115 年 國立臺北大學企業管理學系碩士班甲組《統計學》

此題主要在測試對於二因子變異數分析(Two-Way ANOVA)中，當交互作用(Interaction)顯著時，後續分析方法的理解。

核心觀念：當ANOVA的交互作用項顯著時，表示因子之間的影響並非獨立，其中一個因子的效果會受到另一個因子的水準影響。此時，僅看單一因子的主要效應(Main Effect)已不足以完整解釋，需要進一步探討。

(1) 當二因子變異數分析中的交互作用項顯著時，我們需要探究是哪一個層級的交互作用導致顯著。這通常可以透過兩種方式進行：
a. 事後多重比較檢定 (Post Hoc Multiple Comparison Test)：這適用於我們對所有因子組合的平均數感興趣，並想比較它們之間的差異。例如，我們想知道 (M1, S1) 的平均數是否與 (M1, S2) 不同，是否與 (M2, S1) 不同，是否與 (M2, S2) 不同，以及其他所有組合的兩兩比較。
b. 單純效果檢定 (Simple Effect Test)：這適用於我們想探究其中一個因子在其中一個層級下，對另一個因子的效果。例如，我們想知道在材質 M1 下，設計風格 S1 和 S2 的效果是否有差異？或者在設計風格 S1 下，材質 M1 和 M2 的效果是否有差異？

題目中提到「服飾材質與設計風格搭配的交互效果達顯著水準」，這表示材質和風格的組合對市場接受度有影響。若銷售人員想得到「更具體」的結果，通常意味著想知道具體的組合之間是否有差異，或者在特定情況下（例如特定材質下）不同風格的影響為何。

在這兩種選擇中：

• 事後多重比較檢定 通常是用來比較所有組合的平均數。如果我們對所有四種組合 (M1S1, M1S2, M2S1, M2S2) 的市場接受度平均值進行兩兩比較，這會提供非常詳細的資訊。
• 單純效果檢定 則聚焦於特定因子的某一層級下的效果。例如，在材質 M1 下，比較 S1 和 S2 的效果；在材質 M2 下，比較 S1 和 S2 的效果；或者在風格 S1 下，比較 M1 和 M2 的效果；在風格 S2 下，比較 M1 和 M2 的效果。

綜合來看，若要得到「更具體」的結果，兩種方法都能提供更多細節。然而，事後多重比較檢定更直接地回答「哪些組合之間有顯著差異」，而單純效果檢定則是「在某個因子固定下，另一個因子的效果如何」。

在統計實務上，當交互作用顯著時，最常見且能提供最全面資訊的後續步驟是進行單純效果檢定，因為它能精確地指出交互作用的來源。例如，我們想知道：

1. 在材質 M1 下，風格 S1 和 S2 的效果是否有差異？
2. 在材質 M2 下，風格 S1 和 S2 的效果是否有差異？
3. 在風格 S1 下，材質 M1 和 M2 的效果是否有差異？
4. 在風格 S2 下，材質 M1 和 M2 的效果是否有差異？

事後多重比較檢定（例如 Tukey's HSD, Bonferroni 等）則是用於比較所有配對的平均值，通常是在交互作用不顯著，但主要效應顯著時使用，或是作為單純效果檢定的一部分。

在此情境下，若想了解「交互效果」的具體表現，單純效果檢定 (simple effect test) 是更直接且能提供深入洞察的方法，因為它能解釋為何交互作用顯著。例如，可能發現材質M1下，風格S1優於S2，但材質M2下，風格S2優於S1。

因此，更適合的選擇是單純效果檢定。

答案：(1) 單純效果檢定 (simple effect test)

(2) 說明該檢定如何進行。

單純效果檢定 (Simple Effect Test) 的目的是檢定一個因子在另一個因子固定某一層級下的效果。當交互作用顯著時，我們通常會針對每一個因子層級組合進行檢定。

假設我們的模型是：
$Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \epsilon_{ijk}$
其中 $i$ 代表材質 (M1, M2)，$j$ 代表風格 (S1, S2)。

