109 年 國立臺北大學自然資源與環境管理研究所甲組《統計學》

此題要求觀察圖表並說明觀察結果，不需過度解讀或推論。圖表呈現了近十年（97年至106年）來臺旅客（藍色線）與國民出國人次（橘色線）的變化趨勢。

觀察重點：

1. 來臺旅客趨勢：來臺旅客數在97年至101年間呈現逐年上升的趨勢，從約608萬人次增加至約1105萬人次。101年後，來臺旅客數略有波動，但整體維持在1000萬至1100萬人次之間，並在106年達到最高的1565萬人次。

此題要求觀察圖表並說明觀察結果，不需過度解讀或推論。圖表呈現了近十年（97年至106年）觀光總收入、觀光外匯收入及國人國旅收入的變化趨勢。

觀察重點：

1. 觀光總收入趨勢：觀光總收入（藍色線）在97年至101年間呈現上升趨勢，從約18.4億元增長至約60.8億元。101年後，觀光總收入持續增長，並在106年達到最高的81.9億元。
2. 觀光外匯收入趨勢：觀光外匯收入（橘色線）的趨勢與觀光總收入相似，從97年的約18.2億元增長至101年的約73.1億元，並在106年達到約77.7億元。
3. 國人國旅收入趨勢：國人國旅收入（灰色線）的趨勢與前兩者略有不同。

此題要求綜合觀察兩張圖表，並說明觀察結果，不需過度解讀或推論。

圖表一：近10年各地來台旅客人次消長
此圖顯示了不同國家/地區旅客來臺人次的變化趨勢。

• 主要客源：中國、日本、韓國、港澳是來臺旅客人次的主要來源。
• 趨勢：
  • 中國來臺旅客人次在2014年前呈現快速增長，之後趨於平緩，並在2016年後略有下降。
  • 日本來臺旅客人次呈現穩定的增長趨勢，尤其在2016年後增長較為明顯。
  • 韓國來臺旅客人次在2016年前有波動，之後大致維持平穩。
  • 港澳地區的來臺旅客人次也呈現增長趨勢。
  • 其他地區（如美國、新南向18國、其他）的來臺旅客人次佔比較小，但也有部分呈現增長。

圖表二：日本旅客「總消費」最高
此圖顯示了不同國家旅客每人每日的平均消費金額。

• 最高消費國：日本旅客的每人每日平均消費金額最高，在2017年達到約300美元。

此題為名詞解釋題，旨在釐清統計學中兩個核心概念：顯著水準 (significance level) 與 P-value。

Significance Level (顯著水準)

• 定義：顯著水準，通常用希臘字母 $\alpha$ (alpha) 表示，是進行統計假設檢定時，預先設定的一個機率值。它代表我們願意承擔的「第一類錯誤」（Type I error）的機率上限。
• 第一類錯誤：是指當虛無假說 ($H_0$) 為真時，卻拒絕了虛無假說。
• 作用：顯著水準決定了我們判斷統計檢定結果是否顯著的門檻。如果檢定統計量的 P-value 小於或等於顯著水準 $\alpha$，我們就拒絕虛無假說；反之，則不拒絕虛無假說。
• 常見值：常見的顯著水準有 0.05 (5%)、0.01 (1%)、0.10 (10%)。選擇何種顯著水準取決於研究領域、研究目的以及對第一類錯誤的容忍度。

P-value (P值)

此題要求以文字和圖形說明假設檢定的兩種錯誤：第一類錯誤 (Type I error) 和第二類錯誤 (Type II error)。

1. Type I Error (第一類錯誤)

• 文字說明：第一類錯誤是指當虛無假說 ($H_0$) 實際上是真的，但我們卻根據樣本數據做出了拒絕虛無假說的結論。簡單來說，就是「誤判為有」。

• 機率：第一類錯誤發生的機率，就是我們在前面定義的顯著水準，以 $\alpha$ 表示。

• 圖形說明：
  假設我們在進行一個單尾檢定，檢定統計量服從某種分佈（例如標準常態分佈或 t 分佈），虛無假說 $H_0$ 成立時，其分佈的中央部分代表我們「不拒絕 $H_0$」的區域，而尾部則代表我們「拒絕 $H_0$」的區域。
  若 $H_0$ 為真，但我們落入了「拒絕 $H_0$」的區域，這就是 Type I error。$\alpha$ 就是這個「拒絕區域」的機率。

