111 年 國立臺北大學企業管理學系碩士班甲組《統計學》

本題考查二因子變異數分析 (Two-way ANOVA) 的基本概念與計算。

(1) 計算 a-g 的數值：
在 Two-way ANOVA 中，各變異來源的自由度 (Degree of Freedom, df) 總和等於總自由度。總樣本數 $N = 120$。
因子 A 有 4 個水準 (包裝)，所以 $a = 4 - 1 = 3$。
因子 B 有 3 個水準 (定價)，所以 $b = 3 - 1 = 2$。
交互作用 A×B 的自由度為 $c = a \times b = 3 \times 2 = 6$。
誤差 (Error) 的自由度為 $d = N - (\text{總自由度}) = 120 - (a+b+c+1) = 120 - (3+2+6+1) = 120 - 12 = 108$。
(註：總自由度為 $N-1$。這裡的總和 1128 是總變異的平方和，對應的自由度是 $N-1 = 120-1=119$。所以總自由度為 119。
A 的自由度 $a=3$ (4-1)。
B 的自由度 $b=2$ (3-1)。
A×B 的自由度 $c=a \times b = 3 \times 2 = 6$。
誤差的自由度 $d = N - (\text{總因子數}+1) = 120 - (2+1) = 117$? 不對。
誤差的自由度 $d = N - (\text{總水準數}) = 120 - (4 \times 3) = 120 - 12 = 108$。
總自由度 = $a+b+c+d = 3+2+6+108 = 119$。這與題目給的總和自由度 119 相符。

F 值是變異數 (Mean Square) 的比值。
Mean Square (MS) = Sum of Squares (SS) / Degree of Freedom (df)。
$MS_A = SS_A / a = 120 / 3 = 40$。

本題考查迴歸分析中的模型增量檢定 (Model Increment Test) 和解釋變數影響檢定。

首先，我們有兩個模型：
模型 1 (Reduced Model): $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \epsilon_i$
模型 2 (Full Model): $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \beta_3 X_{1i}X_{2i} + \epsilon_i$
(這裡我們將加入的交互作用項係數記為 $\beta_3$)

(1) 檢定解釋力的增量 ($R^{2*} - R^2$) 是否顯著：
模型 1 的解釋力為 $R^2$。
模型 2 的解釋力為 $R^{2*}$。
$R^{2*}$ 代表模型 2 總共解釋的變異佔總變異的比例。
$R^2$ 代表模型 1 解釋的變異佔總變異的比例。
解釋力的增量 $R^{2*} - R^2$ 代表加入 $X_1X_2$ 項後，額外解釋的變異比例。
這個檢定實際上是在檢定模型 2 中的 $\beta_3$ 係數是否顯著不為零。
檢定方式是使用 F 統計量。
假設模型 1 的自由度為 $df_1 = n - (k_1+1)$，其中 $k_1$ 是模型 1 的解釋變數數量，即 $k_1=2$。所以 $df_1 = n-3$。
假設模型 2 的自由度為 $df_2 = n - (k_2+1)$，其中 $k_2$ 是模型 2 的解釋變數數量，即 $k_2=3$。所以 $df_2 = n-4$。
模型 2 相較於模型 1，多了一個解釋變數 ($X_1X_2$)。
F 統計量的建構公式為：
$F = \frac{\frac{SSR_{Full} - SSR_{Reduced}}{df_{Full} - df_{Reduced}}}{\frac{SSE_{Full}}{df_{Full}}}$
其中 $SSR$ 是迴歸平方和 (Sum of Squares due to Regression)，$SSE$ 是殘差平方和 (Sum of Squares of Error)。
我們知道 $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$，所以 $SSE = SST(1-R^2)$。
$R^{2*} = 1 - \frac{SSE_{Full}}{SST}$，所以 $SSE_{Full} = SST(1-R^{2*})$。
$R^2 = 1 - \frac{SSE_{Reduced}}{SST}$，所以 $SSE_{Reduced} = SST(1-R^2)$。
(注意：這裡的 $SSE_{Reduced}$ 指的是模型 1 的殘差平方和，但我們要檢定的是增量，所以用 SSR 的差值來表示更直觀。)

