115 年 國立臺北大學自然資源與環境管理研究所《統計學》

本題主要在考察統計學中變數的分類與定義。變數是統計學研究的基本對象，了解其種類有助於選擇合適的統計方法。

核心觀念： 變數的分類（質變數、量變數）及量變數的細分（連續、離散）。

詳解：

變數（Variable）是指在研究中可以改變或變異的屬性或特徵。在統計學中，變數主要可以分為兩大類：質變數（Qualitative Variable）和量變數（Quantitative Variable）。

1. 質變數 (Qualitative Variable)：

   • 定義：此類變數代表類別、屬性或品質，其數值或標籤代表不同的類別，無法進行算術運算。質變數又可細分為名目尺度（Nominal Scale）和次序尺度（Ordinal Scale）。
   • 舉例：
     • 血型：A型、B型、AB型、O型。
     • 性別：男、女。
     • 學歷：高中、大學、碩士、博士。
     • 顏色：紅、藍、綠。

2. 量變數 (Quantitative Variable)：

   • 定義：此類變數代表數值，其數值大小有意義，可以進行算術運算（加、減、乘、除）。量變數又可細分為離散（不連續）和連續。
   • 舉例：
     • 身高：175.5 公分、168.2 公分。
     • 體重：65.8 公斤、72.3 公斤。

本題考察的是統計學中測量尺度的分類。測量尺度是描述數據性質的重要概念，不同的尺度適用於不同的統計分析方法。

核心觀念： 統計學中的四種測量尺度（名目、次序、區間、比例）及其特性。

詳解：

在統計學中，測量尺度（Measurement Scale）是指衡量變數數值意義的層級。常見的有四種尺度：名目尺度（Nominal Scale）、次序尺度（Ordinal Scale）、區間尺度（Interval Scale）和比例尺度（Ratio Scale）。題目中提到了名目、程度（應為次序）、比例尺度，我們將詳細說明這三種，並補充區間尺度。

1. 名目尺度 (Nominal Scale)：

   • 定義：這是最低層次的尺度，數據僅用於分類或標記，數值或標籤之間沒有任何順序或大小關係。數值僅作為類別的代號。
   • 特性：
     • 分類功能。
     • 相等性檢驗。
     • 不能進行大小、順序、加減、乘除等運算。
   • 舉例：
     • 性別：1代表男性，2代表女性。
     • 車牌號碼：例如 AAA-1234。
     • 電話號碼。
     • 社會安全號碼。

2. 程度尺度 / 次序尺度 (Ordinal Scale)：

   • 定義：此尺度不僅能分類，還能表示變數值之間的順序或等級關係。然而，數值之間的差距（間隔）不一定相等，也無法進行加減乘除的運算。
   • 特性：
     • 分類功能。
     • 順序關係。
     • 相等性檢驗、順序比較。
     • 不能進行加減、乘除運算。
   • 舉例：
     • 學生考試成績等級：A、B、C、D、E，其中 A > B > C > D > E，但 A 與 B 的差距不一定等於 B 與 C 的差距。
     • 滿意度調查：非常滿意、滿意、普通、不滿意、非常不滿意。

本題主要在考察對統計學中最重要的定理之一——中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）的理解。

核心觀念： 中央極限定理的內容與其在統計推論中的重要性。

詳解：

1. 中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的內容：
   中央極限定理是統計學中的一個基本定理，它描述了當我們從任何一個母體（不論其原始分布為何，只要母體的變異數存在且有限）中，重複抽取足夠大的樣本，並計算這些樣本的平均值時，這些樣本平均值的分布將趨近於常態分布（Normal Distribution）。

   更精確地說，假設一個母體具有平均數 $\mu$ 和有限的標準差 $\sigma$。我們從這個母體中隨機抽取一個容量為 $n$ 的樣本，計算樣本平均數 $\bar{X}$。若我們重複這個過程多次，則：

   • 樣本平均數 $\bar{X}$ 的期望值（平均值）約等於母體平均數 $\mu$。
   • 樣本平均數 $\bar{X}$ 的標準差（稱為標準誤, Standard Error）約等於 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
   • 當樣本容量 $n$ 足夠大時（一般認為 $n \ge 30$ 即可，但具體大小取決於母體分布的偏斜程度），樣本平均數 $\bar{X}$ 的分布將近似於一個平均數為 $\mu$、標準差為 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 的常態分布。