當交互作用項 $(\alpha\beta)_{ij}$ 顯著時，我們需要進行單純效果檢定。

檢定步驟：

1. 確定檢定對象： 根據交互作用的意義，我們需要檢定：
   • 在材質 M1 下，風格 S1 與 S2 的市場接受度平均值是否有差異？
   • 在材質 M2 下，風格 S1 與 S2 的市場接受度平均值是否有差異？

此題考驗的是在多元迴歸中，當忽略一個相關但未被納入模型的解釋變數時，對其他解釋變數估計係數的影響。

核心觀念：在多元迴歸模型中，一個解釋變數的係數估計值，實際上是控制了其他所有解釋變數的影響後，該變數對應變數的淨效果。若遺漏了與模型中其他解釋變數相關的解釋變數，可能會導致模型中的係數估計產生偏差。

假設我們有一個真實的模型：
$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \epsilon$

研究人員現在考慮的模型是：
$Y = \beta_0^* + \beta_1^* X_1 + \epsilon^*$

其中 $\beta_0^*$, $\beta_1^*$ 是在僅考慮 $X_1$ 時估計出的截距和斜率。

我們需要討論遺漏 $X_2$ 對 $\beta_1$ 估計結果 $\beta_1^*$ 的影響。

影響的關鍵在於 $X_1$ 和 $X_2$ 之間的相關性。

情況一：$X_1$ 和 $X_2$ 不相關 (即 $\text{Cov}(X_1, X_2) = 0$)

如果 $X_1$ 和 $X_2$ 是不相關的，那麼遺漏 $X_2$ 對 $X_1$ 的迴歸係數 $\beta_1$ 的估計值 $\beta_1^*$ 並不會產生偏差。
原因如下：
在多元迴歸中，$\beta_1$ 的估計值可以表示為：
$\hat{\beta}_1 = \sum_{i=1}^n (X_{1i} - \bar{X}_1)(Y_i - \bar{Y}) / \sum_{i=1}^n (X_{1i} - \bar{X}_1)^2$
這是在單變量迴歸下的公式。

在多元迴歸 $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \epsilon$ 中，
$\hat{\beta}_1 = \text{Cov}(X_1, Y) / \text{Var}(X_1)$，但這是指在控制 $X_2$ 的情況下。
更精確地說，在多元迴歸中，$\hat{\beta}_1$ 的估計值是基於 $X_1$ 對 $Y$ 的影響，在排除了 $X_2$ 對 $Y$ 的影響之後。
$\hat{\beta}_1 = \text{Cov}(X_1^*, Y) / \text{Var}(X_1^*)$
其中 $X_1^*$ 是 $X_1$ 在排除了 $X_2$ 的影響後所剩餘的部分 (即 $X_1$ 對 $X_2$ 的迴歸殘差)。
$X_1^* = X_1 - \hat{\gamma}_0 - \hat{\gamma}_1 X_2$ (其中 $\hat{\gamma}_0, \hat{\gamma}_1$ 是 $X_1$ 對 $X_2$ 的迴歸係數)。

若 $X_1$ 和 $X_2$ 不相關，則 $X_1$ 的迴歸模型對 $X_2$ 的殘差 $X_1^*$ 就會是 $X_1$ 本身（因為 $X_2$ 無法解釋 $X_1$ 的變異）。
$\text{Cov}(X_1^*, Y) = \text{Cov}(X_1, Y)$
$\text{Var}(X_1^*) = \text{Var}(X_1)$
所以，$\hat{\beta}_1^* = \text{Cov}(X_1, Y) / \text{Var}(X_1)$。
代入 $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \epsilon$，
$\text{Cov}(X_1, Y) = \text{Cov}(X_1, \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \epsilon)$
$= \beta_1 \text{Var}(X_1) + \beta_2 \text{Cov}(X_1, X_2) + \text{Cov}(X_1, \epsilon)$
由於 $\text{Cov}(X_1, X_2) = 0$ 且假設 $\text{Cov}(X_1, \epsilon) = 0$ (解釋變數與誤差項不相關)，
$\text{Cov}(X_1, Y) = \beta_1 \text{Var}(X_1)$。
因此，$\hat{\beta}_1^* = (\beta_1 \text{Var}(X_1)) / \text{Var}(X_1) = \beta_1$。
這表示，如果 $X_1$ 和 $X_2$ 不相關，遺漏 $X_2$ 並不會導致對 $\beta_1$ 的估計產生偏差。

