114 年 國立臺北大學自然資源與環境管理研究所《統計學》

這是一題看圖說故事的題目，主要在於觀察圖表呈現的資訊，並用簡潔的文字描述，避免過度解讀。

圖表一：World fossil carbon dioxide emission 1970~2021
此圖顯示了全球二氧化碳排放量（以百萬公噸為單位）從1970年到2021年的趨勢。

• 整體趨勢： 可以觀察到，從1970年以來，全球的二氧化碳排放總量呈現持續上升的趨勢，雖然在某些時間點（例如2008-2009年金融危機期間）可能有所波動，但長期來看是增長的。
• 主要排放國家/地區： 圖中標示了幾個主要的排放國家或地區，包括 China (中國)、United States (美國)、EU29+UK (歐盟29國加英國)、India (印度)、Russia (俄羅斯)、Japan (日本)，以及 International shipping and aviation (國際航運和航空)。
• 趨勢比較： 觀察各主要排放體的趨勢，可以發現中國的排放量在近二十年來快速增長，已成為主要的排放國之一。美國和歐盟的排放量在2000年後趨於平緩或略有下降。印度的排放量也呈現上升趨勢。
• 其他國家： "other countries" (其他國家) 的總排放量也相當可觀，顯示了全球許多國家對二氧化碳排放的貢獻。

圖表二：Carbon dioxide emissions per person
此圖以散佈圖的形式呈現，其中橫軸代表人口數（以長方形寬度表示），縱軸代表每人二氧化碳排放量（以噸為單位），長方形面積則代表總排放量。圖中標示了15個排放量較大的國家。

中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）是統計學中一個非常重要的理論。

意涵：
中央極限定理指出，不論母體（population）的原始分布形態為何（即使是非常態分布），只要我們從母體中抽取足夠大的隨機樣本（sample size $n$ 越大越好，通常 $n \ge 30$ 被認為足夠），則這些樣本的樣本平均數（sample means）的抽樣分配（sampling distribution）將會近似於一個常態分布（normal distribution）。
更精確地說，如果母體平均數為 $\mu$ 且母體標準差為 $\sigma$，那麼樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配的平均數將為 $\mu$，標準差（稱為標準誤，standard error）將為 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
所以，即使原始母體分布是偏斜的、均勻的，甚至是離散的，只要樣本夠大，樣本平均數的分布就會趨近於常態。

在統計上的重要性：
中央極限定理在統計學上極為重要，主要體現在以下幾個方面：

1. 推論統計的基礎： 許多推論統計的方法，例如假設檢定（hypothesis testing）和信賴區間（con

信賴區間推估（Confidence Interval Estimation）與假設檢定（Hypothesis Testing）是統計推論中兩種重要的工具，它們之間存在著密切且互補的關係。

核心關係：
簡單來說，信賴區間提供了一個母體參數（如母體平均數 $\mu$）可能落入的範圍，而假設檢定則是檢驗某個關於母體參數的特定假設是否成立。許多情況下，可以利用其中一種方法來達到另一種方法的結論。

具體關係說明：

1. 互相驗證與轉換：
   • 從信賴區間看假設檢定： 對於一個雙尾檢定（two-tailed test），若檢定某個母體參數（例如 $\mu_0$）的虛無假設 $H_0: \mu = \mu_0$ 在顯著水準 $\alpha$ 下是否成立，我們可以建構母體參數 $\mu$ 的 $(1-\alpha) \times 100\%$ 信賴區間。
     • 如果 $\mu_0$ 落在這個信賴區間內，則我們 無法拒絕 虛無假設 $H_0$。
     • 如果 $\mu_0$ 不在這個信賴區間內（即 $\mu_0$ 在信賴區間的外部），則我們 拒絕 虛無假設 $H_0$，並接受對立假設 $H_a$。
   • 從假設檢定看信賴區間： 反之，若我們建構了母體參數 $\mu$ 的 $(1-\alpha) \times 100\%$ 信賴區間，那麼這個信賴區間實際上包含了所有那些，如果我們將它們作為虛無假設的參數值，在顯著水準 $\alpha$ 下無法被拒絕的數值。