更直接地，F 統計量可以表示為：
$F = \frac{(R^{2*} - R^2) / (k_2 - k_1)}{(1 - R^{2*}) / (n - k_2 - 1)}$
其中：
$k_2 - k_1$ 是新增解釋變數的數量，在這裡是 $3 - 2 = 1$。
$n - k_2 - 1$ 是模型 2 的殘差自由度，在這裡是 $n - 3 - 1 = n-4$。
所以，該生可以建構的 F 統計值為：
$F = \frac{R^{2*} - R^2}{1 - R^{2*}} \times \frac{n-4}{1}$

【答案】該生可以建構的 F 統計值為 $F = \frac{R^{2*} - R^2}{1 - R^{2*}} \times (n-4)$。

(2) 評估解釋變數的影響程度是否不等：
這部分問題的問法較為模糊，但通常是指檢定模型中各個解釋變數的係數是否相等，或者檢定某些係數是否顯著不為零。
如果是指檢定 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 的影響程度是否不等，這通常意味著要檢定 $\beta_1 = \beta_2$。
然而，在線性迴歸中，我們通常不會直接檢定係數是否相等，除非它們是衡量相同單位的變數，或者有特定的理論基礎。
更常見的檢定是：
a) 檢定單一係數是否顯著不為零：例如，檢定 $\beta_1 \neq 0$、$\beta_2 \neq 0$ 或 $\beta_3 \neq 0$。這通常使用 t 檢定來完成，t 統計量是係數除以其標準誤。F 統計量與 t 統計量有關係：對於只有一個解釋變數的模型，F 統計量等於 t 統計量的平方。
b) 檢定兩個或多個係數的線性組合是否為零：例如，檢定 $\beta_1 + \beta_2 = 0$。

核心觀念

本題考查「交替進行的重複試驗」與「幾何級數」概念。

每次進攻有兩種結果：

• 得分：比賽立即結束，得分隊獲勝。
• 未得分：比賽繼續，由另一隊進攻。

兩隊每次進攻得分機率皆為 $0.5$，且 Team A 首先進攻，因此 Team A 具有先攻優勢。

設：

• $P(A)$：Team A 最終獲勝的機率
• $P(B)$：Team B 最終獲勝的機率

解題方法

方法一：列遞迴方程式

Team A 獲勝有兩種情況：

1. Team A 第一次進攻即得分，機率為 $0.5$。
2. Team A 第一次未得分，且 Team B 也未得分，之後回到與原本相同的情況，Team A 最終獲勝的機率仍為 $P(A)$。

因此：

$$P(A)=0.5+(0.5)(0.5)P(A)$$

整理得：

$$P(A)=0.5+0.25P(A)$$ $$0.75P(A)=0.5$$ $$P(A)=\frac{0.5}{0.75}=\frac{2}{3}$$

由於比賽一定會產生勝負，因此：

$$P(B)=1-P(A)$$ $$P(B)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$

方法二：列出各種獲勝情況

Team A 可能在以下情況獲勝：

• 第 1 次進攻得分：

$$0.5$$

本題考查常態分配 (Normal Distribution) 的機率計算，以及獨立隨機變數和的分配。

題意說明：

• 通勤方式：地鐵 (Metro) + 公車 (Bus)。
• 步行時間 (Walking time) 為固定 10 分鐘。
• 地鐵和公車的旅行時間皆為常態分配，且相互獨立。
• 地鐵旅行時間：$\mu_{Metro} = 12$ 分鐘, $\sigma_{Metro} = 3$ 分鐘。
• 公車旅行時間：$\mu_{Bus} = 20$ 分鐘, $\sigma_{Bus} = 4$ 分鐘。
• 出發時間：早上 8:25 AM。
• 上課時間：早上 9:10 AM。