本題主要考察統計假設檢定中的兩個核心概念：顯著水準和 P 值，以及它們在判斷檢定結果時的關係。

核心觀念： 顯著水準($\alpha$)、P 值的定義，以及它們在統計檢定中的決策規則。

詳解：

在統計假設檢定中，我們通常會設定一個虛無假設 ($H_0$) 和一個對立假設 ($H_1$)。接著，我們收集樣本數據，計算檢定統計量，並根據此統計量來決定是否拒絕虛無假設。顯著水準和 P 值是進行此決策的關鍵指標。

1. 顯著水準 ($\alpha$) 的定義：

   • 顯著水準（Significance Level），通常用希臘字母 $\alpha$ 表示，是在進行假設檢定前所預設的一個機率值。
   • 它代表了我們願意承擔的「第一類錯誤」（Type I Error）的風險機率。第一類錯誤是指當虛無假設 ($H_0$) 實際上是正確的時候，我們卻拒絕了它。
   • 常見的顯著水準有 0.05 (5%)、0.01 (1%) 或 0.10 (10%)。例如，選擇 $\alpha = 0.05$ 表示我們最多願意接受 5% 的機率，在 $H_0$ 為真時卻錯誤地拒絕它。

2. P 值的定義：

   • P 值（p-value），又稱機率值或檢定機率值，是在「虛無假設 ($H_0$) 為真」的前提下，觀察到樣本數據（或更極端數據）的機率。
   • 它衡量了樣本數據與虛無假設的「一致程度」。P 值越小，表示樣本數據與虛無假設越不一致，即樣本數據強烈支持拒絕虛無假設。

本題考察統計假設檢定中的「檢定力」概念及其影響因素。

核心觀念： 檢定力的定義、第二類錯誤，以及影響檢定力的因素。

詳解：

1. 檢定力的定義：
   檢定力（Statistical Power），或稱統計檢定力，是指當對立假設 ($H_1$) 為真時，我們正確地拒絕虛無假設 ($H_0$) 的機率。
   數學上，檢定力 = $1 - P(\text{第二類錯誤})$。
   第二類錯誤（Type II Error）是指當對立假設 ($H_1$) 為真時，我們卻未能拒絕虛無假設 ($H_0$)。

   簡單來說，檢定力衡量了統計檢定「偵測到真實效果」的能力。檢定力越高，代表檢定越能成功地發現當對立假設為真時的差異或關聯。

2. 在固定顯著水準 ($\alpha$) 下，如何提升檢定力：
   顯著水準 ($\alpha$) 是我們預設的拒絕虛無假設的機率上限（第一類錯誤的風險）。在固定 $\alpha$ 的情況下，我們可以透過以下幾種方式來提升檢定力：

   a. 增加樣本容量 (n)：
   * 說明：這是提升檢定力最直接且常用的方法。隨著樣本容量的增加，樣本平均數的標準誤 ($\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$) 會隨之減小，這意味著樣本統計量會更接近母體參數，抽樣分布會更集中。
   * 影響：當抽樣分布更集中時，虛無分布和對立分布（當 $H_1$ 為真時的分布）之間的重疊區域會減小，從而降低第二類錯誤的機率，提高檢定力。

本題考察統計學中「自由度」(Degrees of Freedom, df) 的概念。自由度是一個在統計推論中非常重要的概念，尤其在進行參數估計和假設檢定時。

核心觀念： 自由度的定義與其在統計估計中的意義。

詳解：

「自由度」(Degrees of Freedom, df) 的概念，在統計學中通常是指在計算某個統計量時，有多少個數值是可以獨立變化的。換句話說，它代表了能夠自由取值的變數的數目。

一般情況下的意涵：

1. 從樣本推估母體參數時：
   當我們從一個母體中抽取一個樣本來估計母體參數時，樣本中的某些數值可以自由變動，但一旦我們確定了某些條件（例如，樣本的平均數），那麼其他數值就變得不再自由，而是由確定的條件所限制。