「自由度」（Degrees of Freedom, df）是統計學中一個非常重要的概念，尤其是在參數估計和假設檢定中。

自由度的意涵：
自由度可以直觀地理解為：在計算某個統計量時，可以自由變動的觀察值（或數據點）的數量。
更精確的定義通常與樣本量以及所估計的母體參數數量有關。

• 一般規則： 當我們從一個容量為 $n$ 的樣本中估計一個母體參數時，如果這個估計過程消耗了一個自由度（例如，在計算樣本變異數時，我們使用了樣本平均數，而樣本平均數是基於所有 $n$ 個數據點計算的），那麼自由度就是 $n-1$。
• 範例：
  • 樣本變異數： 計算樣本變異數 $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$ 時，我們有 $n$ 個數據點 $x_1, \dots, x_n$。一旦我們確定了其中 $n-1$ 個數據點的值，以及樣本平均數 $\bar{x}$，那麼最後一個數據點的值就確定了，因為 $\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = 0$。因此，只有 $n-1$ 個數據點的值可以自由變動，所以樣本變異數的自由度是 $n-1$。
  • t分布： 在進行小樣本推論時，我們常使用t分布。t分布的形狀取決於其自由度。自由度越大，t分布越接近標準常態分布。
  • 卡方分布： 卡方（$\chi^2$）分布的自由度也表示其形狀參數。
  • F分布： F分布有兩個自由度參數（分子自由度和分母自由度），用於比較兩個變異數或在ANOVA中。

這題是一個典型的單因子變異數分析（One-Way ANOVA）應用題，旨在檢驗不同處理（藥物劑量）對某項觀測指標（康復時間）的影響。

5-1、自變數、應變數

• 自變數 (Independent Variable, IV)： 自變數是我們操縱或改變的變數，用來觀察其對應變數的影響。在本題中，自變數是藥物劑量 (drug dosage)，它有五個不同的水平（0mg, 5mg, 10mg, 15mg, 20mg）。
• 應變數 (Dependent Variable, DV)： 應變數是我們測量或觀察的變數，預期會受到自變數影響。在本題中，應變數是患者的康復天數 (recovery days)，康復時間越短表示效果越好。

5-2、單因子ANOVA 的虛無假設與對立假設

單因子ANOVA 的目的是檢定所有組別的母體平均數是否相等。

• 虛無假設 ($H_0$)： 所有組別的母體平均數均相等。
  $H_0: \mu_0 = \mu_5 = \mu_{10} = \mu_{15} = \mu_{20}$
  其中 $\mu_0, \mu_5, \mu_{10}, \mu_{15}, \mu_{20}$ 分別代表不同藥物劑量（0mg, 5mg, 10mg, 15mg, 20mg）下患者康復天數的母體平均數。
• 對立假設 ($H_a$)： 至少有一個組別的母體平均數與其他組別不同。
  $H_a: \text{至少有一個 } \mu_i \neq \mu_j \text{ (其中 } i \neq j \text{ 且 } i, j \in \{0, 5, 10, 15, 20\})$
  簡單來說，對立假設就是否定虛無假設，認為藥物劑量對康復時間是有影響的（至少有一種劑量與其他劑量有顯著差異）。

5-3、ANOVA 檢定與 F 值的計算

ANOVA 檢定的進行步驟：
ANOVA（Analysis of Variance，變異數分析）是一種用來比較兩個或兩個以上組別平均數是否具有統計學上顯著差異的方法。其核心思想是將總變異（Total Variation）分解為組間變異（Between-group Variation）和組內變異（Within-group Variation）。

• 組間變異： 衡量各組平均數與總平均數之間的差異。如果組間變異大，表示各組平均數差異較大，可能受到處理（藥物劑量）的影響。
• 組內變異： 衡量各組內部數據點與該組平均數之間的差異，代表隨機誤差或實驗本身的變異。

F 值的計算公式與邏輯：
F 值是組間變異與組內變異的比值，用來檢定各組母體平均數是否相等。

$F = \frac{\text{組間變異}}{\text{組內變異}}$

更具體的計算方式是：
$F = \frac{\text{組間均方 (Mean Square Between, MSB)}}{\text{組內均方 (Mean Square Within, MSW)}}$

• 組間均方 (MSB)：
  $MSB = \frac{SSB}{df_B}$
  其中 $SSB$ 是組間平方和（Sum of Squares Between），代表組間變異的大小。$df_B$ 是組間自由度，等於 $k-1$，其中 $k$ 是組別的數量（本題為 5）。
  $SSB$ 的計算通常是：$SSB = \sum_{i=1}^k n_i (\bar{X}_i - \bar{X}_{total})^2$，其中 $n_i$ 是第 $i$ 組的樣本數，$\bar{X}_i$ 是第 $i$ 組的樣本平均數，$\bar{X}_{total}$ 是所有樣本的總平均數。