要求：
計算在 8:25 AM 出發，9:10 AM 到達學校時遲到的機率。

解題步驟：

1. 計算總通勤時間的期望值和變異數：
   總通勤時間 $T$ 是步行時間、地鐵時間和公車時間的總和。
   $T = T_{walking} + T_{metro} + T_{bus}$
   步行時間 $T_{walking} = 10$ 分鐘 (固定值，變異數為 0)。
   地鐵時間 $T_{metro} \sim N(\mu_{Metro}=12, \sigma^2_{Metro}=3^2=9)$。
   公車時間 $T_{bus} \sim N(\mu_{Bus}=20, \sigma^2_{Bus}=4^2=16)$。

   由於 $T_{walking}$ 是常數，且 $T_{metro}$ 和 $T_{bus}$ 是獨立的常態分配，它們的和 $T$ 也服從常態分配。
   總通勤時間的期望值：
   $\mu_T = E[T] = E[T_{walking}] + E[T_{metro}] + E[T_{bus}]$
   $\mu_T = 10 + 12 + 20 = 42$ 分鐘。

本題考查貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用，以及對檢定錯誤 (False Positive, False Negative) 的理解。

題意說明：

• 總入境人數：$N = 250,000$ 人。
• 實際攜帶病毒者 (Carriers, C)：$N_C = 500$ 人。
• 未攜帶病毒者 (Non-carriers, NC)：$N_{NC} = 250,000 - 500 = 249,500$ 人。

PCR 檢測準確性：

• 檢測到攜帶病毒者 (True Positive Rate, Sensitivity)：$P(\text{Positive} | C) = 0.90$ (90 out of 100)。
• 檢測到未攜帶病毒者為陽性 (False Positive Rate)：$P(\text{Positive} | NC) = 0.05$ (5% of the times)。

從這些資訊，我們可以推導出：

• 檢測到攜帶病毒者為陰性 (False Negative Rate)：$P(\text{Negative} | C) = 1 - P(\text{Positive} | C) = 1 - 0.90 = 0.10$。
• 檢測到未攜帶病毒者為陰性 (True Negative Rate, Specificity)：$P(\text{Negative} | NC) = 1 - P(\text{Positive} | NC) = 1 - 0.05 = 0.95$。

要求：

1. 預期有多少假陽性 (False Positives) 和假陰性 (False Negatives)？
2. 解釋 CDC 為何對 PCR 檢測陰性的旅客實施隔離措施。

解題步驟：

1. 計算預期的假陽性 (False Positives) 和假陰性 (False Negatives)：

假陰性 (False Negatives, FN):
假陰性是指實際攜帶病毒者，但被檢測為陰性。
數量 = (實際攜帶病毒者人數) $\times$ (假陰性率)
$FN = N_C \times P(\text{Negative} | C)$
$FN = 500 \times 0.10 = 50$ 人。

假陽性 (False Positives, FP):
假陽性是指實際未攜帶病毒者，但被檢測為陽性。
數量 = (實際未攜帶病毒者人數) $\times$ (假陽性率)
$FP = N_{NC} \times P(\text{Positive} | NC)$
$FP = 249,500 \times 0.05$
$FP = 12,475$ 人。

實際檢測結果的分類：

• 真陽性 (True Positives, TP): 實際攜帶病毒者且檢測為陽性。
  $TP = N_C \times P(\text{Positive} | C) = 500 \times 0.90 = 450$ 人。
• 真陰性 (True Negatives, TN): 實際未攜帶病毒者且檢測為陰性。
  $TN = N_{NC} \times P(\text{Negative} | NC) = 249,500 \times 0.95 = 237,025$ 人。