  (假設為標準常態分佈，右尾檢定)
  
           f(x)
            |
            |       ___________________
            |      /                   \
            |     /                     \
            |    /                       \
            |___/_________________________\___________ x
           -∞   0                         Z_crit
                                     (拒絕區域: P(X > Z_crit | H0 is true) = α)
  

  在圖中，虛無假說為真時，檢定統計量的分佈曲線下，Z_crit 右側的面積就是 $\alpha$，代表了 Type I error 的機率。

2. Type II Error (第二類錯誤)

• 文字說明：第二類錯誤是指當對立假說 ($H_a$ 或 $H_1$) 實際上是真的（也就是虛無假說 $H_0$ 為假），但我們卻根據樣本數據做出了不拒絕虛無假說的結論。簡單來說，就是「誤判為無」。
• 機率：第二類錯誤發生的機率，通常用 $\beta$ (beta) 表示。
• 圖形說明：

此題涵蓋了抽樣方法、抽樣設計、抽樣誤差以及資料收集方法的概念，是關於抽樣理論的綜合應用題。

二、2.(1) 名詞解釋 (4%)

• Simple Random Sampling (簡單隨機抽樣)

  • 中文翻譯：簡單隨機抽樣。
  • 如何抽樣：從母體中，每一個樣本單位都有相等且獨立的機會被選中。最常見的方法是使用亂數表或電腦亂數產生器。例如，為母體中的每個單位編號，然後隨機抽取所需的樣本編號。

• Clustering Random Sampling (叢集隨機抽樣)

  • 中文翻譯：叢集隨機抽樣（或稱群集抽樣）。
  • 如何抽樣：先將母體劃分為若干個「叢集」（cluster），每個叢集通常是地理上的區域或組織單元。然後，隨機抽取若干個叢集，並對被抽中的叢集內的所有單位進行普查或進一步抽樣。這種方法適用於母體分散且難以逐一接觸的情況。

• Stratified Sampling (分層隨機抽樣)

  • 中文翻譯：分層隨機抽樣。
  • 如何抽樣：先將母體依據某種重要特徵（如收入、性別、年齡等）劃分為若干個互斥的「層」（strata）。然後，在每一層內獨立進行簡單隨機抽樣。這種方法能確保每個層都有代表性，並能提高估計的精確度，尤其是在各層的變異性不同時。

• Convenience Sampling (便利抽樣)

  • 中文翻譯：便利抽樣（或稱方便抽樣）。
  • 如何抽樣：研究者根據自己的方便性來選擇樣本，例如訪問容易接觸到的人，或在方便的地點進行調查。這種方法最簡單且成本最低，但樣本的代表性最差，容易產生偏差，通常不適用於推論母體參數。

二、2.(2) 抽樣設計 (12%)

目標：調查臺灣地區不同所得民眾每年購買精品的人數比例，樣本數為 500 人。

母體：臺灣地區的民眾。

抽樣方法選擇與設計：

考慮到要調查「不同所得民眾」的「購買精品比例」，分層抽樣 (Stratified Sampling) 是最適合的方法，因為收入是影響購買力的關鍵因素，而且不同收入階層的比例可能不同。如果使用叢集抽樣，可能無法保證各收入層的代表性；便利抽樣則完全沒有代表性。簡單隨機抽樣雖然理論上可行，但若想確保各收入層都有足夠的樣本進行分析，分層抽樣會更有效率。

抽樣設計步驟：

1. 定義「所得」層：首先，需要根據臺灣地區的所得分布，將母體劃分為幾個互斥的所得層。例如：

   • 低所得層 (Low Income)
   • 中低所得層 (Lower-Middle Income)
   • 中等所得層 (Middle Income)
   • 中高所得層 (Upper-Middle Income)
   • 高所得層 (High Income)
     （註：具體劃分標準需參考政府統計資料，如財政部或主計處的所得分佈數據。）

2. 確定各層樣本數比例：

   • 方法一：比例分配 (Proportional Allocation)：根據各所得層在母體中所佔的比例來分配樣本數。例如，若高所得層占總人口的10%，則樣本數也應占總樣本數的10%（即 500 * 10% = 50 人）。
   • 方法二：最佳分配 (Optimal Allocation)：若要使總體抽樣誤差最小，且考慮到各層的變異性（購買精品的比例在不同所得層可能差異很大），則可能需要採用最佳分配。但在此題中，題目僅要求比例分配或簡單說明，比例分配較為直觀。