   • 最經典的例子：樣本標準差的計算
     計算樣本標準差 ($s$) 時，我們需要先計算樣本平均數 ($\bar{x}$)。一個容量為 $n$ 的樣本，其 $n$ 個數值可以自由變動。然而，一旦我們計算出樣本平均數 $\bar{x}$，那麼這 $n$ 個數值中，就有 $n-1$ 個數值可以自由取值，而最後一個數值則由樣本平均數 $\bar{x}$ 所決定。

本題旨在考察對不同隨機抽樣方法的理解與掌握。隨機抽樣是統計推論的基礎，確保樣本的代表性。

核心觀念： 五種常見的隨機抽樣方法。

詳解：

隨機抽樣（Random Sampling）是指從母體中抽取樣本時，母體中的每一個單位都有一個已知的、非零的機率被選入樣本。常見的隨機抽樣方法有以下五種：

1. 單純隨機抽樣 (Simple Random Sampling, SRS)：

   • 說明：這是最基本、最直接的隨機抽樣方法。從母體中抽取樣本時，母體中的每一個可能的樣本組合都有相等的機率被選中。
   • 方法：可以透過亂數表、亂數產生器等方式，為母體中的每一個單位編號，然後隨機抽取。
   • 優點：簡單易懂，理論基礎紮實。
   • 缺點：當母體龐大時，難以獲得完整的母體名冊；且可能抽樣到分散的單位，增加執行成本。

2. 系統抽樣 (Systematic Sampling)：

   • 說明：先從母體中隨機選擇一個起始點，然後以固定的間隔（抽樣間距）抽取樣本。
   • 方法：
     1. 確定母體大小 $N$ 和期望樣本大小 $n$。
     2. 計算抽樣間距 $k = N/n$ (取整數)。
     3. 從 1 到 $k$ 之間隨機抽取一個起始點 $s$。
     4. 樣本的選取順序為 $s, s+k, s+2k, \ldots, s+(n-1)k$。
   • 優點：操作相對簡單，執行效率較高，且樣本在母體中分布較均勻。
   • 缺點：如果母體存在週期性規律，且該規律與抽樣間距相關，則可能導致抽樣偏差。

3. 分層抽樣 (Stratified Sampling)：

   • 說明：將母體按照某個重要變數（如年齡、性別、地區、收入水平等）劃分為若干個互斥的子群體（稱為「層」，Strata），然後在每個層內進行單純隨機抽樣或系統抽樣。
   • 方法：
     1. 將母體劃分為若干層。

本題要求根據研究課題的特性和限制，設計一個具有代表性的抽樣方案。

核心觀念： 結合研究情境，選擇並說明最適合的抽樣方法，並考慮實際執行細節。

詳解：

研究課題：估計全國大學在學研究生對「校園碳中和政策」的支持比例。
限制：研究資源有限，僅能抽樣調查部分研究生。
重要背景資訊：全國研究生在學校所在地區（北部、中部、南部、東部）與學校屬性（公立、私立）上分布差異明顯。

抽樣設計建議：

基於上述情況，最適合的抽樣方法是分層抽樣 (Stratified Sampling)，並可能結合叢集抽樣的概念來降低執行難度。

詳細設計步驟：

1. 確定抽樣單位：
   抽樣單位是「全國大學在學研究生」。

2. 確定母體：
   母體是「全國所有大學在學研究生」的集合。

3. 選擇抽樣方法：分層抽樣

   • 理由：研究指出，研究生在「地區」和「學校屬性」這兩個因素上分布差異明顯。這兩個因素很可能與他們對「校園碳中和政策」的支持比例有關。如果採用單純隨機抽樣，可能導致某些地區或學校類型的研究生被過度或不足地代表，進而影響估計的準確性。分層抽樣可以確保各個重要子群體（層）在樣本中有適當的比例，從而提高估計的代表性和精確度。

4. 定義分層變數與層：
   我們需要根據「地區」和「學校屬性」來建立分層。由於這兩個變數是相互交叉的，我們可以建立一個交叉的層次結構：

   • 層 1 (地區)：北部、中部、南部、東部。
   • 層 2 (學校屬性)：公立、私立。
   • 合併後的分層：
     • 北部公立大學研究生
     • 北部私立大學研究生
     • 中部公立大學研究生
     • 中部私立大學研究生
     • 南部公立大學研究生
     • 南部私立大學研究生
     • 東部公立大學研究生
     • 東部私立大學研究生
       這樣，我們總共會有 $4 \times 2 = 8$ 個層。