情況二：$X_1$ 和 $X_2$ 相關 (即 $\text{Cov}(X_1, X_2) \neq 0$)

如果 $X_1$ 和 $X_2$ 是相關的，那麼遺漏 $X_2$ 將會導致對 $\beta_1$ 的估計產生偏差。
偏差的大小和方向取決於 $X_2$ 對 $Y$ 的影響 ($\beta_2$) 以及 $X_1$ 和 $X_2$ 的相關性。

我們知道，在僅考慮 $X_1$ 的模型中，估計的係數 $\beta_1^*$ 可以表示為：
$\hat{\beta}_1^* = \frac{\text{Cov}(X_1^*, Y)}{\text{Var}(X_1^*)}$
其中 $X_1^*$ 是 $X_1$ 在排除了 $X_2$ 的影響後所剩餘的部分。
$X_1 = \gamma_0 + \gamma_1 X_2 + X_1^{res}$ (其中 $X_1^{res}$ 是 $X_1$ 對 $X_2$ 的迴歸殘差，即 $X_1^*$)。
$\text{Cov}(X_1, Y) = \text{Cov}(\gamma_0 + \gamma_1 X_2 + X_1^{res}, \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \epsilon)$
$= \text{Cov}(\gamma_1 X_2 + X_1^{res}, \beta_1 (\gamma_0 + \gamma_1 X_2 + X_1^{res}) + \beta_2 X_2 + \epsilon)$
$= \text{Cov}(\gamma_1 X_2 + X_1^{res}, \beta_1 \gamma_0 + \beta_1 \gamma_1 X_2 + \beta_1 X_1^{res} + \beta_2 X_2 + \epsilon)$

核心觀念點撥

本題為經典的**「醉漢登機問題」（Drunk Passenger Problem / Lost Boarding Pass Problem）**。
解答本題的核心觀念在於：

1. 全機率定理（Law of Total Probability）與條件遞迴（Recurrence Relation）：透過分析第一位丟失登機證乘客的選擇，將大規模的隨機過程拆解為結構完全相同的子問題，並運用數學歸納法求解。
2. 對稱性原理（Symmetry Principle）：分析關鍵座位（「1 號座位」與「目標 15 號座位」）在隨機選擇過程中的地位等價性，在每一次隨機抽樣時，兩座位被選中的機率完全相同，從而快速導出結果。

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完整解題過程

以下提供兩種經典且嚴謹的解題方法：全機率定理遞迴法與對稱性分析法。

解法一：全機率定理與數學歸納法（嚴謹推導）

設乘客總人數與座位數為 $n$（本題 $n=15$）。定義 $P(n)$ 為當有 $n$ 個座位與 $n$ 位乘客時，第 $n$ 位乘客順利坐到自己號碼（第 $n$ 號）座位的機率。