   假設採用比例分配：
   假設我們透過政府統計數據得知各所得層的比例，並據此分配樣本數。
   例如：

   • 低所得層：假設佔 20% → 100 人
   • 中低所得層：假設佔 25% → 125 人
   • 中等所得層：假設佔 30% → 150 人
   • 中高所得層：假設佔 15% → 75 人
   • 高所得層：假設佔 10% → 50 人
     （總計：100 + 125 + 150 + 75 + 50 = 500 人）

3. 確定調查地點與對象：

   • 低、中低、中等所得層：這些層級的民眾可能遍佈各社區。調查地點可以選擇隨機抽樣進入的社區，然後在該社區內針對符合該所得層的住戶進行抽樣（例如，從住戶名冊中隨機抽取，或進行家戶訪問時篩選）。
   • 中高、高所得層：這些層級的民眾可能居住在特定區域（如高級住宅區、特定社區）或經常出現在某些場所（如高級商場、高檔咖啡廳、高爾夫球場等）。
     • 調查地點：可以選擇這些較高所得人群常出沒的地點（如高級商場的特定區域、特定社區的入口處）。
     • 調查對象：在這些地點，篩選出符合該所得層的民眾。

此題考驗對「卜瓦松分配 (Poisson Distribution)」的理解與應用。題目中明確告知通過車輛數 $X$ 服從卜瓦松分配，並給出平均數，要求計算特定事件的機率。

核心觀念：
卜瓦松分配用於描述在一個固定的時間間隔或空間區域內，隨機事件發生的次數。其機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$
其中：

• $X$ 是隨機變數，代表事件發生的次數。
• $k$ 是事件發生的具體次數（$k = 0, 1, 2, ...$）。
• $\lambda$ (lambda) 是平均發生次數，即在該時間或空間內事件的期望值。
• $e$ 是自然對數的底數，約為 2.71828。

題目資訊：

• 時間間隔：半夜 3:00 至 3:30（一個固定的時間間隔）。
• 平均發生次數 ($\lambda$)：老闆得知平均有 5 輛車會使用快速車道窗口。因此，$\lambda = 5$。
• 隨機變數 $X$：該時段使用快速車道窗口的車輛數。
• 要求計算的機率：至多有 2 輛車使用，即 $P(X \le 2)$。

解題步驟：

「至多有 2 輛車」意味著車輛數可能是 0 輛、1 輛或 2 輛。因此，我們需要計算 $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$。

此題考驗對「二項分配 (Binomial Distribution)」的理解與應用。題目給出單一事件發生的機率，並詢問在固定試驗次數下，事件發生特定次數的機率。

核心觀念：
二項分配用於描述在 $n$ 次獨立的重複試驗中，某個成功事件發生的次數。其機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
其中：

• $X$ 是隨機變數，代表成功事件發生的次數。
• $k$ 是成功事件發生的具體次數 ($k = 0, 1, 2, ..., n$)。
• $n$ 是試驗的總次數。
• $p$ 是單次試驗中成功事件發生的機率。
• $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 是二項式係數，表示從 $n$ 次試驗中選擇 $k$ 次成功的組合數。

題目資訊：

• 試驗總次數 ($n$)：5 個婦女。
• 成功事件：婦女懷孕超過 9 週。
• 單次試驗成功機率 ($p$)：0.3。
• 隨機變數 $X$：5 個婦女中，懷孕超過 9 週的婦女人數。
• 要求計算的機率：至少有 4 個婦女懷孕超過 9 週，即 $P(X \ge 4)$。

解題步驟：

「至少有 4 個婦女」意味著懷孕超過 9 週的婦女人數可能是 4 人或 5 人。因此，我們需要計算 $P(X=4) + P(X=5)$。

1. 計算 $P(X=4)$：
   • $n=5$, $k=4$, $p=0.3$, $1-p=0.7$

此題為機率計算題，屬於條件機率與聯合機率的應用，需要從列聯表中提取資訊進行計算。

核心觀念：

• 聯合機率：事件 A 和事件 B 同時發生的機率，記為 $P(A \cap B)$。
• 條件機率：在事件 B 發生的條件下，事件 A 發生的機率，記為 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$。
• 邊際機率：單一事件發生的機率，例如 $P(A)$ 或 $P(B)$。