• 組內均方 (MSW)：
  $MSW = \frac{SSW}{df_W}$
  其中 $SSW$ 是組內平方和（Sum of Squares Within），代表組內變異的大小（隨機誤差）。$df_W$ 是組內自由度，等於 $N-k$，其中 $N$ 是總樣本數（本題為 100）。
  $SSW$ 的計算通常是：$SSW = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \bar{X}_i)^2$，其中 $X_{ij}$ 是第 $i$ 組的第 $j$ 個觀測值。

F 值的邏輯：

• 如果虛無假設 $H_0$ 為真（即所有母體平均數相等），那麼組間變異應該很小，與組內變異（隨機誤差）差不多。此時 F 值會接近 1。
• 如果對立假設 $H_a$ 為真（即至少有一個母體平均數不同），那麼組間變異會相對較大，顯著大於組內變異。此時 F 值會遠大於 1。
• 因此，F 統計量的大小提供了一個判斷組別平均數差異是否顯著的依據。

5-4、結果解釋與進一步分析

已知資訊：

• 顯著水準 $\alpha = 0.05$
• 計算出的 F 值 = 4.75
• 對應的 p 值 = 0.003

這是一個關於統計分布特徵的問題，特別是平均數、中位數和分布形態的關係。

核心觀念：

• 算術平均數 (Arithmetic Mean)： 對所有數值敏感，容易被極端值（特別是極大值）拉高。
• 中位數 (Median)： 是排序後位於中間位置的數值，不受極端值影響，只與數據的排序位置有關。

關聯性：

• 對稱分布（如正態分布）： 在完美的對稱分布中，平均數、中位數和眾數（Mode）通常會相等或非常接近。
• 偏斜分布：
  • 右偏分布（Positively Skewed Distribution）： 分布的尾部向右延伸（有較大的極端值）。這些極端值會將算術平均數向右拉，使其大於中位數。
  • 左偏分布（Negatively Skewed Distribution）： 分布的尾部向左延伸（有較小的極端值）。這些極端值會將算術平均數向左拉，使其小於中位數。

題目分析：
題目給定「一組資料的中位數大於算術平均數」，即 $Median > Mean$。
根據上述關聯性，當平均數被較小的數值拉低時，分布是左偏的。

這題考驗對算術平均數性質的理解，特別是其對極端值的敏感度。

核心觀念：
算術平均數的計算方式是將所有數值加總後除以數值的個數。
$\text{平均數} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$
這個公式意味著，平均數的計算包含了每一個數值，因此任何一個數值的改變都會影響平均數。

極端值的影響：

• 極端極大值 (Extreme Large Value)： 如果數據集中出現一個非常大的數值，這個數值在加總時會顯著地增加總和，進而使平均數顯著地增加。
• 極端極小值 (Extreme Small Value)： 如果數據集中出現一個非常小的數值（可能是負數或接近零），這個數值在加總時會顯著地降低總和，進而使平均數顯著地降低。

選項分析：

• (A) 算術平均數會變大： 這只在出現極端極大值時才成立。
• (B) 算術平均數會變小： 這只在出現極端極小值時才成立。
• (C) 算術平均數不會變化： 這是錯誤的，因為平均數對每個數值都敏感。
• (D) 算術平均數可能會偏離中心值： 這個選項最為準確和全面。

這是一道關於 Poisson 分布的機率計算題。

核心觀念：
Poisson 分布用於描述在固定時間間隔或空間區域內，隨機發生某事件的次數。其機率質量函數（Probability Mass Function, PMF）為：
$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
其中：

• $X$ 是隨機變數，代表事件發生的次數。
• $k$ 是事件發生的具體次數（非負整數）。
• $\lambda$ (lambda) 是平均發生率（每單位時間或空間的平均事件數）。
• $e$ 是自然對數的底數，約等於 2.71828。
• $k!$ 是 $k$ 的階乘。

題目分析：

• 平均發生率 ($\lambda$)： 題目告知「某工廠每小時平均生產3個缺陷品」，所以 $\lambda = 3$。
• 事件： 生產缺陷品的數量。
• 要求機率： 「在某小時內，工廠生產不超過1個缺陷品」。這意味著缺陷品數量 $X$ 可以是 0 或 1。
  所以我們需要計算 $P(X \le 1)$。

計算步驟：
$P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)$

1. 計算 $P(X=0)$：
   當 $k=0$ 時，

核心觀念

本題考查「母體平均數的信賴區間」。

由於：

• 母體為常態分配；
• 樣本數 $n=50$；
• 母體標準差 $\sigma$ 未知，僅知道樣本標準差 $s=1.5$；

因此，估計母體平均數 $\mu$ 時，應使用自由度為 $n-1=49$ 的 $t$ 分配：

$$\bar{X}\pm t_{\alpha/2,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}$$