5. 確定各層的母體比例：
   首先，需要獲取全國所有大學在學研究生的總人數，以及每個層（例如，北部公立大學在學研究生總數）的確切人數。這可以透過教育部或相關機構的統計資料來獲得。假設總研究生人數為 $N$，各層的母體人數分別為 $N_1, N_2, \ldots, N_8$。

本題旨在考察卜瓦松分配（Poisson Distribution）的機率質量函數（Probability Mass Function, PMF）的定義。

核心觀念： 卜瓦松分配的機率質量函數。

詳解：

卜瓦松分配是一種離散機率分布，用來描述在一個固定的時間間隔或空間區域內，發生某個隨機事件的次數。它通常適用於罕見事件、獨立事件的發生，且事件發生的平均速率是固定的。

卜瓦松分配的機率質量函數 (PMF) 定義如下：
假設一個隨機變數 $Y$ 服從參數為 $\lambda$ 的卜瓦松分布，記為 $Y \sim \text{Poisson}(\lambda)$。
其中，$\lambda$ (lambda) 是單位時間或空間內事件發生的平均次數，且 $\lambda > 0$。

本題要求根據提供的樣本數據，估計卜瓦松分配的參數，然後計算特定事件發生的機率。

核心觀念： 卜瓦松分配參數 $\lambda$ 的估計，以及利用估計的參數計算機率。

詳解：

首先，我們需要估計卜瓦松分配的參數 $\lambda$。對於卜瓦松分布，其平均數 $E(Y) = \lambda$，變異數 $\text{Var}(Y) = \lambda$。
最佳的參數估計量通常是樣本平均數。

1. 估計參數 $\lambda$：
   我們觀察了 5 天的交通事故次數：3, 2, 1, 1, 3。
   樣本平均數 $\bar{Y}$ 是：
   $\bar{Y} = \frac{3 + 2 + 1 + 1 + 3}{5} = \frac{10}{5} = 2$
   因此，我們估計參數 $\lambda = 2$。這表示平均每天有 2 起交通事故。

核心觀念

本題考查單因子變異數分析（one-way ANOVA），用來檢定三種教學方法的母體平均成績是否相同。

令三組平均數分別為 $\mu_A,\mu_B,\mu_C$，假設為：

$$H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C$$ $$H_1:\text{至少有一組平均數不同}$$

ANOVA 將總變異分解為：

$$SS_T=SS_B+SS_E$$

其中：

• $SS_T$：總平方和
• $SS_B$：組間平方和
• $SS_E$：組內平方和（誤差平方和）

F 統計量為：

$$F=\frac{MS_B}{MS_E}$$

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解題方法與計算

1. 各組樣本數、平均數與總平均數

三組樣本數皆為 $4$，總樣本數為：

$$N=4+4+4=12$$

各組平均數：

$$\bar X_A=\frac{75+80+85+90}{4}=82.5$$ $$\bar X_B=\frac{70+72+74+76}{4}=73$$ $$\bar X_C=\frac{82+84+86+88}{4}=85$$

總平均數：

$$\bar X_{\cdot\cdot} =\frac{75+80+85+90+70+72+74+76+82+84+86+88}{12} =\frac{962}{12} =80.1667$$

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2. 組內平方和 $SS_E$

公式為：

$$SS_E=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-\bar X_i)^2$$

A 組

$$SS_A=(75-82.5)^2+(80-82.5)^2+(85-82.5)^2+(90-82.5)^2$$ $$=56.25+6.25+6.25+56.25=125$$

B 組

$$SS_B^{(\text{組內})} =(70-73)^2+(72-73)^2+(74-73)^2+(76-73)^2$$ $$=9+1+1+9=20$$

C 組

$$SS_C=(82-85)^2+(84-85)^2+(86-85)^2+(88-85)^2$$ $$=9+1+1+9=20$$

因此：

$$SS_E=125+20+20=165$$

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3. 組間平方和 $SS_B$

公式為：

$$SS_B=\sum_{i=1}^{k}n_i(\bar X_i-\bar X_{\cdot\cdot})^2$$

本題每組皆有 $4$ 人，因此：

$$SS_B =4(82.5-80.1667)^2 +4(73-80.1667)^2 +4(85-80.1667)^2$$ $$=4(2.3333)^2+4(-7.1667)^2+4(4.8333)^2$$ $$=21.7778+204.6944+93.4444 =319.9166$$