題目資訊：

• 表格為「視力受損」與「自我價值認知」的列聯表。
• 總樣本數為 160。
• 事件 V1：有視力。
• 事件 V2：無視力。
• 事件 S1：自我價值認知高。
• 事件 S2：自我價值認知中。
• 事件 S3：自我價值認知低。

要求計算：$P(V2)$，即「無視力」的機率。

此題為機率計算題，要求計算聯合機率。

核心觀念：

• 聯合機率：事件 A 和事件 B 同時發生的機率，記為 $P(A \cap B)$。在列聯表中，這通常是兩個事件交叉單元格中的人數佔總樣本數的比例。

題目資訊：

• 表格為「視力受損」與「自我價值認知」的列聯表。
• 總樣本數為 160。
• 事件 V2：無視力。
• 事件 S3：自我價值認知低。

要求計算：$P(V2 \cap S3)$，即「無視力」且「自我價值認知低」的機率。

此題要求計算條件機率 $P(S3|V2)$，即在「無視力 (V2)」的條件下，「自我價值認知低 (S3)」的機率。

核心觀念：

• 條件機率：事件 A 在事件 B 發生後發生的機率，記為 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$。
• 在列聯表中，計算 $P(A|B)$ 時，可以將「事件 B 的總人數」視為新的樣本空間。

題目資訊：

• 表格為「視力受損」與「自我價值認知」的列聯表。
• 事件 V2：無視力。
• 事件 S3：自我價值認知低。

要求計算：$P(S3|V2)$。

解題步驟：
方法一：使用條件機率公式

1. 計算 $P(V2 \cap S3)$：由上一題可知，$P(V2 \cap S3) = \frac{17}{160}$。
2. 計算 $P(V2)$：由前一題可知，$P(V2) = \frac{60}{160}$。
3. 應用公式：

此題要求使用公式計算條件機率 $P(S3|V2)$，並引用了題目中可能標示為 (8-1) 和 (8-2) 的公式或先前計算結果。根據上下文，(8-1) 應為 $P(V2 \cap S3)$ 的計算，而 (8-2) 應為 $P(V2)$ 的計算。

核心觀念：

• 條件機率公式：$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$。
  • 在此題中，A 為事件 S3 (自我價值認知低)，B 為事件 V2 (無視力)。
  • 所以，$P(S3|V2) = \frac{P(S3 \cap V2)}{P(V2)}$。

題目資訊與先前結果：

• 表格為「視力受損」與「自我價值認知」的列聯表。
• 總樣本數 = 160。
• 事件 V2：無視力。
• 事件 S3：自我價值認知低。
• 根據題目編號，(8-1) 指的是 $P(V2 \cap S3)$ 的計算結果。
  • 從表格中，無視力 (V2) 且自我價值認知低 (S3) 的人數是 17。

此題要求計算樣本平均數。

核心觀念：
樣本平均數 (Sample Mean) 是所有樣本觀測值的總和除以樣本的數量。
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
其中：

• $\bar{x}$ 是樣本平均數。
• $x_i$ 是第 $i$ 個樣本觀測值。
• $n$ 是樣本的大小。

題目資訊：

• 樣本觀測值 (薪水，單位：千元)：10, 15, 18, 22, 25, 30。
• 樣本大小 ($n$)：6。

此題要求計算樣本標準差。

核心觀念：
樣本標準差 (Sample Standard Deviation) 是衡量樣本數據離散程度的指標，它是樣本變異數的平方根。
樣本變異數 ($s^2$) 的計算公式為：
$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
樣本標準差 ($s$) 的計算公式為：
$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$
其中：

• $s$ 是樣本標準差。
• $x_i$ 是第 $i$ 個樣本觀測值。
• $\bar{x}$ 是樣本平均數。
• $n$ 是樣本的大小。
• $n-1$ 是自由度 (degrees of freedom)。

題目資訊：

• 樣本觀測值 (薪水，單位：千元)：10, 15, 18, 22, 25, 30。
• 樣本大小 ($n$)：6。
• 樣本平均數 ($\bar{x}$)：由上一題計算得出，$\bar{x} = 20$。

解題步驟：

此題要求計算母體平均數的信賴區間。由於母體標準差未知，且樣本數較小（$n=6$），我們需要使用 t 分配來建構信賴區間。

核心觀念：
母體平均數 ($\mu$) 的 $(1-\alpha)$ 信賴區間，當母體標準差 $\sigma$ 未知時，使用 t 分配的公式為：
$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$
其中：