其中：

• $\bar{X}=4.2$
• $s=1.5$
• $n=50$
• 信賴水準為 $95\%$，故 $\alpha=0.05$
• $t_{0.025,49}=2.0096$

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解題方法

母體標準差未知，所以使用 $t$ 信賴區間：

$$\bar{X}\pm t_{0.025,49}\frac{s}{\sqrt{n}}$$

先計算樣本平均數的標準誤：

$$\frac{s}{\sqrt{n}} =\frac{1.5}{\sqrt{50}} \approx 0.2121$$

代入公式：

$$4.2\pm 2.0096(0.2121)$$

因此，母體平均每小時故障數量的 $95\%$ 信賴區間為：

$$4.2\pm 2.0096\times 0.2121$$

數值約為：

$$4.2\pm 0.4262$$

所以信賴區間約為：

$$(3.7738,\ 4.6262)$$

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選項分析

(A) $4.2\pm1.96\times0.2121$

錯誤。

這是一道關於比較兩個獨立樣本比例的假設檢定題。我們需要檢定兩個醫院的治療成功比例是否存在顯著差異。

核心觀念：
當比較兩個獨立樣本的比例時，我們通常使用 Z 檢定。

步驟：

1. 定義假設：

   • 虛無假設 ($H_0$)：兩家醫院的治療成功比例相等。
     $H_0: p_A = p_B$
     或寫成 $p_A - p_B = 0$。
   • 對立假設 ($H_a$)：兩家醫院的治療成功比例不相等。
     $H_a: p_A \neq p_B$
     或寫成 $p_A - p_B \neq 0$。
     這是一個雙尾檢定。

2. 收集數據：

   • 醫院 A：樣本數 $n_A = 100$，成功數 $x_A = 80$。樣本比例 $\hat{p}_A = x_A / n_A = 80 / 100 = 0.80$。
   • 醫院 B：樣本數 $n_B = 100$，成功數 $x_B = 60$。樣本比例 $\hat{p}_B = x_B / n_B = 60 / 100 = 0.60$。

3. 計算合併比例（Pooled Proportion）：
   在虛無假設為真時（即 $p_A = p_B = p$），我們合併兩個樣本來估計這個共同的比例 $p$。
   $\hat{p} = \frac{x_A + x_B}{n_A + n_B} = \frac{80 + 60}{100 + 100} = \frac{140}{200} = 0.70$

4. 計算檢定統計量 Z：
   Z 檢定的公式為：
   $Z = \frac{(\hat{p}_A - \hat{p}_B) - (p_A - p_B)_{\text{hypothesized}}}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B})}}$
   在 $H_0$ 下，$(p_A - p_B)_{\text{hypothesized}} = 0$。
   $Z = \frac{(0.80 - 0.60) - 0}{\sqrt{0.70(1-0.70)(\frac{1}{100} + \frac{1}{100})}}$
   $Z = \frac{0.20}{\sqrt{0.70 \times 0.30 \times (\frac{2}{100})}}$
   $Z = \frac{0.20}{\sqrt{0.21 \times 0.02}}$

這是一道關於配對樣本 t 檢定（Paired t-test）的題目，用於檢驗在實施新學習計畫前後，同一組學生的數學成績是否有顯著差異，以判斷計畫是否有效。

核心觀念：
當我們有來自同一組對象（在此是同一批學生）在不同時間點或不同條件下的兩組測量數據時，我們應該使用配對樣本 t 檢定，而不是獨立樣本 t 檢定。這是因為配對樣本中的數據之間存在相關性，配對樣本 t 檢定會考慮這種相關性，從而提高檢定的效率。

步驟：

1. 計算差異值：
   首先，我們計算每位學生在實施計畫「後」的成績減去「前」的成績，得到差異值 $d_i$。
   $d_i = \text{實施後成績} - \text{實施前成績}$

   • 學生 1: $80 - 75 = 5$
   • 學生 2: $85 - 88 = -3$
   • 學生 3: $95 - 92 = 3$
   • 學生 4: $70 - 65 = 5$
   • 學生 5: $80 - 78 = 2$
   • 學生 6: $84 - 82 = 2$
   • 學生 7: $92 - 90 = 2$
   • 學生 8: $78 - 74 = 4$
   • 學生 9: $85 - 80 = 5$
   • 學生 10: $89 - 85 = 4$
     差異值列表：{5, -3, 3, 5, 2, 2, 2, 4, 5, 4}