以精確分數計算：

$$\bar X_{\cdot\cdot}=\frac{481}{6}$$

因此：

本題要求根據前面計算的 F 統計量和給定的顯著水準，進行假設檢定的決策。

核心觀念： 假設檢定的決策規則，比較 F 統計量與臨界值，或比較 P 值與顯著水準。

詳解：

此處進行的是單因子變異數分析 (ANOVA) 的假設檢定。

• 虛無假設 ($H_0$)：所有教學方法的平均成績都相同，即 $\mu_A = \mu_B = \mu_C$。
• 對立假設 ($H_1$)：至少有一種教學方法的平均成績與其他不同。
• 顯著水準：$\alpha = 0.05$。
• 檢定統計量：F 統計量，我們計算得出 $F = 8.745$。
• 自由度：組間自由度 $df_1 = 2$，組內自由度 $df_2 = 9$。

決策步驟：

我們可以使用兩種方法來判斷是否拒絕虛無假設：

方法一：查閱 F 分布臨界值表

1. 查閱 F 分布表，找到自由度為 $(df_1=2, df_2=9)$ 且 $\alpha=0.05$ 的臨界值。
   從提供的 F 分布表 (TABLE VIII) 中，我們可以找到：
   當 $df_n=2$ (分子自由度) 和 $df_d=9$ (分母自由度) 時，
   在 $\alpha=0.05$ 下，臨界值 $F_{0.05, 2, 9} = 4.26$。

本題要求根據兩獨立樣本的統計數據，建立平均數差異的信賴區間。

核心觀念： 兩獨立樣本平均數差異的信賴區間估計，且母體變異數未知且不等。

詳解：

此題屬於獨立樣本 t 檢定（或信賴區間）的範疇，但因為題目明確指出「兩母體變異數不必假設相等」，我們應該使用 Welch's t-test 的方法來計算信賴區間。

已知數據：

• A 公司：
  • 樣本數 $n_1 = 25$
  • 樣本平均數 $\bar{X}_1 = 52,000$
  • 樣本標準差 $s_1 = 6,000$
• B 公司：
  • 樣本數 $n_2 = 20$
  • 樣本平均數 $\bar{X}_2 = 48,000$
  • 樣本標準差 $s_2 = 5,000$
• 母體分布近似常態。
• 母體變異數 $\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$。
• 信賴水準：題目未明確給出，但標準通常是 95% 信賴區間，即 $\alpha = 0.05$。

目標：計算 $\mu_1 - \mu_2$ 的信賴區間。

信賴區間的公式 (Welch's method)：
$(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) \pm t_{\alpha/2, df} \cdot \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$
其中 $df$ 是根據 Welch-Satterthwaite 方程式計算的近似自由度。

步驟 1：計算樣本平均數差異
$\bar{X}_1 - \bar{X}_2 = 52,000 - 48,000 = 4,000$

步驟 2：計算標準誤 (Standard Error, SE)
$SE = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$
$SE = \sqrt{\frac{6000^2}{25} + \frac{5000^2}{20}}$
$SE = \sqrt{\frac{36,000,000}{25} + \frac{25,000,000}{20}}$
$SE = \sqrt{1,440,000 + 1,250,000}$
$SE = \sqrt{2,690,000} \approx 1630.95$