• $\bar{x}$ 是樣本平均數。
• $s$ 是樣本標準差。
• $n$ 是樣本大小。
• $t_{\alpha/2, n-1}$ 是在自由度為 $n-1$ 的 t 分配下，尾部機率為 $\alpha/2$ 的 t 值（即信賴水準為 $1-\alpha$ 的臨界值）。

題目資訊：

• 樣本觀測值 (薪水，單位：千元)：10, 15, 18, 22, 25, 30。
• 樣本大小 ($n$)：6。
• 樣本平均數 ($\bar{x}$)：20 (千元)。
• 樣本標準差 ($s$)：$\sqrt{51.6} \approx 7.1833$ (千元)。
• 信賴水準：95%。

解題步驟：

1. 確定 $\alpha$ 值：
   信賴水準為 95%，所以 $1-\alpha = 0.95$，則 $\alpha = 0.05$。
   我們需要的是 $\alpha/2 = 0.05 / 2 = 0.025$ 的尾部機率。

此題為單樣本平均數的假設檢定。我們需要檢定母體平均薪資是否顯著低於 30,000 元。

核心觀念：
單樣本平均數檢定 (One-sample t-test)，當母體標準差未知時。

• 虛無假說 ($H_0$)：母體平均薪資 $\mu$ 等於或大於某值。
• 對立假說 ($H_a$)：母體平均薪資 $\mu$ 小於某值。
• 檢定統計量：$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$
• 決策規則：比較檢定統計量的值與臨界值，或比較 P-value 與顯著水準 $\alpha$。

題目資訊：

• 樣本觀測值 (薪水，單位：千元)：10, 15, 18, 22, 25, 30。
• 樣本大小 ($n$)：6。
• 樣本平均數 ($\bar{x}$)：20 (千元)。
• 樣本標準差 ($s$)：$\sqrt{51.6} \approx 7.1833$ (千元)。
• 檢定值 ($\mu_0$)：30 (千元)。
• 顯著水準 ($\alpha$)：5% 或 0.05。
• 檢定方向：我們要檢定「員工薪水低於 30,000 元」，這表示我們想知道是否能拒絕「平均薪資不低於 30,000 元」的說法。因此，這是左尾檢定。

解題步驟：

1. 建立假設：
   • 虛無假說 $H_0: \mu \ge 30$ (母體平均薪資大於或等於 30 千元)
   • 對立假說 $H_a: \mu < 30$ (母體平均薪資小於 30 千元)
     （注意：題目問「是否支持員工薪水低於 30,000 元」，這意味著我們希望找到證據來支持 $H_a$。如果我們拒絕 $H_0$，就表示支持 $H_a$。）

此題要求計算 P-value，用於評估虛無假說為真時，觀察到樣本結果或更極端結果的機率。

核心觀念：

• P-value：在虛無假說 ($H_0$) 為真的前提下，觀察到樣本統計量（或比它更極端）的機率。
• 顯著水準 ($\alpha$)：事先設定的拒絕 $H_0$ 的機率門檻。
• 決策規則：如果 $P\text{-value} \le \alpha$，則拒絕 $H_0$。

題目資訊：

• 這是對上一題假設檢定 (三、4.(4)) 的延續。
• 樣本觀測值 (薪水，單位：千元)：10, 15, 18, 22, 25, 30。
• 樣本大小 ($n$)：6。
• 樣本平均數 ($\bar{x}$)：20 (千元)。
• 樣本標準差 ($s$)：$\sqrt{51.6} \approx 7.1833$ (千元)。
• 檢定值 ($\mu_0$)：30 (千元)。
• 檢定方向：左尾檢定（我們要檢定 $\mu < 30$）。
• 虛無假說 $H_0: \mu \ge 30$。
• 對立假說 $H_a: \mu < 30$。
• 檢定統計量 $t \approx -3.410$。
• 自由度 $df = n-1 = 5$。

解題步驟：

P-value 是指在 $H_0$ 為真時，觀察到檢定統計量 $t$ 值為 -3.410 或更小（因為是左尾檢定）的機率。
$P\text{-value} = P(t_{df} \le -3.410)$
$P\text{-value} = P(t_5 \le -3.410)$

我們需要查找 t 分配表，找出自由度為 5 時，t 值為 -3.410 或更小（右邊尾部面積）的機率。