驗算總人數：
$TP + FN + FP + TN = 450 + 50 + 12,475 + 237,025 = 250,000$ 人。 總數正確。

預期數值：

• 預期的假陰性人數：50 人。
• 預期的假陽性人數：12,475 人。

2. 解釋 CDC 為何對 PCR 檢測陰性的旅客實施隔離措施：

本題考查統計檢定 (Hypothesis Testing)，包含單一樣本 Z 檢定或 t 檢定，以及第一類錯誤 (Type I Error) 和第二類錯誤 (Type II Error) 的機率計算。

題意說明：

• 樣本大小：$n = 100$ 顆開關。
• 樣本平均使用次數：$\bar{x} = 1.245$ 百萬次。
• 樣本標準差：$s = 0.3$ 百萬次。
• 公司想檢驗的母體平均使用次數是否大於 1.2 百萬次。

A. 在 0.10 的顯著水準下，是否有證據顯示母體平均使用次數大於 1.2 百萬次？

這是單一樣本的檢定。由於樣本大小 $n=100$ 較大，我們可以使用 Z 檢定。若樣本標準差 $s$ 代表母體標準差 $\sigma$，則使用 Z 檢定；若 $s$ 是樣本標準差，理論上應使用 t 檢定，但當 $n$ 夠大時 (通常 $n>30$)，Z 檢定和 t 檢定的結果非常接近。題目給了樣本標準差，且未說明母體標準差，我們假設使用樣本標準差進行 Z 檢定，或者視為母體標準差。

1. 設定虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$) 和對立假設 (Alternative Hypothesis, $H_a$)：

• 虛無假設 ($H_0$)：母體平均使用次數等於或小於 1.2 百萬次。
  $H_0: \mu \le 1.2$ 百萬次。
• 對立假設 ($H_a$)：母體平均使用次數大於 1.2 百萬次。
  $H_a: \mu > 1.2$ 百萬次。
  這是一個單尾檢定 (右尾檢定)。

2. 設定顯著水準：
$\alpha = 0.10$。

3. 計算檢定統計量 (Test Statistic)：
Z 檢定的公式為：
$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$
其中 $\mu_0$ 是虛無假設中的母體平均值。
$\bar{x} = 1.245$
$\mu_0 = 1.2$
$s = 0.3$
$n = 100$

$Z = \frac{1.245 - 1.2}{0.3 / \sqrt{100}} = \frac{0.045}{0.3 / 10} = \frac{0.045}{0.03} = 1.5$。

4. 決定臨界值 (Critical Value) 或計算 P 值：
由於是右尾檢定，顯著水準 $\alpha = 0.10$，我們需要找到 Z 值，使得其右尾機率為 0.10。
查閱 Z-Table (Page 3)，尋找機率值接近 0.9000 (因為 $1 - 0.10 = 0.90$)。
在 Z-Table 中，Z=1.28 對應的機率是 0.8997，Z=1.29 對應的機率是 0.9015。
因此，臨界值約為 $Z_{critical} = 1.28$。

5. 做出決策：
將計算出的檢定統計量與臨界值比較：
$Z_{test} = 1.5$
$Z_{critical} = 1.28$
因為 $Z_{test} (1.5) > Z_{critical} (1.28)$，所以我們拒絕虛無假設 $H_0$。

結論：
在 0.10 的顯著水準下，有足夠的證據顯示母體平均使用次數顯著大於 1.2 百萬次。

B. 當真實母體平均值為 1.240 百萬次，且顯著水準設為 0.05 時，犯第一類錯誤和第二類錯誤的機率分別是多少？

1. 第一類錯誤 (Type I Error) 的機率：
第一類錯誤是指當虛無假設 $H_0$ 為真時，卻拒絕了 $H_0$。
第一類錯誤的機率等於顯著水準 $\alpha$。
在本題的 A 部分，我們使用了 $\alpha = 0.10$。
但在 B 部分，顯著水準被重新設定為 $\alpha = 0.05$。