步驟 3：計算自由度 (df)
使用 Welch-Satterthwaite 方程式：

本題要求進行獨立樣本 t 檢定，檢定 A 公司員工的平均月薪是否顯著高於 B 公司。

核心觀念： 獨立樣本 t 檢定，且母體變異數未知且不等 (Welch's t-test)。

詳解：

我們要檢定 A 公司員工的平均薪資是否高於 B 公司員工的平均薪資。

• 虛無假設 ($H_0$)：$\mu_1 \le \mu_2$ （A 公司平均薪資不顯著高於 B 公司，或 $\mu_1 - \mu_2 \le 0$）
  • 為了計算臨界值，我們通常使用最保守的等式形式：$H_0: \mu_1 = \mu_2$ （或 $\mu_1 - \mu_2 = 0$）
• 對立假設 ($H_1$)：$\mu_1 > \mu_2$ （A 公司平均薪資顯著高於 B 公司，或 $\mu_1 - \mu_2 > 0$）
  這是一個單尾檢定（右尾檢定）。
• 顯著水準：題目未給定，標準常用 $\alpha = 0.05$。
• 樣本數據：同 10-1 題。
  • A 公司：$n_1 = 25, \bar{X}_1 = 52,000, s_1 = 6,000$
  • B 公司：$n_2 = 20, \bar{X}_2 = 48,000, s_2 = 5,000$
• 母體變異數不等。

檢定步驟：

1. 計算檢定統計量 t：
   由於母體變異數不等，我們使用 Welch's t-test 的統計量：
   $t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)_0}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$
   在 $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0$ 的情況下：
   $t = \frac{(52,000 - 48,000) - 0}{\sqrt{\frac{6000^2}{25} + \frac{5000^2}{20}}}$
   $t = \frac{4,000}{\sqrt{1,440,000 + 1,250,000}}$

本題要求根據兩組獨立的比例數據，計算比例差異的信賴區間。

核心觀念： 兩獨立樣本比例差異的信賴區間估計。

詳解：

我們需要估計男性與女性喜歡恐怖電影的比例差異。這是一個關於兩個獨立比例的比較問題。

已知數據：

• 男性 (組 1)：

  • 樣本數 $n_1 = 200$
  • 喜歡人數 (成功數) $x_1 = 120$
  • 樣本比例 $\hat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1} = \frac{120}{200} = 0.60$

• 女性 (組 2)：

  • 樣本數 $n_2 = 100$
  • 喜歡人數 (成功數) $x_2 = 50$
  • 樣本比例 $\hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2} = \frac{50}{100} = 0.50$

• 信賴水準：題目未給定，通常採用 95% 信賴區間，即 $\alpha = 0.05$。

目標：計算母體比例差異 $p_1 - p_2$ 的信賴區間。

信賴區間的公式：
$(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$
其中 $Z_{\alpha/2}$ 是標準常態分布的臨界值。

步驟 1：計算樣本比例差異
$\hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0.60 - 0.50 = 0.10$

步驟 2：計算標準誤 (Standard Error, SE)

本題要求進行獨立樣本比例的假設檢定，檢定男性與女性喜歡恐怖電影的比例是否存在顯著差異。

核心觀念： 兩獨立樣本比例的 Z 檢定。

詳解：

我們要檢定男性與女性喜歡恐怖電影的比例是否存在差異。

• 虛無假設 ($H_0$)：男性與女性喜歡恐怖電影的比例相等，即 $p_1 = p_2$。
• 對立假設 ($H_1$)：男性與女性喜歡恐怖電影的比例不相等，即 $p_1 \ne p_2$。
  這是一個雙尾檢定。
• 顯著水準：題目未給定，標準常用 $\alpha = 0.05$。
• 樣本數據：
  • 男性 (組 1)：$n_1 = 200, x_1 = 120, \hat{p}_1 = 0.60$
  • 女性 (組 2)：$n_2 = 100, x_2 = 50, \hat{p}_2 = 0.50$

檢定步驟：

在進行比例檢定時，虛無假設 $H_0: p_1 = p_2$ 成立時，我們使用合併比例 $\hat{p}$ 來計算標準誤。

1. 計算合併比例 ($\hat{p}$)：
   $\hat{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} = \frac{120 + 50}{200 + 100} = \frac{170}{300} \approx 0.5667$

2. 計算檢定統計量 Z：
   $Z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - (p_1 - p_2)_0}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$
   在 $H_0: p_1 - p_2 = 0$ 的情況下：
   $Z = \frac{(0.60 - 0.50) - 0}{\sqrt{0.5667(1-0.5667)(\frac{1}{200} + \frac{1}{100})}}$
   $Z = \frac{0.10}{\sqrt{0.5667 \times 0.4333 \times (\frac{1}{200} + \frac{2}{200})}}$