1. 條件機率拆解（分析 1 號乘客的選擇）：
1 號乘客隨機從 $n$ 個座位中挑選一個，挑中每一個座位的機率均為 $\frac{1}{n}$：

• 情況 A：1 號乘客抽中 1 號座位（機率為 $\frac{1}{n}$）
  1 號乘客坐對位置後，後續第 $2$ 到第 $n$ 位乘客上飛機時，自己的座位必然都是空的，所有人都能順利歸位。因此在此情況下，第 $n$ 位乘客坐到自己座位的條件機率為 $1$。
• 情況 B：1 號乘客抽中 $n$ 號座位（機率為 $\frac{1}{n}$）
  $n$ 號座位已被 1 號乘客佔用，第 $n$ 位乘客最後登場時絕不可能坐到自己的座位。因此在此情況下，條件機率為 $0$。
• 情況 C：1 號乘客抽中 $k$ 號座位（其中 $2 \le k \le n-1$，每個 $k$ 的機率均為 $\frac{1}{n}$）
  • 第 $2$ 到第 $k-1$ 位乘客登場時，各自的座位都未被佔用，皆能順利歸位。
  • 當第 $k$ 位乘客登場時，發現自己的 $k$ 號座位已被佔用。此時剩餘的空位包含：1 號座位，以及第 $k+1, k+2, \dots, n$ 號座位，共計剩餘 $n-k+1$ 個空位。
  • 第 $k$ 位乘客必須從這 $n-k+1$ 個剩餘空位中隨機挑選一個。這時候，「1 號座位」對第 $k$ 位乘客而言效果等同於「安全座位」（選中它則後續所有人回歸原位），而「$n$ 號座位」依然是「目標座位」。這完全等價於一個規模為 $n-k+1$ 人登機的全新問題。
  • 因此在此情況下，第 $n$ 位乘客坐到自己座位的條件機率即為 $P(n-k+1)$。

本題為經典的組合計數與群論應用題，整合了以下三個核心觀念：

1. 環狀不相鄰排列（Non-adjacent Circular Permutations）：在首尾相連的 10 個位置中，選取 3 個互不相鄰的位置。
2. 二面體群的對稱作用（Dihedral Group Action $D_{10}$）：旋轉對稱（Rotational Symmetry）與鏡射對稱（Reflectionary Constraint）共同構成了 10 階二面體群 $D_{10}$（包含 10 個旋轉作用與 10 個鏡射作用，群的階數 $|D_{10}| = 20$）。
3. 伯恩賽德引理（Burnside's Lemma）與不動點分析：用於計算群作用下的等價類（軌道，Orbits）總數。由於其餘 7 件雕塑皆來自不同藝術家（獨一無二），除了單位元素（Identity）之外，任何非單位的旋轉或鏡射變換皆不可能使排列保持不變（穩定子皆為平凡群 $\text{Stab}(x) = \{e\}$），因此每個軌道大小恰為 20。

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(1) 假設 A1, A2, A3 為 3 件不同的雕塑

步驟一：計算固定位置下，選擇 3 個不相鄰底座的方法數

假設 10 個底座固定編號為 $1, 2, \dots, 10$（順時針排列）。我們要從中選出 3 個底座放置 Tom 的雕塑，且任意兩個底座不可相鄰（包含 1 號與 10 號底座相鄰的情況）。

• 方法一（線性拆解法）：

  • 若選取 1 號底座：則 2 號與 10 號底座不可選。必須從剩餘的 $\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$（共 7 個直線排列的底座）中選出 2 個互不相鄰的底座。方法數為：
    $\binom{7 - 2 + 1}{2} = \binom{6}{2} = 15$
  • 若不選取 1 號底座：則必須從 $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$（共 9 個直線排列的底座）中選出 3 個互不相鄰的底座。方法數為：
    $\binom{9 - 3 + 1}{3} = \binom{7}{3} = 35$
  • 合計：固定底座上滿足不相鄰條件的位置組合共有 $15 + 35 = 50$ 種。

• 方法二（環狀不相鄰公式）：
  在 $n$ 個環狀排列的位置中選擇 $k$ 個互不相鄰位置的組合數公式為 $\frac{n}{n-k}\binom{n-k}{k}$。帶入 $n=10, k=3$：
  $\frac{10}{10-3}\binom{10-3}{3} = \frac{10}{7}\binom{7}{3} = \frac{10}{7} \times 35 = 50$

步驟二：計算固定底座下的雕塑排列總數

在確定 3 個不相鄰底座後：

1. 放置 A1, A2, A3：由於 3 件雕塑完全不同，在選定的 3 個底座上有 $3! = 6$ 種放法。
2. 放置其餘 7 件雕塑：其餘 7 件雕塑來自 7 位不同藝術家，皆不相同，放置在剩餘 7 個底座上有 $7! = 5040$ 種放法。

因此，在固定底座下，滿足條件 1 的總排列數為：
$N_{\text{fixed}}^{(1)} = 50 \times 3! \times 7! = 50 \times 6 \times 5040 = 1,512,000$

步驟三：考慮旋轉與鏡射對稱（群作用 $D_{10}$）