2. 定義假設：
   我們想知道的是新學習計畫是否「顯著改善」了學生的數學成績。這意味著我們希望實施後成績普遍高於實施前，即差異值 $d_i$ 普遍為正。

   • 虛無假設 ($H_0$)：新學習計畫對學生成績沒有影響，或者平均差異為零（或負）。
     $H_0: \mu_d \le 0$
     其中 $\mu_d$ 是實施後成績減去實施前成績的母體平均差異。
   • 對立假設 ($H_a$)：新學習計畫顯著改善了學生的數學成績，即平均差異為正。
     $H_a: \mu_d > 0$
     這是一個單尾（右尾）檢定。

3. 計算差異值的樣本統計量：

   • 樣本量 $n = 10$ (學生數)。
   • 計算差異值的樣本平均數 $\bar{d}$：
     $\bar{d} = \frac{5 + (-3) + 3 + 5 + 2 + 2 + 2 + 4 + 5 + 4}{10} = \frac{29}{10} = 2.9$
   • 計算差異值的樣本標準差 $s_d$：
     首先計算樣本變異數 $s_d^2$：
     $s_d^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (d_i - \bar{d})^2}{n-1}$
     $(d_i - \bar{d})^2$ 的計算：
     • $(5-2.9)^2 = 2.1^2 = 4.41$
     • $(-3-2.9)^2 = (-5.9)^2 = 34.81$
     • $(3-2.9)^2 = 0.1^2 = 0.01$
     • $(5-2.9)^2 = 2.1^2 = 4.41$
     • $(2-2.9)^2 = (-0.9)^2 = 0.81$
     • $(2-2.9)^2 = (-0.9)^2 = 0.81$
     • $(2-2.9)^2 = (-0.9)^2 = 0.81$
     • $(4-2.9)^2 = 1.1^2 = 1.21$
     • $(5-2.9)^2 = 2.1^2 = 4.41$
     • $(4-2.9)^2 = 1.1^2 = 1.21$

這是一道關於檢定兩個類別變數之間是否相關的題目，通常使用卡方獨立性檢定（Chi-squared test of independence）。

核心觀念：
卡方獨立性檢定用於判斷兩個分類變數的分布是否獨立。如果獨立，則表示這兩個變數之間沒有關聯性；如果不是獨立，則表示它們之間存在關聯性。

步驟：

1. 定義假設：

   • 虛無假設 ($H_0$)：對幫派竊盜的擔心程度與是否為實際受害者是獨立的（即兩者之間沒有關聯）。
   • 對立假設 ($H_a$)：對幫派竊盜的擔心程度與是否為實際受害者不是獨立的（即兩者之間存在關聯）。
     這是一個雙尾檢定。

2. 收集數據：
   題目給出了一個 2x2 的列聯表（Contingency Table）：

   	實際受害者 (是)	實際受害者 (否)	總計
   擔心者 (是)	58	45	103
   擔心者 (否)	29	71	100
   總計	87	116	203
   總樣本數 $N = 203$。

3. 計算期望次數（Expected Frequencies）：
   在虛無假設為真（即兩個變數獨立）的情況下，我們計算每個單元格的期望次數。
   期望次數 $E_{ij} = \frac{(\text{第 } i \text{ 列總計}) \times (\text{第 } j \text{ 行總計})}{N}$

   • 期望次數 (擔心是, 受害者是)：$E_{11} = \frac{103 \times 87}{203} \approx \frac{8961}{203} \approx 44.14$
   • 期望次數 (擔心是, 受害者否)：$E_{12} = \frac{103 \times 116}{203} \approx \frac{11948}{203} \approx 58.86$
   • 期望次數 (擔心否, 受害者是)：$E_{21} = \frac{100 \times 87}{203} \approx \frac{8700}{203} \approx 42.86$
   • 期望次數 (擔心否, 受害者否)：$E_{22} = \frac{100 \times 116}{203} \approx \frac{11600}{203} \approx 57.14$

   驗證：期望次數總和應接近總樣本數：$44.14 + 58.86 + 42.86 + 57.14 = 203$。

4. 計算卡方檢定統計量 ($\chi^2$)：
   卡方統計量的公式為：
   $\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
   其中 $O_{ij}$ 是觀察次數，$E_{ij}$ 是期望次數。

   • 單元格 1 (擔心是, 受害者是)：$\frac{(58 - 44.14)^2}{44.14} = \frac{(13.86)^2}{44.14} \approx \frac{192.10}{44.14} \approx 4.352$
   • 單元格 2 (擔心是, 受害者否)：$\frac{(45 - 58.86)^2}{58.86} = \frac{(-13.86)^2}{58.86} \approx \frac{192.10}{58.86} \approx 3.264$