.90+10.16}{15} =\frac{33.79}{15}=2.2527$$

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二、計算組間平方和 $SS_B$

公式為：

$$SS_B=\sum_{i=1}^{k}n_i(\bar{x}_i-\bar{x}_{..})^2$$

由於每組皆有 $5$ 人：

$$\begin{aligned} SS_B &=5(2.746-2.2527)^2 +5(1.980-2.2527)^2\\ &\quad+5(2.032-2.2527)^2\\ &\approx 1.8321 \end{aligned}$$

組間自由度：

$$df_B=k-1=3-1=2$$

因此：

$$MS_B=\frac{SS_B}{df_B} =\frac{1.8321}{2}=0.91605$$

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三、計算組內平方和 $SS_W$

組內平方和為各組內觀察值與該組平均數差異平方的總和。

優良組

$$\begin{aligned} SS_{W1} &=(3.21-2.746)^2+(3.65-2.746)^2\\ &\quad +(1.00-2.746)^2+(3.12-2.746)^2\\ &\quad +(2.75-2.746)^2\\ &=4.22092 \end{aligned}$$

普通組